TOÁN KỸ THUẬT Baigiang toankt chuong 7 1

Chapter 7:Hàm giải tích Analytic Function... Chúng thỏa phương  Chiều dương qui ước là CCW... cosz và sinz giải tích khắp nơi... coshz và sinhz giải tích khắp nơi... Hà

Phần III :

Hàm Phức và Ứng dụng

Nội dung phần III:

Phần này gồm có 6 chương

Chương 7: Hàm giải tích.

Chương 8: Tích phân phức.

Chương 9: Chuổi hàm phức.

Chương 10: Lý thuyết thặng dư.

Chương 11: Ứng dụng lý thuyết thặng dư.

Chương 12: Phép biến đổi bảo giác.

Chapter 7:

Hàm giải tích (Analytic Function)

Chương 7: Nội dung

7.1 Hàm phức.

7.2 Giới hạn và liên tục.

7.3 Đạo hàm của hàm phức.

7.4 Điều kiện Cauchy – Riemann.

7.5 Hàm phức giải tích và tính chất

7.6 Các hàm phức cơ bản.

7.1 Hàm phức (Complex Function)

 Ví dụ: w = f(z) = z2 – (2+j)z định nghĩa một hàm phức.

Đơn trị: w = f(z) = z 2

Đa trị: w = f(z) = sqrt(z)

 Miền D của hàm phức là tập tất cả các số phức z để hàm phức f(z) là xác định được.

b) Phân loại hàm phức:

a) Định nghĩa: Hàm phức (hay Function of a complex variable )

w = f(z) : là ánh xạ cho phép gán một số phức z trong miền D

trên mp phức đến một số phức w = f(z) trong miền D’ cũng trên mp phức.

 Một số khái niệm tập số phức thông dụng:

i Đường tròn tâm z0, bán kính R:

 Tập hợp các điểm nằm trên đường tròn

tâm z 0 , bán kính R Chúng thỏa phương

 Chiều dương qui ước là CCW.

 Đường tròn đơn vị: tâm O, bán kính 1, ký hiệu |z| = 1

ii Đĩa hở tâm z0, bán kính r:

 Tập hợp các điểm bên trong hình tròn

tâm z 0 , bán kính r (không tính trên biên).

D(z , r )0  z : z  z0  r

 Ký hiệu:

 Nếu r là số dương vô cùng bé  nào đó,

ta có định nghĩa về miền lân cận của số

phức z 0 : một khái niệm quan trọng.

D (z , r ) ' 0  z : 0   z z0  r

 Nếu không xét tâm z 0 , ta có đĩa hở vô

tâm, ký hiệu:

(Đĩa hở)

z 0 r

(Đĩa kín)

iii Vành khăn hở tâm z0, bán kính r1 & r2:

 Tập hợp các điểm giữa hai đường tròn tâm

z 0 , bán kính r 1 và r 2 (không tính trên biên).

 Ký hiệu: A (z , r , r )0 1 2  z : r1  z z0  r2

z 0

r 1

r 2

iv Nửa mặt phẳng:

 z : a  Re(z) 

Nửa mặt phẳng phải: Tập hợp

các điểm nằm bên phải đường

thẳng z = a.

a

(Nửa mặt phẳng phải)

 z : Re(z)  a 

Nửa mặt phẳng trái: Tập hợp

các điểm nằm bên trái đường

thẳng z = a.

a

(Nửa mặt phẳng trái)

v Dải vô hạn:

 z : a  I m(z)  b 

Dải ngang: Tập hợp các điểm

nằm giữa hai đường thẳng z = ja

Dải dọc: Tập hợp các điểm

nằm giữa hai đường thẳng z = a

và z = b.

a

(Dải dọc)

b

VD 7.1.1: Tập S trên mp phức

Xác định tập biểu diễn bởi: (a) |z| < 1 (b) 1 < |z + 2i|  2 (c) /3

 arg(z)  /2 ?

a) |z| < 1 : Các điểm bên trong đường tròn tâm O, bán kính là 1

b) 1 < |z+2i|  2 : Tập vành khăn nửa hở, tâm – 2i, bkính 1 và 2 c) /3  arg(z)  /2 : Các điểm nằm giữa 2 tia  = /3 và  = /2

c) Phần thực và phần ảo của hàm phức:

 Thay biến z = x + jy, ta có hàm phức được biểu diễn theo các biến x và y.

Ta có w = f(z) = f(x + jy) = u +jv = u(x,y) + jv(x,y)

Real part Imaginary part

 Tìm u(x,y) và v(x,y) khi biết f(z) ? Bằng cách thay z = x + jy và liên hợp phức z = x – jy.

 Tìm f(z) khi biết u(x,y) và v(x,y) ? Bằng cách thay x và y theo công thức:

z z2

j2

y  

VD 7.1.2: Khái niệm hàm phức

VD 7.1.3: Khái niệm hàm phức

x  

Thế : và , ta có:z z

j2

y  

VD 7.1.4: Khái niệm hàm phức

f(z)   (1 i)z   (2 2i)z.z   (1 i)z

Biểu diễn hàm phức f(z) = 4x 2 +i4y 2 theo z và liên hợp của nó ?

z z 2

x  

Thế : và , ta có:z z

2i

y  

VD 7.1.5: Khái niệm hàm phức

z

 

Tìm phần thực và phần ảo của hàm phức:

VD 7.1.6: Dùng MATLAB

a) Dùng MATLAB, tìm phần thực và phần

ảo của trở kháng vào Z ?

b) Tính tần số cộng hưởng 0 ?

c) Tính giá trị của Z tại cộng hưởng ?

% ex7_2: Tinh tan so cong huong

value = double(solution(n));

if value > 0 resonance_fre(m) = value;

m = m + 1;

end end Zresonance = double(subs(Req,'w',resonance_fre)); fprintf('Tan so cong huong cua mach: %5.1f (rad/s) \n', resonance_fre);

fprintf('Tro khang vao tai tan so cong huong : %5.1f (ohms) \n', Zresonance);

VD 7.1.6: Dùng MATLAB

4 2

8 w - 96 w + 768 The real part of impedance: -

4 2

w - 12 w + 64

3

64 w - 16 w The imag part of impedance: -

4 2

w - 12 w + 64

Tan so cong huong cua mach: 2.0 (rad/s) Tro khang vao tai tan so cong huong : 16.0 (ohms)

a) Dùng MATLAB, tìm phần thực và phần

ảo của trở kháng vào Z ?

b) Tính tần số cộng hưởng 0 ?

c) Tính giá trị của Z tại cộng hưởng ?

VD 7.1.7: Biểu diễn trong tọa độ cực

r



   

1 f(z) z

z

 

Tìm phần thực và phần ảo của hàm phức

(biểu diễn trong hệ tọa độ cực )

7.2 Giới hạn và liên tục của hàm phức:(đọc)

 Nếu giới hạn tồn tại, nó là duy nhất.

 f(z) có giới hạn là L tại z 0 nếu:

0 0

2 x,ylim v(x, y)x ,y L

Biểu thức này cho thấy sự liên hệ giữa giới hạn của hàm phức f(z) và giới hạn của hàm thực.

z 0

lim

 không tồn tại.

 f(z) là liên tục tại z 0 nếu:

 f(z) liên tục nếu u(x,y) & v(x,y) liên tục.

 Tính chất của hàm phức liên tục: như hàm biến thực.

 Tính chất:

 Tổng, Hiệu, Tích, Thương của 2 hàm liên tục thì cũng liên tục (mẫu  0).

 Hàm hợp của 2 hàm liên tục cũng liên tục.

 f(z) = u(x, y) + iv(x, y) liên tục  u(x, y) và v(x, y) liên tục.

 f(z) liên tục tại z 0 và f(z 0 )  0  D(z 0 ,) trong đó f(z 0 )  0.

 f(z) liên tục trong D kín và bị chặn  M > 0: |f(z)|< M, zD.

z 0

Because: lim not exist.





7.3 Đạo hàm của hàm phức:

 Đạo hàm của hàm phức f(z), ký hiệu f’(z) , định nghĩa:

VD 7.3.2: Đạo hàm của hàm phức

 Cho f(z) = sin(z), tìm f’(z) ?

 Tính chất của đạo hàm hàm phức:

 Đạo hàm một số hàm phức cơ bản khác:

f(

i) z)  C '

f (z)  0

1 z

f(

1 '

7.4 Điều kiện Cauchy – Riemann (C – R):

 Để hàm phức f(z) = u(x,y) + jv(x,y) là khả vi (hay có đạo hàm) tại điểm z = x + jy thì:

i Đạo hàm riêng bậc nhất (u x , u y , v x , v y ) phải tồn tại.

 Điều kiện C–R và đạo hàm trong tọa độ cực:

 VD 7.4.1: Điều kiện C–R

 VD 7.4.2: Điều kiện C–R

Tìm phần thực và ảo của hàm phức w = f(z) = e z ? Chứng tỏ rằng u(x,y) và v(x,y) thỏa điều kiện C-R ?

 Ta có: ez  e ex jy  (e cos y)x  j(e sin y)x

 Tính các đạo hàm riêng bậc nhất:

x x

u  e cos y

x y

u   e sin y

x x

v  e sin y

x y

v  e cos y

 Kết luận: chúng thỏa điều kiện C-R.

7.5 Hàm phức giải tích và tính chất:

a) Một số định nghĩa của Hàm giải tích:

 f(z) = là hàm giải tích (modern term : holomorphic) tại z 0 nếu nó khả vi tại z 0 và trong miền lân cận của z 0 (|z – z 0 | < ) .

 Giải tích tại mọi z : hàm nguyên.

 f(z) = giải tích trong miền D nếu f(z) = giải tích tại mọi điểm của tập hở D  C.

 Example: f(z) = 1/z : không giải tích tại z = 0; giải tích trong miền D = C \ {0}

 Example: f(z) = sin(z) : là hàm nguyên.

 Nếu f(z) không giải tích tại z 0 , z 0 gọi là điểm bất thường (singular point) của f(z).

b) Kiểm tra hàm giải tích:

 Điều kiện cần và đủ của một hàm phức giải tích là :

 f (z) phải xác định.

 Đạo hàm riêng bậc nhất (u x , u y , v x , v y ) phải tồn tại.

 Điều kiện Cauchy-Riemann phải thỏa mãn trong một tập hở (không được chỉ tại một điểm cô lập).

 VD 7.5.1: Kiểm tra hàm giải tích

 VD 7.5.2: Kiểm tra hàm giải tích

 VD 7.5.3: Kiểm tra hàm giải tích

Hàm phức f(z) = z.z* có phải hàm giải tích ?

c) Các tính chất cơ bản của hàm giải tích:

1 Hàm điều hòa: Nếu f(z) giải tích trong D, và nếu u và v có các đạo hàm cấp hai liên tục trong D, thì u và v là hai Hàm điều hòa.

xx yy xx yy

       

 v gọi là Hàm điều hòa liên hợp của u.

3 Chỉ chứa z: Nếu f(z) giải tích trong D và nếu thay

x  z z 2 y  z z thì f  z 0(z, z)

(f chỉ chứa z) Gọi là Tọa độ liên hợp của điểm z.

 Dạng toán 1 về hàm giải tích:

i Ta có: f(z) = f(x,y) = u(x,y) + jv(x,y)

ii Cho y = 0 : f(x,0) = u(x,0) + jv(x,0)

iii Thay biến x bằng z : f(z) = f(z,0) = u(z,0) + jv(z,0)

 Khi biết u(x,y) và v(x,y) của một hàm giải tích ta có thể suy

ra f(z) chỉ theo biến z dễ dàng theo các bước:

 Dạng toán 2 về hàm giải tích:

i Từ u(x, y), ta tính : u x và u y

ii Dùng điều kiện v y = u x , tích phân theo biến y ta có

iii Đạo hàm v(x, y) theo x:

 Khi biết u(x,y) ta có thể suy ra v(x,y) của một hàm giải tích theo các bước:

 VD 7.5.4: Harmonic & its conjugate

 VD 7.5.5: Harmonic & its conjugate

CMR hàm u = x 2 – y 2 – x là điều hòa ? Tìm hàm điều hòa liên hợp v(x, y) ? Biểu diễn f(x, y) theo biến z ?

 VD 7.5.6: Harmonic & its conjugate

CMR hàm u = y 3 – 3x 2 y là điều hòa ? Tìm hàm điều hòa liên hợp v(x, y) ? Biểu diễn f(x, y) theo biến z ?

 VD 7.5.7: Harmonic & its conjugate

CMR hàm v(x,y) = 3x 2 y + 2xy – y 3 là điều hòa ? Tìm hàm điều hòa liên hợp u(x, y) ? Biểu diễn f(x, y) theo biến z ?

 VD 7.5.8: Harmonic & its conjugate

Tìm hàm giải tích f = u + jv và biểu diễn hàm này chỉ theo z biết :

 VD 7.5.9: Harmonic & its conjugate

Show that u = cosh(x).sin(y) is harmonic ? Find conjugate v such that v(0,0) = 0 ? Express f(z) in terms of z ?

 VD 7.5.10: Harmonic & its conjugate

Tìm hàm giải tích f = u + jv và biểu diễn hàm này chỉ theo z biết :

  0 1

; 2

7.6 Các hàm phức cơ bản:

1) Hàm phức đa thức:

a) Định nghĩa: f(z)  P(z)  a zn n  an 1 zn 1   a z a1  0

b) Tính chất: Giải tích z.

 a i = hằng số phức.

2) Hàm phức hữu tỉ:

b) Tính chất: Giải tích z không là nghiệm của Q(z) = 0

 a i , b i = hằng số phức.

3) Hàm mũ phức:

 Là hàm tuần hoàn: e z = e z + j2n .

 Hàm e z có giá trị âm.

 VD 7.6.1: Compute using Casio

4) Hàm lượng giác phức:

i cosz và sinz giải tích khắp nơi

ii (cosz)’ = – sinz và (sinz)’ = cosz

iii (cosz) 2 + (sinz) 2 = 1

iv cos(a ± b) = cosa.cosb  sina.sinb và cos(jy) = coshy

v sin(a ± b) = sina.cosb ± cosa.sinb và sin(jy) = jsinhy

 VD 7.6.2: Compute using Casio

5) Hàm Hyperbol phức :

i coshz và sinhz giải tích khắp nơi

ii (coshz)’ = sinhz và (sinhz)’ = coshz

iii (coshz) 2 – (sinhz) 2 = 1

iv cosh(a ± b) = cosha.coshb ± sinha.sinhb và cosh(jy) = cosy

v sinh(a ± b) = sinha.coshb ± cosha.sinhb và sinh(jy) = jsiny

 VD 7.6.3: Compute using Casio

6) Hàm Logarit phức :

b) Tính chất: (H 7.2) và (H 7.3)



 + 2π

w 1

w 2 z

 ln(z) ' 1/ z  

 Đạo hàm:

 Và: ln(z z ) lnz1 2  1  lnz2 ln(z / z ) lnz1 2  1  lnz2

 VD 7.6.4: Compute using Casio

7) Hàm lũy thừa tổng quát :

a) Định nghĩa: w  z s  e s.ln(z)

b) Tính chất: (H 7.5) và (H 7.6)

 Đây là hàm đa trị (vô số trị trả về).

 Biểu diễn ánh xạ:

H7.5 H7.6

c) Tính chất của dãy { n}:

 {n } là 1 Cấp số nhân với Công bội q e   2

d) Tính chất của dãy { n} :

  n ln r         2 n o n(2     ) o np

  n

 là 1 Cấp số cộng với Công sai p 2  

e) Vị trí của dãy điểm {wn}: (H7.7) và (H7.8)

Ta có nhiều trường hợp tùy theo ( < 0,  = 0,  > 0;  < 0,  = 0,

 VD 7.6.5: Compute using Casio

8) Hàm lượng giác và Hypebôn ngược :

1 Hàm lượng giác ngược:

2 Hàm Hypebôn ngược:

 VD 7.6.6: Elementary Functions

ln( 3) ln 3 j 1 j(ln 3) /( 3)    e   e    e   

j

ln 3 ln 3 1

 VD 7.6.7: Elementary Functions

sin x.cosh y  jcos x.sinh y  5

Find all solutions to the equation: sin(z)  5

2cos x      0 x  k

2Because cosh y     0 x  k2 

1

y   cosh 5

1

z   ( k2 )   jcosh 5

j

j2 1 jz

tan z   ln  

2

1 1 1 z 1

1 j z 1 1

1 z j 1

j2 z j

co t z   ln  

VD 7.6.10: Using MATLAB

Write a function my_log(z0) return the multivalued expression

of log(z 0 ) ? Print its principal value ? Compare with the function

of MATLAB ?

% ex7_4: Tinh log(z0)

z0 = 5 + i*12; syms n real ; roh = abs(z0); theta = angle(z0);

x = vpa(log(roh),5); y = vpa(theta + n*2*pi,5);

xdot = x + i*y ; disp('******** Answer **********'); disp(xdot);

disp('******** Principal value **********');value = double(subs(xdot,'n',0));

disp(value); disp('******** Compare with MATLAB **********'); tolerance =

(log(5+i*12)-value)/log(5+i*12)*100; fprintf('Tolerance = %5.3f \n ',tolerance);