Microsoft PowerPoint Lecture 09 ppt 1 Signal & Systems Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester 02/09 10 Lecture 9 404001 Tín hiệu và hệ thống BiBiếếnn đđổổii FourierFourier �� BiBiểểuu didiễễnn TH TH[.]
Trang 1Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Lecture-9
404001 - Tín hiệu và hệ thống
Biến đổi Fourier
Biểu diễn TH không tuần hoàn bằng tích phân Fourier
Biếnđổi Fourier của một sốhàm thông dụng
Các tính chất của biếnđổi Fourier
Nănglượngtnhiệu
Truyềntnhiệuqua hệthốngLTIC
Cácbộlọclýtưởngvàthựctế
Ứngdụngtrongviễnthông: điđiềuchếAM
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
0( )
T
f t
0
T
Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn bằng tích phân Fourier
Tín hiệu không tuần hoàn được xem như tín hiệu tuần hoàn có
chu kỳ dài vô hạn
Xét f(t) biểu diễn cho tín hiệu không tuần hoàn:
( )
f t
Ta có quan hệ giữa f(t) và fT0(t) như sau:
0 0
( ) lim T ( )
T
f t f t
→∞
Xét fT0(t) biểu diễn cho tín hiệu tuần hoàn do sự lặp lại f(t) với
chu kỳ T0:
Trang 2Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn bằng tích phân Fourier
Biểu diễn fT0(t) dựa vào chuỗi Fourier
0
0
/ 2
0 / 2
sin
( )
T jn t S jn t
D f t e dt e dt
0 n
T D 2sin Sω
0
2
n n
T
π
ω= ω =
n
ω
0 2 / T0
ω = π
0( )
T
f t
0
T
Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn bằng tích phân Fourier
Gấp đôi chu kỳ tín hiệu gấp đôi số hài!!!
0
0
/ 2
0 / 2
sin
( )
T jn t S jn t
D f t e dt e dt
0 n
T D 2sin Sω
0
2
n n
T
π
ω= ω =
n
ω
0 2 / T0
ω = π
T
f t
0
T
Trang 3Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn bằng tích phân Fourier
Khi T0∞, các hài rời rạc một hàm liên tục!!!
0 0
0
/ 2 0
/ 2
2sin
T
S
T D f t e ω dt f t e ωdt ω F
ω ω
∞
0( )
T
f t
0
T
0 n
T D 2sin Sω
0
2
n n
T
π
ω= ω =
n
ω
0 2 / T0
ω = π
0
0
/ 2
0 / 2
sin
( )
T jn t S jn t
D f t e dt e dt
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn bằng tích phân Fourier
Khi T0∞, Chuỗi Fourier Tích phân Fourier
0( )
T
f t
0 0
0 0
( )
n
F n
T
ω
ω
∞
=−∞
2
j t
f t F ω eωdω π
∞
−∞
0 0
0
/ 2 0
/ 2
2sin
T
S
T D f t e ω dt f t e ωdt ω F
ω ω
∞
0
T
0 n
T D 2sin Sω
0
2
n n
T
π
ω= ω =
n
ω
0 2 / T0
ω = π
Trang 4Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn bằng tích phân Fourier
Vậy ta có kết quả:
1
2
j t
f t F ω eωdω
π
∞
−∞
( ) ( ) j t
F ω ∞ f t e− ωdt
−∞
=∫ Phương trình phân tích – Biến đổi Fourier thuận
Phương trình tổng hợp – Biến đổi Fourier ngược
Điều kiện tồn tại tích phân Fourier:
( )
f t dt
∞
−∞ < ∞
F(ω): Mật độ phổ tín hiệu –thường xem là phổ của tín hiệu f(t)!!!
0 n
T D 2sin Sω
0
2
n n
T
π
ω= ω =
n
ω
0 2 / T0
ω = π
( ) ( )
f t ↔F ω
Biến đổi Fourier của một số tín hiệu thông dụng
f(t)=δδ(t):
F ω +∞δ t e− ωdt +∞δ t dt
( )t
δ
t
0
2πδ ω( )
ω
0
↔
t
0 1
f(t)=1:
( ) 2 ( )
F ω = πδ ω ( ) 1 2 ( ) 1
2
j t
f t πδ ω eωdω π
+∞
−∞
Trang 5Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biến đổi Fourier của một số tín hiệu thông dụng
f(t)=e-atu(t); a>0:
0
0
F e u t e dt e dt e
ω
+∞
−∞
1 ( ); 0
at
e u t a
a j ω
−
> ↔
+
⇒
( ) a j F
a
ω ω
ω
−
+
1 ( )
F
a
ω
ω
= +
1
( ) tan ( / )
F ω − ω a
⇒ ( )
F ω
1/ a
ω
ω
/ 2
π
/ 2
π
−
( )
F ω
∠
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biến đổi Fourier của một số tín hiệu thông dụng
f(t)=u(t):
0
0
1
F u t e dt e dt e
j
ω
ω
+∞
−∞
( )
at
e− u t
( )
u t
t
0 1
1 ( ) lim at ( ) j t lim lim
a j
F e u t e dt
ω
−∞
−
0
( ) lim at ( )
a
u t e− u t
→
=
0
1 ( ) lim
a
a F
ω
ω ω
→
+ Diện tích bằng ππ 1
( ) ( )
F
j
ω πδ ω
ω
u t ↔ πδ ω + j ω
Trang 6Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
↔
Biến đổi Fourier của một số tín hiệu thông dụng
f(t) xung cổng đơn vị:
( )
e t
r ct τ = 0 / 2
1 / 2
t t
τ τ
>
<
/ 2 / 2 / 2
/ 2
0
1
F rect e dt e dt e
τ
ω
+∞
−
2 2
j
ωτ ωτ
ω
Các tính chất của biến đổi Fourier
Tính chất tuyến tính:
1( ) 1( ); 2( ) 2( )
f t ↔F ω f t ↔F ω ⇒ a f t1 1( ) + a f t2 2( ) ↔ a F1 1( ) ω + a F2 2( ) ω
Dịch chuyển trong miền thời gian:
( ) ( )
f t ↔F ω
1( ) ( 0) ?
f t = f t−t ↔
1( ) 1( ) j t ( 0) j t
F ω +∞ f t e− ωdt +∞f t t e−ωdt
( )
F ω +∞ f x e− ω + dx e−ω +∞f x e−ω dx e− ω F ω
0
f t t − ↔ F ω e−ω Linear phase shift
Trang 7Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các tính chất của biến đổi Fourier
Dịch chuyển trong miền thời gian:
0
0
f t t F ω e−ω
/ 2
ωτ
−
Ví dụ:
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các tính chất của biến đổi Fourier
Dịch chuyển trong miền tần số (điều chế):
( ) ( )
1( ) ( ) j t ?
f t f t eω
0
( )
F ω +∞ f t e− ωdt +∞f t e− ω ω− dt F ω ω
0
f t eω ↔ F ω ω −
Ví dụ: Điều chế AM f t ( ) c o s ω 0t
0
j t j t
f t ωt f t eω f t e−ω
f t ωt F ω ω F ω ω
Trang 8Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các tính chất của biến đổi Fourier
Đối ngẫu thời gian-tần số:
( ) ( )
f t ↔F ω
1
2
( ) ( ) j t
f t π +∞F ω eωdω
−∞
2
f t π +∞F ω e−ωdω
−∞
2πf( ω) +∞F t e( ) −j tωdt
−∞
⇒ − =∫ ⇒ F t ( ) ↔ 2 π f ( − ω )
Ví dụ:
( ); 0 1/( )
at
e− u t a a jω
> ↔ + ⇒1/(a+ jt)↔2πe u aω (−ω);a>0
( )2
( )t sin
rect c ω τ
0
2 sinc t 2 rect( ω )
ω
ω
Các tính chất của biến đổi Fourier
Thay đổi thang độ (đồng dạng):
( ) ( )
f t ↔F ω ⇒ f at a( ); real↔?
0 :
f at e dt f x e dx F
ω
0 :
−
⇒ f at ( ) = 1a F ( )ωa
Ví dụ:
Trang 9Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các tính chất của biến đổi Fourier
Đảo thời gian/tần số:
( ) ( )
f t ↔F ω ⇒ f(− ↔t) ?
1
a = − ⇒
1
Ví dụ:
at
e u t a jω
( ) 1/( )
at
e− u t ↔ a+ jω
( ) ?
a t
e− u t ↔
e u t e u t e u t
a jω a jω a ω
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các tính chất của biến đổi Fourier
Tích chập trong miền thời gian:
1( ) 1( ); 2( ) 2( )
f t ↔F ω f t ↔F ω ⇒ f t1( )∗ f t2( )↔?
1( ) 2( ) j t 1( ) 2( ) j t
f t f t e ωdt f τ f t τ dτ e ωdt
1( ) 2( ) j t
f τ f t τ e ωdt dτ
=∫ ∫ − +∞f1( )τ F2( )ω e−jωτdτ
−∞
=∫
⇒
2( ) 1( ) j 1( ) 2( )
F ω +∞ f τ e− ωτdτ F ω F ω
−∞
1( ) 2( ) 1( ) ( )2
f t ∗ f t ↔ F ω F ω
( ) 2 2( )
( )t ( )t T t T sin T
rect ∗rect = Λ ↔ c ω
( )
2
( )t Tsin T T
rect ↔ c ω
⇒
Ví dụ:
Trang 10Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các tính chất của biến đổi Fourier
Tích chập trong miền tần số:
1( ) 1( ); 2( ) 2( )
f t ↔F ω f t ↔F ω
? F( )ω F( )ω
2π +∞F( )ω F ( )ω e j tωdω 2π +∞ +∞F( )τ F(ω τ)dτ e j tωdω
1
2π +∞F( )τ +∞F(ω τ)e j tωdω τd
2π +∞F( )τ e j tτ +∞F x e dx d( ) jxt τ
2( ) 1( ) j t
f t +∞F τ e dτ τ
−∞
= ∫ =2π f t f t2( ) ( )1
1
1( ) ( )2 2 1( ) 2( )
f t f t ↔ π F ω ∗ F ω
⇒
Các tính chất của biến đổi Fourier
Đạo hàm trong miền thời gian:
( ) ( )
f t ↔F ω df t( ) ?
dt
n n
d f t dt
( )
( )
dt
( )
( )
( )?
df t
j F
dt ω ω
( )
n
n n
d f t
⇒
Trang 11Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các tính chất của biến đổi Fourier
Tích phân trong trong miền thời gian:
( ) ( )
f t ↔F ω t f( )τ dτ ?
−∞
( ) ( ) ( ) ( )
f t u t +∞ f t u t τ τd
−∞
( ) ( ) ( ) ( ) 1/ (0) ( ) ( ) /
f t ∗u t =F ω πδ ω + jω =πF δ ω +F ω jω
⇒
( )
t
f t dτ
−∞
=∫
u t ↔ π δ ω + jω
t
f τ τ d π F δ ω F ω j ω
∫