Phuongtrinhdaohamrieng Tin học ứng dụng trong công nghệ hóa học

Microsoft PowerPoint PhuongTrinhDaoHamRieng ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC BAÙCH KHOA oOo GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN ÑAÏO HAØM RIEÂNG TREÂN MICROSOFT EXCEL PGS TS TRÒN[.]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

_oOo _

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG

TRÊN MICROSOFT EXCEL

PGS TS TRỊNH VĂN DŨNG BỘ MÔN: QUÁ TRÌNH VÀ THIẾT BỊ CN HÓA - TP

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

1 Đặt vấn đề:

2 Thực hiện bằng Excel

3 Ứng dụng trong công nghệ Hoá – Thực phẩm

4 Bài tập

Để giải phương trình vi phân đạo hàm riêng:

Phương pháp lưới Phương pháp sai phân hữu hạn

1 Đặt vấn đề:

Phương trình vi phân dẫn nhiệt:

Cần tìm giá trị hàm t(x, y, z) thỏa mãn phương trình trên

Với điều kiện đầu:

Điều kiện biên:

2 2

2 2

z

t y

t x

t a

1 Đặt vấn đề:

Xét quá trình cấp đông:

Với điều kiện đầu:

Điều kiện biên:

2 2

2 2

z

t y

t x

t a

t



Cần tìm giá trị hàm t(, x, y, z)

thỏa mãn phương trình trên

1 Đặt vấn đề:

Đơn giản khảo sát bài toán:

Với điều kiện đầu:

Điều kiện biên: Và

Đổi biến: D = 1 và L = 1

Thì bài toán có dạng:

2

2

x

U D

Phương pháp tiến hành:

Xây dựng trên mặt phẳng X0T lưới vuông góc đều

Bước h theo x: x 0 = a; x i = x 0 + i.h; x n = n.h = b;

Theo  dạng:

•nút lưới

hàm lưới

n i

h i

,0



h i

xi   j  j k

U ,   ,

Trên nút bất kỳ của lưới số (i,j) xác định bằng tọa độ

Khoảng  0 và 0  x  1 của điều kiện biên

điều kiện đầu (điều kiện giới hạn)

  xi j Ui j

U ,   ,

Phương pháp tiến hành:

Điểm bên trong của lưới bằng đạo hàm riêng phần theo:

không gian thời gian của sai phân hữu hạn:

•Đạo hàm bậc 1 có dạng:

 , 1 , , 1

2 ,

i j

i j

i

U U

U h

x U

j i

U

U k

U

, 1

, ,

Phương pháp tiến hành:

Phương trình vi phân trở thành dạng đại số:

Phương pháp tiến hành:

Khi cho: i = 0, 1, 2, …, n

j = 0 Vế phải của phương trình đã cho tính theo điều kiện giới hạn

Nên có thể tính các giá trị ở lớp ban đầu khi j = 1

Các giá trị tiếp theo từ j = 2 sẽ tính theo các giá trị của bước trướcù:

3 Xấp xỉ bài toán vi phân thành bài toán sai phân:

Đạo hàm tại một điểm i nào đó, có thể biểu diễn dưới dạng sai phân như sau:

Bằng cách tương tự ta có thể biểu diễn sai phân cho các đạo hàm cấp cao.

Giả sử hàm y(x) được cho bởi các giá trị: y 0 , y 1 , …, y i-1 , y i , … tại những điểm có khoảng cách đều nhau h Thì sai phân lùi tại điểm i của hàm y:

h

y y

h

y y

1 1

2

1 1

h

y y

y h

y

y h

y

y h x

1

 y i y i y i y i y i

4 3

2 1

4   4   6   4   

3 Xấp xỉ bài toán vi phân thành bài toán sai phân:

Sai phân tiến có dạng:

Sai phân trung tâm:

Xấp xỉ phương trình vi phân thành sai phân:

i i

i i

i i

i i

y



1 1

2 yi  yi  2 yi  yi



2

3 2

1 2

1 2

i i

y



2 1

1 2

4y i  y i  4y i  6y i  4y i  y i



 x AU  x BU x f  x

U "  '  

3 Xấp xỉ bài toán vi phân thành bài toán sai phân:

i i

i i

i

x f

BU h

U

U A h

U U

K dx

i

i i

h

U

U a h

U

U a

a

4 Thực hiện trên Excel:

Với điều kiện đầu (hình sin):

Điều kiện biên loại 1:

Thực hiện trên Excel với ví dụ: Tìm hàm U(x,t) thoả mãn phương trình:

Chọn bước của biến x là 0,1, tức là có n = 10 bước; Do q = 0,5; nên bước theo biến  là :

Để giải bài toán trên Excel ta lập bảng tính sau:

2

2

x

U D

0 2

2



 h

k

4 Thực hiện trên Excel:

•sau đó Copy

Kết quả tính nếu trong bảng sau:

•Cột A: x, thể hiện lớp i từ 0 đến 30;

•Cột B và cột L: U(0,) = 0;

•Cột C đến K tính lớp i: hàng đầu: điều kiện đầu C3:K3: U(x,0) =

sin(x) = sin(3,14.C2:K2); Hàng tiếp theo: C4:K4 tính

2 :   1   1

 i i

i i

i

D C

C K

C

4 Thực hiện trên Excel:

•Đồ thị biểu diễn kết quả tính toán trên hình 1:

0,8-10,6-0,80,4-0,60,2-0,40-0,2

5 Sử dụng kết quả

Biết thời gian tính nhiệt độ các lớp; Biết nhiệt độ tính thời gian thực hiện; Biết vị trí xác định nhiệt độ;