Mot so van de chon loc cua giai tich handout

Lê Xuân Đại BK TPHCM MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH TP... Lê Xuân Đại BK TPHCM MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH TP... Lê Xuân Đại BK TPHCM MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH

Trang 1

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH

B ÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP HCM — 2016.

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 1 / 1

Trang 3

Chuỗi Fourier Định nghĩa hàm trực giao

Đ ỊNH NGHĨA 1.1

Dãy những hàm n ϕ n (x)

o ∞

n=1 được gọi là hệ trực giao theo hàm trọng số q(x) trên đoạn

[a, b] nếu như

Z b

a ϕ m (x) ϕ n (x).q(x)dx = 0,m 6= n.

Trang 5

Trang 6

Đ ỊNH NGHĨA 1.3

Dãy những hàm trực giao { ψ n (x)} được gọi là

hệ trực chuẩn theo hàm trọng q(x) trên đoạn

[a, b] nếu như

Chú ý Hệ trực chuẩn có thể thu được từ hệ

trực giao bằng cách chia mỗi hàm số của hệ

Trang 7

V Í DỤ 1.2

Dãy những hàm 1, cos x, sin x, , cos nx, sin nx

là hệ trực giao trên [−π,π] với hàm trọng sốq(x) = 1, vì

Trang 8

Để thu được hệ trực chuẩn, ta chia mỗi hàm cho chuẩn của nó

Trang 9

Chuỗi Fourier Chuỗi Fourier

Đ ỊNH NGHĨA 1.4

Hàm số f (x) được gọi là hàm liên tục từng khúc trên đoạn [a, b] nếu như tồn tại những điểm a = x 1 < x2 < < x n = b sao cho hàm số f liên tục trên khoảng (x i , x i+1 ) và tồn tại hữu hạn giới hạn từ 1 phía f (x i +) và

f (x i+1 −), ∀i = 1, 2, , n − 1.

Trang 11

Đ ỊNH NGHĨA 1.5

Hàm liên tục từng khúc f (x) trên đoạn [a, b]

được goi là hàm tuần hoàn nếu tồn tại số thực dương p sao cho f (x + p) = f (x),∀x Lúc này, p được gọi là chu kỳ của f , còn số nhỏ nhất trong những số p được gọi là chu kỳ cơ bản

Trang 12

thì f (x + np) = f (x),∀n ∈ N.

2 Nếu f 1 (x), f 2 (x), , f k (x) là những hàm tuần hoàn với chu kỳ p và c k ∈ R, thì

f (x) = c 1 f 1(x) + c2 f 2(x) + + c k f k (x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ p

V Í DỤ 1.4

Hàm

a 0+a1 cos x+a2 cos 2x+ +b1 sin x+b2 sin 2x+

Trang 13

Đ ỊNH LÝ 1.1

Mọi hàm liên tục từng khúc, tuần hoàn với chu kỳ 2 π , có thể được xấp xỉ bởi chuỗi lượng giác

f (x) ≈ a 0

2 +

∞ X

k=1

(a k cos kx + b k sin kx)

Vì f (x) là hàm liên tục từng khúc nên khả tích theo Riemann trên [−π,π].Xét tổng

Trang 15

Điều kiện cần để I đạt cực tiểu là

#

sin kxdx = 0

Trang 17

d 2 I > 0, có nghĩa là I có giá trị cực tiểu.

Trang 19

H ÌNH : sum(1->3), sum(1->10)

Trang 21

H ÌNH : sum(1->10), sum(1->100)

Trang 22

Tìm chuỗi Fourier của hàm số

Trang 23

H ÌNH : sum(1->10), sum(1->100)

Trang 24

đó f (x) cos kx là hàm chẵn còn f (x) sin kx là hàm lẻ Vì vậy, những hệ số Fourier của hàm

Trang 25

Chuỗi Fourier Chuỗi Fourier Cosine và Sine

Cho f (x) là hàm lẻ trên đoạn [−π,π]. Khi đó

k=1

b k sin kx

Trang 26

sin(2k − 1)x 2k − 1

Trang 27

H ÌNH : sum(1->10), sum(1->100)

Trang 28

cos(2kx)

1 − 4k 2

Trang 29

H ÌNH : sum(1->3), sum(1->10)

Trang 31

H ÌNH : sum(1->3), sum(1->10)

Trang 33

H ÌNH : sum(1->3), sum(1->10)

Trang 34

Tìm chuỗi Fourier của hàm f (x) trên đoạn

[a, b] bất kỳ Khi đó ta dùng phép đổi biến

(a cos kt + b sin kt),

Trang 35

Chuỗi Fourier Chuỗi Fourier trên 1 đoạn bất kỳ

Trang 37

Chuỗi Fourier Chuỗi Fourier trên 1 đoạn bất kỳ

Trang 38

Đ ỊNH NGHĨA 2.1

Cho hàm số f (x, α) khả tích trên đoạn [a, b]

với mọi giá trị của tham số α ∈ [c,d]. Khi đó tồn tại tích phân xác định

Trang 39

Các hàm đặc biệt Tích phân phụ thuộc tham số

Cho hàm số f (x, α) xác định trên miền

Tích phân suy rộng này được gọi là tích

phân suy rộng loại 1 phụ thuộc tham số

α ∈ Y

Trang 40

D = {(x,α) : x ∈ [a,b),α ∈ Y ⊂ R},

sao cho với mọi α ∈ Y thì lim

x→b − f (x, α) = ∞ và tồn tại tích phân suy rộng

I( α) =

Z b

a

f (x, α)dx.

Tích phân suy rộng này được gọi là tích

phân suy rộng loại 2 phụ thuộc tham số

Trang 41

Chú ý. Hàm beta B(a, b) hội tụ khi a > 0,b > 0

và là hàm liên tục theo các biến a, b.

Trang 44

Chú ý. I(a) hội tụ khia > 0.

Trang 46

Nếu a ∈ (0,1] thì I(a + 1) = aI(a). Do đó, I(a)

xác định với mọi a > 0. Khi đó, ta định

nghĩa Γ(a) = I(a),(a > 0).

Nếu a = 0 thì ta định nghĩa Γ(0) = I(0) =

x −1 e −x dx

phân kỳ Hàm Gamma không xác định

tại a = 0.

Trang 47

Các hàm đặc biệt Hàm Gamma

Đ ỊNH NGHĨA HÀM G AMMA

Nếu a = −1 thì ta định nghĩa Γ(−1) = Γ(0)

−1 nên Γ(−1) không xác định vì Γ(0) phân kỳ.

Do đó, Γ(a) không xác định khi

a = −1,−2, ,−n, với n ∈ N.

Nếu a ∈ (−1,0) thì ta định nghĩa

Γ(a) = 1

a · Γ(a + 1).

Vậy TXĐ của Γ(a) = R\{0,−1,−2, ,−n}, n ∈ N.

Trang 48

Chú ý. Vì a É 0 , ta có I(a) không xác định nên ta mở

Trang 49

Các hàm đặc biệt Hàm Gamma

H ÌNH : Hàm Gamma

Trang 50

pπ

Trang 53

− 1 2

¶

⇒ Γ

µ

− 1 2

Trang 54

V Í DỤ 2.4

Tính tích phân I =

Z ∞ 0 4

¶

= 2 · 3

2 · 1

2 Γ µ 1 2

¶

= 3 2 p

π.

Trang 55

Γ µ 3 2

¶

Γ µ 5

2 + 3 2

32

Trang 56

xe −x 2 dx.

6

Z ∞ 0

Trang 57

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Định nghĩa

Trang 58

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

không thuần nhất với hệ số hàm có dạng

p 2 (x)y 00 + p1 (x)y 0 + p0(x)y = f (x), (p2(x) 6= 0)

(5)

Đ ỊNH NGHĨA 3.3

Những điểm x sao cho p 2(x) = 0được gọi là

Trang 59

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Bài toán giá trị đầu và bài toán biên

vi phân (??) hoặc (??) và 2 điều kiện ban

đầu y(x 0) = α,y 0 (x 0) = β, với α,β = const là những hằng số cho trước ứng với y và y 0

tại thời điểm ban đầu x 0

phân (??) or (??) và 2 điều kiện biên

y(x 0) = α,y(x1) = β, hoặc y 0 (x 0) = α,y 0 (x 1) = β, hoặc y(x 0) = α,y 0 (x 1) = β, với α,β = const là những hằng số cho trước ứng với y và y 0

tại những thời điểm x 0 , x 1 khác nhau.

Trang 60

Nếu y 1 , y 2 là 2 nghiệm của phương trình vi

phân tuyến tính thuần nhất (??) thì

C 1 y 1 + C 2 y 2 cũng là nghiệm của phương trình (??) với

C 1 , C 2 là những hằng số bất kỳ.

V Í DỤ 3.1

Xét phương trình vi phân y 00 + y = 0 Ta thấy

Trang 61

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Sự độc lập tuyến tính và định thức Wronski

Đ ỊNH NGHĨA 3.4

1 Hai hàm y 1 , y 2 phụ thuộc tuyến tính với a É x É b nếu tồn tại hằng số C 1 , C 2 , không đồng thời bằng 0 , sao cho

C 1 y 1 + C 2 y 2 = 0

với mọi x thỏa a É x É b

2 Hai hàm y 1 , y 2 độc lập tuyến tính với a É x É b nếu

Trang 62

V Í DỤ 3.2

Hai hàm x và −3x phụ thuộc tuyến tính với

0 É x É 1 vì tồn tại hằng số C 1 và C 2 , không đồng thời bằng 0 , sao cho

C 1 x + C 2 (−3x) = 0 với mọi x thỏa 0 É x É 1 Ta chọn C 1 = 3 và

C 2 = 1

Trang 63

V Í DỤ 3.3

Chứng minh rằng hai hàm x và x 2 độc lập tuyến tính với x thỏa −1 É x É 1.

Ta sẽ chứng minh từ

C 1 x + C 2 x 2 = 0

với mọi x ∈ [−1,1] suy ra C 1 = 0 và C 2 = 0.

Vì C 1 x + C 2 x 2 = 0 đúng với mọi x thỏa

−1 É x É 1 nên với x = 1 ta có

C 1.1 + C2 1 2 = 0.

Trang 65

Đ ỊNH NGHĨA 3.5

Cho y 1 , y 2 là 2 hàm thực có đạo hàm cấp 1 trên đoạn [a, b] Định thức

W (x) là hàm thực xác định trên đoạn [a, b].

Trang 66

Cho y 1 , y 2 là 2 hàm thực có đạo hàm cấp 1 trên đoạn [a, b] Giả sử y 1 , y 2 là nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 2 Khi đó

1 W (x) 6= 0 với mọi x ∈ (a,b) khi và chỉ khi

y 1 , y 2 độc lập tuyến tính với mọi x ∈ (a,b)

2 W (x) = 0 với mọi x ∈ (a,b) khi và chỉ khi

y 1 , y 2 phụ thuộc tuyến tính với mọi

Trang 67

V Í DỤ 3.4

Giả sử hai hàm y 1 = e x , y 2 = e 2x là nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

thuần nhất Chứng minh rằng e x vàe 2x độc lập tuyến tính.

Trang 68

Đ ỊNH LÝ 3.3

Nếu y 1 , y 2 là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của

phương trình (??), thì mọi nghiệm thuần nhất y tn của (??) có thể biểu diễn tuyến tính

dưới dạng

y tn = C1 y 1 + C2 y 2 (6)

Trang 69

Phương trình Cauchy-Euler Phương trình Cauchy-Euler thuần nhất

Trang 70

Đổi biến t = lnx ⇒ x = e t Khi đó

Trang 71

Trang 72

d 2 y

dt 2 + dy

dt − 6y = 0

Trang 73

Trang 75

Phương trình Cauchy-Euler Phương trình Cauchy-Euler không thuần nhất

Trang 76

Thay vào phương trình đã cho ta được

Ax − x(Alnx + A + B) + 2x(Alnx + B) = x lnx

⇒ A = 1, B = 0.

Vậy y = x[C 1 cos(ln x) + C2 sin(ln x)] + x lnx.

Trang 77

Đa thức Legendre Phương pháp chuỗi lũy thừa giải ODE

P HƯƠNG PHÁP CHUỖI LŨY THỪA GIẢI ODE

V Í DỤ 5.1

Giải phương trình y 0 − y = 0 bằng phương

pháp chuỗi lũy thừa.

Giả sử nghiệm tìm được dưới dạng chuỗi lũy thừa

y = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + a3 x 3 + =

∞ X

n=0

a n x n

⇒ y 0 = a1 + 2a2 x + 3a 3 x 2 + =

∞ X

n=0

na n x n−1

Trang 78

(a 1 − a0) + (2a2 − a1)x + (3a3 − a2 )x 2 + = 0

⇒ a1 = a0 , 2a 2 = a1 , 3a 3 = a2

⇒ a1 = a0 , a 2 = a 1

2 = a 0 2! , a 3 = a 2

3 = a 0 3!

Vậy

y = a 0 + a0 x + a 0

2! x

2 + a 0 3! x

3 + = µ

x 2 x 3 ¶

Trang 79

Đa thức Legendre Phương trình Legendre

Đ ỊNH NGHĨA 5.1

Phương trình Legendre có dạng

d dx

Trang 80

nghiệm không tầm thường trên [−1,1].

Tìm nghiệm của phương trình Legendre

n=2

n(n − 1)a n x n−2 + +2

∞ X

na n x n − λ

∞ X

a n x n = 0.

Trang 81

Đa thức Legendre Phương trình Legendre

Thay n bởi n + 2 vào phương trình, ta được

[n(n + 1) − λ]a n − (n + 2)(n + 1)a n+2 = 0

⇒ a n+2 = n(n + 1) − λ

(n + 1)(n + 2) · a n

1 Khi a 0 6= 0, a1 = 0 thì nghiệm riêng của

phương trình Legendre chỉ chứa các bậc chẵn của x.

2 Khi a 0 = 0, a1 6= 0 thì nghiệm riêng của

phương trình Legendre chỉ chứa các bậc

lẻ của x.

Trang 82

d dx

(1 − x 2 ) d

2 y

dx 2 − 2x dy

dx + n(n + 1)y = 0 (14)

Tìm nghiệm riêng của phương trình (??).

Xét z = (x 2 − 1) n Ta thấy z thỏa mãn phương trình

dz

Trang 83

Đa thức Legendre Đa thức Legendre

Đạo hàm 2 vế phương trình (??) n lần theo biến x , ta được

(1 − x 2 )z (n+1) + n(n + 1)z (n−1) = 0. (16) Lấy đạo hàm 1 lần nữa theo biến x ta được

Trang 85

Đa thức Legendre Đa thức Legendre

Trang 87

Đa thức Legendre Tính chất của đa thức Legendre

T ÍNH CHẤT CỦA ĐA THỨC L EGENDRE II

Trang 88

Giải phương trình Legendre

(1 − x 2 )y 00 − 2xy 0 + 2y = 0

Giả sử nghiệm tìm được dưới dạng chuỗi

y = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + a3 x 3 + =

∞ X

n=0

a n x n

⇒ y 0 = a1 + 2a2 x + 3a 3 x 2 + =

∞ X

n=0

na n x n−1

∞

Trang 89

Đa thức Legendre Tính chất của đa thức Legendre

Thay y, y 0 , y 00 vào phương trình đã cho, ta có

Trang 91

Phương trình và hàm Bessel Phương pháp chuỗi lũy thừa mở rộng

Trang 92

x 2 y 00 + xy 0 + (x 2 − ν 2 )y = 0, (17)

trong đó ν Ê 0 là hằng số.

Phương trình (??) có điểm kỳ dị tại x = 0.

Tìm nghiệm riêng của phương trình theo phương pháp Frobenius dưới dạng chuỗi

y(x) =

∞ X

a n x s+n , (a 0 6= 0) (18)

Trang 93

Phương trình và hàm Bessel Phương trình Bessel

Thay chuỗi (??) này vào phương trình

Trang 94

Nếu chọn s = ν.Hệ số của x s+1 bằng không nên

Trang 95

Phương trình và hàm Bessel Phương trình Bessel

Các hệ số còn lại được xác định như sau

Trang 96

Nếu chọn a 0 như sau

a 0 = 1

2 ν Γ(ν + 1)

ta được nghiệm tương ứng là J ν (x).

Trang 97

Phương trình và hàm Bessel Hàm Bessel

Đ ỊNH NGHĨA 6.1

Nghiệm

J ν (x) =

∞ X

k=0

(−1) k

2 2k+ν k! Γ(ν + k + 1) x

2k+ν

được gọi là hàm Bessel loại 1 cấp ν

Trang 98

thứ hai của phương trình Bessel

Trang 99

Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình Bessel là

y tn (x) = c1 J ν + c2 J −ν

H ÌNH : Hàm Bessel J 1/2 và J −1/2

Trang 100

Nếu ν = n, n = 0 hoặc n ∈ Z + thì

J −n(x) =

∞ X

Trang 101

Trang 102

Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình Bessel cần phải tìm nghiệm độc lập với J ν (x).

Thường ta sử dụng nghiệm do Watson đưa

ra như sau

Y ν (x) = (cos νπ)J ν (x) − J−ν (x)

sin νπ

⇒ Y n (x) = lim ν→n Y ν (x)

Trang 103

Y ν (x) độc lập tuyến tính với J n (x) và được gọi

Trang 105

Phương trình và hàm Bessel Các tính chất truy hồi của hàm Bessel

C ÁC TÍNH CHẤT TRUY HỒI CỦA HÀM B ESSEL

Trang 106

x 2 y 00 + xy 0 + ( k 2 x 2 − ν 2 )y = 0, (21) trong đó k là hằng số khác không.

Nếu thay t = kx, ta được

Trang 107

Phương trình và hàm Bessel Tính trực giao thứ nhất của hàm Bessel

Chia 2 vế của phương trình trên cho x ta

¸ +

Trang 109

Phương trình và hàm Bessel Tính trực giao thứ nhất của hàm Bessel

Hàm Bessel J ν (x) có vô số nghiệm thực

dương.

Giả sử k 1 = µ i

L , k 2 = µ j

L , trong đó µ i , µ j là 2 nghiệm thực dương khác nhau của J ν (x) = 0.

Trang 111

Phương trình và hàm Bessel Tính trực giao thứ hai của hàm Bessel

Trang 113

Phương trình và hàm Bessel Khai triển một hàm tùy ý thành chuỗi các hàm Bessel

K HAI TRIỂN D YNI -B ESSEL

Trang 114

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Phan Huy Thiện Phương trình toán lý.

NXB GIÁO DỤC VIỆT NAM (2010)

Erwin Kreyszig Advanced Engineering

Mathematics John Wiley and Sons, Inc.

(2011)

Sadri Hassani Mathematical Methods

For Students of Physics and Related Fields.

Tiêu đề	Một số vấn đề chọn lọc của giải tích
Tác giả	Lê Xuân Đại
Trường học	Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Chuyên ngành	Khoa học ứng dụng
Thể loại	Bài giảng
Năm xuất bản	2016
Thành phố	TP. HCM

Định dạng
Số trang	114
Dung lượng	1,2 MB