Toiuuhammotbien Tin học ứng dụng trong công nghệ hóa học

Microsoft PowerPoint ToiUuHamMotBien ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC BAÙCH KHOA oOo TOÁI ÖU HAØM MOÄT BIEÁN TREÂN MICROSOFT EXCEL BOÄ MOÂN QUAÙ TRÌNH VAØ THIEÁT BÒ CN HO[.]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

_oOo _

TỐI ƯU HÀM MỘT BIẾN

TRÊN MICROSOFT EXCEL

BỘ MÔN: QUÁ TRÌNH VÀ THIẾT BỊ CN HÓA - TP

•Hãy tìm giá trị của biến độc lập chưa biết x, trong khoảng [a,b]

sao cho hàm f(x) nhận giá trị cực tiểu.

1 Đặt vấn đề:

Nếu cần tìm cực đại hàm g(x), thì dùng hàm ngược F(x) =  g(x) sẽ đưa đến bài toán tìm cực tiểu của F(x).

Hàm cần cho trước dưới dạng công thức giải tích.

Nếu tồn tại đạo hàm f’(x) thì đưa đến giải phương trình tuyến tính hay phi tuyến như đã trình bày trước đây

Bài toán tìm tối ưu hàm một biến bằng phương pháp số được sử dụng khi và chỉ khi hàm số không có đạo hàm, có nghĩa hàm không trơn thậm chí không liên tục, tức làø hàm bị gián đoạn loại I theo Dirắc

Điều kiện duy nhất đối với hàm f(x) là đơn điệu trên đoạn [a,b], tức là trên khoảng [a,b] chỉ tồn tại một cực tiểu và không có cực đại hay điểm uốn.

1 Đặt vấn đề:

Hàm f(x) gọi là đơn điệu trên đoạn [a,b] nếu trên đoạn này tồn tại điểm x* đối với biến số x sao cho khi: x 1 < x 2 < x* < x 3 < x 4 … thì:

f(x 1 ) > f(x 2 ) > f(x*) < f(x 3 ) < f(x 4 ) Khi đó bài toán tối ưu hóa đã đặt ra trở thành bài toán tìm kiếm khoảng [a,b] được thu hẹp dần từ khoảng ban đầu không xác định về đoạn [a,b] với sai số  nào đó Có nhiều phương pháp tiến hành:

•Thu hẹp bằng phương pháp phân đôi;

•Thu hẹp theo phương pháp lát cắt vàng;

•Để tìm cực trị phương pháp phân đôi cần biết trước:

•Công thức giải tích của hàm số;

•Giá trị số của khoảng có cực trị [a, b];

•Giá trị sai số  cần đạt được;

1 Phương pháp phân đôi:

Bản chất của phương pháp này là chọn được các giá trị x 1 và x 2 để tính giá trị hàm tại lân cận trung điểm của khoảng [a, b]: Để có thể tiến gần đến cực trị ta thường chọn x 1 = c –  và x 2 = c +

 với  = /3 hay /4 tùy thuộc vào cấp của máy tính Sau k lần tính

lặp khoảng giá trị xác định ban đầu được thu hẹp thành:

•Tính toán kết thúc nếu:  ≤ 

1 2

1 2









 b Ka g K K

Trình tự phương pháp này được thực hiện như sau:

Theo giá trị cho trước a, b và tiến hành tính trung điểm: c = (a+b)/2

• x 1 = c – /3 và x 2 = c +  /3

Tính giá trị f(x 1 ) và f(x 2 ) rồi so sánh với nhau;

Nếu f(x 1 ) > f(x 2 ) thì thay a = x 1 ; ngược lại b = x 2 ; Kiểm tra điều kiện:  = (b – a) ≤ 

Nếu thỏa mãn thì kết thúc, nghiệm bài toán là giá trị nhận được x bất kỳ nằm trong [a,b] vừa xác định được;

Ngược lại thì thực hiện lặp lại với [a,b] mới;

1 Phương pháp phân đôi:

Ví dụ:

Tìm cực trị hàm f(x) = 2x 2 + exp(–x) với độ chính xác  = 10 4 ?

Trước hết ta tìm khoảng [a, b] của biến số mà trên đó tồn tại cực trị của hàm Để thực hiện điều này trên bảng Excel đặt chuỗi giá trị biến x trong cột A từ (giả sử) – 1, đến 1, cột B ta tính hàm theo công thức f(x) = 2x 2 + exp(–x) Sau đó vẽ đồ thị f(x) – x ta thu được:

1 Phương pháp phân đôi:

Tính:

x 1 = c – /3 x 2 = c + /3

Tính: = b - a

Thay a = c

Giá trị tối ưu

Thay b = c

Cho: f(x) Khoảng [a, b] Độ chính xác 

2

b a

Sai Đúng



Kết thúc f(x 1 ) < f(x 2 )

•Từ đó ta thấy hàm đã cho có 1 cực tiểu trong khoảng [0, 1]: a = 0;

b = 1.

Để tìm cực tiểu trong khoảng [0, 1] của hàm đã cho ta làm như sau: Trong bảng ta đặt: a, b, x 1 , x 2 , f(x 1 ), f(x 2 ),  theo hàng 3

1 Phương pháp phân đôi:

Kết quả tính toán thể hiện trong bảng trên như sau:

1 Phương pháp phân đôi:

Xây dựng đồ thị mô phỏng quá trình tính và tốc độ hội tụ như sau:

1 Phương pháp phân đôi:

Như vậy từ kết quả tính toán và đồ thị ta thấy hàm số đã cho đạt cực tiểu bằng f(x) MIN = 0,898694 tại:

1 Phương pháp phân đôi:

203892 ,

0 2

203926 ,

0 203859

, 0





2 Phương pháp lát cát vàng:

Lát cắt vàng (tỷ số) là điểm chia đoạn thẳng thành hai đoạn lập nên tỷ số của đoạn lớn với nó bằng tỷ số đoạn nhỏ với đoạn lớn Rõ ràng, đối với đoạn [a,b] có hai điểm đối xứng chia đoạn này theo tỷ số vàng, đó là:

x 1 = a + L(b – a) và x 2 = b – L(b – a), với  

2

5

3 



L

Như vậy, điểm x 1 lại chia đoạn [a, x 2 ] theo tỷ số vàng, còn x 2 chia đoạn [x 1 ,b] cũng theo tỷ số vàng …

2 Phương pháp lát cát vàng:

Thuật toán lát cắt vàng được mô tả như sau: các điểm x 1 và x 2 chia đoạn [a,b] theo tỷ số vàng, tại đây tính các giá trị f(x 1 ) và f(x 2 )

So sánh các giá trị tính toán với khoảng [a, x 2 ] và [x 1 , b] xem nó chia đoạn nào thành tỷ số vàng Rồi tính toán với điểm thứ 2 này và coi là kết thúc vòng lặp thứ nhất Khi bước sang vòng lặp thứ hai thì chỉ cần tính một giá trị hàm và khoảng giá trị xác định này giảm đi một giá trị:

Phép lặp được thưc hiện đến khi khoảng xác định [a, b] không nhỏ hơn độ chính xác  cho trước.

Ví dụ: Tìm cực trị hàm f(x) = 2x 2 + exp(–x) với độ chính xác  = 10

4 bằng phương pháp lát cắt vàng?

•Ta lập bảng tính như sau







2

5 3

1 Phương pháp phân đôi:

Tính: x = x 0 + L

x 1 = c – /3 x 2 = c + /3

Tính: = b - a

Thay a = c

Giá trị tối ưu

Thay b = c

Cho: f(x) Khoảng [a, b] Độ chính xác 

Sai Đúng



Kết thúc

f(x 1 ) < f(x 2 )

 

2

5

3 



L

2 Phương pháp lát cát vàng:

Ví dụ: Tìm cực trị hàm f(x) = 2x 2 + exp(–x) với độ chính xác  = 10

4 bằng phương pháp lát cắt vàng?

Ta lập bảng tính như sau

2 Phương pháp lát cát vàng:

Ví dụ: Tìm cực trị hàm f(x) = 2x 2 + exp(–x) với độ chính xác  = 10

4 bằng phương pháp lát cắt vàng?

Kết quả tính toán

2 Phương pháp lát cát vàng:

Ví dụ: Tìm cực trị hàm f(x) = 2x 2 + exp(–x) với độ chính xác  = 10

4 bằng phương pháp lát cắt vàng?

Mô phỏng quá

trình hội tụ

Như vậy, ta cũng có

cực tiểu bằng

0,898694

tại 0,203826

2 Phương pháp lát cát vàng:

Ví dụ: Tìm cực trị hàm f(x) = 2x 2 + exp(–x) với độ chính xác  = 10

4 bằng phương pháp lát cắt vàng?

Sử dụng công cụ (thủ tục) có sẵn trong Excel:

•Để sử dụng thủ tục Solver cần lưu ý những tùy chọn sau:

•Set Target Cell: Hàm mục tiêu;

•Equal to: Max, Min, Value of;

•By Changing Cells: Các biến;

•Subject to the constraints: Các ràng buộc (điều kiện);

•Để thay đổi các tuỳ chọn của Solver ta ấn chuột vào Options … thì

2 Phương pháp lát cát vàng:

•Để sử dụng thủ tục Solver cần lưu ý những tùy chọn sau:

•Set Target Cell: Hàm mục tiêu;

•Equal to: Max, Min, Value of;

•By Changing Cells: Các biến;

2 Phương pháp lát cát vàng:

Độ hồ tan vơi theo nhiệt độ:

2

*

00000157 ,

0 000649

, 0 1394

,

3 Bài tập: lấy phần dư phép chia số thứ tự trong danh

sách lớp chia 10 cộng 1 làm số đề sau đó giải bài toán:

1 x 3  2x 2  5arctg(2,5x) 10 -4 6 x 3  2,9x 2  0,7arctg(2x) 10 -4

2 x 3  2,5x 2  1,5arctg(10x) 10 -4 7 x 3  2,2x 2  1,7arctg(0,8x) 10 -4

3 x 3  2x 2  0,7arctg(3x) 10 -4 8 x 3  1,8x 2  0,7arctg(,2x) 10 -4

4 x 3  2,1x 2  0,8arctg(4x) 10 -4 9 x 3  1,5x 2  1,5arctg(5x) 10 -4

5 x 3  2,8x 2  0,2arctg(5x) 10 -4 10 x 3  2,1x 2  5arctg(1,5x) 10 -4