PPT Chuong 3(web) [Compatibility Mode] CCChhhưưươơơnnnggg IIIIIIIII NNNOOOÄÄÄIII SSSUUUYYY 111))) NNNoooäääiii sssuuuyyy ñññaaa ttthhhöööùùùccc 222))) NNNoooäääiii sssuuuyyy SSSpppllliiinnneee bbbaaaä[.]
Trang 1Chươ ng III : NỘI SUY
1) Nội suy đa thức
2) ) Nội suy Spline bậc 3
3) Phương pháp bình phương tối thiểu
Trang 21.1) Nội suy đa thức theo Lagrange
a) Nội dung : Biết các giá trị y i = f x ( ) i của hàm
( )
y = f x tại các điểm x i theo bảng
Tìm hàm lại hàm f x ( )
Lời giải : Vô số hàm
Tìm f x ( ) = P x ( ) chỉ là đa thức bậc n
thỏa P ( x i ) = y i
Trang 3Các bước tìm đa thức P (x )
Bước 1 : Thiết lập đa thức cơ sở Lagrange
k i
x x
x
x x
(
Ví du ï : L 0 ( x ) =
) ) (
)(
) (
( x − x x − x − x − x x − x
) ) (
)(
) (
(
) ) (
)(
) (
(
0 0
1 0
1 0
1 1
n i
i
n i
i
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
Trang 4y x
P
0
) ( )
) (
) ( )
n
n
x x
x x
x
x n
M
−
−
− +
Trang 5c) Nhận xét :
*) Số mốc nội suy càng lớn thì sai số càng nhỏ , tuy
nhiên bậc của đa thức sẽ lớn, tính toán sẽ dài
*)Sai số phụ thuộc vào ( n + 1 )
M , thực tế không biết
vì hàm ( ) f x chưa biết
*)Đa thức nội suy P (x ) là duy nhất
Trang 6Ví du ụ :
Tìm đa thức nội suy P(x) từ bảng số liệu
1 ,
0 ,
y
Tính gần đúng giá trị của bảng tại x = 0 7
Trang 7Giải : Ta tìm các đa thức Lagrange
2 )
1 1
)(
0 1
(
) 1 )(
0
( )
1 0
)](
1 ( 0
[
) 1 )](
1 (
[ )
1 (
[ )
(
2
x x
x
x x
2 )
0 1
)](
1 ( 1
[
) 0 )](
1 (
[ )
2 )
( 3
) ( 1
)
( 3
1 )
(
2 2
1 0
+
+
= +
7 0 (
4 )
7 0 (
2 )
Trang 8d) Tỷ sai phân
Tỷ sai phân bậc 0 của f tại x 0 :
f [ x 0 ] = f ( x 0 )
Tỷ sai phân bậc 1 của f tại x 0 , x 1 :
0 1
0
1 1
0
] [
]
[ ]
,
[
x x
x f x
f x
x f
1 0
2
1 2
1 0
] ,
[ ]
,
[ ]
, ,
[
x x
x x
f x
x
f x
x x
Trang 9e) Bảng tỷ sai phân
Trang 10f) Nội suy Newton tiến theo bảng tỷ sai phân
Đa thức P (x ) có thể tìm dưới dạng
) )(
( )
( )
( x = a 0 + a 1 x − x 0 + a 2 x − x 0 x − x 1 +
P
+ a n ( x − x 0 )( x − x 1 ) ( x − x n − 1 )
Trang 111 3
4
2 3
2 )
0 )(
1
( 3
2 )
1
( 3
2 3
1 )
( x = + x + + x + x − = x + x +
P
Trang 12g) Nội suy Newton lùi
) )(
( )
( )
( x = a 0 + a 1 x − x n + a 2 x − x n x − x n − 1 +
P
+ a n ( x − x n )( x − x n − 1 ) ( x − x 1 )
] [
, [ n n 1 , n k 1 n k
Trang 13) 0 )(
1
( 3
2 )
1 (
2 3
Trang 142) ) Nội suy Spline bậc 3
a) Nội dung : Cho bảng số liệu
Tìm một hàm S (x ) thỏa các điều kiện :
Tìm một hàm S (x ) thỏa các điều kiện :
[ x j x j + 1
Trang 15Gọi S j ( ) x là đa thức trên mỗi đoạn nhỏ [ x x j , j + 1 ]
Trang 16j j
h
c
c d
( )
j
j
j j
c c
h h
Trang 17Để tìm c j ta giải từ hệ Ax = b
0 0
0 0
) (
2
0 0
0
.
0 0
0
) (
2 0
0
)
( 2
0 0
0 0
0 1
1 1
2 2
2 2
1 1
1 1
0 0
n n
n
h
h h
h h
h h
h h
c c
x
1
1 0
( 2
3 )
1
( 1 3
.
) 0 1
( 0
3 )
1 2
( 1
3
0
n a n
a n
h n
a n
a n
h
a
a h
a
a h
B
Trang 18Ví dụ : Nội suy Spline bậc 3 của bảng
3 2
1 0
0
0
1 4
1
0
0 1
4
1
0 0
0
1
3 2 1 0
c c c c
3 2 1 0
c c c c
Trang 19− +
≤
≤
−
3 2
) 2 (
2 )
2 (
6 4
2 1
) 1 (
3 )
1 (
3 )
1 (
3
1
1 0
) 0 (
1
3 2
3 2
3
x x
x
x x
x x
x x
Trang 20Spline với điều kiện biên ràng buộc
Trang 211 0 0 0
Trang 22Hàm S(x) Spline bậc 3 nội suy bảng số liệu
với điều kiện biên ràng buộc :
Ví dụ
Ví dụ ::
với điều kiện biên ràng buộc :
0
'(3) '( ) 2 ; '(5) '( n ) 0.25
Trang 233) Phương pháp bình phương tối thiểu
Nội dung : Từ bảng số liệu
tìm những hàm số có dạng biết trước
tìm những hàm số có dạng biết trước
sao cho tổng bình phương độ lệch so với
bảng số liệu đã cho là nhỏ nhất
Trang 251.02 1.984
