chỉnh hóa nghiệm một bài toán ngược xác định nguồn nhiệt

Bài toán cơ bản là vẽ lại các thông tin hữu ích từ các dữ liệu đo đạc Vật lý bịnhiễu, ở đó ta nhận được bài toán không chỉnh chủ yếu là nghiệm của bài toánkhông phụ thuộc liên tục vào dữ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ THỊ LOAN

CHỈNH HÓA NGHIỆM MỘT BÀI

TOÁN NGƯỢC XÁC ĐỊNH NGUỒN NHIỆT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Tp Hồ Chí Minh - 2010

LÊ THỊ LOAN

CHỈNH HÓA NGHIỆM MỘT BÀI

TOÁN NGƯỢC XÁC ĐỊNH NGUỒN NHIỆT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60 46 01

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS Nguyễn Công Tâm

Đại học Khoa học Tự nhiên

Tp Hồ Chí Minh - 2010

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và chân thành cảm ơn thầy hướngdẫn tôi, Tiến sĩ Nguyễn Công Tâm, thầy đã bỏ nhiều công sức tận tình hướng dẫn,chỉ bảo và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Tiến sĩ Nguyễn Thành Long trong các buổi seminarthầy đã thường xuyên đôn đốc và cho ý kiến quý báu cũng như những lời phê bìnhbổ ích giúp tôi hoàn thành tốt luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Tiến sĩ Trần Minh Thuyết, thầy đã dành thời gian đểnghe tôi thuyết trình và giúp tôi làm sáng tỏ các vấn đề trong luận văn

Xin trân trọng cảm ơn các Thầy đã truyền đạt những kiến thức và kinh nghiệmquý báu trong suốt các môn học

Xin chân thành cảm ơn anh Phạm Thanh Sơn, lớp cao học Giải tích K18 trườngĐại học Sư phạm TPHCM, các anh trong lớp học seminar và các bạn cùng lớp đãcùng tôi thảo luận các vấn đề trong luận văn

Lời thân thương nhất tôi xin chân thành cảm ơn Gia đình đã luôn luôn ủng hộtôi về tinh thần và vật chất trong những hoàn cảnh khó khăn

Lê Thị Loan

Lời nói đầu 1

Chương mở đầu Một số công cụ chuẩn bị 6

Chương 1 Biến đổi Laplace 9

Chương 2 Thiết lập phương trình tích phân 23

Chương 3 Chỉnh hóa nghiệm 38

Kết luận 48

Tài liệu tham khảo 50

Lời nói đầu

Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát bài toán sau: Tìm hàm l(x, t) thỏa:

• ut(x, t) là mức độ thay đổi của nhiệt độ tại một điểm nào đó theo thời gian

• uxx(x, t) là đạo hàm bậc hai (lưu chuyển nhiệt) của nhiệt độ theo hướng x

• l(x, t) là nguồn nhiệt và l(x, t) = k(t)f (x) với k(t) cho trước trên [0, 1], tìmhàm f(x) trên (0, +∞)

• Các hàm w(x), g(t), h(t) là các hàm cho trước

Đây là bài toán thường gặp trong các ngành khoa học kĩ thuật, đặc biệt là trongVật lý mà ta đã biết đó là các bài toán không chỉnh Liên quan đến bài toán này làcác công trình của Tikhonov, Lavrenties, Lions

Bài toán cơ bản là vẽ lại các thông tin hữu ích từ các dữ liệu đo đạc Vật lý bịnhiễu, ở đó ta nhận được bài toán không chỉnh (chủ yếu là nghiệm của bài toánkhông phụ thuộc liên tục vào dữ kiện) mà các phương pháp nội tại (từ các mô hìnhtoán học trực tiếp đo đạc được) dùng để ước lượng dẫn đến sự khuyếch đại khôngthể kiểm soát được của nhiễu Thông thường ta tìm một hàm (xác định trên mộtmiền thích hợp) hội tụ đến hàm chính xác, và như đã nói trên sự khuyếch đại củanhiễu xuất hiện khách quan trong quá trình đo đạc làm cho các kết quả tính toán vìthế mà không có giá trị, những ``kết quả'' này che giấu nghiệm chính xác dưới cácdao động với tầng số cao, biên độ lớn

Đối với bài toán không chỉnh này, người ta không thể giải trực tiếp bài toán màphải thông qua bài toán trung gian, tức là người ta đưa ra họ bài toán mà mỗi bàitoán trong họ là bài toán chỉnh và phải đảm bảo yêu cầu là họ nghiệm bài toán chỉnhphải hội tụ về nghiệm bài toán không chỉnh, khi mà một tham số chỉnh tương ứngcho họ bài toán đó tiến về một giới hạn nào đó.

Việc chỉnh hóa bài toán cũng không có một phương pháp chung, nghĩa là phảicó một bài toán cụ thể, phương trình tích phân cụ thể và từ đó người ta chỉnh trênđó

Trong trường hợp này bài toán (1) cùng với các điều kiện (2), (4) ta khảo sát cácbài toán cụ thể sau:

∞Z0

2√πt

∞Z0w(ξ)



e−(x−ξ)24t + e−(x+ξ)24t

dξ

− √1π

tZ0

3Từ đây ta thiết lập được phương trình tích phân Fredholm loại 1 để tìm l(x, t):

tZ0

∞Z0

l(ξ, τ )p(t − τ)e

−4(t−τ )ξ2 dξdτ =√

πg(t) +

tZ0

h(τ )

√

t− τdτ

− √1t

∞Z0w(ξ)e−ξ24tdξ

Do l(x, t) = k(t)f(x) nên phương trình tích phân Fredholm loại 1 trên trở thành:

∞Z0

f(ξ)dξ

tZ0

k(τ )e−4(t−τ )ξ2 dτ = √

πg(t) +

tZ0

h(τ )

√

t− τdτ

− √1t

∞Z0

w(ξ)e−ξ24tdξ,hay viết dưới dạng toán tử là:

(Af )(t) = ϕ(t),trong đó A là toán tử giữa 2 không gian Hilbert, A : H → H1 với H = L2(R+),

H1 = L2(0, 1)

Như chúng ta đã biết, bài toán tìm nghiệm của phương trình tích phân Fredholmloại 1 là bài toán không chỉnh theo nghĩa Hadamard Bài toán được gọi là chỉnh theonghĩa Hadamard nếu thỏa 3 điều kiện sau:

(i) Bài toán có nghiệm,

(ii) Nghiệm nếu có là duy nhất,

(iii) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện (ở đây dữ kiện là ϕ(t))

Tính chất duy nhất nghiệm là quan trọng vì ý nghĩa của nó là thông tin về dữkiện đo đạc vừa đủ để xác định nghiệm bài toán Còn ý nghĩa của sự phụ thuộc liêntục của nghiệm vào dữ kiện là độ sai lệch của nghiệm (nếu tồn tại) ứng với dữ kiện

bị nhiễu với mức độ nhỏ sẽ là nhỏ Yếu tố thứ 3 này là quan trọng nhất vì sai sốcủa dữ kiện khi đo đạc là điều hiển nhiên, và đó cũng là lý do mà ta cần phải xử lýcác bài toán này

Bài toán được gọi là không chỉnh nếu vi phạm 1 trong 3 điều trên, nghĩa là cácbài toán này có thể không có nghiệm (tức là ứng với dữ kiện đo đạc bị nhiễu ϕ,phương trình Af = ϕ vô nghiệm) Mặt khác, nếu nghiệm tồn tại thì nó không phụthuộc liên tục vào dữ kiện (nghĩa là nếu f là nghiệm ứng với dữ kiện ϕ thì một thayđổi nhỏ của ϕ kéo theo sự thay đổi lớn của f).

Do nhu cầu tính toán, các bài toán không chỉnh này cần được chỉnh hóa, vớiphương trình tích phân loại 1 trên, chúng tôi tiến hành chỉnh hóa bằng cách sử dụngphương pháp Tikhonov, với phương pháp này chúng tôi xây dựng một phương trìnhmới để chỉnh hóa (phương trình chỉnh hóa):

ε(fε, v) + hAfε, Avi = hϕε, Avi , ∀v ∈ L2(R+),trong đó bài toán tìm nghiệm của phương trình này là bài toán chỉnh, tức là:

(i) Tồn tại duy nhất nghiệm fε ∈ L2(R+) với ϕε ∈ L2(0, 1) cho trước,

(ii) fε phụ thuộc liên tục vào ϕε

Lưu ý rằng, dữ kiện đo đạc ϕε bị nhiễu so với dữ kiện chính xác ϕ

Trong luận văn chúng tôi cũng đã thiết lập được sai số giữa nghiệm chỉnh hóa

fε nêu trên so với nghiệm chính xác f (với giả thiết một số tính trơn thích hợp) củaphương trình:

Af = ϕ

Cụ thể, nếu sai số giữa dữ liệu đo đạc ϕε và dữ liệu chính xác ϕ là ε, nghĩa là:

kϕε − ϕk ≤ ε,thì chúng tôi chỉ ra được sai số giữa nghiệm chỉnh hóa fε và nghiệm chính xác f là

√

ε, nghĩa là:

kfε− fk ≤ C√ε,trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào ε

Hơn nữa, chúng tôi chứng minh được rằng fε chính là điểm bất động của mộtánh xạ co Do đó có thể xây dựng một thuật toán lặp để tính nghiệm xấp xỉ fε

5Gọi f(m)

ε là nghiệm xấp xỉ ở bước lặp thứ m Khi đó ta có đánh giá sai số f(m)

Luận văn này được trình bày theo các chương mục sau:

Lời nói đầu: Tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, đồng thời nêu bốcục của luận văn

Chương mở đầu: Chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bị bao gồm nhắc lạimột số không gian hàm, các định lý, các kết quả được sử dụng trong luận văn.Chương 1: Phép biến đổi Laplace và một số vấn đề có liên quan được chúng tôitrình bày trong chương này

Chương 2: Tìm nghiệm của một số bài toán trung gian: bài toán A, bài toán B,bài toán C, nhằm thiết lập phương trình tích phân

Chương 3: Chỉnh hóa nghiệm

Kế đến là phần kết luận, sau cùng là danh mục tài liệu tham khảo

MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ

Định nghĩa 0.1 (Không gian Hilbert thực) Cho X là một không gian vectơ trên R,một phiếm hàm, ký hiệu là: h·, ·i : X × X → R, gọi là một tích vô hướng trên Xnếu

(i) hx, xi ≥ 0, với mọi x ∈ X, và hx, xi = 0 ⇔ x = 0,

(ii) hx, yi = hy, xi , với mọi x, y ∈ X và

(iii) hαx + βy, zi = α hx, zi + β hy, zi với mọi α, β ∈ R, x, y, z ∈ X

Cho trước một tích vô hướng h·, ·i trên X, một chuẩn trên X có thể được xác địnhbởi kxkX = phx, xi

Nếu X là một không gian Banach đối với chuẩn này thì X được gọi là không gianHilbert

Hai bất đẳng thức sau đây thường được sử dụng:

Bất đẳng thức Cauchy Schwartz: Với mọi x, y ∈ X, |hx, yi| ≤ kxk kyk ,

Bất đẳng thức tam giác: Với mọi x, y ∈ X, kx + yk ≤ kxk + kyk

Định nghĩa 0.2 (Toán tử liên hợp)

Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X vào không gianHilbert Y Toán tử B ánh xạ không gian Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợpvới toán tử A, nếu

(Ax, y) = (x, By), ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y

Toán tử liên hợp B thường được ký hiệu là: A∗

Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X vào không gianHilbert Y Khi đó tồn tại toán tử A∗ liên hợp với toán tử A ánh xạ không gian Y vàokhông gian X, toán tử liên hợp A∗ cũng là toán tử tuyến tính bị chặn và kA∗k = kAk

7Định nghĩa 0.3 Cho H là không gian Hilbert, phiếm hàm song tuyến tính

a : H × H → R được gọi là

i) bị chận nếu tồn tại C > 0 sao cho

|a(u, v)| ≤ C kuk kvk với mọi u, v ∈ H,

ii) bức nếu tồn tại α > 0 sao cho

a(u, u) ≥ αkuk2 với mọi u ∈ H

Định lý 0.4 (Định lý Lax Milgram)

Nếu ánh xạ a : H × H → R thỏa mãn 3 tính chất : a là song tuyến tính, a bịchặn, a bức thì với mỗi F ∈ H∗, tồn tại duy nhất u ∈ H : a(u, v) = F (v), với mọi

|f (x)|2dx <∞





với tích vô hướng xác định như sau: hf, gi =

1Z0

+∞

Z0

f2(x, t)dxdt < ∞







với tích vô hướng được định nghĩa như sau

1Z0

+∞

Z0

f(x, t)g(x, t)dxdt, f, g ∈ L2 R+× (0, 1)

Chương 1.

BIẾN ĐỔI LAPLACE

Định nghĩa 1.1 (gốc và ảnh)

• Hàm biến thực f (t) xác định trên khoảng (−∞, +∞) được gọi là hàm gốcnếu thỏa các điều kiện sau:

Số α0 = inf a, với tất cả các a thỏa (iii) được gọi là chỉ số tăng của hàm

f , lưu ý rằng có thể (iii) không thỏa với α0

• Cho f là hàm gốc với chỉ số tăng α0 Hàm biến phức F định bởi:

F(p) =

∞Z0

f(t)e−ptdt, xác định trên miền Re p > α0, được gọi là biến đổiLaplace của f, và ký hiệu L[f(t)] = F (p)

Định lý 1.2 (về tính giải tích bên phải)

Nếu f (t) là hàm gốc với chỉ số tăng a thì:

i) tf (t) là hàm gốc với chỉ số tăng a,

ii) Tích phân F (p) hội tụ với mọi p có Rep > a,

iii) F (p) là hàm giải tích trong nửa mặt phẳng Rep > a

Tính chất 1.3 (tính chất tuyến tính)

Nếu L[f(t)] = F (p) và L[g(t)] = G(p) thì:

f(t)e−ptdt+

∞Z0g(t)e−ptdt

= F (p) + G(p)

Vậy L[f(t) + g(t)] = F (p) + G(p)

ii) L[kf(t)] =

∞Z0

kf(t)e−ptdt= kF (p)

Do đó, L[kf(t)] = kF (p)

Tính chất 1.4 (tính chất đạo hàm gốc)

Nếu L[f(t)] = F (p), và giả sử f0(t) là hàm gốc thì L[f0(t)] = pF (p) − f (+0).Chứng minh

f(t)e−ptdt = pF (p) − f (+0).Hệ quả:

11Định nghĩa 1.6 (tích chập).

Cho hai hàm gốc f(t) và g(t) Tích chập của hai hàm số f(t) và g(t) được xácđịnh bởi:

(f ∗ g)(t) =

tZ0

f(u)g(t − u)du =

tZ0

∞Z0





tZ0

e−ptdt

tZ0

f(u)g(t − u)du

=

∞Z0du

∞Zu

e−ptf(u)g(t − u)dt

=

∞Z0

f(u)du

∞Zu

e−ptg(t − u)dt

Với tích phân

∞Zu

e−ptg(t − u)dt, ta đặt t1 = t − u, dt1 = dt

Khi đó

∞Zu

e−ptg(t − u)dt =

∞Z0

e−p(t1 +u)g(t1)dt1

= e−pu

∞Z0

e−ptg(t)dt

= e−puG(p)

L[(f ∗ g)(t)] =

∞Z0

f(u)e−pudu.G(p)

=

∞Z0

f(u)g(t − u)du

Đặt t1 = t − u, dt1 = −du Ta được

(f ∗ g)(t) =

0Zt

−f (t − t1)g(t1)dt1 =

tZ0

g(u)f (t − u)du = (g ∗ f )(t).ii) Ta có

(f ∗ (g + h)) (t) =

tZ0

f(u)(g + h)(t − u)du

=

tZ0

f(u)g(t − u)du +

tZ0

f(u)h(t − u)du

= (f ∗ g)(t) + (f ∗ h)(t)

13iii) Ta có

((f ∗ g) ∗ h) (t) =

tZ0(f ∗ g)(u)h(t − u)du

=

tZ0





uZ0





tZτ

f(τ )dτ





tZτ

g(u − τ)h(t − u)du =

t −τZ0

g(z)h(t − z − τ)dz

=

t −τZ0

f(τ )(g ∗ h)(t − τ)dτ = (f ∗ (g ∗ h))(t)

Ví dụ Biến đổi Laplace của hàm gốc f(t) = t− 1

2 là hàm ảnh:

F(p) = Lht−12

i

= r π

p.Chứng minh

Ta có

F(p) = Lht−12

i

=

∞Z0

t−12e−ptdt = 2t12e−pt t →∞

∞Z0

t12e−ptdt

= 2p

∞Z0

Ta có

I =

∞Z04pu2e−pu2du = 2

∞Z0u(2pue−pu2)du

= 2



−ue−pu2|∞0 +

∞Z0

e−pv2dv

Do đó

J2 =

∞Z0

e−pu2du

∞Z0

e−pv2dv

=

∞Z0

∞Z0

e−pu2e−pv2dudv

=

∞Z0

∞Z0

e−p(u2+v2)dudv

Đặt: u = r cos ϕ, v = r sin ϕ, r > 0, 0 < ϕ < π

2

15Khi đó

J2 =

π 2

Z0

∞Z0

re−pr2drdϕ=

π 2

Z0dϕ

∞Z0

re−pr2dr

= π2



−2p1 e−pr2



π4p.

Do đó

F(p) = I = 2J = r π

p.Định lý 1.8 (Phép biến đổi Laplace ngược)

Cho hàm gốc f trơn từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn của nửa trục t ≥ 0;chỉ số tăng là α0 Khi đó

Từ định lý Borel, ta có ứng dụng: L−1[F (p)G(p)] = (f ∗ g)(t)

Bổ đề 1 (Bổ đề Jordan)

Giả sử F (p) giải tích trong nửa mặt phẳng Rep > a

Giả sử tồn tại M, R0, α >0 sao cho:

O

a+ib

C 1

F(p)eptdp=

π 2

Zψ

F(Reiθ)eRteiθRieiθdθ

=

π 2

Zψ

F(Reiθ)eRt(cos θ+i sin θ)Rieiθdθ

Zψ

F(Reiθ) eRtcos θRdθ

Do ... e−(x+ξ)24(t−τ )

dξdτ Vậy (2.12) nghiệm toán A

Bổ đề 2.6 Nghiệm toán B cho bởi:

u2(x, t) = 1

2√πt

+∞... π

p.Định lý 1.8 (Phép biến đổi Laplace ngược)

Cho hàm gốc f trơn khúc khoảng hữu hạn nửa trục t ≥ 0;chỉ số tăng α0 Khi

Từ định lý Borel, ta có ứng... ∂u

w(ξ)e−(x−ξ)24t dξ

vì hàm dấu tích phân hàm lẻ

Bổ đề 2.4 Nghiệm tốn: