quá trình ngẫu nhiên loại ornstein – uhlenbeck sinh bởi độ đo ngẫu nhiên độc lập phân tán

TRƯƠNG HOÀI TRUNG QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN LOẠI ORNSTEIN – UHLENBECK SINH BỞI ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP PHÂN TÁN Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60 46 15 LUẬN

TRƯƠNG HOÀI TRUNG

QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN LOẠI ORNSTEIN – UHLENBECK SINH BỞI ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP PHÂN TÁN

Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC

Mã số: 60 46 15

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS TRẦN KIM THANH

TP HỒ CHÍ MINH – 2011

đã nhận được sự động viên, giúp đỡ, hướng dẫn và góp ý nhiệt tình của gia đình, bạn

bè và quý Thầy cô khoa Toán – Tin học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên thành phố Hồ Chí Minh

Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy – TS Trần Kim Thanh và TS Dương Tôn

Đảm đã dành rất nhiều thời gian và công sức, tận tâm hướng dẫn, giúp tôi hoàn thành

luận văn Bên cạnh cách hướng dẫn cuốn hút, Thầy đã cung cấp cho tôi những tài liệu

và những kiến thức vô cùng quí giá Mặc dù biết mình chưa lĩnh hội hết tất cả những kiến thức mà Thầy đã truyền đạt nhưng tôi tin rằng những gì đã học được từ Thầy sẽ là điều kiện, là hành trang tốt nhất để tôi có thể tiếp tục con đường nghiên cứu sau này

Xin trân trọng cảm ơn các Thầy cô khoa Toán – Tin nói chung và các Thầy cô

Bộ môn Xác suất thống kê nói riêng đã tận tình giảng dạy, cung cấp cho tôi đủ kiến thức để tôi kết thúc khóa học và hoàn thành luận văn

Xin cảm ơn các bạn lớp cao học Toán ngành Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán học khóa 18 trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ, đóng góp ý kiến trong suốt quá trình học cũng như trong thời gian làm luận văn

Từ tận đáy lòng, con xin cảm ơn Cha mẹ đã sinh thành, dưỡng dục, luôn bên cạnh động viên và tạo mọi điều kiện để con ăn học, khôn lớn nên người

Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do kiến thức còn hạn chế cũng như sự eo hẹp về điều kiện và thời gian nên rất mong nhận được sự chia sẻ, thông cảm và góp ý nhiệt tình của quý Thầy cô và các bạn đồng nghiệp

Xin chân thành cảm ơn

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2011

Trương Hoài Trung

Trong lý thuyết về quá trình ngẫu nhiên, khi giải phương trình vi phân tuyến tính dạng Langevin ta sẽ gặp quá trình Ornstein – Uhlenbeck Quá trình Ornstein – Uhlenbeck là quá trình ngẫu nhiên được đặt theo tên của hai nhà Vật Lý Leonard Ornstein (1900 – 1988) và George Eugene Uhlenbeck (1880 – 1941) Tuy loại quá trình này đã được nhiều nhà Toán học đề cập đến nhưng nó có khá nhiều ứng dụng trong thực tế nên quá trình Ornstein – Uhlenbeck vẫn luôn được các nhà khoa học nghiên cứu và mở rộng

Khi xét lớp các quá trình ngẫu nhiên liên quan đến quá trình dẫn Levy, chúng ta

sẽ gặp những quá trình loại Ornstein – Uhlenbeck Để nghiên cứu về loại quá trình này

ta cần xét đến sự liên quan của nó với những lớp quá trình ngẫu nhiên khác như quá trình α-tự phân, quá trình tự đồng dạng,…

Xuất phát từ tích phân theo quá trình Wiener, Toán học mở rộng dần sang tích phân theo quá trình Levy Trong bản luận văn này tác giả nghiên cứu đến một lớp quá trình rộng hơn, có tính bao quát hơn nữa, đó là quá trình loại Ornstein – Uhlenbeck sinh bởi độ đo ngẫu nhiên độc lập phân tán, đồng thời giới thiệu về sự liên quan giữa phân phối α -tự phân và quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck

Luận văn này được chia thành 3 chương:

• Chương I: Một số kiến thức cơ bản

• Chương II: Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck sinh bởi độ

đo ngẫu nhiên độc lập phân tán

• Chương III: Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck không

ngặt

( ) 0

1 ( ) 0

t t

0 ( ) 0

x là chuẩn Euclide x

X quá trình Levy với X

L b Q lớp các phân phối Q tự phân trên

Trang

Lời cảm ơn i

Lời nói đầu ii

Bảng kí hiệu iii

Mục lục iv

Chương I Một số kiến thức cơ bản

1.1 Quá trình Levy 1

1.2 Tích phân theo quá trình Levy 5

1.3 Phương trình Langevin 9

1.3.1 Phương trình vi phân hình học và nghiệm của nó 9

1.3.2 Phương trình vi phân Levy hình học 12

1.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính 18

1.3.4 Phương trình Langevin 19

1.4 Quá trình tự đồng dạng 20

1.5 Phân phối ổn định và quá trình ngẫu nhiên ổn định 22

1.5.1 Phân phối ổn định 22

1.5.2 Quá trình ngẫu nhiên ổn định 26

Chương II Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck sinh bởi độ đo ngẫu nhiên độc lập phân tán

2.1 Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck 28

2.2 Quá trình loại Ornstein – Uhlenbeck dừng 32

Chương III Quá trình loại Ornstein – Uhlenbeck không ngặt

3.1 Phân phối -tự phân 47 α

KẾT LUẬN 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59

CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

Để nghiên cứu về quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck, đầu tiên chúng ta

sẽ đề cập đến quá trình Levy, tích phân theo quá trình Levy, phương trình Langevin cũng như một số vấn đề liên quan khác

1.1 Quá trình Levy

Định nghĩa 1.1.1 (Định nghĩa quá trình Levy)

Một quá trình ngẫu nhiên X ={X t t : ≥ định nghĩa trên không gian xác suất 0} (Ω F , , P) được gọi là một quá trình Levy nếu nó thỏa các tính chất sau:

(1) X có các số gia độc lập: với mỗi dãy thời gian tăng t0, ,… t n , các đại

lượng ngẫu nhiên

• Quá trình ngẫu nhiên X ={X t t : ≥ chỉ thỏa từ điều kiện (1) đến điều 0}

kiện (4) được gọi là quá trình Levy theo luật

• Quá trình ngẫu nhiên X ={X t t : ≥ thỏa các điều kiện (1), (2), (4) và 0}

(5) được gọi là quá trình cộng tính

• Quá trình ngẫu nhiên X ={X t t : ≥ thỏa các điều kiện (1), (2) và (4) 0}

được gọi là quá trình cộng tính theo luật

Định nghĩa 1.1.2 (Khả phân vô hạn)

Cho X là một biến ngẫu nhiên lấy giá trị trên Khi đó X được gọi là khả phân

vô hạn nếu với mọi n ∈ , tồn tại các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối 1( )n , 2( )n , , ( )n

Định lý sau cho ta cách biểu diễn hàm đặc trưng của những phân phối khả phân vô

hạn Nó được gọi là biểu diễn Levy – Khintchine hay công thức Levy – Khintchine

Cho D ={x x: ≤ 1} là quả cầu đơn vị đóng

Định lý 1.1.4 (Biểu diễn Levy – Khintchine)

(i) Nếu μ là phân phối khả phân vô hạn trên d thì

trong đó A là một ma trận cấp d d × , đối xứng, xác định không âm và ν là một độ

đo trên d thỏa

(ii) Cách biểu diễn của μ( )z trong (i) theo A ν và γ là duy nhất ,

(iii) Ngược lại nếu A là một ma trận cấp d d × , đối xứng, xác định không

âm, ν là một độ đo thỏa (1.2) và γ ∈ d thì tồn tại một phân phối khả phân

vô hạn μ với hàm đặc trưng cho bởi (1.1)

Định nghĩa 1.1.5 (Bộ ba cơ sở)

Ta gọi (A ν γ trong định lý 1.1.4 là bộ ba cơ sở của μ A và ν lần lượt là ma , , )

trận hiệp phương sai Gauss và độ đo Levy của μ

Sau đây ta xét một số ví dụ về quá trình Levy

được cho bởi

1.2 Tích phân theo quá trình Levy

Tính chất 1.2.1 Cho { :X t ≥ là quá trình Levy trên t 0} R với phân phối n

Lấy logarit hai vế hệ thức trên ta có

log ( )μˆ0 x t s+ =log ( )μˆ0 x s+log ( )μˆ0 x t

Định nghĩa 1.2.2 (Định nghĩa hàm bậc thang)

Cho 0 t ≤ < < ∞ Khi đó một hàm 0 t1 f s trên ( ) ⎡⎣t t0, 1⎤⎦ được gọi là hàm bậc thang

nếu có hữu hạn điểm t s s0= < < < = sao cho: 0 1 s t n 1

1

[ , ) 1

n

j s s j

, ( )

, 1

t s

i z f s dZ

i a z Z Z n

( )

1 0 0

( )

t t

Giả sử f s là hàm thực đo được và bị chặn trên ( ) ⎡⎣t t0, 1⎤⎦ sao cho có các hàm bậc

thang bị chặn đều f s , n( ) n =1,2,… trên ⎡⎣t t0, 1⎤⎦ thỏa f n → hầu chắc Khi đó f

∫ hội tụ theo xác suất về một biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong n

Giới hạn X đó không phụ thuộc vào cách chọn dãy f n → Phân phối của X là khả f

phân vô hạn và được biểu diễn bởi

( )

1 0 0

( )

t t

khả phân vô hạn Hơn nữa

Để thấy rằng giới hạn X không phụ thuộc vào dãy xấp xỉ, ta đặt f s n( ) → f s( ) và

Định nghĩa 1.2.4 (Tích phân theo quá trình Levy) Biến ngẫu nhiên nhận giá trị

trong n nêu ra trong tính chất trên là tích phân ngẫu nhiên của hàm f s đo được ( )

và bị chặn trên ⎡⎣t t0, 1⎤⎦ theo quá trình Levy {Z t ≥ t : 0}, và ta kí hiệu

Hệ quả 1.2.7 (Công thức tích phân từng phần)

Từ tính chất 1.2.6 ta có thể thu được công thức tích phân từng phần của tích phân

ngẫu nhiên theo quá trình Levy như sau:

1.3.1 Phương trình vi phân hình học và nghiệm của nó

Phương trình vi phân hình học là phương trình có dạng:

dX t( )= α( ) ( )t X t dt+ β( ) ( )t X t dW t (1.8) trong đó α( ), ( )t β là các hàm số của t; t W là quá trình Wiener với điều kiện ban t đầu X(0)=X0

Cách giải phương trình vi phân hình học

Trước hết ta tìm cách giải phương trình (1.8) trong trường hợp đặc biệt, khi ( ) 0t

1.3.2 Phương trình vi phân Levy hình học

Cho W t( )=(W t W t1( ), ( ), ,2 W t n1( ) ;)T t ≥ là chuyển động Brown 0 n - chiều và độ 1

đo ngẫu nhiên Poisson n - chiều: 2

Định nghĩa 1.3.1 (Định nghĩa quá trình Itô - Levy nhiều chiều)

Quá trình Itô - Levy n-chiều X t t ≥ là quá trình ngẫu nhiên với vi phân có ( ), 0

dạng

2 0

( )

n

dX t = α ωt dt + β ωt dW t + ∫ γ t z ω N dt dz (1.16) trong đó:

với điều kiện ban đầu X(0)= x0, trong đó: t≥0,z∈ 0,ω∈ Ω và α ω , ( , )t

( , )t

β ω , A t ω , ( , )( , ) B t ω , ( , , )γ t z ω , G t z ω là những quá trình ngẫu nhiên khả ( , , )

đoán cho trước với γ( , , )t z ω > − ∀1 ( , , ) 0,t z ω ∈⎡⎣ ∞ ×) 0× Ω và thỏa các điều kiện

Ta tìm nghiệm của phương trình (1.12) bằng phương pháp tách nghiệm, nghĩa là ta

tìm nghiệm của nó dưới dạng tích

X t( )= X t X t1( ) ( )− 2 − (1.23) trong đó:

X t là nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng, nghĩa là nó 1( )

là nghiệm của phương trình (1.22) đã đề cập trong Định lí 1.3.4

X t là nghiệm của phương trình 2( )

Theo Định lí 1.3.4 ta có nghiệm X t1( )− của phương trình (1.22) cho bởi hệ thức

(1.21) Áp dụng hệ quả1.3.2 cho tích X t( )=X t X t1( ) ( )− 2 − nêu trên, ta thu được:

(1.25) ta thu được hệ phương trình

* 1

( )

( , , )( , , )

1.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính

Định nghĩa 1.3.5 Phương trình vi phân tuyến tính dạng tổng quát là phương trình

có dạng:

dX t( )= α⎡⎣ ( ) ( )t X t + f t dt( )⎤⎦ + β⎡⎣ ( ) ( )t X t +g t dW( )⎤⎦ t (1.26) trong đó α( ), ( ), ( ), ( )t β t f t g t là những hàm của t và W là quá trình Wiener với t

điều kiện ban đầu X(0)=X0

Cách giải phương trình vi phân tuyến tính

Ta tìm nghiệm của phương trình (1.26) dưới dạng: X t( )=X t X t1( ) ( )2 , trong đó

Bây giờ ta sẽ định nghĩa phương trình Langevin thông qua nghiệm của phương trình

vi phân tuyến tính đã xét ở phần trên

trong đó λ và σ là các tham số dương; W t là chuyển động Brown tiêu chuẩn.( )

Ta giải phương trình Langevin theo phương pháp giải một phương trình vi phân

tuyến tính đã nêu trong 1.3.2 với chú ý rằng:

Giả sử {X t t T( ), ∈ } là quá trình ngẫu nhiên trong không gian n Khi đó:

(i) {X t t T( ), ∈ } được gọi là tự đồng dạng nếu ∀ >a 0,∃ > sao cho: b 0

(i) Quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị thực {X t t T( ), ∈ } được gọi là tự đồng

dạng cấp K > (viết tắt là K ss0 − ) nếu với mọi a > , phân phối hữu hạn chiều 0

của {X at t T( ), ∈ } cũng là phân phối hữu hạn chiều của {a X t t T K ( ), ∈ }; nghĩa là nếu với bất kì n≥1, , , ,t t1 2 … t n∈T và với bất kì a > , ta có 0

( ( ) ( )1 , 2 , , ( ) ) d ( K ( )1 , K ( )2 , , K ( ) )

X at X at … X at = a X t a X t … a X t (1.35) (ii) Quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị phức {X t t T( ), ∈ } là tự đồng dạng với cấp K nếu với tất cả a > , phân phối hữu hạn chiều của 0

2) Cho X là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối S Sα với 0 < α < Khi đó 2

Định nghĩa 1.5.1 Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối ổn định nếu

với mọi số dương A và B , tồn tại số dương C và số thực D sao cho

AX1 + BX2 =d CX D+ (1.37)

trong đó X , 1 X là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối với X 2

( Kí hiệu = có nghĩa là bằng nhau theo phân phối) d

• Nếu D = thì ta nói rằng đó là phân phối ổn định ngặt 0

• Ta nói rằng X có phân phối ổn định đối xứng nếu X là phân phối ổn định và

( )−X có cùng phân phối với X

• Với mỗi phân phối ổn định X , tồn tại một số thực α ∈(0; 2⎤⎦ sao cho

Cα = Aα + Bα (1.38)

α được gọi là đặc trưng mũ hay chỉ số đặc trưng của phân phối ổn định

Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối ổn định nếu với mọi n ≥ , tồn 2

tại số dương C và số thực n D sao cho: n

X1 + X2 + +X n =d C X D n + n (1.39) trong đó X , 1 X ,…, 2 X là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối n

với X

Dựa vào biểu diễn Levy – Khintchine ta còn có thể định nghĩa phân phối ổn định

theo cách sau:

Định nghĩa 1.5.3

phối đặc trưng ϕ được viết dưới dạng: ( )t

ln ( )ϕ t = μ − σi t α tα⎡⎣1+ βω αi ( , )t sign t( )⎤⎦ (1.40)

với

2( , )

khi t

Chú ý Các định nghĩa 1.5.1, 1.5.2 và 1.5.3 là tương đương nhau

Từ định nghĩa 1.5.3 ta thấy rằng phân phối ổn định được xác định bởi 4 hệ số:

Sau đây là một số tính chất của phân phối ổn định

Tính chất 1 Cho X , 1 X ,…, 2 X n X X n n ∼ Sα(σ β μn, ,n n)là các phân phối độc lập và X1 ∼ Sα(σ β μ1, ,1 1), X2 ∼Sα(σ β μ2, ,2 2),…, X n ∼ Sα(σ β μn, ,n n) Khi đó:

X X1+ 2 + +X n ∼Sα(σ β μ, , )

*Nhận xét: 4 trường hợp sau đây phân phối ổn định có hàm mật độ biểu diễn được

dưới dạng các hàm sơ cấp ( biểu diễn tường minh)

4 Khi phân phối ổn định trở thành suy biến: đại lượng ngẫu nhiên là hằng số

(không ngẫu nhiên) Chẳng hạn Sα(0, 0,μ với mọi ) α ∈( )0, 2

1.5.2 Quá trình ngẫu nhiên ổn định

Định nghĩa 1.5.5 (Quá trình ổn định)

Cho X là một quá trình Levy xác định trên t n Quá trình X được gọi là ổn định t (ổn định ngặt) nếu phân phối của X khi t t = là ổn định (ổn định ngặt) 1

Định lí 1.5.6

Cho X là quá trình Levy không suy biến trên với bộ ba cơ sở là (A ν γ , , )

i) Nếu X là quá trình ổn định với chỉ số α , khi đó α ∈(0, 2⎤⎦

ii) X là quá trình ổn định với chỉ số 2 khi và chỉ khi ν = và 0 γ = 0

iii) X là quá trình ổn định với chỉ số 1 khi và chỉ khi A = và 0

với C C là những hằng số xác định không âm 1, 2

iv) X là quá trình ổn định với chỉ số α ∈( ) ( )0; 1 ∪ 1; 2 khi và chỉ khi

− +α

⎛ ⎞ν⎜ ⎟

CHƯƠNG II

QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN LOẠI ORNSTEIN – UHLENBECK

SINH BỞI ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP PHÂN TÁN

2.1 Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck

Giả sử {Z t ≥ là một quá trình Levy trên t : 0} n có bộ ba cơ sở là (A ν γ và 0, 0, 0)

một số λ > Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên 0

trong đó X là một biến ngẫu nhiên độc lập của0 {Z t ≥ t : 0}

Ta có thể viết phương trình trên về dạng như sau

X e−λ ⎛ e−λ − ds dZ⎞

∫ ∫

Điều này có nghĩa là X xác định trong (2.2) thỏa được phương trình (2.1) t

Giả sử X ω và 1t( ) X ω thỏa (2.2) Với ω cố định, ta định nghĩa một hàm t2( ) f t bị ( )chặn trên ⎡⎣t t0, 1⎤⎦ bởi f t( )= X t1( )ω − X t2( ).ω

t s n

t s n

Do đó f t ≡ và tính chất duy nhất nghiệm đã được chứng minh ( ) 0

Định nghĩa 2.1.2 (Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck)

Giả sử {Z t ≥ là một quá trình Levy trên t : 0} n có bộ ba cơ sở là (A ν γ và 0, 0, 0)

{ }Z được gọi là quá trình dẫn nền Levy của quá trình loại Ornstein – Uhlenbeck t

Tính chất 2.1.3 (Tính chất của quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck)

Quá trình X ={ }X t xác định trong tính chất duy nhất nghiệm ( tính chất 2.1.1) là một quá trình Markov thuần nhất theo thời gian với hàm xác suất chuyển P x dy t( , )

khả phân vô hạn và thỏa

, ( )

0 0