ss vn concepts handout tín hiệu và hệ thống thông tin

Ví dụ: Xác định xem các tín hiệu dưới đây có phải là tuần hoàn không?. Nếu tuần hoàn thì hãy tính chu kỳ cơ bản.. Tín hiệu tuần hoàn... Thuộc tính nhớ◮ Hệ thống gọi là không có nhớ memo

ET 2060 - Tín hiệu và hệ thống Những khái niệm cơ bản

TS Đặng Quang Hiếu

h tt p :// ss edab k o r g

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Điện tử - Viễn thông

2012-2013

Tín hiệu liên tục / rời rạc theo thời gian

x (t) −−−−−−→ x [nT s ] chuẩn

b b b b b

b b b b b b b b b

b b b

b b b b b

b b b

b b b b b b

nT

Hình : Tín hiệu liên tục x (t) và tín hiệu rời rạc x [n]

lấy mẫu

b b b

b

s

Biểu diễn tín hiệu trên miền thời gian

◮ Đồ thị

◮ Công thức

x (t) = 10 sin(100πt + pi /3), x [n] = 0.5e j 20πn

◮ Liệt

kê x [n] = {1, 0.5, −2, 0, 3, −1}

↑

Năng lượng và công suất của tín hiệu (1)

Tín hiệu liên tục x (t):

2

◮ Công suất tức thời p x (t) = |x (t)|

◮ Tổng năng lượng

¸ T

E x = lim

T →∞ −T

◮ Công suất trung bình

|x (t)| dt = ¸ ∞

|x (t)| dt

−∞

P x = lim 1 ¸ T |x (t)| dt

T →∞ 2T −T

2

Năng lượng và công suất của tín hiệu (2)

Tín hiệu rời rạc x [n]:

◮ Tổng năng lượng

◮ Công suất trung bình

E x = .∞

n=−∞

|x [n]|

|x [n]|

N→∞ 2N + 1

n= N

◮ Khi E x < ∞ → x (t), x [n] - tín hiệu năng lượng.

◮ Khi 0 < P x < ∞ → x (t), x [n] - tín hiệu công suất.

Các phép toán thực hiện trên biến thời gian (1)

◮ Dịch (shift) x (t) → x (t − T )

◮ Lấy đối xứng x (t) → x (−t)

◮ Co dãn (scale) x (t) → x (kt)

2

2

1

−

Các phép toán thực hiện trên biến thời gian (2)

◮ Vẽ dạng của x (kt + T )? Phân biệt với x (k(t + T ))?

◮ Trường hợp tín hiệu rời rạc?

Ví dụ: Cho tín hiệu x (t) và x [n] như hình vẽ dưới đây.

(a) Hãy vẽ dạng của x (2t + 1) và x (2(t + 1)).

(b) Hãy vẽ dạng của x [2n + 1] và x [2(n + 1)].

Các phép toán thực hiện trên biên độ tín hiệu

◮ Phép cộng: y (t) = x1(t) + x2(t)

◮ Phép nhân với hằng số: y (t) = ax (t)

◮ Nhân hai tín hiệu với nhau: y (t) = x1(t)x2(t)

◮ Tín hiệu liên tục

◮ Tín hiệu rời rạc

x (t) = x (t + T ), ∀t

x [n] = x [n + N], ∀n với N là số nguyên dương.

◮ Giá trị T , N nhỏ nhất gọi là chu kỳ cơ bản

(fundamental period)

Ví dụ: Xác định xem các tín hiệu dưới đây có phải là tuần

hoàn không? Nếu tuần hoàn thì hãy tính chu kỳ cơ bản

(a) cos2(2πt + π/4)

(b) sin(2n)

Tín hiệu chẵn / lẻ Tín hiệu xác định / ngẫu nhiên

◮ Chẵn: x (t) = x (−t); x [n] = x [−n]

◮ Lẻ: x (t) = −x (−t); x [n] = −x [−n]

◮ Tín hiệu xác định (deterministic signal): Giá trị xác định, biểu diễn bởi một hàm của biến thời gian

◮ Tín hiệu ngẫu nhiên (random signal): Giá trị ngẫu nhiên →

biến ngẫu nhiên, hàm mật độ xác xuất (pdf) và quá trình ngẫu nhiên

Bài tập: Một tín hiệu x (t) bất kỳ đều có thể được phân tích

thành 2 thành phần chẵn, lẻ: x (t) = x e (t) + x o (t) Hãy tìm x e (t) và x o (t) theo x (t).

Tín hiệu tuần hoàn

x (t) = Ce at , x [n] = Ce an , C , a ∈ R

4

x (t) =

3

2

1

0

80

x (t) = e t

60 40 20 0

4 0 1x [n] = 3e2 −n/103 4 80 0 1 x [n] = e2 n/10 3 4

b

b

b

b b

1

b

b

b

0

b

b

b b

b

b

b b

b b

b b

b b b b b

b b b b b b

b b b b b b b

60 40 20

0 b b b b b b b b b b b

b b b

b b b b b b

b b b

b b b

b b

b

b b

b b b

b b

b b b

Ví dụ: Xét mạch điện có tụ C và điện trở R mắc nối tiếp Vẽ điện

áp v (t) trên tụ C , nếu ban đầu (t = 0) tụ được nạp điện V0

Tín hiệu hình sin

x (t) = sin(ω0t +

φ) Tuần hoàn với chu kỳ T = 2π

0

→ Tín hiệu rời rạc?

x (t)

t

Ví dụ: Cho mạch điện gồm tụ C và cuộn cảm L mắc nối tiếp Vẽ

điện áp v (t) trên tụ C , nếu ban đầu (t = 0) tụ được nạp điện

V0

Tín hiệu hàm mũ thực

3

b

2

ω

1

-1

Với C và a là số phức: C = |C |e j θ và a = r + jω0, ta có:

x (t) = |C |e rt e j (ω0 t+θ)

= |C |e rt cos(ω0t + θ) + j |C |e rt sin(ω0t + θ)

t

Ví dụ trong mạch điện?

Tín hiệu hàm mũ phức (rời rạc)

Với C và a là số phức: C = |C |e j θ và a = r + jω0, ta có:

x [n] = |C |e rn e j (ω0 n+θ)

= |C |e rn cos(ω0n + θ) + j |C |e rn sin(ω0n + θ) Nhận xét về e j (ω0 n+θ):

◮ Không phải lúc nào cũng tuần hoàn (tùy theo giá trị của

ω0), chu kỳ?

◮ Chỉ cần xét ω0 trong đoạn [0, 2π], khi nào tần số thấp / cao?

1

Re{x (t)}

-1

Tín hiệu hàm mũ phức (liên tục)

Im{x [n]}

b b b b b b b b b

b b b b

b b b b b b b b

b b b b

b b b b b b b b

b b

b b b b b

b b b b b

b b b b

b b b b b

Im{x [n]}

1 b b

b b b b b b b b b

b b b b b b b b

b b b

b b b b

b b b b b b b b

b b

-1 b b

b b b b

b b b b

b b b b b b

b b b b b b

Hàm nhảy đơn vị

u(t) =

1, t ≥ 0

0, t còn lại u[n] =

1, n ≥ 0

0, n còn lại

u(t)

1

t

u[n]

b

n

Ví dụ trong mạch điện?

ej (ω0n) Minh họa x [n] =

ω

ω

Hàm xung đơn vị (rời rạc)

1, n = 0 δ[n] = 0, n còn lại

δ[n]

n

Quan hệ với hàm nhảy đơn vị?

δ[n] = u[n] − u[n − 1]

∞

u[n] = Với tín hiệu x [n] bất kỳ?

δ[n − k]

k=0

∞

x [n] = .

k=−∞

x [k]δ[n − k]

Hàm delta Dirac (liên tục)

x (t)

δ(t) = 0, ∀t ƒ= 0

¸ ∞

δ(t)dt = 1

−∞

δ(t)

1

Một số tính chất:

δ(t) =

d u(t), u(t) = dt

¸ t

δ(τ )d τ

−∞

x (t0) = ¸ ∞ x (t)δ(t − t0)dt

−∞

1

δ(at) = δ(t)

a

Hàm dốc đơn vị (ramp)

r (t) =

t, t ≥ 0

0, t còn lại r [n] =

n, n ≥ 0

0, n còn lại

b

b

b

b

b

b

Hệ thống

x [n] − T y [n]

hệ thống liên tục

hệ thống rời rạc

→

Ghép nối các hệ thống

hệ thống 1

+

hệ thống 2

hệ thống 2

Tính ổn định của hệ thống

Một hệ thống T ổn định (BIBO stable) nếu mọi đầu vào bị chặn

|x (t)| < ∞, ∀ty

đều khiến cho đầu ra tương ứng bị chặn

|y (t)| < ∞, ∀t

Ví dụ: Xét tính ổn định của hệ thống

với |r | > 1.

y [n] = r n x [n]

Thuộc tính nhớ

◮ Hệ thống gọi là không có nhớ (memoryless) nếu đầu ra chỉ phụ thuộc vào đầu vào ở thời điểm hiện tại

◮ Hệ thống gọi là có nhớ nếu đầu ra phụ thuộc vào đầu vào

ở thời điểm quá khứ hoặc tương lai

Ví dụ: Xét thuộc tính nhớ của các hệ thống

(a) y [n] = x [n] − x [n − 1] + 2x [n + 2]

(b) i (t) = 1 v (t)

Tính nhân quả

Hệ thống gọi là nhân quả (causal) nếu như đầu ra tại thời điểm n

bất kỳ chỉ phụ thuộc đầu vào thời điểm hiện tại hoặc quá khứ

y (n) = F [x (n), x (n − 1), x (n − 2),

]

Ví dụ: Xét tính nhân quả của các hệ thống

(a) y [n] = x [n] − x [n − 1] + 2x [n + 2]

(b) i (t) = 1 ¸ t v (τ )d τ

L −∞

R

Tính bất biến theo thời gian

Một hệ thống T bất biến theo thời gian khi và chỉ khi

x [n] T y [n] thì x [n − n0]

−→

y [n − n0] ∀n với mọi đầu vào x [n] và với mọi khoảng dịch thời gian n0

Ví dụ: Hệ thống sau có bất biến theo thời gian không?

y [n] = nx [n]

Tính tuyến tính

Hệ thống T gọi là tuyến tính khi và chỉ khi

T {a1x1[n] + a2x2[n]} = a1T {x1[n]} + a2T {x2[n]} với mọi đầu vào x1[n], x2[n] và với mọi hằng số a1, a2

Ví dụ: Các hệ thống sau có tuyến tính không?

(a) y (t) = tx (t)

(b) y (t) = x 2(t)

T

−

→

Tính khả nghịch

Một hệ thống gọi là khả nghịch (invertible) nếu như có thể khôi phục được đầu vào từ đầu ra của nó (các đầu vào phân biệt sẽ

có các đầu ra phân biệt)

x (t)

Ví dụ: Các hệ thống sau có khả nghịch không, nếu có, tìm

hệ thống nghịch đảo

(a) y [n] = .n

−∞

(b) y (t) = x 2(t)

x [k]

k=

Bài tập về nhà

◮ Làm các bài tập cuối chương 1

◮ Viết chương trình Matlab để vẽ các dạng tín hiệu cơ bản