TOÁN KỸ THUẬT Baigiang toankt chuong 9 1

Chapter 9:Chuổi phức... Các toán tử trên chuổi lũy thừa:i... 9.3 Chuổi Taylor Taylor Series1...  Tương tự tìm chuổi Taylor.

Chapter 9:

Chuổi phức

Chương 9: Nội dung

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 3

9.1 Chuổi phức (complex series)

 Cho dãy các số phức: z 1 , z 2 , … , chuổi phức định nghĩa là tổng

vô hạn các số phức viết dưới dạng:

VD 9.1.1: Khái niệm hội tụ chuổi phức









 Ta có các số hạng của chuổi:

 Biểu diễn trên mp phức:

 Kết luận: chuổi hội tụ về z = 0.

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 5

b) Hội tụ của chuổi phức:

 Cả chuổi thực và chuổi phức đều tuân theo định lý hội tụ Cauchy.

S   z z   z

n n

If limS S

  : Chuổi hội tụ.

Ngược lại ta nói chuổi phân kỳ.

 Gọi S n = tổng n số hạng đầu tiên của chuổi phức.

c) Điều kiện hội tụ :

n 1 n

z z n

Nếu |z n | ≤ số dương M n

Chuổi hội tụ. n 1 zn







Chuổi hội tụ.

ii Điều kiện tỉ số:

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 7

VD 9.1.2: Kiểm tra hội tụ

( 2 j3)( n 1)

n 1

( 2 j3) n n

 Dùng điều kiện tỉ số:

 Kết luận: chuổi hội tụ.

d) Tính chất của chuổi phức hội tụ:

i Tổng hay hiệu của hai chuổi hàm phức hội tụ:

Trong miền hội tụ chung E = E 1E 2 của hai chuổi (9.1), tổng hay hiệu có thể tìm bằng cách cộng trừ từng số hạng.

ii Tích của hai chuổi hàm phức hội tụ:

Trong miền hội tụ chung E = E 1E 2 của hai chuổi (9.1), tích của hai chuổi hội tụ có thể tìm bằng cách nhân kiểu đa thức hay tích Cauchy.

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 9

e) Chuổi hàm phức :

 Trong trường hợp tổng quát, mỗi số hạng của chuổi là một hàm phức f(z) thay vì một số phức : ta có chuổi hàm phức.

 Tập hợp tất cả các số phức z để chuổi hàm phức hội tụ ta gọi là “miền hội tụ” của chuổi.

VD 9.1.3: Tìm miền hội tụ

n 1 2 n

n 1

2 n 1 n n

 Dùng điều kiện tỉ số:

 Kiểm tra thêm tại z = 2: ta có chuổi hội tụ.

 Kết luận: chuổi hội tụ tại các điểm trên và bên trong đường tròn tâm O, bán kính 2

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 11

VD 9.1.4: Tìm miền hội tụ

 Dùng điều kiện tỉ số:

 Kết luận: chuổi hội tụ với mọi giá trị của z.

Tìm miền hội tụ của chuổi hàm phức: n 1 2 n 1

n 1

( 1) z (2n 1)!

VD 9.1.5: Tìm miền hội tụ

 Dùng điều kiện tỉ số:

n 1 n 1

n 1

n n n





z   j 3

 Kiểm tra thêm tại z – j = 3: ta có chuổi phân kỳ.

 Kết luận: chuổi hội tụ tại các điểm bên trong đường tròn tâm tại z = j, bán kính 3

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 13

9.2 Chuổi lũy thừa

Chuổi lũy thừa tâm a có dạng:

2 Bán kính hội tụ:

 Ta cũng dùng điều kiện tỉ số để xác định miền hội tụ của chuổi lũy thừa.

 Nếu R = 0 : chuổi hội tụ chỉ tại z = a : và nếu R =  cho ta chuổi hội tụ với mọi z , tức là |z – a| < ∞





  

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 15

3 Tính chất của Chuổi lũy thừa:

 Nếu chuổi lũy thừa hội tụ tại z 1 : thì sẽ

hội tụ trong đĩa |z – z 0 | < |z 1 – z 0 |.

 Nếu chuổi lũy thừa phân kỳ tại z 2 : thì

sẽ phân kỳ trong miền |z – z 0 | > |z 2 – z 0 |.

4 Các toán tử trên chuổi lũy thừa:

i Cộng / Trừ từng số hạng hai chuổi lũy thừa:

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 17

VD 9.2.1: Chuổi lũy thừa

n 1 n

Tìm miền hội tụ của chuổi lũy thừa:

 Chuổi hội tụ trong đĩa hở, tâm j , bán kính 1:

 Bán kính hội tụ:

VD 9.2.2: Chuổi lũy thừa

Tìm miền hội tụ của chuổi lũy thừa:

 Chuổi hội tụ trong đĩa hở, tâm

(4 + 3i) , bán kính sqrt(5):

 Bán kính hội tụ:

2i 4i 6i

5

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 19

VD 9.2.3: Chuổi lũy thừa

n 1

n 1

n n

Tìm miền hội tụ của chuổi :

 Chuổi hội tụ trong đĩa hở, tâm i , bán kính 1/sqrt(10):

 Bán kính hội tụ:

9.3 Chuổi Taylor (Taylor Series)

1 Định nghĩa chuổi Taylor:

a

R

z r

D

 Cho f(z) giải tích trong miền D, a là

điểm bất kỳ trong D (a = gọi là điểm

thường) thì f(z) có thê ̉́ được biểu diễn bởi

chuổi Taylor tại lân cận điểm thường z =

a có dạng như sau :

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 21

2 Xác định miền hội tụ của chuổi Taylor:

i Cách 1: Phải có chuổi Taylor, rồi dùng điều kiện tỉ số:

(n) n

 Có thể tính bán kính hội tụ R bằng một trong hai cách sau:

i Cách 2: Không cần có chuổi Taylor, tính khoảng cách từ điểm khai triển đến các điểm bất thường của hàm phức f(z) Gọi {z 1 , z 2 ,…} là các Điểm bất thường của f(z) và tính R k =

|z k – a| = khoảng cách từ điểm bất thường z k đến điểm khai triển a ta có:

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 23

 Các Chuổi MacLaurin quan trọng:

Dùng định nghĩa chuổi Taylor, ta có một số chuổi cơ bản và ROC , dùng để tìm chuổi Taylor cho một số hàm phức tạp hơn:

2n 1 n

n 0

z sinz ( 1)

n 0

z e

n 0

z cosz ( 1)

4 Các Phương Pháp tìm Chuổi Taylor:

a) Định lý duy nhất: Nếu f(z) được khai triển thành chuổi lũy thừa của (z – a):

thì khai triển này là duy nhất.

n n

a  f (a)/ n!

b) Phương Pháp tính a n theo công thức:

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 25

VD 9.3.1: Tìm an chuổi Taylor từ công thức

Ta tính:

2

1 (z 1)

f '(z)  

1 (z 1)

f (z)  

3

2 (z 1)

f ''(z)  

4

6 (z 1)

f '''(z)   

1 4

f '(1)  

1 2

f ''(1) 

4

6 2

f '''(1)  

Ta khoảng cách từ z = 1 đến điểm bất thường z = -1 là:

R = |1 – (– 1)| = 2 Miền hội tụ: |z – 1| < 2

z=1

Điểm bất thường z = – 1

R

VD 9.3.2: Tìm an chuổi Taylor từ công thức

Ta tính:

2(z 1) (2z 3) 1 (z 1) (z 1)

f '(z)      

(2z 3) (z 1)

f (z)  

3

2 (z 1)

f ''(z)  

4

6 (z 1)

f '''(z)   

1 4

f '(1)  

5 2

Tìm khai triển chuổi Taylor của f(z) = (2z + 3)/(z + 1) tại lân cận

z = 1 và cho biết miền hội tụ của chuổi ?

1 4

f ''(1) 

4

6 2

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 27

VD 9.3.3: Tìm an chuổi Taylor từ công thức

f '(z)    

2

1 (z z 1)

f (z)   

2

2(2z 1) 2 (z z 1) (z z 1)

f ''(z)      

3

6(2z 1) 12(2z 1) (z z 1) (z z 1)

c) Phương pháp thế:

Đặt w = z – a ; suy ra z và thế vào f(z) ta có F(w)

Đưa F(w) về chuổi cơ bản sau đó trả lại biến w = z – a

Ta phân tích Hàm hữu tỷ f(z) = P(z)/Q(z) thành tổng của nhiều Hàm hữu tỷ sơ cấp, rồi dùng Chuổi nhị thức , chẳng hạn:

 Áp dụng để tính f (n) (a):

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 29

VD 9.3.4: Chuổi Taylor & PP thế

     

w (1 z) (2 w ) 2 (1 )

Tìm khai triển Taylor của hàm f(z) = 1/(1 + z) tại lân cận z 0 = 1 dùng PP thế ? Xác định bán kính hội tụ RoC ?

VD 9.3.5: Chuổi Taylor & PP thế

   

w (1 z) (1 w j2) (1 j2) (1 )

Tìm khai triển Taylor của hàm f(z) = 1/(1 – z) tại lân cận z 0 = j2 ? Xác định bán kính hội tụ RoC ?

R  RoC  j2  1 5

1 (z j2) (z j2) (z j2) (1 j2) (1 j2) (1 j2) (1 j2)

Chuổi Taylor:

Bán kính hội tụ:

Điểm bất thường z = 1

j2

R

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 31

 VD 9.3.6: Biểu diễn chuổi Taylor hàm hữu tỷ

Tìm chuổi Taylor biểu diễn hàm f (z) 1

(z 2)(z 3)



quanh điểm z 0 = 1 Xác định bán kính hội tụ (RoC)?

 Phân tích f(z) = tổng các hàm hữu tỷ sơ cấp:

quanh điểm z 0 = 1 Bán kính hội tụ ?

 Dùng chuổi nhị thức:

n n

z 1

1 2

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 33

 VD 9.3.7: Biểu diễn chuổi Taylor hàm hữu tỷ

Tìm chuổi Taylor biểu diễn hàm f (z) 2i

(4 iz)





quanh điểm z 0 = – 3i Xác định bán kính hội tụ R ?

 Để phân tích f(z) thành chuổi lũy thừa của (z + 3i) ta viết lại:

i (4 iz) 4 i(z 3i) 3 7 i(z 3i) 7

1 (z 3i) 7

i ( 1) (z 3i)

quanh điểm z 0 = – 3i Xác định bán kính hội tụ R ?

 Do đó chuổi Taylor biểu diễn f(z) quanh z 0 có dạng :

 Bán kính hội tụ R = 7.

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 35

VD 9.3.8: MacLaurin Series

z 1

z 1

Determine the convergent radius (RoC) ?

VD 9.3.9: Chuổi Taylor & tính chất

2

1 (1 z)

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 37

VD 9.3.10: Chuổi Taylor & tính chất

 VD 9.3.11: Tính hội tụ chuổi phức

(1 2i) 5

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 39

9.4 Chuổi Laurent (Laurent Series)

1) Định nghĩa chuổi Laurent:

 Nếu f(z) không giải tích tại z = a nhưng giải tích trong hình vành khăn D ( 0 < |z – a| < R hay R 1 < |z – a| < R 2 ) thì nó không thể khai triển thành chuổi Taylor mà chỉ có thể khai triển chuổi Laurent có dạng:

 Nhận xét chuổi Laurent:

 Nếu f(z) được khai triển thành chuổi Laurent (9.6) trong D (a, R 1 , R 2 ) thì khai triển này là duy nhất.

 Chuổi Laurent là chuổi lũy thừa phức có số mũ âm.

(phần chính) (phần giải tích)

 Chuổi Laurent gồm hai phần:

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 41

 VD 9.4.1: Khái niệm chuổi Laurent

Khai triển f(z) = 1/(z + 1) dưới dạng chuổi phức quanh z = 1 ?

 Ta có thể khai triển:

Đây là chuổi Taylor và hội tụ

 VD 9.4.1: Khái niệm chuổi Laurent (tt)

Khai triển f(z) = 1/(z + 1) dưới dạng chuổi phức quanh z = 1 ?

Ta thấy chuổi phức có dạng

chuổi Laurent và hội tụ trong

miền 2 < |z – 1|.

 Kết luận: trong miền |z – 1| < 2 : f(z) xấp xỉ = chuổi Taylor.

trong miền 2 < |z – 1| : f(z) xấp xỉ = chuổi Laurent.

 Như vậy, trong miền |z – 1| > 2 ta có :

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 43

2 Chuổi Laurent của f(z) quanh điểm bất thường z1:

 R 2 = |z 2 – z 1 | = Khoảng cách từ điểm khai triển z 1 đến Điểm bất thường z 2 gần z 1 nhất.

 VD 9.4.2: Chuổi Laurent của f(z)

Tìm chuổi Laurent biểu diễn hàm f(z) = 1/z 3 (1 – z) quanh điểm bất thường z = 0.

 Miền hội tụ của chuổi: 0 < |z| < 1.

 Khai triển 1/(1 – z) dạng chuổi MacLaurin:

 Và có Chuổi Laurent biểu diễn f(z) :

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 45

VD 9.4.3: Chuổi Laurent của f(z)

4

sin z

0 z

3 Các Phương pháp tìm chuổi Laurent:

Ta phân tích Hàm hữu tỷ f(z) = P(z)/Q(z) thành tổng của nhiều hàm hữu tỷ sơ cấp, rồi dùng Chuổi nhị thức , để khai triển Lưu ý xác định miền hội tụ chung của các chuổi.

Đặt w = z – a ; suy ra z và thế vào f(z) ta có F(w)

Đưa F(w) về chuổi cơ bản sau đó trả lại biến w = z – a

 Tương tự tìm chuổi Taylor.

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 47

VD 9.4.4: Xác định chuổi Laurent

Khai triển f(z) thành chuổi Laurent tại lân cận

z = – 2 ? Xác định miền hội tụ của chuổi ? 3

1 z(z 2)

VD 9.4.5: Xác định chuổi Laurent

Khai triển f(z) thành chuổi Laurent tại lân cận

z = – 1 ? Xác định miền hội tụ của chuổi ?

z (z 1)(z 2)

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 49

VD 9.4.6: Xác định chuổi Laurent

a) Khai triển f(z) thành chuổi Laurent tại lân

cận z = 0 ? Xác định miền hội tụ của chuổi ?

b) Xác định chuổi Laurent ở các miền khác ?

1 z(z 1)

 Kết hợp với điều kiện hàm giải tích, miền hội

tụ của chuổi Laurent: 0 < |z| < 1.

VD 9.4.6: (tiếp theo)

b) Ta viết lại f(z) dạng khác và dùng chuổi nhị thức:

Miền hội tụ của chuổi nhị thức này: |1/z| < 1  |z| > 1

 Kết hợp với điều kiện hàm giải tích, miền hội

tụ của chuổi Laurent: 1 < |z| < .

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 51

VD 9.4.7: Xác định chuổi Laurent

a) Khai triển f(z) thành chuổi Laurent tại lân

cận z = 1 ? Xác định miền hội tụ của chuổi ?

b) Xác định chuổi Laurent ở các miền khác ?

1 z(z 1)

f (z)  

a) Ta viết lại f(z) và dùng chuổi nhị thức:

Miền hội tụ của chuổi nhị thức này: |z – 1| < 1.

 Kết hợp với điều kiện hàm giải tích, miền hội

tụ của chuổi Laurent: 0 < |z – 1| < 1.

1 (z 1) (z 1) (z 1) z(z 1) z 1 [1 (z 1)] z 1

f(z)               

z 1

f(z)        1 (z 1) (z 1) 

VD 9.4.7: (tiếp theo)

b) Ta viết lại f(z) dạng khác và dùng chuổi nhị thức:

Miền hội tụ của chuổi nhị thức này: |1/(z – 1)| < 1  |z – 1| > 1.

 Kết hợp với điều kiện hàm giải tích, miền hội

tụ của chuổi Laurent: 1 < |z – 1| < .

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 53

VD 9.4.8: Laurent Series

Find Laurent series about

the indicated singularity ?

Annulus of Convergence ?

z 2

e (z 1)  ; z 1 

VD 9.4.9: Laurent Series

We have: sin(u) converges for all u : R =  .

Annulus of Convergence: 0 | z      |

Find Laurent series about

the indicated singularity ?

Annulus of Convergence ?

sin z (z  ) ; z  

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 55

9.5 Tìm chuổi phức dùng MATLAB:

VD 9.5.2: Laurent Series using MATLAB

z

0 (z 1)(z 2)

Find Laurent series of f(z)    about z   1

disp('Laurent series of f(z) is:');

fprintf('%s \n',chuoi(8:end-9)); % bo ky tu thua

- (z + 1) –1 + 2 - 2 (z + 1) + 2 (z + 1) 2 - 2 (z + 1) 3 + 2 (z + 1) 4