Chuong 6 dac trung hinh hoc cua mat cat ngang summary

Tóm tắt Chương 6 (sử dụng kết hợp với bài giảng trên lớp) GV TS Cao Văn Vui 1 Chương 6 ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG §1 KHÁI NIỆM §2 MÔMEN TĨNH CỦA HÌNH PHẲNG x y O dAx y Hình 6 1 Sx, Sy gọi là[.]

Chương 6 ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG

§1 KHÁI NIỆM

§2 MÔMEN TĨNH CỦA HÌNH PHẲNG

x

y

O

dA x

y

Hình 6-1

Sx, Sy gọi là mômen tĩnh của hình phẳng có diện tích A đối với trục Ox, Oy:

x A

S ydA; y

A

x, y có thể âm, dương nên S x , S y cũng có thể âm hoặc dương

Đơn vị của mômen tĩnh là [chiều dài] 3

Trục trung tâm là trục có mô men tĩnh bằng 0

Trục đối xứng là một trục trung tâm vì trục đối xứng sẽ có mô men tĩnh bằng 0

Trọng tâm là giao điểm của ít nhất 2 trục trung tâm

Mômen tĩnh đối với bất kỳ trục nào đi qua trọng tâm = 0 Từ đó ta xác định trọng tâm như sau:

- Dựng hệ trục Cx’y’ đi qua trọng tâm C (center) và song song với các trục x, y của hệ trục Oxy

x

y

O

x'

y'

C

dA x

y y' x'

y C

S x A

x C

S y A

Tính chất: mômen tĩnh của hình phức tạp = tổng mômen tĩnh của hình đơn giản

1

n

i



1

n

i



Trong đó:

i

A, x i, y i là diện tích và tọa độ trọng tâm của hình đơn giản thứ i

n là số hình đơn giản

Tọa độ trọng tâm của hình phức tạp:

1

1

n

i i

i i

A x S

x A

A









(6-8)

1

1

n

i i

i i

A y S

y A

A









(6-9)

§3 MÔMEN QUÁN TÍNH, BÁN KÍNH QUÁN TÍNH

3.1 Mômen quán tính đối với một trục

Mômen quán tích đối với trục x:

2

x A

Mômen quán tích đối với trục y:

2

y A

 Thứ nguyên: [chiều dài]4

 I x , I y luôn luôn dương

Tính chất: mômen quán tính của hình phức tạp = tổng mômen quán tính của hình đơn giản

3.2 Mômen quán tính độc cực

Mômen quán tính của một mặt cắt đối với điểm O (hay mômen quán tính độc cực):

2

xy A

 I xy có thể âm, dương hoặc có thể bằng 0 tuỳ thuộc vào dấu các toạ độ x, y

3.4 Trục quán tính chính trung tâm

Trong hệ trục Oxy, nếu I xy = 0 thì ta gọi hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính

Hệ trục quán tính chính đi qua trọng tâm được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm (Khi đó: S x=0,

S y=0)

 Trục đối xứng là trục quán tính chính trung tâm

3.5 Bán kính quán tính

x x

I r A

 ; r y I y

A

Bán kính quán tính đối với trục chính được gọi là bán kính quán tính chính

Thứ nguyên: [chiều dài]

§4 MÔMEN QUÁN TÍNH TRUNG TÂM CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GIẢN

4.1 Hình chữ nhật

x y

b

h 2

h 2

C

y dy

Mômen quán tính trung tâm đối với trục x:

3

12

x

bh

Mômen quán tính trung tâm đối với trục y:

3

12

y hb

4.2 Hình tam giác

by

x y

b

h

C

y dy

3

12

x

bh

4.3 Hình tròn

x

y

C

D=2R

d

4

0,1

Do tính chất đối xứng, nên:

4

0, 05

Lưu ý: I  I xI y 2I x2I y

2

I

4.4 Hình vành khăn

x

y

C

D=2R d=2r

Theo tính chất của I, ta có:

I x, hình vành khăn = I x, hình tròn lớn - I x, hình tròn nhỏ

I x, hình tròn lớn

4

2

R





I x, hình tròn nhỏ

4

2

r





 4 4 4

0, 05 0, 05 0, 05 1

Với d

D

 

§5 CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG

Vấn đề:

 Biết mômen quán tính của hình phẳng đối với hệ trục Oxy

 Tìm mômen quán tính của hình phẳng đối với hệ trục O’XY song song với Oxy

x

y

O

dA x

y

X

Y

O'

a b

2

2

2

Với mômen quán tính ly tâm:

Nếu hệ trục Oxy là hệ trục trung tâm thì:

2

2

Nhận xét: Mô men quán tính đối với trục trung tâm là nhỏ nhất

§6 CÔNG THỨC XOAY TRỤC

Vấn đề:

 Biết mômen quán tính của hình phẳng đối với hệ trục Oxy

 Tìm mômen quán tính của hình phẳng đối với hệ trục Ouv là hệ trục Oxy xoay một góc α ngược chiều kim đồng hồ

x

y

O

dA x

y

u

v

v

u

cos 2 sin 2

cos 2 sin 2

==> tan 2 2 xy

I

  

Trong đó,  là góc xác định trục quán tính chính Có 2 góc  chênh nhau 90o

Vậy, đối với hệ trục chính, mômen quán tính có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, gọi là mômen quán tính

chính

2 2 max

xy

I       I

(6-32)

7.2 Đường tròn Mohr quán tính

Nếu dùng một hệ trục tọa độ với trục hoành biểu diễn I u và trục tung biểu diễn I uv thì quan hệ giữa

u

I và I uv là một đường tròn Mohr quán tính Tương tự đường tròn Mohr ứng suất, tuy nhiên I uv

hướng lên trên và đường tròn luôn nằm bê phải trục tung vì I u luôn luôn dương

xy y

M u uv





x

y

v

uv

u

O

D x xy

D' y xy

C

E F

P

7.3 Cách xác định hệ trục quán tính chính trung tâm của một hình phẳng bất kỳ

Trong trường hợp tổng quát, hệ trục QTCTT được xác định như sau:

 Chọn hệ trục Oxy bất kỳ Xác định trọng tâm của hình theo hệ trục này

 Chuyển trục song song về trọng tâm của hình Tính các mômen quán tính đối với hệ trục trung tâm

 Xoay trục để tìm phương chính đi qua trọng tâm