phương trình tích phân trong không gian trừu tượng

Thực tế, lý thuyết về phương trình vi tích phân trong không gian vô hạn chiều, không đòi hỏi toán tử bị chặn, được biết đến vào những năm 1970, 1980, và đã có nhiều ứng dụng khác nhau nh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS LÊ HOÀN HÓA

Tp Hồ Chí Minh, Năm 2012

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến Thầy PGS.TS Lê Hoàn

Hóa, người đã tận tình hướng dẫn và tạo điều kiện thuận lợi tối đa để tôi hoàn

thành tốt luận văn này

Tôi xin gởi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn

đã dành thời gian và công sức để đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến giúp tôi hoàn thành tốt luận văn

Tôi xin gởi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, Quý Thầy Cô Phòng Sau đại học, Quý Thầy Cô trong và ngoài khoa Toán- Tin học trường Đại học Khoa học tự nhiên TP.Hồ Chí Minh đã truyền đạt kiến thức và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp chúng tôi hoàn thành chương trình học

Do kiến thức bản thân còn hạn chế cũng cần phải học tập thêm, kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của quý Thầy Cô khi đọc và chấm luận văn

Cuối cùng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, và bạn bè đã hỗ trợ, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua

Xin chân thành cảm ơn!

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2011

TỔNG QUAN

Lý thuyết về phương trình tích phân trong không gian trừu tượng hiện đại hơn lý thuyết về phương trình tích phân trong không gian hữu hạn chiều Thực tế, lý thuyết về phương trình vi tích phân trong không gian vô hạn chiều, không đòi hỏi toán tử bị chặn, được biết đến vào những năm 1970,

1980, và đã có nhiều ứng dụng khác nhau nhất là trong khoa học ứng dụng Trong luận văn này, phương trình tích phân được tiếp cận bằng một số phương pháp như

• Phương pháp điểm bất động trong các không gian hàm khác nhau, liên quan đến bài toán về sự tồn tại và tính chất nghiệm;

• Lý thuyết nửa nhóm;

• Xây dựng hạch giải thức và ứng dụng của nó

Các loại phương trình Volterra cổ điển, các dạng khác nhau của phương trình

vi tích phân, và phương trình Volterra trừu tượng đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả Những nghiên cứu này minh họa cho vai trò ngày càng quan trọng của phương trình Volterra cũng như sự phát triển của toán học hiện đại Mục tiêu của luận văn là chúng tôi đưa ra kết quả liên quan đến hướng nghiên cứu được đề cập ở trên, và minh họa các phương pháp đã được áp dụng thành công để tiếp tục nghiên cứu sâu hơn trong lĩnh vực này

Nội dung luận văn được chia làm 5 chương

- Chương 1: trình bày nội dung về phương trình với toán tử bị chặn

- Chương 2: phương trình với toán tử không bị chặn trong không gian Hilbert

- Chương 3: phương pháp nửa nhóm cho phương trình vi tích phân

- Chương 4: phương trình Volterra không tuyến tính và liên kết nửa nhóm toán tử

- Chương 5: sự tồn tại nghiệm của phương trình vi tích phân trong không gian Hilbert

Chương 1- PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG

GIAN TRỪU TƯỢNG

7

1.1 Sự tồn tại và tính chất nghiệm của phương trình tích

phân trong không gian Banach

7

1.2 Nghiệm mạnh của phương trình vi tích phân với đối

số lệch

10

Chương 2- PHƯƠNG TRÌNH VỚI TOÁN TỬ KHÔNG BỊ CHẶN

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chương 4- PHƯƠNG TRÌNH VOLTERRA KHÔNG TUYẾN

TÍNH VÀ LIÊN KẾT NỬA NHÓM TOÁN TỬ

Chương 5- SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI

TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

55

5.2 Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi tích phân

trong không gian Hilbert

56

C + X : không gian các hàm khả vi liên tục từ R+ vào X

● L p( [ ]0,T ,X : không gian các hàm ) x t đo được theo độ đo Lebesgue ( )

trên [ ]0,T sao cho ( )

p

p L

● L∞( [ ]0,T ,X): không gian gồm các hàm x: 0,[ ]T →X đo được và tồn

tại hằng số C sao cho x t( ) ≤C h.k.n trên [ ]0,T

● L loc p (R ,+ X) {= f : R+ →X đo được sao cho p( )

f ∈L ω với mọi ω ⊆R+thỏa ω là tập compact chứa trong R+} (1≤ ≤ ∞p )

Chương 1

PHƯƠNG TRÌNH VỚI TOÁN TỬ BỊ CHẶN

1.1 Sự tồn tại và tính chất nghiệm của phương trình tích phân

trong không gian Banach

Cho X là không gian Banach thực, D là tập mở bị chặn và : T D→ X là

ánh xạ compact Giả sử T thỏa các điều kiện sau

i) Với ε >0 tồn tại ánh xạ compact T ε sao cho T x ε( ) ( )−T x < ∀ ∈ε, x D

và phương trình x=T ε( )x +h có nhiều nhất một nghiệm trên D nếu h ≤ε ;

ii) T không có điểm bất động trên D∂ và deg(I −T D, , 0)≠ 0

Khi đó tập các điểm bất động của T là tập compact liên thông

Ta kí hiệu E=C( [ ]0,T ,X) là một không gian hàm Toán tử V E: →E

được gọi là toán tử Volterra trừu tượng nếu với bất kì x y, ∈E sao cho

( ) ( )

x s = y s với s∈[ ]t t t0, , ≤T thì ( )( ) ( )( )Vx t = Vy t

Xét phương trình Volterra trừu tượng như sau

x t( ) ( )( )= Vx t , t∈[ ]0,T , (1.3)

trong đó x∈E và V E : → E là toán tử Volterra không tuyến tính

Định lý 1.1.3

Xét phương trình Volterra (1.3) dưới các điều kiện sau

(a) V C: ( [ ]0,T ,X)→C( [ ]0,T , X) là một toán tử Volterra;

(b) V liên tục compact trên S r ⊂C( [ ]0,T ,X), với S r là quả cầu tâm

x0∈ ⊂X C , và bán kính r ;

(c) x0 là giá trị đầu cố định của toán tử V

Khi đó, tồn tại δ >0,δ ≤T để (1.3) có ít nhất một nghiệm trên [0,δ]

1.2 Nghiệm mạnh của phương trình vi tích phân với đối số lệch

Cho X là không gian lồi địa phương và P là một họ nửa chuẩn tách trên X , D là một tập con của X và U D: → X Với bất kì a ∈ X, ta định nghĩa

:

a

U D→X bởi U a( )x =U x( )+a Toán tử U D: →X được gọi là Hoa-Schmitt co trên tập con Ω của X

nếu

1) với bất kỳ a∈ Ω:U a( )D ⊂ D;

2) với bất kỳ a∈Ω và p∈P, tồn tại k a∈N với tính chất ∀ > ∃ ∈ Νε 0, r ∗

và ∃ >δ 0 sao cho ∀x y, ∈D thỏa α a p(x y, )< +ε δ thì

u = u t t∈ n

Đặt A ={x [ ]:x∈A} Khi đó ta có

Tập A là compact tương đối trong X0 ⇔ (∀ ∈n N ,∗ A n đẳng liên tục trong X n và với bất kỳ s∈[ ]0,n tập hợp A s n( )={x s( ):x∈A n} compact

tương đối trong E ) ⇔ (∀ ∈n N ,∗ A n đẳng liên tục trong X n và tập hợp

{x t :x∈ A n,t∈ 0,n } compact tương đối trong E )

Cho r > 0 Ta kí hiệu C r =C( [−r,0 ,] E) với chuẩn

và X0 =C(R ,+ E) là không gian Frechet các hàm liên tục từ R+vào E với họ

nửa chuẩn { }⋅n n được định nghĩa như sau

Cho X =C( [− ∞r, ],E) là không gian các hàm liên tục từ [− ∞r, ) vào E

Với mọi x X ∈ và t ≥ 0 đặt x t∈C r định nghĩa bởi

t

x θ = x t+θ θ∈ −r Xét phương trình

( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( )

0 0

K ∞ × × → E C E là ánh xạ compact sao cho

K t( ,.,., :) I × × →A B E liên tục đều theo t trên mỗi đoạn bị chặn tùy ý

của[0,∞), với bất kỳ các tập con bị chặn I ⊂[ )0,∞ , tập con bị chặn A⊂E, tập con bị chặn B⊂C r, nghĩa là

Trên mỗi đoạn bị chặn tùy ýJ của [0,∞), với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0, sao cho với mọi t t1, 2∈J và t1− <t2 δ thì

( )I tương đương với phương trình tích phân sau

Bổ đề 1.2.6

H X: 0 → X0 là ánh xạ compact và lim 0

n

n x

n

Hx x

Suy ra H x k −H x0 n <ε, ∀ ≥k k0 Vậy Hliên tục trên X0

● Lấy Ω là tập con bị chặn của X0 Ta phải chứng tỏ rằng ∀ ∈ n N∗

Mà ∀ ∈t [ ] ( )0,n :A t n ⊂tI Do đó A n( )t compact tương đối trong E với mọi t∈[ ]0,n

Nên theo định lý 1.2.2 ta có H ( )Ω là tập compact tương đối trong X0

Hx

n x

t

s

Hx t = ∫K t s x s x ds Khi đó H là ánh xạ compact trên không gian Banach X n

Bổ đề 1.2.8

Ta có với mỗi n ∈ N∗ và bất kỳ z∈X0 ta đặt

d n =max{ω( )s :s∈[ ]0,n} và c n=2k n+d n Khi đó ta có

s c

x y

( )

1

1

1 !

1 !

j j

j n

n

n c

j j

Vậy từ (1.4) ta thấy U thỏa các điều kiện i), ii), iii) của định lý 1.2.1

Ta chứng minh C liên tục Lấy n ∈ N∗ và cố định n lại

Cx t −Cx t = ∫Hx s ds ≤∫ Hx s ds≤ Hx t −t ≤α t −t

Ta có H ( )Ω là tập compact tương đối nên theo định lý 1.2.2 ta có tập hợp n { ( ): ( ( ) ) , [ ]0, }

Vì L là tập compact nên tL+ϕ( )0 là tập compact ∀ ∈t [ ]0,n

Do đó ( C ( ) Ω )n( ) t compact tương đối trong E với mọi t∈[ ]0,n

Vậy theo định lý 1.2.2 ta có C( )Ω là tập compact tương đối trong X0

Do đó C là ánh xạ compact

n

n x

n

Cx

n x

n

Hx

n x

Do H hoàn toàn liên tục trên X n nên H ( )Φn bị chặn trong X n

Do đó tồn tại ρ>0 sao cho ∀ ∈x X0 mà

< + , ∀ ∈x X0 Khi đó ∀ ∈t [ ]0,n , ∀ ∈x X0 ta có

Cx x

n

Cx

n x

Ta có W bị chặn trong X n Khi đó H W( )n bị chặn trong X n

Vậy tồn tại h n>0 sao cho H x n ≤ h n, ∀ ∈x W Ta có ∀ ∈x W,∀ ∈t [ ]0,n thì

Chương 2

PHƯƠNG TRÌNH VỚI TOÁN TỬ KHÔNG BỊ CHẶN TRONG

KHÔNG GIAN HILBERT

Giả sử H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng , và chuẩn

,

x = x x , với mọi x∈H Giả sử k t s( ), là hàm thực đo được trên

[ ] [ ]a b, × a b, , sao cho k t s( ), =k s t( ), hầu hết, và

Giả sử H là không gian Hilbert thực và T là toán tử tuyến tính liên tục

và song ánh từ H lên H Khi đó T −1 là liên tục từ H vào H

Một song ánh T H: →H được gọi là một đẳng cấu từ H lên H khi T và

1

T − đều là các ánh xạ liên tục

R P P thì các tính chất sau đây thỏa mãn

(a) R là tự đẳng cấu liên tục trên H ;

(b) nếu A D: A ⊂H →H là toán tử tuyến tính tự liên hợp với

PD i A⊂D i A, =1, 2, thì thu hẹp của R trên D A là song ánh;

Vì R= −P1 P2 nên Rx=0 kéo theo P x1 −P x2 =0

Suy ra x=0, nên R là song ánh

Theo bổ đề 2.1 ta có R−1 liên tục

V ậy R là tự đẳng cấu liên tục trên H

● Vì R liên tục và A đóng nên L= AR đóng

Lấy y∈D A, với mọi x∈D A ta có Lx y, = x R Ay, ∗ nên

Lx y = ARx y ≤α x ≤α R− Rx, với α >0 và với mọi x∈D L =D A

Vì thu hẹp của R lên D là song ánh trên A D nên A

1

Az y ≤α R− z ∀ ∈z D Suy ra y∈D A=D L, do đó L

L

D =D ∗ ■ Cho không gian Hilbert H , S H là tập mở khác trống và ánh xạ ⊂

F x h

tồn tại và F x là ánh xạ tuyến tính liên tục từ H vào H thì ′( ) F x được ′( )

gọi là đạo hàm Gateaux của F tại x và ánh xạ F gọi là khả vi Gateaux tại x

2.3 Định lý 2.3

Xét phương trình Ax=Fx,∀ ∈x H , và giả sử các điều kiện sau đây được thỏa mãn

(1) A D: A ⊂H →H là toán tử tuyến tính tự liên hợp;

(2) H là tổng trực tiếp của hai không gian con đóng H1 và H2, và D A bất biến đối với hai phép chiếu P P P H1, 2, i: →H i i, =1, 2;

(3) F H: →H có đạo hàm Gateaux đối xứng F′( )x , tại mỗi x H ; ∈

(4) tồn tại hai toán tử tuyến tính đối xứng B và C thỏa mãn

B ≤ F′( )x ≤C, ∀ ∈x H; (2.3)

trong đó quan hệ B≥C được hiểu theo nghĩa (B C x x− ) , ≥ ∀ ∈0, x H ;

(5) tồn tại γ >0 sao cho

2

γ γ

FRx−FRy x−y = DR x− y x−y với D=F Ry′( +t Rx( −Ry) ) Theo

điều kiện (3) ta có D là toán tử tuyến tính tự liên hợp trên H , mà A là toán

tử tuyến tính tự liên hợp (theo (1)) nên A−D cũng là toán tử tuyến tính tự

liên hợp trên H Do đó

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Mặt khác, với mọi z∈H ta có

Phương trình Ax=Fx tương đương với Mx=0 trong đó M = −L FR

Ta có M =(A−F R) và R song ánh nên từ (2.6) suy ra M đơn điệu

Hơn nữa, từ (2.6) cho x = z và y=0 ta có

Do đó M D: L ⊂H → H đơn điệu và cưỡng bức

Khi đó tồn tại x∗∈D L sao cho Mx∗=0(theo [1])

Điều này có nghĩa là Ax∗ =Fx∗

Do M đơn điệu mạnh nên từ (2.6) nếu ta cho Mx=My thì x= y Vậy x∗ là duy nhất

trong đó p t( ) ( ) ( ), p t′ ,q t là các hàm liên tục trên a b, , nhận giá trị trong

R và p t( )>0 Hàm k t s( ), đối xứng và đo được trên [ ] [ ]a b, × a b, và thỏa điều kiện Hilbert-Schmidt ( )2

, , R

L a b

(2.8) có điều kiện biên

α1x a( )+α2x a&( )=0, β1x b( )+β2x b&( )=0, (2.9) trong đó α1 + α2 >0, β1 + β2 >0

Đầu tiên, chọn không gian Hilbert 2( [ ] )

, , R

H =L a b Thứ hai, toán tử A D: A⊂ →H H được cho bởi

Ta có D A trù mật trong 2( [ ] )

, , R

L a b , A là toán tử tự liên hợp và có nghịch đảo compact Hơn nữa, toán tử nghịch đảo này là một toán tử tích phân mà hạch của nó- hàm Green- đối xứng liên tục trên [ ] [ ]a b, × a b, A và A−1

có hàm riêng trùng nhau và chúng sinh ra dãy { }ψ j ≥1

j trực giao từng đôi một trong 2( [ ] )

Do đó λ j → ∞ khi j→ ∞, và chỉ có một số hữu hạn các số λ âm j s

Vì đạo hàm Gateaux ở vế phải của (2.8) là toán tử đối xứng sinh bởi hạch

Số γ trong (2.6) là số dương tùy ý sao cho γ <min{µ λ λ− m, m+1−v}.

Theo định lý 2.2, (2.8) có nghiệm duy nhất trong D A

So sánh (3.3) và (3.4), lấy tùy ý 0

,

A

x ∈D f ∈F (với F là một không gian

hàm) thì S t( )≡ R t( ),t∈R+ Vì thế, việc tìm kiếm nửa nhóm toán tử liên tục (mô tả họ nghiệm của (3.1)) và đi tìm toán tử giải thức biểu diễn cho (3.1) là như nhau

(a) A là phần tử sinh của nửa nhóm toán tử tuyến tính bị chặn trong X

Khi A đóng D A là không gian Banach, được kí hiệu là (Y, ⋅Y), với chuẩn

x = x + Ax

(b) {B t( );t∈R+} là họ các toán tử tuyến tính bị chặn từ Y vào X

(c) Với mọi x Y ∈ , hàm ( )( )Bx t = B t x( ) đo được Bochner (từ R+ vào X )

(d) Tồn tại ω≥0, sao cho

( ) 1( )

R , R ,

t

e−ω B t ∈L + (3.5) trong đó B t là chuẩn của toán tử tuyến tính bị chặn ( ) B t( ) từ Y vào

R1 R( )0 = I (với I là toán tử đơn vị của X )

R2 Với bất kì x X ∈ ánh xạ t → R t x( ) liên tục trên R +

3.3 Mối liên hệ giữa nửa nhóm toán tử và toán tử giải thức

Bổ đề 3.3.1

Giả sử {R t( );t∈R+} là họ các toán tử tuyến tính bị chặn trên X thỏa

mãn R1, R2 sao cho

B t( ) ≤Me ω t, t∈R ,+ (3.8) với M và ω là những hằng số Khi đó ba điều kiện sau đây là tương đương

Giả sử hàm f trong (3.1) thuộc không gian hàm F = F(R ,+ X).

Để chính xác hơn ta cần nêu rõ không gian hàm F cũng như những tính

chất cần thiết của B để đảm bảo rằng A là phần tử sinh của nửa nhóm toán

tử trên không gian tích X × F

x x t e dt ω

∞

=∫

Nửa nhóm T( )⋅ được cho bởi công thức (T t f u( ) ) ( ) ( )= f t u , liên tục +mạnh và phần tử sinh của nó - D u có miền xác định là không gian Sobolev

x Y Khi đó tồn tại một toán tử giải thức cho phương trình (3.1)

3.4 Xây dựng toán tử giải thức cho phương trình vi tích phân

Ở đây chúng ta mô tả ngắn gọn việc xây dựng toán tử giải thức cho phương trình có dạng

Giả sử A và B t t( ), ∈R+ thỏa các giả thiết sau đây

(a') A là phần tử sinh của nửa nhóm giải tích (liên tục mạnh) T t( ) trong X

(b') B t t( ), ∈R ,+ là họ các toán tử tuyến tính bị chặn trong X, sao cho

Định nghĩa toán tử giải thức được phát biểu lại như sau

Họ các toán tử tuyến tính bị chặn R t t( ), ∈R ,+ trên X được gọi là toán

tử giải thức cho (3.16) nếu các điều kiện R1, R2 được thỏa mãn, R t D( ) A ⊂D A

với mọi t≥0, AR t x( ) liên tục và R t x( ) Lipschitz địa phương và khả vi hầu hết trên R+, với bất kì x D∈ A; ngoài ra, với bất kì x D∈ A và hầu hết trên

Lấy tích 2 vế phân phương trình (3.18) ta nhận được

.

X Hơn nữa, ánh xạ t→ R t là ánh xạ liên tục từ ( ) ( )0,∞ vào không gian các toán tử tuyến liên tục trên Y hoặc trên X

Chương 4

PHƯƠNG TRÌNH VOLTERRA KHÔNG

TUYẾN TÍNH VÀ LIÊN KẾT NỬA NHÓM TOÁN TỬ

Cho E là không gian Banach thực với chuẩn ⋅, xét phương trình tích phân phi tuyến Volterra dạng

Để gắn với (4.1) một nửa nhóm toán tử phi tuyến ta biến đổi phương trình (4.1) sang phương trình hàm có dạng

x t( )= +h G x( )t −G( )φ , t∈R ,+ (4.2) dưới điều kiện đầu x( )0 =h x, 0 = ∈φ S, (4.3) trong đó G thay cho toán tử phi tuyến tác động lên không gian hàm thích hợp

.

S

Ta định nghĩa