Bài giảng toán 2: ma trận và định thức

các phần tử: được gọi là các phần tửnằm trên đường chéo chính của A.
các phần tử: được gọi là các phần tửnằm trên đường chéo phụ của A.• Ma trận đơn vị cấp n: Ma trận vuông cấp n có tất cảcác phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1, cácphần tử còn lại bằng 0. Ký hiệu .11 22 , ,..., nn a a a1 2, 1 1 , ,..., n n n a a a − 1 0 ... 00 1 ... 0Bài giảng toán 2: ma trận và định thức

1.2.1 Các khái niệm

1.2.2 Các tính chất cơ bản

1.3 Ma trận nghịch đảo

1.1 Ma Trận1.1.1 Các khái niệm

• Tập tất cả các ma trận cỡ m×n ký hiệu là Mat(m×n).

Ví dụ:

là một ma trận cỡ 3×4

nhau, ký hiệu A=B khi và chỉ khi:

• Ma trận đối của ma trận ký hiệu -A vàxác định như sau:

Ví dụ:

Ví dụ: Ma trận đối của ma trận

là

• Ma trận cỡ m×n có tất cả các phần tử đều bằng 0được gọi là ma trận không cỡ m×n ký hiệu:

Ví dụ

A=(a )ij m n×-A=(-a )ij m n×

• Ma trận chuyển vị của ma trận cỡ m×n ký hiệu

các phần tử: được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo chính của A.

các phần tử: được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo phụ của A.

Ví dụ

• Ma trận đối xứng: Ma trận được gọi

là ma trận đối xứng khi và chỉ khi:

• Ma trận tam giác: Ma trận được gọi

là ma trận tam giác trên (dưới) nếu và chỉ nếu tất cả cácphần tử nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đềubằng 0

Ma trận tam giác trên Ma trận tam giác dưới

• Ma trận chéo: Ma trận được gọi là matrận chéo khi và chỉ khi tất cả các phần tử nằm ngoàiđường chéo chính đều bằng 0.

c) Phép nhân hai ma trận Cho và

Tích của hai ma trận và là một matrận cỡ , ký hiệu là , xác định như sau:

Nhận xét: Để tính phần tử ta lấy hàng i của matrận A nhân với cột j của ma trận B như nhân vô hướng

• Lũy thừa ma trận Cho khi đó ta định

nghĩa phép lũy thừa ma trận như sau:

1.2 Định thức

1.2.1 Khái niệm

Định nghĩa.

• Định thức cấp 1: Cho C = (DEE) ∈ GDH(1 × 1) Ta gọiđịnh thức của C hay định thức cấp 1 là một số cho bởi

detC 0 DEE

• Định thức cấp 2: Cho C 0 DKL ∈ GDH 2 2 Ta gọiđịnh thức của C hay định thức cấp 2 là một số cho bởi

detC 0 DDEE DEN

NE DNN 0 DEEDNN O DENDNE

• Định thức cấp 3: Cho C 0 DKL ∈ GDH 3 3 Ta gọiđịnh thức của C hay định thức cấp 3 là một số cho bởi

• Định thức cấp n: Cho C 0 DKL ∈ GDH P P Ta gọiđịnh thức của C hay định thức cấp P là một số cho bởi

trong đó, QKL là định thức cấp P O 1 nhận được từ địnhthức C bằng cách bỏ đi hàng R cột S Công thức trênđược gọi là công thức khai triển định thức theo hàngthứ nhất.

Chú ý Định thức cấp 3 có thể tính theo qui tắc Sarrius

Có ba hạng tử mang dấu cộng bao gồm tích các phần

tử nằm trên đường chéo chính và tích các phần tử nằm trên đỉnh của tam giác cân có cạnh đáy song song với đường chéo chính Ba hạng tử mang dấu trừ bao gồm tích các phần tử nằm trên đường chéo phụ và tích các phần tử nằm trên đỉnh của tam giác cân có cạnh đáy song song với đường chéo phụ.

Ví dụ.

Nhận xét.

Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần

tử trên đường chéo chính Đặc biệt: det TU 0 1

Hệ quả Định thức có một hàng (cột) toàn số không

4 7 9 0

2 6 4

=

02)

• Định thức của ma trận tích

C, W ∈ GDH P P : det CW 0 det C det W

03

1.3 Ma trận nghịch đảo

1.3.1 Khái niệm

• Ma trận C ∈ GDH$P P% được gọi là khả nghịch nếu

và chỉ nếu tồn tại ma trận B ∈ GDH$P P% sao cho

CW 0 WC 0 TU.Khi đó W được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận C,

Nhận xét

R% CXE XE 0 C

RR% Nghịch đảo của C nếu có là duy nhất

RRR% Nếu C, W là hai ma trận vuông cùng cấp và đều khảnghịch thì CW cũng khả nghịch và: CW XE 0 WXECXE

• Một ma trận vuông được gọi là không suy biến nếuđịnh thức của nó khác không

1.3.2 Điều kiện khả nghịch

• Ma trận C ∈ GDH$P P% khả nghịch nếu chỉ nếu Ckhông suy biến và

CXE 0 1

detC Z[ 0

1detC

2 O7O6 1 .

O6 O5 19

30 7 O5O24 16 4

2 5 ; W 0

2 O1 4

3 2 5 .detC 0 O3 nên C khả nghịch

CXE 0 1

detC Z[ 0 O

13

5 O4O2 1 .

→ e 0 CXEW 0 O 1

3

O2 O13 0O1 4 O3 .

2 1 5O1 3 4

CXE 0 1

detC Z[ 0 O

177

0 22 O11

28 O9 O13O21 O7 7

→ e 0 WCXE 0 O 1

77

O14 O23 1O35 14 O14O84 O6 17