TOÁN KỸ THUẬT Baigiang toankt chuong 11 1

Giải tích khắp nơi không có cực.. Khác không khắp nơi không có zero.

Chapter 11:

Ứng dụng của lý thuyết thặng dư

Chương 11: Nội dung

11.1 Tính các tích phân thực đặc biệt.

11.2 Tính biến đổi Laplace ngược.

11.3 Tính biến đổi Fourier ngược.

11.1 Tính các tích phân thực đặc biệt:

n 2

k 0

(z = Các cực bên trong vòng tròn đơn vị)

 Đặt z = e j, ta có sin = (z – z –1 )/2j ; cos = (z + z –1 )/2; cos2

Với hàm F(cos, sin) = Phân thức hữu tỉ của cos và sin )

a) Tích phân dạng 1:

 Các bước tính tích phân dạng 1:

B1 Tính f(z) từ hàm F(cos, sin); f(z) là Hàm Hữu Tỷ P(z)/Q(z).

B2 Xác định các cực z k của f(z) nằm bên trong đường tròn đơn vị.

B3 Tính Thặng Dư tại mỗi cực đó.

B4 Tính tổng Thặng Dư rồi nhân cho 2j

VD 11.1.1: Tính tích phân thực dạng 1

VD 11.1.2: Tính tích phân thực dạng 1

Tính :

b) Tích phân thực dạng 2:  f (x)dx





CR

R – R

 Theo tính chất tích phân phức:

 Xét chu tuyến (C) là biên nửa

đường tròn ở nửa trên mp phức:

 Tích phân thực dạng 2: (tiếp theo)

(z k = các cực của f(z) nằm ở nửa trên mp phức)

n

k C

 Bổ đề Lemma: Gọi f(z) = P(z)/Q(z) là

Hàm hữu tỷ thỏa mãn: bậc P  (bậc Q –

2) và Q(z) không có nghiệm thực thì:

CR

Rlim f (z)dz 0

 Và ta CM được:

 Các bước tính tích phân dạng 2:

B1 Viết f(z) và chỉ ra các cực z k của f(z) có Phần ảo Im(z k ) > 0.

B2 Tính Thặng Dư tại mỗi cực đó.

B3 Tính Tổng Thặng Dư rồi nhân cho 2j

VD 11.1.3: Tính tích phân thực dạng 2

2

I   2 j[0.25   45  0.25   135 ]  

2 1 3 1

1 4z

2 3 2

2 4z

2 4

VD 11.1.3: Verify Using MATLAB

Script File: ex11_5.m

clear variables; syms x ;

if (imag(value) > 0) poles(n) = p(m);

residues(n) = r(m); n = n+1;

end end

% Tinh tong thang du va nhan 2pi*j SumRes = sum(residues);

VD 11.1.4: Ứng dụng tính năng lượng

Cho R = 2, C = 1/4F và v in = 4e –t u(t) V Tính:

a) Biến đổi Fourier của tín hiệu vào và ra ?

b) Năng lượng của tín hiệu vào và ra ?

E        5,33 (J) E R = 8 – 5,33 (J)

VD 11.1.5: Ứng dụng tính năng lượng

E  j        0,1 (J) E R = 4 – 0,1 (J)

Cho R = 3, L = 1H và v in = 4e –2t u(t) V Tính:

a) Biến đổi Fourier của tín hiệu vào và ra ?

b) Năng lượng của tín hiệu vào và ra ?

c) Dạng 3:  f (x)cos(ax)dx &  f (x)sin(ax)dx

CR

R – R

C[f (z).e ]dz R[f (x).e ]dx CR[f (z).e ]dz



 Theo tính chất tích phân phức:

 Xét chu tuyến (C) là biên nửa

đường tròn ở nửa trên mp phức:

 Cho R  ∞ ta có:

C[f (z).e ]dz  [f (x).e ]dx Rlim CR[f (z).e ]dz

 Tính tích phân dạng 3 (tiếp theo):

CR

R – R

 Bổ đề Lemma: Nếu a > 0 và f(z) =

P(z)/Q(z) là Hàm hữu tỷ thỏa mãn: bậc P

 (bậc Q – 1) và Q(z) không có nghiệm

 Các bước thực hiện:

B1 Xác định các cực z k của f(z) có Phần ảo Im(z k ) > 0.

B2 Tính Thặng Dư của F(z) = e jaz f(z) tại mỗi cực đó.

B3 Tính Tổng Thặng Dư rồi nhân cho 2j, ta có số phức A + jB

 Cực của f(z) và cực của F(z) giống nhau vì hàm e jaz :

i Giải tích khắp nơi (không có cực).

ii Khác không khắp nơi (không có zero).

B4 Suy ra:  f (x)cos(ax)dx A &  f (x)sin(ax)dx B

VD 11.1.5: Tính tích phân thực dạng 3

 Xác định các cực của f(z) = z/(z 2 + 1)(z 2 + 4) ở nửa trên của mặt phẳng phức là : z 1 = j1 và z 2 = j2.

1 3

VD 11.1.6: Dùng MATLAB

Script File: ex11_6.m

clear variables; syms x ;

if (imag(value) > 0) poles(n) = p(m);

residues(n) = r(m)*exp(i*p(m));

n = n+1;

end end

% Tinh tong thang du va nhan 2pi*j SumRes = sum(residues);

Gia tri tinh truc tiep: 0.15641

Gia tri tinh dung thang du:

0.1564 Gia tri tich phan nguoc lai:

d) Chú ý:

Nếu f(z) [dạng (b) và (c) ] có cực trên trục thực thì ta dùng:

k C

e) MATLAB tính các tích phân thực:

Calculation

(i) I      

1/16*pi*2^(1/2)

2 4

x

1 x Calculation

11.2 Tính biến đổi Laplace ngược:

 Chọn đường (C) ( tức là giá trị c) sao cho các

cực (pole) của F(s) nằm bên trái đường thẳng

 Các bước tìm Laplace ngược dùng thặng dư:

B1 Tìm các cực s k của F(s).

VD 11.2.1: Tính biến đổi Laplace ngược

j2 t

e st

2 j2

Residue{F(s)e , j2} 

j2 t

e st

2{F(s)}

VD 11.2.3: Dùng Res cho nghiệm thực bội

 Có 1 cực thực , đơn : s = – 4 và thực kép s = – 2.

2

1 (s 4)(s 2)

Tìm f(t) biết:

4 t 4 t 2

st

4 ( 4 2)

11.3 Tính biến đổi Fourier ngược:

 Dùng đường (C) là nửa đường tròn

kín ở nửa trên mặt phẳng phức.

CR

R – R

ii Khi t < 0 :

 Dùng đường (C) là nửa đường tròn

kín ở nửa dưới mặt phẳng phức Do

 Các bước tìm Fourier ngược dùng thặng dư:

B1 Tìm các cực k của F().

B2 Tìm Res{F().e jt ; k } = f k (t).

B3a Khi t > 0 ta tính Tổng :

VD 11.3.1: Biến đổi Fourier ngược

B1 Các điểm cực của F() : 1 = j2 ; 2 = j3

( j 2)( j 3) j j2

VD 11.3.2: Biến đổi Fourier ngược

Tìm f(t) biết:

VD 11.3.2: Biến đổi Fourier ngược (tiếp theo)

Tìm f(t) biết:

VD 11.3.3: Dùng biến đổi Fourier ngược

VD 11.3.4: Dùng biến đổi Fourier ngược

Cho R = 12, L = 2H, C = 0,1F,

dùng biến đổi Fourier tìm u C (t)

biết e(t) = e t khi t < 0 và e(t) = 0