Slide 1 § 4 CAÙC HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC 1 – ÑÒNH LYÙ COÂSIN Trong ABC Ta luoân coù a2 = b2 + c2 2 b c cos A A B C a b c c2 = a2 + b2 2 a b cos C b2 = a2 + c2 2 a c cos B Chöùng minh a2 = b2[.]
Trang 1§ 4 : CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG
TAM GIÁC
1 – ĐỊNH LÝ CÔSIN Trong ABC Ta luôn có :
a 2 = b 2 + c 2 - 2 b.c cos A
A
b
c c 2 = a 2 + b 2 - 2 a.b cos C
b 2 = a 2 + c 2 - 2 a.c cos B
Chứng minh :a 2 = b 2 + c 2 - 2 b.c cos A
BC AC AB 2
AB
AC
AB AC
AB
AC2 2 2
AC2 AB2 2 AC AB cos A
a 2 = b 2 + c 2 - 2 b.c cos A (đpcm) Đặc biệt :A = 90 0 a 2 = b 2 + c (định lý Pitago) 2
Dùng công thức để tính góc tam giác
Trang 2Ví du :Cho ABC có :BC = 8 ; AB = 3 ; AC = 7
Lấy D BC sao cho BD = 5 Tính độ dài AD ?
Giải :
A
C
|
3
7 8
5
D
?
Tính AD = ? Xét ABD
Theo đl Côsin :
AD 2 = AB 2 + BD 2 - 2 AB.BD.cosB
Mà ABC có : cos B =
BC BA
BC
BA
2
2
2
8 3 2
8
32 2
2
1
AD 2 = AB 2 + BD 2 - 2 AB.BD.cosB
AD 2 = 3 2 + 5 2 – 2 3.5.
2
1
19
AD 19 (đvđd)
Trang 32 – ĐỊNH LÝ SIN Trong ABC nội tiếp đường tròn
bán kính R Ta luôn có :
A
b c
Chứng minh : Nối BO kéo dài cắt đtròn tại A’
sđ A A' sđ
2
BC
sđ
sin A = sin A’ Mà BCA’ vuông tại C nên :
R sinC
c sinB
b sinA
. O
R
A’
R sinA
a 2
' sin
'
A
BC
BA
2 sin A'
a
R
A
a
sin
Các công thức khác chứng minh tương tự
Trang 4Ví du :Cho ABC có :b + c = 2a
Chứng minh :2.sin A = sin B + sin C Giải :
Có b + c = 2 a 2R.sin B +2R sin C = 2.2R sin A
sin B +sin C = 2 sin A
Trang 5• 3 – CÁC CÔNG THỨC VỀ DIỆN TÍCH
a) Định lý :Cho ABC cạnh a ; b ; c ; R bán kính
đtròn ngoại tiếp ; r bán kính đtròn nội tiếp ; p là nửa chu vi tam giác có :
c b
2
1 b.h
2
1 a.h
2
1
c.b.sinB 2
1 b.c.sinA 2
1 a.b.sinC 2
1
4R
abc
p a p b p c
p
2
c b
a
p
.
1 2 2 2
2
AB AB
AC AC
1 S=
2
Trang 6b) Ví du :Cho ABC có :a = 13 ; b = 14 ; c = 15
Tính :S ; R ; r ? Giải :
Tính maøc 2 = a 2 + b 2 - 2.ab cos C
sin 2 C + cos 2 C = 1
C b
a
S sin
2
1
b a
c b
a C
2
cos 2 2 2
14 13 2
15 14
132 2 2
Có sin C 1 cos2 C
2 91
35
91
84
Vậy S a b sin C
2
1
91
84 14 13
2
1
84 đvdt
TínhR Có
R
abc S
4
S
abc R
4
84 4
15 14
13
8
65
Tính r CóS p.r a b c .r
2
c b a
S r
2
15 14
13
84
2
Trang 7• 4 – CÔNG THỨC ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN
a) Định lý : Trong ABCcó :
A
M a
b
c
m a
b 2 + c 2 = 2.m a 2 +
2
a 2
m a 2 =
4
a 2
c
m b 2 =
4
b 2
c
m c 2 =
4
c 2
a
Chứng minh :
b 2 + c 2 = AC 2 AB2 2 2
MB AM
MC
MB MC
AM MB
MC
(qt3đ)
MC MB MB MC
.
4
2
2
2
2 BC
AM
(véctơ đối)
b 2 + c 2 = 2.m a 2
2
m a 2 =
4
a 2
c
Trang 8b) Ví du 1:điểm M thoã điều kiện MA Cho 2 điểm A và B cố định Tìm quỹ tích những 2 + MB 2 = k 2
( k là số cho trước)
Giải :
.
B
Gọi O là trung điểm AB
.
O
. M
M thoã đk MA 2 +
MB 2 = k 2
nên MO là trung
tuyến MAB
MA 2.MO 2 + MB 2 + 2 =
2 2
AB
.MO 2 =
2 4
k AB 1 2 2 2
2k2 AB2 0 .MO = 1 2 2 2
Quỹ tích của M là đường tròn tâm O bán kính MO
2k2 AB2 0 .MO 0 = M O Quỹ tích của M là điểm O
2k2 AB2 0 Quỹ tích của M là không xác định
.
Trang 9c) Ví du 2:điểm M thoã điều kiện MA Cho 2 điểm A và B cố định Tìm quỹ tích những 2 - MB 2 = k
( k là số cho trước)
Giải :
M
.
Gọi O là trung điểm AB
M điểm tuỳ ý ; H
là hình chiếu của M
trên AB
H
Tính MA 2 - MB 2
=
MA MB MA MB
=
BA 2.MO
Aùp dụng định lý
hình chiếu 2 .AB OM 2 .AB OH
Vậy MA 2 -
2
k OH
AB
Vậy điểm H được
xác định Quỹ tích điểm M là đường thẳng
vuông góc với AB tại H với
2
k OH
AB