Chương 6 đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

Chöông 5 Bài giảng sức bền vật liệu Chương 6 Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang Lê đức Thanh 1 Chương 6 ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG I KHÁI NIỆM Ở chương 3, khi tính độ bền của thanh chịu ké[.]

Chương 6

ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG

I KHÁI NIỆM

Ở chương 3, khi tính độ bền của thanh chịu kéo (nén) đúng tâm, ta thấy ứng suất

trong thanh chỉ phụ thuộc vào độ lớn của diện tích mặt cắt ngang A.Trong những trường

hợp khác, như thanh chịu uốn, xoắn… thì ứng suất trong thanh không chỉ phụ thuộc vào

diện tích A mà còn phụ thuộc vào hình dáng, cách bố trí mặt cắt… nghĩa là còn những yếu tố khác như: momen tĩnh, momen quán tính mà người ta gọi chung là đặc trưng

hình học của mặt cắt ngang

Xét thanh chịu uốn trong hai trường hợp có cùng mặt cắt ngang A đặt lực khác nhau như trên H.6.1 Bằng trực giác, dễ dàng nhận thấy trường hợp a), thanh chịu lực tốt hơn trường hợp b) Như vậy, khả năng chịu lực của thanh còn phụ thuộc vào hình dáng và vị trí mặt cắt ngang đối với phương tác dụng của lực.(Ứng suất nhỏ 04 lần độ võng nhỏ 16 lần) Cho nên sự chịu lực không những phụ thuộc A, mà cần phải nghiên cứu các đặc trưng hình học khác của mặt cắt ngang để tính toán độ bền, độ cứng, độ ổn định để thiết

kế mặt cắt của thanh cho hợp lý

II MÔMEN TĨNH – TRỌNG TÂM

Xét một hình phẳng có mặt cắt ngang A như hình vẽ Lập hệ tọa độ vuông góc Oxy

trong mặt phẳng của mặt cắt.Gọi M(x,y) là một điểm bất kỳ trên hình Lấy chung quanh

M một diện tích vi phân dA

 Mômen tĩnh của mặt cắt A với trục x (hay trục y) là tích phân:

 

A

y A

vì x, y có thể âm hoặc dương nên mômen tĩnh có thể có trị số âm hoặc dương

Thứ nguyên của mômen tĩnh là [(chiều dài) 3],thí dụ: cm3

, m3,

 Trục trung tâm là trục có mômen tĩnh của mặt cắt A đối với trục đó bằng không

 Trọng tâm là giao điểm của hai trục trung tâm

 Mômen tĩnh đối với một trục đi qua trọng tâm bằng không

H.6.1 Dầm chịu uốn

a) Tiết diện đứng; b) Tiết diện nằm ngang

z a)

P

x

y

P

z

 Cách xác định trọng tâm C của mặt cắt A:

Dựng hệ trục x o Cy o song song với hệ trục xOy ban đầu (H.6.2) Ta có

x  x C  x o; y  y C  y o

với C(xc,yc) Thay vào (6.1), 







A

xo C

o A

C o

A

C

x y y dA y dA y dA y A S

C là trọng tâm thì x là trục trung tâm nên o S xo  0,

tương tự S yo 0 ta được:

A y

S x  C , và : S y  x C A (6.2)

Từ (6.2) 

A

S y A

S

C

y

C  ;  (6.3)

Kết luận: Tọa độ trọng tâm C(x C,y C) được xác

định trong hệ trục xOy ban đầu theo mômen tĩnh Sx ,

Sy và diện tích A theo (6.3)

Ngược lại, nếu biết trước tọa độ trọng tâm, có thể sử

dụng (6.2), (6.3) để xác định các mômen tĩnh

Nhận xét:

Mặt cắt có trục đối xứng, trọng tâm nằm trên trục này vì mômen tĩnh đối với trục đối xứng bằng không

Mặt cắt có hai trục đối xứng, trọng tâm nằm ở giao điểm hai trục đối xứng

Thực tế, có thể gặp những mặt cắt ngang có hình dáng phức tạp được ghép từ nhiều hình đơn giản Khi tính mômen tĩnh của hình phức tạp bằng cách tính tổng mômen tĩnh của các hình đơn giản

Với những hình đơn giản như chữ nhật, tròn, tam giác (trọng tâm và diện tích đã biết) hoặc mặt cắt các loại thép định hình I, U, V, L… có thể tra theo các bảng trong phần phụ lục) để biết diện tích, vị trí trọng tâm, từ đó dễ dàng tính được mômen tĩnh của hình phức tạp gồm n hình đơn giản:

i

n i n

n y

i

n i n

n x

x A x

A x

A x A S

y A y

A y

A y A S

























1 2

2 1 1

1 2

2 1 1

(6.4)

trong đó: A i,x i,y i : diện tích và tọa độ trọng tâm của hình đơn giản thứ i,

Mặt cắt có trục đối xứng

x

y

C

x

y

C x

y C

x

M

y

0

C

x

y

x 0

y 0

x 0

x c

y c

y0

A

dA

n : số hình đơn giản

 Toạ độ trọng tâm của một hình phức tạp trong hệ tọa độ xy











n

y C

A

x A A

S

x

1

1











n

x

C

A

y A A

S

y

1

1

(6.5)

Thí dụ 1:

Xác định trọng tâm mặt cắt chữ L chỉ gồm hai hình chữ nhật như trên

Tọa độ C là trọng tâm của hình (hình1 có diên tích A1,toạ độ trọng tâm C1(x1, y1,) hình 2 có diện tích A2,và C2(x2,y2)

;

2 1

2 2 1 1

A A

A x A

x A

S







2 1

2 2 1 1

A A

A y A

y A

S







Thí dụ 2

Tìm trọng tâm cho mặt cắt ngang hình chữ U

Chọn trục x qua đáy mặt cắt (trục y là trục đối xứng,

trọng tâm 0 nằm trên trục y)

a) Có thể tính cho ba hình chữ nhật nhỏ 2(1x20cm)

và 20x2cm cộng lại:

A

S

y x

) 1 20 ( 2 ) 2 20 (

) 12 1 20 ( 2 1 2























b) Hay lấy hình chữ nhật lớn ngoài A1 = 20x22cm trừ

hình chữ nhật trong A2 = 18x20cm

cm A

A

S

S

) 20 18 ( ) 22 20 (

) 12 20 18 ( ) 12 22 24 (

2 1

2

























Thí dụ 3: Tìm trọng tâm hình chữ T Chọn trục x ban đầu qua đáy mặt cắt

(Tương tự cho hai hình còn lại)

H 6.12

20cm 2cm

20cm

y

6,5cm 15,5cm

10 cm y

12 cm

2 cm

2 cm

x

9,2cm

1,13cm

16cm

0

8cm

0

6cm 1

cm

6,87cm

X

y

Y 4a

2a X 0

1,5a

A

1

0

C

x

y

x 2

x c

yc

y 1

C 1

C 2

A 2

x 1

y2

cm

A A

S S

) 2 12 ( ) 2 10 (

) 6 2 12 ( ) 13 2 10 (

2 1

2

























III MÔMEN QUÁN TÍNH - HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH TRUNG TÂM

1- Mômen quán tính (MMQT)

Mômen quán tính độc cực (đối với 1điểm)

MMQT của mặt cắt A với điểm O được định nghĩa là biểu

thức tích phân:

I dA

A



 2

 (6.6) với :: khoảng cách từ điểm M đến gốc tọa độ O,

Mômen quán tính đối với trục y và x của mặt cắt A

được định nghĩa:





A

x A

y x dA I y dA

Mômen quán tính ly tâm của mặt cắt A (đối với hệ trục x,y) được định nghĩa:

 

A

xy xydA

Từ định nghĩa các mômen quán tính, ta nhận thấy:

- MMQT có thứ nguyên là [chiều dài] 4

- Ix , Iy , Ip  0 (luôn luôn dương)

- MMQT ly tâm Ixy có thể dương, âm hoặc bằng không

- Vì 2  x2  y2 nên I  I x I y (6.9)

MMQT độc cực bằng tổng MMQT đối với hai trục vuông góc x, y có gốc tại điểm cực Theo định nghĩa của MMQT, ta cũng có:

Tính chất: Mômen quán tính của một hình phức tạp bằng tổng mômen quán tính của

từng hình đơn giản

2- Hệ trục quán tính chính trung tâm (QTCTT)

Một hệ trục tọa độ có MMQT ly tâm đối với hệ trục đó bằng không được gọi là

hệ trục quán tính chính

Hệ trục quán tính chính đi qua trọng tâm mặt cắt (gốc đặt tại

trọng tâm) được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm (mọi

tính toán về sau đều dùng hệ trục nầy)

Đối với hệ trục này, ta có:

S x  0 ; S y  0 ; I xy  0

Tính chất: Khi mặt cắt A có một trục đối xứng thì bất kỳ hệ

trục nào vuông góc với trục đối xứng đó đều là hệ trục quán tính

y

0

M

x

y

dA

A



x

Hình có một trục đối xứng

y

0

dA1

A 1

x

A 2

dA

2

chính của mặt cắt

Thật vậy: xét mặt cắt A có trục đối xứng là y như trên H.6.7 Ta luôn tìm được

những cặp vi phân diện tích đối xứng để:













I

2

0 )

Nhận xét:

MMQT đối với trục chính trung tâm được gọi là mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt A

3.Bán kính quán tính

A

I

r x  x ;

A

I

r y  y thứ nguyên là chieudai

Bán tính quán tính đối với trục chính gọi là bán kính quán tính chính

VI MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA CÁC HÌNH ĐƠN GIẢN

1- Hình chữ nhật

Tìm mômen quán tính chính trung tâm của hình chữ nhật b  h (H.6.8)

Hệ có hai trục đối xứng x,y cũng là hệ trục QTCTT

Để tính I x, lấy diện tích vi phân dA là một dải bề rộng b, bề dày dy, khoảng cách đến trục là y

Ta có

12

3 2

2

2

bdy y dA y I

h

h A

x    



(6.10)

Tương tự, đổi vai trò của x và y, b và h, ta được:

12

3

hb

I y  (6.11)

2- Hình tam giác(tự đọc)

Tính MMQT hình tam giác đối với trục x đi qua đáy (H.6.9)

Diện tích dA là dải vi phân song song với đáy, có chiều dày là dy, khoảng cách đến trục x là y và có bề rộng b yđược tính như sau: b y  b(h h y)

b

C

x

y

y

H.6.8

dy h

0

y

x

x

y

dy

H.6.9 h/2

12 4

3 )

( )

2

h

b dy y h y h

b dy h

y h b y dA

y

I

h

o h

o A

h

o























3 Hình tròn - Hình vành khăn (tự đọc)

b)

x y



d

D

C R

a) H 6.10

d D

y

a) Hình tròn b) Hình vành khăn

Tính MMQT của hình tròn đối với trục x (hay y) là đường kính

Hệ trục (x,y) cũng là hệ trục chính trung tâm

Trước tiên tìm mômen quán tính độc cực đối với trọng tâm 0

Xét vòng tròn bán kính R ở H.6.10a Lấy phân tố diện tích dA ở dạng một vành

tròn mảnh bán kính  và bề dày d

Như vậy, dA  2d

Mômen quán tính độc cực của toàn bộ hình tròn:

4 4

3 2

1 , 0 32 2

dA I

R

o A









     



Do đối xứng, ta có: I x I y

Theo (6.10), ta có: I I x I y  2I x  2I y

4 4

05 0 64

R I

I x  y    ,

(6.13)

Theo tính chất của MMQT đối với trục đã biết ở mục 6.3,

 MMQT của mặt cắt hình tròn rỗng (hình vành khăn) (H.6.10b) là hiệu MMQT của

hai hình tròn đường kính D và d:

4 4

4

1 64 64







x

D x x

( 4 )

4 1

 D

D

d





V CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG CỦA MMQT

Nếu biết các momen quán tính của hình phẳng A trong hệ trục tọa độ Oxy Xác định

MMQT của hình phẳng này trong hệ trụcO 1 XY song song với hệ trục đã cho (H.6.11)

Gọi a và b là tọa độ của O trong hệ tọa độ O 1 XY

Ta có : X  a x,Y  b y

 Theo định nghĩa:

A b bS

I

dA b ydA b dA y dA y b dA

Y

I

x x

A

X

2

2 2

2 2

2

2 )

(

















(6.15)

tươngtự:I Y I y aS y a2A



 (6.16)  Đối với mômen quán tính ly tâm:

abA aS

bS

I

dA ab ydA a xdA b xydA dA

y b x a XYdA

I

y x xy

A

A A

A

XY























(6.17)

 Nếu hệ trục Oxy là hệ trục trung tâm của hình A thì các công thức trên có dạng:

abA I

I A a I I A b I

(6.18)

Công thức (6.18) thường được sử dụng để tính các mômen quán tính chính trung tâm

của một hình phức tạp khi đã biết mômen quán tính chính trung tâm của từng hình đơn giản

Từ công thức này, ta nhận thấy: trong tất cả các trục song song thì mômen

quán tính đối với trục trung tâm luôn có giá trị nhỏ nhất Momen quán tính tăng

dần khi di chuyển trục song song xa dần trọng tâm mặt cắt (a,b tăng)

Thí dụ: Tính mômen quán tính đối với trục BB đi qua đáy của hình chữ nhật (H.6.8)

Giải

Dùng công thức chuyển trục song song để tính I BB:

I BB = I x +

3 2

12 2

3 2

3 2

bh hb h bh A





























>

12

3

h

b

Thí dụ 4: Tìm MMQT chính trung tâm của mặt cắt chữ U như hình vẽ

Giải

Tìm trọng tâm C:

Chọn hệ trục ban đầu qua đáy (trục y là trục đối

xứng, C nằm trên trục y)

cm A

S

y x

) 1 20 ( 2 ) 2 20 (

) 12 1 20 ( 2 1 2

























Tính MMQT đối với hệ trục chính trung tâm IX,

IY

4 )

2 ( )

1

(

67 , 3766

I

Với 5 , 5 ( 20 2 ) 13 , 333 1210

12

2

M

°

y

X Y

0 1

x

X

y Y

b a

H 6.12

20cm 2cm

20cm

y

6,5cm 15,5cm

605 67 , 666 5

, 5 ) 20 1 ( 12

20

3 )

3

(

)

2

X I

) 1805 666

, 1 ( 2 333 , 13 ) 1 20 ( 5 , 9 12

1 20 2 12

20 2

3 3

2









 







 Y

Y I

I

Ix lớn_

Ix nhỏ

3 2

3

67 , 3766 )

5 , 5 ) 20 18 ( 12

20 18 ( ) 5 , 4 ) 22 20 ( 12

22 20

cm





















)

3 3

67 , 4946 12

18 20 12

20 22

cm I

Y

Y Y  Y LÔN  Y NHO     

Thí dụ 5: Tìm trọng tâm và momen quán tính chính trung tâm

2

2 2 ) 2 ( 1

2 1 ) 1 ( ) 2 ( )

1

(

A b I

A b I

I

I

I X  X  X  x   x 

4 2

3 2

3

227 , 829 20 ) 8 , 3 ( 12

2 10 24 ) 2 ,

3

(

12

12

.

2

cm















4 3

2 )

2

(

)

1

(

76 , 174 12

10 2 12

2 12

cm I

I

I Y  Y  Y     

Thí dụ 6 Tìm trọng tâm và momen quán tính đối với trục nằm ngang.(hê trục qua đáy)

cm A

S

4

10 12 30

5 , 22 4

10 15 12 30

2

2























2 2 ) 2 ( 1

2 1 ) 1 ( ) 2 ( ) 1

(

A b I

A b I

I I

I X  X  X  x   x 

2 2 4

2 3

4 , 20862 )

4

10 ) 59 , 9 ( 64

10 ( 12 30 ) 09 , 2 ( 12

30

.

12

cm









Thí dụ 7.Tìm momen quán tính chính trung tâm IX

10 cm

y

12 cm

2 cm

2 cm

x

9,2cm

X x

12,9cm

cm

12cm

10cm

15cm

15cm

Y

0

X

D

Y

D

5 2 4 2

64

2 2

2

4 2

2 4

2

D D

D D

A

D I





































































64 2

2

4

D I

I X  x 

Tóm tắt:

- Nếu mặt cắt ngang có ít nhất một trục đối xứng

Tìm momen quán tính chính trung tâm như sau:

-Tìm toạ độ trọng tâm của mặt cắt ngang ,tìm momen quán tính chính của từng hình -Dùng công thức chuyển trục song song để tìm momen quán tính chính trung tâm

I X I x b2A; I Y  I y a2A; I XY I xy abA

với x//X (cách nhau b), y//Y(cách nhau a)

- Nếu mặt cắt ngang không có trục đối xứng nào dùng công thức xoay trục như phần sau:

VI CÔNG THỨC XOAY TRỤC CỦA MMQT- XÁC ĐỊNH HỆ

TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH (HTQTC) :

1 Công thức xoay trục:

Biết các MMQT I x , I y , I xy của A trong hệ trục tọa độ

Oxy

Tính các MMQT I u , I v , I uv đối với hệ trục mới Ouv ;

Hệ trục Ouv hình thành từ việc xoay hệ trục Oxy một

góc  ngược kim đồng hồ ( H.6.13)

Tọa độ của điểm trong hệ trục mới và hệ tọa độ cũ

được liên hệ như sau:

   









sin cos

cos sin

x y

v

x y

u

Theo định nghĩa, các MMQT đối với trục u, v là:

I v dA

A

u  2

; I u dA

A

v  2

; I uv dA

A

uv 

 Tính Iu























A A

A

A aAÂI

u

xydA dA

x dA

y

dA x

y dA v

I













cos sin sin

cos

sin cos

2

2 2 2

2

2 2







x

H 6.13

·

O

M

v

u

x

y

a

a

dA

A

v

y

u

x

X

D

Sử dụng các cơng thức lượng giác:

       ( 1  cos 2  ) ; 2 sin  cos   sin 2 

2

1 sin

; 2 cos 1 2

1

(a) trở thành:



2 2

2 y x y cos xysin

x

I      (6.20)

 Tính Iv : Tương tự như tính MMQT I u, ta

được mơmen quán tính I v (hoặc bằng cách thế

trực tiếp  bằng   90o trong phương trình

(6.21)):



2 2

2 y x y cos xysin

x

I     

(6.21)

 Tính Iuv :





























A A

A A

A A

uv

dA x xydA

dA xy dA

y

dA x

y x

y dA

uv

I

2 2

2













cos sin cos

sin cos

sin

sin cos

) cos sin

(

I uv  (I x I y) sin  cos  I xycos 2  (b)



2

2 y sin xy cos

x

I    (6.22)

2- Hệ trục quán tính chính- Cách xác định

 Hệ trục QTC: Theo định nghĩa ở mục 6.3, hệ trục quán tính chính là hệ trục

cĩ MMQT ly tâm bằng khơng

Để xác định hệ trục này, cho I uv = 0 

y x

xy

I I

I tg





 2

trong đĩ:  - là gĩc xác định trục quán tính chính

Phương trình (6.24) luơn cĩ hai nghiệm 2 sai khác nhau một gĩc o

180  cĩ hai nghiệm  sai biệt nhau một gĩc o

90 , nghĩa là luơn tìm được hai trục chính vuơng gĩc với nhau

 MMQT cực trị : Để tìm gĩc  sao cho mơmen quán tính cĩ trị số lớn nhất hoặc nhỏ nhất, lấy đạo hàm của Ju theo  và cho bằng khơng:

2



y x

d

dI

(c)

Dễ thấy nghiệm  của (c) cũng là nghiệm của (6.24)

Như vậy đối với hệ trục chính vuơng gĩc, mơmen quán tính cĩ giá trị lớn nhất và

nhỏ nhất, gọi là mơmen quán tính chính

Thế ngược lại 2 từ (6.24) vào (6.21) và (6.22), ta được trị số các mơmen quán tính chính:

H 6.14 Vòng tròn Mohr quán tính

x

J uv

J uv

J xy

I u

I y I x J u

J max

J min

P

M

M o



C

2 2

4 2

1

y

I

4 2

1

2 x y xy

y

I

 Cách xác định hệ trục QTCTT của một hình phẳng bất kỳ

Trong trường hợp tổng quát, khi diện tích A không có trục đối xứng, hệ trục

QTCTT được xác định theo trình tự như sau:

- Chọn hệ trục Oxy bất kỳ ban đầu Xác định trọng tâm của hình trong hệ trục này

- Chuyển trục song song về trọng tâm của hình Tính các mômen quán tính đối với

hệ trục trung tâm

- Xoay trục để tìm trục quán tính chính đi qua trọng tâm

Việc xác định hệ trục QTCTT cũng như tính toán các mômen quán tính chính là rất

cần thiết trong việc tính toán ứng suất, chuyển vị của thanh chịu uốn, xoắn… mà ta sẽ nghiên cứu ở các chương sau

Thí dụ 7

Tính momen quán tính chính trung tâm Ix,của hai thép C.30 có h =30cm, b =10cm

d=6,5cm, A =40,5cm2, t =1cm Ix=5810cm4, Iy=327cm4, z0=2,52cm được ghép với hai tấm thép đối xứng 40x1cm

Giải:

Trọng tâm tại C vì hình đối xứng

Tính :I X 2I(X1) 2(I(X2) b22A2)

Ix1là moment quán tính của thép hình

Ix2 làmoment quán tính của tấm thép

4

2 3

67

,

30846

40 1 ) 5 , 15 ( 12

1 40 ( 2 5810

2

cm

Thí dụ 8:

Từ bài trên bỏ bớt tấm thép phía trên Tìm lại

trọng tâm và moment quán tính chính trung

tâm IX ,IY

Chọn hệ trục ban đầu x0Yqua trọng tâm

tấm thép

cm

5 40 2 1

40

5 15 5 40

2

,

) , ,

( 













t=1 cm

x h=30cm

b=40cm

b=10 cm

o

z

Y

0

X

1 cm

1

cm

t=1 cm

x h=30cm

b=40cm

b=10 cm

o

z

c

Y

0

X

1 cm