tính toán biên hiệu quả của danh mục đầu tư và ứng dụng

Vì nhu cầu bức thiết này, dựa trên nền tảng lý thuyết tài chính hiện đại "Lý thuyết danh mục đầu tư" của Harry Markowitz, chúng tôi nghiên cứu đề tài "Tính Toán Biên Hiệu Quả Của Danh Mụ

LỜI MỞ ĐẦU

Ngày nay, đối với các quốc gia có nền kinh tế vận hành theo cơ chế thịtrường thì vai trò của thị trường chứng khoán là vô cùng quan trọng Thị trườngchứng khoán là kênh thu hút các nguồn vốn đầu tư nhàn rỗi trung, dài hạn trongnền kinh tế, là tiền đề cho công cuộc cổ phần hóa doanh nghiệp nhà nước ở nước

ta Thị trường chứng khoán Việt Nam đã trải qua rất nhiều biến động, phát triển,

mở rộng cho đến giảm sút

Đối với nền kinh tế có nhiều khó khăn như hiện nay, việc đầu tư cànghạn chế, đặc biệt là đầu tư vào lĩnh vực chứng khoán Đây là lĩnh vực chứa đựngnguy cơ rủi ro rất lớn cho các nhà đầu tư Vì vậy, việc đầu tư theo cảm tính hoặctheo số đông, không phân tích rủi ro một cách kỹ lưỡng rất sẽ dẫn đến đầu tư sailầm do không kiểm soát hết rủi ro mà các nhà đầu tư phải gánh chịu khi thamgia vào thị trường này Bởi lẽ việc xác định rủi ro cũng như tìm ra lời giải đápcho câu hỏi "Làm thế nào để đầu tư hiệu quả?" không phải là điều dễ dàng

Vì nhu cầu bức thiết này, dựa trên nền tảng lý thuyết tài chính hiện đại

"Lý thuyết danh mục đầu tư" của Harry Markowitz, chúng tôi nghiên cứu đề tài

"Tính Toán Biên Hiệu Quả Của Danh Mục Đầu Tư Và Ứng Dụng "nhằm xác định, đánh giá một cách chính xác về rủi ro các danh mục đầu tư củacác nhà đầu tư, đồng thời xác định tỷ suất sinh lợi mà họ có thể đạt được ứngvới mức rủi ro đó Qua đó, cung cấp cho các nhà đầu tư một chương trình ứngdụng nhằm tính toán, xác định các danh mục hiệu quả

Chúng tôi xin chân thành cám ơn đến người hướng dẫn khoa học củachúng tôi Ths Phan Phúc Doãn, đã nhiệt tình hướng dẫn và chỉ bảo chúng tôitrong quá trình thực hiện đề tài này Chúng tôi sẽ cố gắng vận dụng các kiến thức

mà mình đã được trang bị vào thực tiễn cuộc sống một cách có hiệu quả nhấtnhằm đem lại lợi ích cho mình và cho người khác

MỤC LỤC

1 Giới thiệu một số tài sản đề cập trong danh mục đầu tư 4

1.1 Cổ phiếu 4

1.2 Trái phiếu 8

2 Khái quát về kỳ vọng và phương sai của tài sản 12 2.1 Giới thiệu 12

2.2 Rủi ro và lợi nhuận 13

2.3 Rủi ro của tài sản 14

2.4 Tài sản phi rủi ro 22

3 Biên hiệu quả của danh mục đầu tư 23 3.1 Khái quát chung 23

3.2 Biên hiệu quả của danh mục đầu tư gồm hai tài sản rủi ro 31

3.3 Biên hiệu quả của danh mục đầu tư gồm nhiều tài sản rủi ro 51

3.4 Biên hiệu quả của danh mục đầu tư gồm N tài sản rủi ro và một tài sản phi rủi ro 57

3.5 Xác định tập hợp danh mục đầu tư hiệu quả 66

4 Chương trình ứng dụng các lý thuyết của đề tài 73 4.1 Giới thiệu ngôn ngữ lập trình Visual Basic for Application 73

4.2 Ứng dụng của chương trình 74

4.4 Hướng phát triển của đề tài 78

Chương 1

Giới thiệu một số tài sản đề cập

trong danh mục đầu tư

- Cổ phiếu phổ thông: Người sở hữu cổ phần phổ thông là cổ đông phổ thông

Là người chủ sở hữu của công ty cổ phần nên họ có quyền quyết định những vấn

đề quan trọng liên quan đến công ty cổ phần (Điều 79 và 80 Luật doanh nghiệp2005) Được chia cổ tức theo kết quả kinh doanh; Được quyền bầu cử, ứng cử vào

bộ máy quản trị và kiểm soát công ty; Chịu trách nhiệm về sự thua lỗ hoặc phásản tương ứng với phần vốn góp của mình

- Cổ phiếu ưu đãi: Là cổ phần có số phiếu biểu quyết nhiều hơn so với cổphần phổ thông Số phiếu biểu quyết của một cổ phần ưu đãi biểu quyết do điều

lệ công ty quy định Chỉ có tổ chức được chính phủ uỷ quyền và cổ đông sáng lậpđược quyền nắm giữ cổ phần ưu đãi biểu quyết Gồm có: Cổ phần ưu đãi biểuquyết, cổ phần ưu đãi cổ tức, cổ phần ưu đãi hoàn lại, cổ phần ưu đãi khác dođiều lệ công ty quy định

1.1.3 Đặc điểm của cổ phiếu

1.1.3.1 Tính thanh khoản cao

Cổ phiếu có khả năng chuyển hóa thành tiền mặt dễ dàng Tuy nhiên tínhthanh khoản của cổ phiếu phụ thuộc vào các yếu tố sau:

Thứ nhất, kết quả kinh doanh của tổ chức phát hành (công ty có cổ phiếuniêm yết) Nếu tổ chức phát hành hoạt động kinh doanh có hiệu quả, trả cổ tứccao, cổ phiếu của công ty sẽ thu hút nhà đầu tư và cổ phiếu thực sự dễ mua bántrên thị trường Ngược lại nếu công ty làm ăn kém hiệu quả không trả cổ tứchoặc cổ tức thấp, cổ phiếu của công ty sẽ giảm giá và khó bán

Thứ hai, là mối quan hệ cung cầu trên thị trường chứng khoán: Thị trường

cổ phiếu cũng như các loại thị trường khác đều chịu sự chi phối của qui luật cungcầu Giá cổ phiếu trên thị trường không chỉ phụ thuộc vào chất lượng công ty

mà còn phụ thuộc rất lớn vào nhu cầu của nhà đầu tư Tuy một loại cổ phiếurất tốt nhưng thị trường đang bão hòa nguồn cung (nhiều hàng bán) thì cổ phiếu

đó cũng khó tăng giá Ngược lại khi thị trường khan hiếm hàng hóa thì ngay cảnhững cổ phiếu chất lượng kém hơn cũng có thể bán dễ dàng

1.1.3.2 Tính rủi ro cao

Khi đã phát hành cổ phiếu không còn đem lại rủi ro cho tổ chức phát hành

mà rủi ro lúc này thuộc về chủ sở hữu cổ phiếu Nguyên nhân là do giá trị của

cổ phiếu do các nguyên nhân khách quan quyết định: kết quả kinh doanh của tổchức phát hành cổ phiếu, tình hình chính trị,kinh tế xã hội của quốc gia và toànthế giới, hơn nữa còn bị ảnh hưởng bởi tâm lý của số đông nhà đầu tư khi nắmbắt các thông tin không chính xác

- Rủi ro thị trường: Cổ phiếu không bao giờ trụ mãi ở một mức giá mà sẽluôn biến động Điều này vừa tạo nên sức hấp dẫn cho thị trường chứng khoánnhưng cũng làm nảy sinh rủi ro Hiện tại, diễn biến giá chứng khoán bị chi phốibởi nhiều yếu tố như kinh tế vĩ mô (lạm phát, lãi suất, tiền tệ), yếu tố bên ngoài(tình hình thế giới, thiên tai) Đặc biệt, rủi ro thị trường cũng biến động theonhững kỳ vọng về khả năng sinh lời và tâm lý của nhà đầu tư Do đó, rủi ro thịtrường rất khó nắm bắt Nhà đầu tư chỉ có thể tính toán và ước lượng rủi ro thịtrường ở mức độ tương đối

- Rủi ro kinh doanh: Doanh nghiệp sẽ gặp rủi ro khi sản phẩm, dịch vụ đã

trở nên lỗi thời, không đáp ững được thị hiếu của người tiêu dùng Hoặc công tylàm ăn sa sút vì chiến lược phát triển và đầu tư không phù hợp Trong trườnghợp đội ngũ quản trị của công ty non yếu, rủi ro kinh doanh càng cao.

- Rủi ro thanh khoản: Đối với nhà đầu tư, thanh khoản là khả năng muabán thuận lợi một cổ phiếu nào đó Thanh khoản cổ phiếu thường phụ thuộcvào thanh khoản thị trường (lượng giao dịch trong ngày) và sự yêu thích dànhcho cổ phiếu đó Nhà đầu tư thường không mua bán khi thanh khoản trên thịtrường kém Họ cũng ít quan tâm đến những cổ phiếu có khối lượng niêm yết thấp

1.1.4 Tại sao công ty lại phát hành cổ phiếu

Công ty huy động vốn khi thành lập để mở rộng kinh doanh bằng hìnhthức phát hành cổ phiếu thì nguồn vốn huy động đó không cấu thành một khoản

nợ mà công ty phải có trách nhiệm hoàn trả cũng như áp lực về khả năng cân đốithanh khoản của công ty sẽ giảm rất nhiều Trong khi sử dụng các phương thứckhác như phát hành trái phiếu công ty, vay nợ từ các tổ chức tín dụng thì hoàntoàn ngược lại Do đó, để tránh áp lực về các khoản vay, khoản nợ, những khoảnnày sẽ ảnh hướng xấu đến việc đánh giá giá trị công ty và tình hình hoạt độngcủa của công ty Một công ty nếu vay nợ quá nhiều, quá trình hoạt động kinhdoanh không tốt sẽ dễ dẫn đến mất tính thanh khoản, gặp khó khăn trong cáckhoản chi trả Tuy nhiên, mỗi phương thức huy động đều có những ưu nhượcđiểm riêng, nhà quản lý công ty phải cân nhắc, lựa chọn tùy từng thời điểm vàdựa trên những đặc thù cũng như chiến lược kinh doanh của công ty để quyếtđịnh phương thức áp dụng thích hợp

1.1.5 Kỳ vọng của nhà đầu tư khi mua cổ phiếu

Nhà đầu tư khi đầu tư vào cổ phiếu sẽ mong muốn rằng đồng vốn họ đầu

tư được các nhà quản lý công ty sử dụng có hiệu quả, tạo ra nhiều lợi nhuận hoặcđánh giá hoạt động cũng như tiềm năng phát triển, sinh lợi của công ty dự địnhđầu tư là cao Đương nhiên, họ sẽ được hưởng một phần từ những thành quả

đó thông qua việc thanh toán cổ tức cho các cổ đông, đồng thời giá trị cổ phần

sở hữu cũng sẽ gia tăng trên cơ sở thực tại và triển vọng phát triển của công tymình đã chọn Thông thường, khả năng sinh lợi, thu hồi vốn đầu tư cổ phiếu, tỷ

lệ thuận với giá cả giao dịch cổ phiếu trên thị trường Một công ty có tình hìnhhoạt động khả quan, đạt nhiều lợi nhuận, tình hình tài chính vững chắc thì giátrái phiếu của công ty đó sẽ được thị trường đánh giá rất cao, qua giá thị trường

cổ phiếu đó cũng không ngừng tăng lên Lúc đó, những nhà đầu tư nào đang nắmgiữ cổ phiếu này sẽ mức sinh lợi cao từ cổ tức hoặc từ các giao dịch mua bán trênthị trường chứng khoán

Mặc dù, đối mặt với rất nhiều rủi ro mà các nhà đầu tư gặp phải khi đầu

tư vào cổ phiếu, nhưng các nhà đầu tư vẫn mong muốn nắm giữ tài sản nàyvới kỳ vọng lợi nhuận cao từ kết quả đầu tư của mình Nếu lựa chọn cổ phiếutốt, thì ngoài việc nhà đầu tư có thể tránh hoặc ảnh hưởng ít bởi các rủi ro nêutrên; mặt khác, đối với công ty có hoạt động tốt, bền vững, tăng trưởng nhanhthì lợi nhuận mang lại từ việc đầu tư này sẽ rất cao với mức an toàn tốt hơncho nhà đầu tư Như vậy, các nhà đầu tư cần cẩn trọng trong việc chọn lựa và

ra quyết định đầu tư cổ phiếu, đảm bảo được khả năng sinh lợi cao và rủi ro thấp

1.1.6 Phòng tránh rủi ro

1.1.6.1 Xem xét hệ số beta (hệ số đo lường rủi ro cổ phiếu)

Trong mô hình định giá tài sản vốn (capital asset pricing model, CAPM),nhà kinh tế học William Sharpe đã sử dụng hệ số beta để tính mức phí bù đắprủi ro khi đầu tư vào một cổ phiếu Theo ông, cổ phiếu có mức rủi ro trung bình

là cổ phiếu có mức tăng giảm tương đồng với toàn thị trường Khi đó, cổ phiếu

có hệ số beta bằng 1 Nếu beta bằng 0,5 mức rủi ro cổ phiếu chi bằng 1/2 rủi rothị trường Tương tự, cổ phiếu có beta bằng 2 nghĩa là cổ phiếu đó có rủi ro gấpđôi rủi ro thị trường

1.1.6.2 Đa dạng hóa danh mục đầu tư

Để hạn chế rủi ro, nhà đầu tư nên đầu tư dàn trải Chẳng hạn, nhà đầu tư

có thể đầu tư vào trên dưới 5 cổ phiếu có các chỉ số cơ bản tốt và đang có thànhtích cao trên thị trường Đừng dồn toàn bộ vốn đầu tư vào một số cổ phiếu nào

đó, cũng không nên chỉ tập trung đầu tư vào một ngành nghề

1.1.6.3 Phân tích thông tin

Điều quan trọng giúp hạn chế rủi ro là thu thập nhiều thông tin, phát hiện

“phần chìm" của "tảng băng" Những thông tin không chính thức có thể là cơ

hội cho nhà đầu tư (nếu thông tin đó đúng sự thật) Do đó, nhà đầu tư cần phảibiết "lọc" thông tin bằng cách kiểm tra lại, tìm hiểu tình hình kinh doanh củadoanh nghiệp (chẳng hạn xem xét báo cáo lưu chuyển tiền tệ để tìm hiểu cácdòng tiền và nguồn gốc lợi nhuận của doanh nghiệp) Ngoài ra, nhà đầu tư có thểxem xét yếu tố ngành nghề và điều tra xem liệu có tình trạng mua bán tay tronghay không Các hệ số như P/E (giá trên thu nhập mỗi cổ phiếu), EPS (thu nhậptrên mỗi cổ phiếu và ROE (lợi nhuận trên vốn cổ phần) cũng là những căn cứ

để nhà đầu tư đánh giá cổ phiếu Qua phân tích các rủi ro và những kì vọng củanhà đầu tư, cùng với các biện pháp phòng tránh rủi ro, chúng tôi thực hiện đềtài này nhằm tìm hiểu và nghiên cứu kỹ hơn về phương pháp đa dạng hóa danhmục đầu tư thực hiện dựa trên xây dựng đường biên hiệu quả Qua đó, nhằmgiúp nhà đầu tư có thêm căn cứ vững chắc hơn trong việc quyết định đầu tư nhưthế nào vào cổ phiếu trong danh mục của mình, đảm bảo lợi nhuận mong đợi vàphòng tránh được rủi ro

1.2 Trái phiếu

1.2.1 Khái niệm

Trái phiếu là một chứng nhận nghĩa vụ nợ của người phát hành phải trả chongười sở hữu trái phiếu đối với một khoản tiền cụ thể (mệnh giá của trái phiếu),trong một thời gian xác định và với một lợi tức quy định Người phát hành có thể

là doanh nghiệp (trái phiếu trong trường hợp này được gọi là trái phiếu doanhnghiệp), một tổ chức chính quyền như Kho bạc nhà nước (trái phiếu kho bạc),chính quyền (trong trường hợp này gọi là công trái hoặc trái phiếu chính phủ).Người mua trái phiếu, hay trái chủ, có thể là cá nhân hoặc doanh nghiệp hoặcchính phủ Tên của trái chủ có thể được ghi trên trái phiếu (trường hợp này gọi

là trái phiếu ghi danh) hoặc không được ghi (trái phiếu vô danh)

1.2.2 Phân loại

1.2.2.1 Phân loại theo người phát hành

- Trái phiếu của chính phủ: Đáp ứng nhu cầu chi tiêu của chính phủ, chínhphủ phát hành trái phiếu để huy động tiền nhàn rỗi trong dân và các tổ chức

kinh tế, xã hội Chính phủ luôn được coi là nhà phát hành có uy tín nhất trênthị trường Vì vậy, trái phiếu chính phủ được coi là loại chứng khoán có ít rủi ronhất.

- Trái phiếu của doanh nghiệp: Là những trái phiếu do doanh nghiệp nhànước, công ty cổ phần và công ty trách nhiệm hữu hạn phát hành để tăng vốnhoạt động Trái phiếu doanh nghiệp có nhiều loại và rất đa dạng

- Trái phiếu của ngân hàng và các tổ chức tài chính: các tổ chức này có thểphát hành trái phiếu để tăng thêm vốn hoạt động

1.2.2.2 Phân loại lợi tức trái phiếu

- Trái phiếu có lãi suất cố định: Là loại trái phiếu mà lợi tức được xác địnhtheo một tỷ lệ phần trăm (%) cố định tính theo mệnh giá

- Trái phiếu có lãi suất biến đổi (lãi suất thả nổi): Là loại trái phiếu mà lợitức được trả trong các kỳ có sự khác nhau và được tính theo một lãi suất có sựbiến đổi theo một lãi suất tham chiếu

- Trái phiếu có lãi suất bằng không: Là loại trái phiếu mà người mua khôngnhận được lãi, nhưng được mua với giá thấp hơn mệnh giá (mua chiết khấu) vàđược hoàn trả bằng mệnh giá khi trái phiếu đó đáo hạn

1.2.3 Rủi ro khi đầu tư trái phiếu

- Rủi ro tín nhiệm: Mức độ rủi ro tín nhiệm của trái phiếu được đánh giádựa trên các yếu tố kinh tế và khả năng hoàn trả lãi và gốc trái phiếu của nhàphát hành Ngay cả trái phiếu chính phủ cũng vẫn có rủi ro dù rủi ro thấp nhất,điều này thông qua việc đánh giá hệ số tín nhiệm của đối với chính phủ

- Rủi ro lãi suất: Giá của một trái phiếu công ty sẽ thay đổi theo hướngngược lại với lãi suất thị trường Lãi suất thị trường càng tăng, giá trái phiếucàng giảm và ngược lại

- Rủi ro lạm phát: Lạm phát càng cao, lãi suất thực của trái phiếu (bằng lãisuất danh nghĩa của trái phiếu trừ lạm phát) càng giảm, do vậy làm mất giá trịcủa trái phiếu Nếu một trái phiếu trả lãi 10%/năm, lạm phát bình quân 15%thìlãi suất thực của trái phiếu là -5% (âm 5%) Điều này đáng lo ngại khi lạm pháttăng cao

- Rủi ro thanh khoản: khả năng chuyển đổi thành tiền của các trái phiếu

Khi trái phiếu giá giảm sút, thì tính thanh khoản sẽ kém.

- Rủi ro tín dụng: Là nguy cơ công ty phát hành không có khả năng chi trảđúng hạn, tức là sẽ không thể chi trả mệnh giá và lãi đúng hạn Rủi ro tín dụngđược đánh giá bằng các dịch vụ đánh giá khả năng tín dụng của cá nhân haycông ty

- Rủi ro khi thị trường chứng khoán sụt giá mạnh: Thông thường giá tráiphiếu không biến động nhiều như giá cổ phiếu, do vậy khi thị trường chứng khoánsụt giá mạnh, các nhà đầu tư có xu hướng chuyển đầu tư từ cổ phiếu sang tráiphiếu, qua đó đẩy giá trái phiếu tăng lên Tuy nhiên, khi thị trường chứng khoán

đã xuống đến mức đáy, nhà đầu tư lại có xu hướng chuyển sang cổ phiếu đang ởmức giá thấp, điều đó làm giá trái phiếu giảm trở lại

1.2.4 Trái phiếu chính phủ

Giá cả trái phiếu biến động rất ít, thu nhập từ trái phiếu khá ổn định vàhầu như không phụ thuộc vào kết quả hoạt động của người phát hành Do đó,trái phiếu được coi là một tài sản tài chính có mức độ an toàn cao Rủi ro chủ yếu

mà người nắm giữ trái phiếu phải chịu là về mặt lãi suất Khi lãi suất bình quântrên thị trường tăng lên thì đương nhiên những người cầm giữ các trái phiếu vớilãi suất cố định là những người chịu thiệt thòi Vì trái phiếu là một khoản nợ,nên giá cả của nó phụ thuộc khá nhiều vào độ tin cậy tín dụng của người pháthành Tính thanh khoản của trái phiếu phụ thuộc rất nhiều vào uy tín của nhàphát hành Qua đó, cho thấy rằng trái phiếu chính phủ là tài sản tài chính cómức độ rủi ro thấp nhất so với các trái phiếu của công ty

Xem xét một số vấn đề sau để thấy rõ hơn:

1.2.4.1 Các loại trái phiếu chính phủ

- Trái phiếu chính phủ: Là những trái phiếu do chính phủ phát hành nhằm

bủ đắp những thiếu hụt ngân sách, tài trợ cho các công trình công ích, hoặc làmcông cụ điều tiết tiền tệ

- Trái phiếu công trình: Là các trái phiếu được huy động vốn cho các mụcđích cụ thể, thường là để xây dựng cơ sỏ hạ tầng cho những công trình hoặc cáccông trình phúc lợi công cộng Loại trái phiếu này có thể do chính phủ trung ươnghoặc chính quyền địa phương phát hành

1.2.4.2 Lợi ích khi đầu tư vào trái phiếu chính phủ

- Trái phiếu chính phủ, trái phiếu chính quyền địa phương được miễn thuếthu nhập Đối với người có thu nhập cao, việc mua trái phiếu này vẫn có lợi ích

- Khi mua bán trái phiếu, nhà đầu tư thường không phải trả hoa hồng chonhà môi giới như đối với cổ phiếu Thay vào đó, nhà môi giới được hưởng phầnchênh lệch giữa giá bán và giá mua trái phiếu

- Giá cả trái phiếu chính phủ biến động rất ít, thu nhập từ trái phiếu nàykhá ổn định; mặt khác, chính phủ sẽ luôn đảm bảo uy tín trả nợ đối với các nhàđầu tư nắm giữ trái phiếu Do đó, trái phiếu chính phủ được xem là tài sản tàichính có mức độ an toàn cao

Tóm tắt

Qua phân tích và tìm hiểu đặc điểm của các loại tài sản có thể đưa vàotrong danh mục đầu tư của nhà đầu tư, chúng ta đã nắm được những đặc trưngcủa từng loại tài sản Đối với cổ phiếu rủi ro kèm theo cho nhà đầu tư là khá caonhưng lợi nhuận mà nó mang lại cũng khá hấp dẫn; trái lại đối với trái phiếu,tạo được sự an toàn cho nhà đầu tư nhưng lợi nhuận lại không cao (an toàn hơnhết là trái phiếu chính phủ) Vì những lý do đó, chúng tôi đã quyết định đưa tráiphiếu chính phủ vào trong danh mục đầu tư của nhà đầu tư Tài sản tài chínhnày, đóng vai trò là tài sản phi rủi ro, có mức an toàn cao nhất cho nhà đầu tư.Đối với tài sản rủi ro, các cổ phiếu của các công ty sẽ được đưa vào danh mụcđầu tư Như vậy, chúng tôi đã khái quát được khá rõ về các tài sản được đề cậptrong danh mục đầu tư, gồm có: tài sản rủi ro và tài sản phi rủi ro

là gì, nghiên cứu quy trình sử dụng để đo lường rủi ro, và thảo luận mối quan hệgiữa rủi ro và lợi nhuận.

Rủi ro có thể đo lường bằng nhiều cách khác nhau, và có thể đi đến nhiềukết luận khác nhau về mức rủi ro của một tài sản tùy theo phương pháp sử dụng:

- Rủi ro của một tài sản có thể đánh giá theo 2 cách: rủi ro của tài sản xétriêng mình nó hoặc tập hợp các tài sản trong danh mục Có một sự khác biệtquan trọng giữa rủi ro tài sản khi xét riêng mình nó và khi đặt nó trong mộtdanh mục đầu tư: một tài sản khi xét riêng mình nó có thể có mức rủi ro rất caonhưng khi trở thành một tài sản trong một danh mục đầu tư thì rủi ro có thểgiảm đi rất nhiều

- Khi xét một tài sản trong một danh mục đầu tư, rủi ro của nó có thể đượcphân thành 2 phần: rủi ro có thể đa dạng hoá, là loại rủi ro có thể giảm thiểubằng cách đa dạng hoá đầu tư, và vì thế không đáng lo ngại đối với các nhà đầu

tư theo đuổi chiến lược đa dạng hoá đầu tư, và rủi ro thị trường, phản ánh nguy

cơ giảm sút giá toàn thị trường, và là loại rủi ro không thể loại trừ bằng cách đadạng hoá đầu tư, vì thế chính là mối quan ngại của tất cả các nhà đầu tư Các

nhà đầu tư có kỳ vọng hợp lý chỉ quan tâm đến rủi ro thị trường - họ không quantâm đến rủi ro có thể đa dạng hoá vì họ có thể và sẽ loại trừ được rủi ro này.Trong đề tài này, chúng tôi chỉ tập trung nghiên cứu loại rủi ro có thể đa dạnghóa được.

- Một tài sản có mức rủi ro thị trường cao phải hứa hẹn mang lại tỷ suấtlợi nhuận kỳ vọng đủ cao mới hấp dẫn được các nhà đầu tư Các nhà đầu tư nóichung đều có khuynh hướng né tránh rủi ro, vì thế họ sẽ không mua các tài sảnrủi ro trừ phi các tài sản đó có tỷ suất lợi nhuận cao một cách tương ứng

- Nếu các nhà đầu tư nghĩ rằng tỷ suất lợi nhuận kỳ vọng của một chứngkhoán quá thấp so với rủi ro của nó, thì giá của chứng khoán sẽ giảm, từ đó làmtăng tỷ suất lợi nhuận kỳ vọng

Ngược lại, nếu tỷ suất lợi nhuận kỳ vọng quá cao so với mức rủi ro củachứng khoán, giá chứng khoán sẽ tăng làm giảm tỷ suất lợi nhuận kỳ vọng Chứngkhoán sẽ cân bằng khi tỷ suất lợi nhuận kỳ vọng vừa đủ để bù đắp rủi ro

Trong chương này, chúng ta sẽ tập trung vào các tài sản tài chính như là

cổ phiếu thường (đại diện cho tài sản rủi ro) và trái phiếu chính phủ (đại diệntài sản phi rủi ro)

2.2 Rủi ro và lợi nhuận

2.2.1 Rủi ro

Rủi ro (risk) là một sự không chắc chắn hay một tình trạng bất ổn Tuynhiên không phải bất cứ sự không chắc chắn nào cũng là rủi ro Chỉ có nhữngtình trạng không chắc chắn nào có thể ước đoán được xác suất xảy ra mới đượcxem là rủi ro Những tình trạng không chắc chắn nào chưa từng xảy ra và khôngthể ước đoán được xác suất xảy ra được xem là sự bất trắc chứ không phải là rủi

ro Các định nghĩa rủi ro trên đây được xem như là định nghĩa định tính, giúpphân biệt giữa rủi ro và bất trắc, nhưng không cho phép đo lường được rủi ro

Để có thể đo lường rủi ro, rủi ro được định nghĩa như là sự khác biệt giữa giá trịthực tế và giá trị kỳ vọng

Phân loại rủi ro:

- Rủi ro thuần túy: Là loại rủi ro đưa đến tổn thất và thiệt hại khi xảy ra

tai nạn.

- Rủi ro dự đoán: Đưa đến kết quả có thể xấu đi hoặc tốt hơn so với điềukiện bình thường

- Rủi ro có thể phân tán và không thể phân tán

- Rủi ro hệ thống: Rủi ro do sự biến động của chứng khoán hoặc danh mụcđầu tư do sự thay đổi lợi nhuận trên thị trường nói chung Nó chính là phần rủi

ro cho tất cả các loại chứng khoán, không thể tránh được bằng việc đa dạng hóadanh mục đầu tư Loại rủi ro này được gọi là rủi ro thị trường

- Rủi ro không hệ thống: Xảy ra đối với một công ty hoặc một ngành kinhdoanh nào đó và có thể cắt giảm được bằng chiến lược đầu tư đa dạng hóa

- Rủi ro kinh doanh: Rủi ro do biến động của thị trường ảnh hưởng tới doanhthu

- Rủi ro tài chính: Do quyết định tài trợ của quản lý doanh nghiệp

Trong giới hạn của đề tài, chúng ta sẽ nghiên cứu loại rủi ro có thể đa dạnghóa được Qua các danh mục đầu tư được xây dựng cho nhà đầu tư nhằm hạnchế rủi ro, và đạt lợi nhuận mong đợi

2.2.2 Lợi nhuận

Lợi nhuận, trong kinh tế học, là phần tài sản mà nhà đầu tư nhận thêmnhờ đầu tư sau khi đã trừ đi các chi phí liên quan đến đầu tư đó, bao gồm cả chiphí cơ hội; là phần chênh lệch giữa tổng doanh thu và tổng chi phí

Tỷ suất lợi nhuận là tỷ lệ giữa lợi nhuận thu được và số vốn đầu tư đã bỏ

ra Nhà đầu tư sẽ quan tâm đến tỷ suất lợi nhuận hơn là lợi nhuận Vì tỷ suấtlợi nhuận cao hay thấp thể hiện thu nhập của nhà đầu tư qua kết quả đầu tư họđạt được

2.3 Rủi ro của tài sản

Các nhà đầu tư cá nhân và tổ chức đầu tư ngày hôm nay đều kỳ vọng sẽ

có thêm tiền để tiếp tục đầu tư trong tương lai Trái phiếu mang lại tỷ suất lợinhuận tương đối thấp, nhưng lại tương đối ít rủi ro – ít nhất là nếu chỉ chú trọngđầu tư vào trái phiếu chính phủ và các trái phiếu có độ an toàn cao Cổ phiếu

hứa hẹn mang lại tỷ suất lợi nhuận cao hơn, nhưng như chúng ta đã phân tích,

cổ phiếu thông thường rủi ro hơn trái phiếu Nếu nhà đầu tư đầu tư vào các cổphiếu đầu cơ (hoặc thật ra là bất kỳ cổ phiếu nào), nhà đầu tư đang phải chấpnhận mức rủi ro rất lớn với hy vọng sẽ có được một lợi nhuận đáng kể

Rủi ro của một tài sản có thể được phân tích theo 2 cách: trên cơ sở đánhgiá riêng lẻ, theo đó chúng ta tách riêng tài sản ra để phân tích, và trên cơ sởđánh giá danh mục, theo đó tài sản được đánh giá trong mối quan hệ với các tàisản khác trong danh mục đầu tư Vì vậy, rủi ro của một tài sản riêng lẻ là rủi

ro mà nhà đầu tư phải chịu khi chỉ đầu tư vào duy nhất tài sản này Rõ ràng làphần lớn các tài sản đều được kết hợp với nhau trong những danh mục đầu tư,tuy nhiên chúng ta cần hiểu rủi ro riêng lẻ của tài sản để có thể hiểu được rủi rokhi tài sản nằm trong một danh mục Trong chương này, chúng ta sẽ chỉ đề cậpđến tài sản riêng lẻ (bao gồm tài sản rủi ro và phi rủi ro)

Ví dụ 2.1: Để minh hoạ rủi ro riêng lẻ của tài sản, giả định rằng một nhàđầu tư mua $100.000 trái phiếu Kho bạc ngắn hạn với tỷ suất lợi nhuận dự kiến

là 5% Trong trường hợp này, tỷ suất lợi nhuận 5%có thể được ước tính một cáchkhá chính xác, và khoản đầu tư được định nghĩa là gần như không có rủi ro Nhàđầu tư của chúng ta có thể cũng đầu tư $100.000 để mua cổ phiếu của một công

ty mới thành lập để tiến hành khai thác dầu khí ở vùng biển Đại Tây Dương Tỷsuất lợi nhuận từ khoản đầu tư cổ phiếu này rất khó dự đoán Trong tình huốngxấu nhất, công ty có thể bị phá sản và nhà đầu tư sẽ mất toàn bộ tiền đầu tư củamình, và tỷ suất lợi nhuận sẽ là -100% Trong tình huống tốt nhất, công ty có thểphát hiện ra mỏ dầu có trữ lượng lớn và nhà đầu tư có thể có được lợi nhuận đầu

tư khổng lồ Khi đánh giá khoản đầu tư này, nhà đầu tư có thể đã phân tích tìnhhình và kết luận rằng tỷ suất lợi nhuận kỳ vọng hay lợi nhuận dự kiến (expectedrate of return), xét về ý nghĩa thống kê, là 20%nhưng cần nhận thấy rằng tỷ suấtlợi nhuận thực tế (actual rate of return) có thể nằm trong khoảng nào đó, ví dụ

từ +1.000% đến -100% Bởi vì nguy cơ tỷ suất lợi nhuận thực tế nhỏ hơn tỷ suấtlợi nhuận kỳ vọng rất cao nên cổ phiếu này tương đối rủi ro

Nhà đầu tư sẽ không đầu tư trừ phi tỷ suất lợi nhuận kỳ vọng đủ cao để

bù đắp cho rủi ro theo đánh giá của nhà đầu tư Trong ví dụ của chúng ta, rõ

ràng là có rất ít (nếu có) nhà đầu tư nào sẵn lòng mua cổ phiếu của công ty khaithác dầu khí nếu tỷ suất lợi nhuận kỳ vọng của cổ phiếu chỉ bằng lãi suất Tráiphiếu chính phủ ngắn hạn.

Tỷ suất lợi nhuận thực tế của các tài sản rủi ro hiếm khi bằng với tỷ suấtlợi nhuận kỳ vọng – lợi nhuận thực tế thường cao hơn hoặc thấp hơn mức dựkiến ban đầu Thật vậy, nếu tỷ suất lợi nhuận thực tế của tài sản đúng bằng vớimức dự kiến thì tài sản sẽ không còn rủi ro Rủi ro đầu tư, vì thế, liên quan đếnxác suất tỷ suất lợi nhuận thực tế thấp hoặc có giá trị âm – khả năng tỷ suất lợinhuận thực tế thấp hoặc có giá trị âm càng cao thì khoản đầu tư càng rủi ro Tuynhiên, rủi ro có thể được định nghĩa một cách chính xác hơn, như trong phần kếtiếp

2.3.1 Phân phối Xác suất (Probability Distributions)

Trong đầu tư, mỗi khả năng xảy ra một tỷ suất lợi nhuận kỳ vọng chính

là một biến cố, và mỗi biến cố có thể được gắn với xác suất tương ứng Nếu nhàđầu tư có kế hoạch mua trái phiếu kỳ hạn 1 năm và giữ trong 1 năm, nhà đầu

tư sẽ kỳ vọng nhận được lãi coupon cộng với khoản thặng dư vốn (nếu có), tất

cả các khoản thu nhập đó sẽ mang lại cho họ một tỷ suất lợi nhuận đầu tư trênvốn đầu tư ban đầu Xác suất tổ chức phát hành không thực hiện thanh toán,hoặc hoạt động kinh doanh tổ chức phát hành có rủi ro càng cao, rủi ro của nhàđầu tư càng lớn vì vậy tỷ suất lợi nhuận đòi hỏi càng lớn Nếu nhà đầu tư đầu

tư vào cổ phiếu thay vì trái phiếu chính phủ, họ cũng kỳ vọng sẽ có được lợinhuận trên phần vốn bỏ ra Lợi nhuận từ đầu tư cổ phiếu bao gồm cổ tức cộngvới phần thặng dư vốn Cũng như thế, cổ phiếu càng rủi ro – nghĩa là xác suấtcông ty không trả cổ tức và cổ phiếu không tăng giá như họ kỳ vọng càng lớn thìnhà đầu tư càng đòi hỏi mức tỷ suất lợi nhuận cổ phiếu càng cao để có thể đầu tư

2.3.2 Tài sản rủi ro

2.3.2.1 Tỷ suất lợi nhuận

Trong phần này chúng ta sẽ xem xét cổ phiếu thường của các nhà đầu tư.Giả sử, giá cổ phiếu tại thời điểm t được ký hiệu là S(t), thì tại t = 0 là thời điểmhiện tại của giá cổ phiếu Và tất cả các nhà đầu tư sẽ đều biết được giá này khi

quyết định đầu tư vào tài sản Khi đó, giá tương lai S(t), với t > 0, điều này làkhông biết được chắc chắn trong tương lai Trong toán học, S(t) có thể đặc trưngbởi biến ngẫu nhiên dương trong không gian xác suất Ω, đó là:

Để chứng minh cho sự linh động của giá cổ phiếu S(n) trong hệ thống lợinhuận, chúng ta giả sử rằng, cổ phiếu sẽ không chi trả cổ tức

+ Định nghĩa: Tỷ suất lợi nhuận, hay là ngắn gọn là lợi nhuận R(n,m)qua các giai đoạn thời gian [n,m] (thực tế là[mτ, nτ ]), được xác định là biến ngẫunhiên:

t S(t , ω) R(t-1,t)22/03/2012 91.5

Bình thường 10.00% 10.00%

Xấu -10.00% -10.00%

+ Định nghĩa: Lợi nhuận logarit qua các giai đoạn thời gian [n,m] (chínhxác hơn là [mτ, nτ ]), là biến ngẫu nhiên r(n,m) được xác định:

có thể lấy ví dụ như, giá cổ phiểu có thể biến động rất nhanh trong khoảng thờigian có thể là giờ, phút, thậm chí là giây Vì vậy, áp dụng tính tỷ suất logaritnhằm nâng cao độ chính xác cho với việc đo lường sự biến động của giá cổ phiếu

Lưu ý: Trường hợp cổ phiếu có chi trả cổ tức, div(n) tại thời điểm n, đượcxác định :

r(n) = lnS(n) + div(n)

S(n − 1) .

+ Định lý 2.2: Nếu cổ tức không chi trả, thì

r(n,m) = r(n+1) + r(n+2) + .+r(m)Chứng minh

Ta có S(m) = S(n)er(n,m),

Và S(m) = S(n)er(n+1)er(n+2)er(n+3) er(m)= S(n)er(n+1)+r(n+2)+ +r(m).

Suy ra r (n, m) = r (n + 1) + r (n + 2) + + r (m)

2.3.2.2 Lợi nhuận kỳ vọng E(R)

Giả sử rằng, biết được phân phối xác suất của lợi nhuận R qua một giaiđoạn chắc chắn Thì chúng ta có thể tính toán được kỳ vọng toán học E(R), gọi

pj xác suất xảy ra mức với tỷ suất sinh lợi Rj.+ Định lý 2.3: Nếu lợi nhuận từng bước R(n+1), , R(m) là độc lập thì1+E(R(n,m)) = [1+E(R(n+1))].[1+E(R(n+2))] .[1+E(R(m))]

Ví dụ 2.5: Theo ví dụ 2.4 , ta tính được xác suất ứng với từng nhậnđịnh về thị trường, và tỷ suất sinh lợi tương ứng

2.3.2.3 Đo lường rủi ro

Một định nghĩa chung, và cũng là định nghĩa thỏa mãn nhiều mục đíchkhác nhau được đưa ra dựa vào phân phối xác suất Phân phối xác suất của cácmức tỷ suất lợi nhuận dự kiến càng hẹp, thì khoản đầu tư càng ít rủi ro Một chỉtiêu để đo lường giá trị này chính là độ lệch chuẩn (standard deviation), ký hiệu

là σ, đọc là sigma Độ lệch chuẩn càng thấp, phân phối xác suất càng hẹp, và do

đó, rủi ro của cổ phiếu càng thấp Hay có thể nói rằng, độ lệch chuẩn là đại lượng

đo lường sự phân tán của tỷ suất kỳ vọng so với giá trị trung bình của nó

X

j=1

p j (R j − E(R))2 = 0.615%.

Nhận xét: Qua hai ví dụ 2.5 và 2.6, với tỷ suất sinh lợi E(R) = 0.00123 và

độ lệch chuẩn σ = 0.615% Chúng ta có nhận thấy rằng, cổ phiếu của công ty cổphần sữa Vinamilk, khá ổn định so với sự biến đổi thị trường Mặt khác, tỷ suấtsinh lợi kỳ vọng tương đối thấp, cho thấy khả năng sinh lợi của công ty khôngcao Việc đầu tư vào cổ phiếu này sẽ giúp các nhà đầu tư an tâm hơn do rủi rothấp Nhưng đối với các nhà đầu tư thích mạo hiểm, mong muốn có lợi nhuậncao thì việc đầu tư vào cổ phiếu này sẽ được cân nhắc Nhưng lưu ý, do số liệuchỉ lấy trong vòng khoảng thời gian 10 ngày nên những nhận xét trên sẽ chưađược chính xác, đúng đắn Số liệu quá khứ càng lớn, càng lâu sẽ phản ánh đầy

đủ, chính xác về tình hình cổ phiếu của công ty Những nhận xét trên chỉ dựatrên số liệu để nêu khái quát ý nghĩa các con số Để có nhận xét đầy đủ, xác thựccần tổng hợp một khối lượng lớn các dữ liệu quá khứ khác

Tuy nhiên, việc tính toán độ lệch chuẩn của các giá trị tỷ suất sinh lợi thựcnghiệm thì chúng ta có thể lấy tổng bình phương các khoản chênh lệch và chiacho N, với N là số mẫu thực nghiệm:

σ =

vuut

1 N

cao, nhà đầu tư sẽ có nhiều lo ngại đối với tài sản đó.

2.4 Tài sản phi rủi ro

2.4.1 Tỷ suất lợi nhuận

Như chúng ta đã biết, khi các nhà đầu tư nắm giữ trái phiếu, họ sẽ đượchưởng lãi suất phi rủi ro, hay còn gọi là tỷ suất lợi nhuận phi rủi ro Lãi suất tráiphiếu sẽ cố định trong suốt thời gian nhà đầu tư nắm giữ Do đó, lợi nhuận kỳvọng của nhà đầu tư đối với trái phiếu là bằng 0

2.4.2 Đo lường rủi ro

Như trên đã nói, khi nhà đầu tư không kỳ vọng vào lợi nhuận của cổ phiếu

Vì lãi suất là cố định, khoản tiền nhà đầu tư sẽ thu được đã được biết trước, nênrủi ro đã được loại trừ Điều đó cho thấy rằng, độ lệch chuẩn sẽ bằng 0 đối vớiviệc nắm giữ tài sản này

và mật thiết với nhau Thông thường, tài sản nào có rủi ro cao sẽ mang lại lợinhuận hấp dẫn, và ngược lại Do đó, nhà đầu tư lo sợ rủi ro nhưng không ngạirủi ro Trong chương 2, chúng ta đã nêu được tổng quát về đặc trưng của tài sảnriêng lẻ (rủi ro và lợi nhuận), trong chương kế tiếp, sẽ bàn đến danh mục đầu tư,

và phương pháp đa dạng hóa danh mục đầu tư để giảm thiểu rủi ro cho nhà đầu

tư Chương này cũng bắt đầu xây dựng đường biên hiệu quả, dựa trên các danhmục đã được đa dạng hóa đó

Chương 3

Biên hiệu quả của danh mục đầu tư

Giới thiệu

Chúng ta đã nghiên cứu rủi ro của các tài sản đầu tư khi chúng được đầu

tư riêng lẻ Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích rủi ro vả tỷ suất sinh lợi kỳ vọngcủa danh mục đầu tư gồm hai hay nhiều tài sản được kết hợp với nhau Theo lýthuyết danh mục của Markowitz, đầu tư vào một tài sản sẽ chứa đựng nhiều rủi

ro hơn khi đầu tư vào một danh mục gồm nhiều tài sản riêng lẻ Vì các nhà đầu

tư không thích rủi ro, và vì rủi ro có thể giảm bớt bằng cách đầu tư vào danh mụctài sản, thông qua đa dạng hoá danh mục đầu tư; phần lớn các tài sản tài chínhđều không nằm riêng lẻ mà nằm trong các danh mục đầu tư Vì thế, việc giá củamột cổ phiếu nào đó tăng hay giảm không quan trọng lắm – điều quan trọng là tỷsuất lợi nhuận của cả danh mục đầu tư, và rủi ro của danh mục đó Về mặt logic,chúng ta phải phân tích rủi ro và tỷ suất lợi nhuận của từng tài sản sẽ ảnh hưởngnhư thế nào đến rủi ro và tỷ suất lợi nhuận của cả danh mục Nhưng do phạm

vi đề tài chỉ tập trung xây dựng biên hiệu quả của danh mục, chứ không đi vàochọn tài sản để đưa vào danh mục đầu tư, nên không nghiên cứu sâu vào phần này

3.1 Khái quát chung

3.1.1 Danh mục đầu tư (DMĐT)

Thực tế nhà đầu tư ít khi nào dồn hết toàn bộ tài sản của mình vào mộtkhoản đầu tư duy nhất mà thường đầu tư vào một danh mục bao gồm nhiều loạitài sản khác nhau, gọi là DMĐT

Danh mục đầu tư (portfolio) là sự kết hợp của hai hay nhiều chứng khoán

hoặc tài sản khác nhau trong đầu tư.

Chúng ta thấy rằng, ngay cả trường hợp DMĐT được tạo thành từ các tàisản được lựa chọn ngẫu nhiên (không quan tâm đến đặc điểm của tài sản cũngnhư tỷ trọng cảu tài sản trong danh mục), việc đa dạng hóa cũng đã góp phầngiảm thiểu rủi ro Tuy nhiên, Markowitz đã phát triển lý thuyết DMĐT một cáchkhoa học hơn bằng cách định lượng việc đa dạng hóa Mô hình Markowitz đượcdựa trên một số giả thuyết chính liên quan đến hành vi của nhà đầu tư như sau:

- Quyết định đầu tư dựa trên tỷ suất lợi nhuận kỳ vọng và rủi ro của đầu tư(được đo lường bởi phương sai hoặc độ lệch chuẩn của tỷ suất lợi nhuận)

- Ở một mức rủi ro được xác định trước, nhà đầu tư sẽ thích đầu tư manglại tỷ suất lợi nhuận kỳ vọng cao hơn Tương tự, ở một mức tỷ suất lợi nhuận kỳvọng được xác định trước, nhà đầu tư sẽ thích đầu tư danh mục có rủi ro thấphơn Nhà đầu tư thích lợi nhuận, và là những người ngại rủi ro

Với những giả thuyết này, một tài sản đầu tư hoặc một danh mục các tàisản đầu tư được xem là hiệu quả nếu không có bất kỳ tài sản hoặc DMĐT nàokhác có cùng mức rủi ro (hoặc rủi ro thấp hơn) nhưng lại có tỷ suất lợi nhuận kỳvọng cao hơn hoặc có cùng tỷ suất lợi nhuận kỳ vọng (hoặc tỷ suất lợi nhuận kỳvọng cao hơn) nhưng lại có rủi ro thấp hơn

Giả sử, chúng ta có N tài sản với tỷ suất kỳ vọng, độ lệch chuẩn của mỗitài sản, hệ số tương quan giữa các tài sản đã được ước lượng Với N tài sản này,chúng ta có thể tạo thành vô số DMĐT bằng cách kết hợp tùy ý các tài sản Từcông thức xác định tỷ suất kỳ vọng và độ lệch chuẩn của DMĐT, ta thấy rằngkhi thay đổi tỷ trọng của các tài sản trong danh mục, tỷ suất lợi nhuận kỳ vọng

và độ lệch chuẩn của DMĐT cũng thay đổi tương ứng Với vô số DMĐT đượctạo thành từ N tài sản như vậy, chúng ta có cần thiết phải xem xét hết tất cảcác danh mục hay không? Câu trả lời là không Chúng ta chỉ quan tâm đến tậphợp các DMĐT được gọi là các DMĐT hiệu quả Markowitz là người đầu tiênđưa ra khái niệm DMĐT hiệu quả Đó là danh mục có rủi ro thấp nhất ở bất kìmột tỷ suất kỳ vọng được xác định trước; hoặc có tỷ suất kỳ vọng cao nhất ở bất

kỳ một mức rủi ro được xác định trước Khái niệm biên hiệu quả giúp xác địnhđược DMĐT hiệu quả cho các nhà đầu tư Quá trình xây dựng biên hiệu quả làquá trình lựa chọn được các DMĐT hiệu quả cho phép nhà đầu tư lựa chọn được

danh mục mong muốn trong tập hợp các DMĐT từ N các tài sản ban đầu Cácdanh mục nằm trên đường biên hiệu quả là những danh mục cung cấp các cơ hộilợi nhuận – rủi ro tốt nhất so với tất cả các DMĐT có thể được tạo thành từ Ntài sản; hay nói cách khác, đường biên hiệu quả là tập hợp các DMĐT hiệu quả.Nhà đầu tư có thể chọn bất kỳ danh mục nào trên đường biên hiệu quả này, tùythuộc vào hệ số ngại rủi ro của các nhà đầu tư.

Hệ số ngại rủi ro đo lường mức độ hay cho biết thái độ của nhà đầu tư đốivới rủi ro Thái độ đối với rủi ro của nhà đầu tư được chia làm 3 loại:

- Nhà đầu tư ngại rủi ro, họ ưa thích sự an toàn hơn là mạo hiểm

- Nhà đầu tư bàng quan với rủi ro

- Nhà đầu tư thích rủi ro, ưa mạo hiểm để thu được lợi nhuận cao

Trong tài chính người ta xem các nhà đầu tư như là những người ngại rủi

ro Do đó, khi quyết định đầu tư, nhà đầu tư phải xem xét đến quan hệ giữa lợinhuận và rủi ro

Tóm lại, chúng ta thấy rằng lời giải cho mô hình Markowitz xoay quanhvấn đề xác định tỷ trọng của mỗi tài sản trong DMĐT Bởi vì, tỷ suất lợi nhuận

kỳ vọng, độ lệch chuẩn của mỗi tài sản, hệ số tương quan giữa các tài sản đượcxem là đầu vào của mô hình Markowitz, tỷ trọng của mỗi tài sản trong DMĐT

là biến số cần phải giải quyết để tìm ra DMĐT hiệu quả Và đi tìm biến số nàycũng chính là một phần của quá trình xây dựng đường biên hiệu quả của DMĐT.Qua đó, cho thấy tầm quan trọng của đường biên hiệu quả đến việc giúp ra quyếtđịnh đầu tư và lựa chọn DMĐT như thế nào cho hiệu quả của các nhà đầu tư.Một yếu tố quan trọng hơn nữa của ứng dụng đường biên hiệu quả là tìm ra đượcDMĐT tối ưu cho các nhà đầu tư

3.1.2 Đa dạng hóa DMĐT

Đa dạng hóa DMĐT là việc bỏ vốn đầu tư vào các chứng khoán có độ rủi

ro khác nhau dựa trên những tỷ lệ đầu tư không giống nhau trên thị trường, xâydựng lên một cơ cấu tài sản hợp lý để có thể phân tán rủi ro hay hạn chế tối đarủi ro đầu tư Đa dạng hoá DMĐT có thể làm giảm bớt mức rủi ro của DMĐTtheo nguyên tắc đầu tư "không nên để tất cả trứng vào cùng một rổ"

Đa dạng hóa DMĐT sẽ làm giảm độ lệch chuẩn của danh mục, đặc biệt

nếu các chứng khoán có tương quan không hoàn toàn với nhau thì hiệp phươngsai trung bình của danh mục sẽ giảm xuống đáng kể Tuy nhiên, việc đa dạnghóa cũng không phải là nên đưa vào danh mục càng nhiều tài sản càng tốt vì lúc

đó sẽ nảy sinh vấn đề tự tương quan Theo thống kê thì hiện tượng tự tương quan

"là sự tương quan giữa các thành phần của chuỗi các quan sát được sắp xếp theothứ tự thời gian trong số liệu chuỗi thời gian hoặc không gian" Hay nói theo mộtcách khác đối với đa dạng hóa DMĐT thì hiện tượng tự tương quan "là sự tươngquan giữa các tài sản trong DMĐT được sắp xếp theo thứ tự thời gian trong sốliệu chuỗi thời gian hoặc không gian" Hiện tượng tự tương quan do nhiều nguyênkhác nhau, có thể do khách quan hoặc do chủ quan Điều này cho thấy rằng, đadạng hóa DMĐT chỉ có thể giảm rủi ro đến một mức nhất định mà tại đó việc

đa dạng hóa hơn nữa sẽ không đem lại lợi ích gì Nhiều nhà đầu tư có quan điểmsai lầm rằng rủi ro tỉ lệ nghịch với số lượng tài sản thêm vào cho mỗi DMĐT,trong khi trên thực tế điều này không đúng

Ngoài ra, một điểm cần lưu ý nữa là cho dù DMĐT có được đa dạng hóatốt đến mấy thì nó chỉ có thể loại bỏ được rủi ro phi hệ thống, còn rủi ro hệ thốngthì không thể loại trừ Từ việc đưa ra công thức đo lường rủi ro (độ lệch chuẩn)

và tỷ suất sinh lợi của DMĐT, Harry Markowitz đã đi đến một kết luận rất cógiá trị: đa dạng hóa danh mục có thể làm giảm thiểu, thậm chí triệt tiêu rủi rokhi đầu tư

Đầu tư gánh chịu rủi ro bởi vì nó là không thể dự đoán chính xác lợi nhuậntương lai của đầu tư bất kỳ thời gian Tuy nhiên, điều chắc chắn là không phải tất

cả các đầu tư thực hiện theo cùng một cách theo cùng một điều kiện thị trường,một số tăng lên trong khi những cái khác giảm xuống Nhà đầu tư có thể thửchọn một tài sản đầu tư bằng cách không đa dạng hóa, nhưng bất kỳ lựa chọn sai

sẽ dẫn đến làm giảm lợi nhuận hoặc lỗ DMĐT đa dạng hóa làm giảm rủi ro đầu

tư bằng cách loại bỏ khả năng đó thông qua đầu tư vào tài sản của lợi nhuận kỳvọng khác nhau Lợi nhuận kỳ vọng vào một DMĐT được đa dạng hóa sẽ luônluôn thấp hơn so với tài sản có tỷ suất lợi nhuận kỳ vọng cao nhất, nhưng caohơn so với tài sản có tỷ suất lợi nhuận kỳ vọng thấp nhất

Đa dạng hóa có thể được thực hiện giữa các loại tài sản và trong một loạitài sản Ví dụ, một nhà đầu tư có thể chọn để bao gồm cổ phiếu, trái phiếu, và

3.1.3 Biên hiệu quả (efficient frontier)

3.1.3.1 Khái niệm

Đường biên hiệu quả miêu tả tập hợp những danh mục đầu tư (DMĐT)

có tỷ suất sinh lợi lớn nhất cho mỗi mức độ rủi ro, hoặc rủi ro thấp nhất chomỗi mức tỷ suất sinh lợi Một danh mục mục tiêu nằm dọc theo đường biên này

dựa trên hàm tiện ích và thái độ hướng đến rủi ro của nhà đầu tư Không cómột DMĐT nào nằm trên đường biên hiệu quả có thể chiếm ưu thế hơn bất kỳDMĐT nào khác trên đường biên hiệu quả, danh mục có tỷ suất kỳ vọng càngcao thì rủi ro gánh chịu càng lớn.

E(RP)

Hình 3.1.1 – Biên hiệu quả

3.1.3.2 Xây dựng biên hiệu quả

Mọi sự kết hợp tài sản có thể có thể được vẽ trong không gian giữa lợinhuận và rủi ro, và tập hợp của tất cả các DMĐT xác định một miền trongkhông gian này Đường dọc theo mép trên của miền này được gọi là biên hiệuquả Kết hợp dọc theo đường này đại diện cho DMĐT (rõ ràng không bao gồmphi rủi ro), các danh mục này có rủi ro thấp nhất đối với mức tỷ suất lợi nhuậncho trước Ngược lại, đối với cùng một mức rủi ro, các DMĐT nằm trên biên hiệuquả đại diện cho sự kết hợp các tài sản có tỷ suất lợi nhuận tốt nhất Trong toánhọc, biên hiệu quả là giao của tập hợp các DMĐT với phương sai nhỏ nhất vàtập hợp các DMĐT với lợi nhuận lớn nhất Hình 3.1.2 cho thấy tập hợp toàn bộ

cơ hội đầu tư cho nhà đầu tư, đây là tập hợp đạt được bởi sự kết hợp rủi ro vàlợi nhuận của DMĐT hình thành bởi tài sản A và tài sản B theo tỷ lệ khác nhau.Khu vực trên đường cong BVA đại diện cho tất cả các kết hợp DMĐT cóthể đầu tư DMĐT tại điểm V được xác định là các DMĐT có phương sai nhỏnhất VA là đường cong đại diện cho tất cả các DMĐT hiệu quả và được gọi làbiên hiệu quả

B

Danh mục có phương sai nhỏ nhất (MVP)

Tập cơ hội đầu tư

3.1.3.3 Ứng dụng biên hiệu quả trong thực tiễn

+ Biên hiệu quả đóng vai trò quan trọng trong việc xác định danh mục đầu

tư tối ưu:

DMĐT tối ưu là DMĐT trên đường biên hiệu quả, tại đó lợi ích đem lạicho nhà đầu tư là cao nhất Nó là điểm tiếp tuyến giữa đường biên hiệu quả vàđường cong với mức hữu dụng cao nhất Mức hữu dụng cao nhất của một nhàđầu tư thận trọng nằm tại điểm A và của một nhà đầu tư ưa thích rủi ro hơn (dĩnhiên sẽ đạt được tỷ suất kỳ vọng E(R) cao hơn) nằm tại điểm B (hình 3.1.3).Kết hợp giữa thái độ đối với rủi ro của mỗi nhà đầu tư với biên hiệu quảcủa các tài sản rủi ro để tìm được một danh mục đầu tư tối ưu ứng sở thích khácnhau của mỗi nhà đầu tư khác nhau

Ngoài ra, việc xây dựng biên hiệu quả giúp xác định danh mục đầu tư tối

ưu khi có sự tham gia của tài sản phi rủi ro Khi đó, danh mục đầu tư tối ưu

là danh mục thị trường, được kí hiệu là M, là điểm tiếp xúc giữa biên hiệu quảMarkowitz và đường thị trường vốn (capital market line, CML) (hình 3.1.4) Qua

đó, nhà đầu tư sẽ chọn được cách đầu tư phù hợp với nhu cầu và thái độ đối vớirủi ro của họ

+ Chúng ta đã biết đa dạng hóa DMĐT sẽ làm giảm độ lệch chuẩn hay rủi

ro của danh mục; đặc biệt, nếu các chứng khoán có tương quan không hoàn toàn

Hình 3.1.3 - Biên hiệu quả và đường cong hữu dụng

Biên hiệu quả

Đường cong hữu dụng (hay đường cong bàng quang)

Hình 3.1.4 – Biên hiệu quả và đường thị trường vốn

RF

E(R)

Đường thị trường vốn - CML

σ M

M

● E(R M )

Biên hiệu quả

Mức ngại rủi ro cao

Mức ngại rủi ro trung bình

Mức ngại rủi ro thấp

Danh mục cho vay Danh mục đi vay

với nhau thì hiệp phương sai trung bình của danh mục sẽ giảm xuống đáng kể

Vì vậy, qua việc xây dựng biên hiệu quả, chúng ta sẽ xác định được tập các danhmục hiệu quả được xây dựng theo phương pháp đa dạng hóa danh mục đầu tư.Qua đó, dựa vào các danh mục hiệu quả trên biên hiệu quả sẽ giúp các nhà đầu

tư có thể lựa chọn danh mục tối ưu theo nhu cầu của họ, giúp hạn chế rủi ro, đạt

được mức lợi nhuận cao nhất.

3.2 Biên hiệu quả của danh mục đầu tư gồm hai tài sản rủi ro

3.2.1 Cơ sở của quyết định đầu tư

Vào năm 1952, Harry Markowitz đã rút ra nhận định chung về danh mụcđầu tư Ông đã chỉ ra cách lựa chọn các cổ phiếu không cùng chiều với nhau để

có thể làm giảm độ lệch chuẩn tỷ suất sinh lợi như thế nào Harry Markowitz cònphát triển các nguyên lý cơ bản về xây dựng danh mục Những nguyên lý này

là hầu hết những gì các nhà kinh tế thảo luận về mối quan hệ của rủi ro và lợinhuận

Một điều mà chúng ta dễ quan sát trong thực tế là đầu tư vào cổ phiếuthường mang lại lợi tức cao hơn đáng kể so với gửi tiền ngân hang hoặc đầu tưvào trái phiếu Tại sao các nhà đầu tư không đầu tư hoàn toàn vào cổ phiếu?Trong đầu tư tài chính, mọi quyết định đầu tư luôn được xem xét trên cơ sở cânbằng giữa rủi ro và lợi nhuận

3.2.1.1 Lợi nhuận

Nhà đầu tư mong muốn sẽ nhận được lợi nhuận trên số tiền mà họ bỏ ra

để đầu tư, hay còn gọi là tỷ suất kỳ vọng của nhà đầu tư Tỷ suất thực tế có thểlớn hơn, hoặc nhỏ hơn tỷ suất kỳ vọng ban đầu của nhà đầu tư

3.2.1.2 Rủi ro

Các nhà đầu tư đều có xu hướng ngại rủi ro, tức là nếu các yếu tố khác

là giống nhau, nhà đầu tư sẽ lựa chọn dự án ít rủi ro hơn Các nhà đầu tư chỉchấp nhận rủi ro cao khi khi mà tỷ suất kỳ vọng cũng cao hơn Hay nói cáchkhác là sẽ có một mức đền bù rủi ro hợp lý Sự đền bù càng cao khi rủi ro cànglớn Đây chính là sự cân bằng giữa lợi nhuận và rủi ro Chúng ta thấy rằng, việcbảo đảm tính an toàn cho nhà đầu tư là rất cần thiết “Lý thuyết danh mục” củaMarkowitz đề cập đến phương pháp đa dạng hóa danh mục đầu tư sẽ hạn chế rấtnhiều rủi ro cho nhà đầu tư, thông qua phân tán rủi ro của các tài sản riêng lẻ.Chúng ta sẽ tìm hiểu kỹ hơn trong phần tiếp theo của chương

3.2.2 Giới thiệu về bán khống (short selling)

Bán khống trong tài chính có nghĩa là một cách kiếm lợi nhuận từ sự kỳvọng giá của một loại chứng khoán sẽ giảm trong tương lai.

Trong giao dịch chứng khoán, bán khống là bán một loại chứng khoán màngười bán không sở hữu tại thời điểm bán, cụ thể hơn là bán chứng khoán vaymượn Bán khống một cổ phiếu là giao dich hoàn toàn đối lập với việc mua một

cổ phiếu

Bán khống một cổ phiếu có nghĩa là người bán đang cho rằng giá cổ phiếu

đó sẽ sụt giảm chứ không giống như khi mua một cổ phiếu và hi vọng giá của nótăng lên Khi nhà đầu tư dự đoán trong tương lai giá cổ phiếu sẽ giảm, họ sẽ đivay cổ phiếu của công ty chứng khoán để bán; sau khi giá hạ, họ sẽ mua cổ phiếu

đó trên thị trường để trả lại và hưởng khoản chênh lệch giá

Nhưng nếu giá trên thị trường không hạ như dự đoán mà lại tăng lên, đến

kỳ hạn trả lại, nhà đầu tư đó sẽ phải mua chứng khoán với giá cao hơn và chấpnhận bị lỗ

Giả sử, một người vay mượn cổ phiếu XYZ với giá 100.000đ/cp và bán đingay Sau đó, giá cổ phiếu XYZ giảm xuống còn 80.000đ/cp, người này mua cổphiếu XYZ để trả lại Như vậy, người đó thu về 20.000 đồng/cp

Trong trường hợp cổ phiếu XYZ tăng giá sau khi mua thì người đó sẽ bị lỗ

vì phải mua trả lại với giá cao hơn

Bán khống chứng khoán cũng là một hình thức khuyến khích nhà đầu tưtham gia thị trường, bởi họ vẫn có thể kiếm được lời khi cổ phiếu giảm giá, trongkhi mua bán theo cách bình thường, họ chỉ kiếm được lời khi cổ phiếu tăng giá

3.2.3 Biên hiệu quả với việc bán khống không được cho phép

3.2.3.1 Định nghĩa: Một chứng khoán với tỷ suất kỳ vọng µ 1 và độ lệchchuẩn µ2 được gọi trội hơn chứng khoán khác với tỷ suất kỳ vọng σ1 và độ lệchchuẩn σ2 khi µ1≥ µ2 và σ1≤ σ2

3.2.3.2 Định nghĩa: Một danh mục đầu tư được gọi là hiệu quả nếu không

có danh mục đầu tư nào khác, ngoại trừ chính nó, thì trội hơn nó

Điều đó có nghĩa là, một danh mục đầu tư hiệu quả thì thỏa một trong cácđiều kiện sau:

- Danh mục đầu tư có tỷ suất lỳ vọng lớn nhất trong số các danh mục đầu

tư có cùng độ rủi ro, hoặc

- Danh mục đầu tư có độ rủi ro nhỏ nhất trong số các danh mục đầu tư có

cùng tỷ suất kỳ vọng

3.2.3.3 Định nghĩa: Tổng hợp các danh mục đầu tư hiệu quả được gọi là

tập hợp hiệu quả hay biên hiệu quả (efficient frontier)

DC

R i ro

su tng

Click to buy NOW!

w tr

ack er-softw ar e.

c

Theo hình 3.2.2, xét danh mục đầu tư A và B, các nhà đầu tư sẽ ưa chuộng

danh mục đầu tư B hơn danh mục đầu tư A vì tỷ suất kỳ vọng của B cao hơn

của A mặc dù A và B có cùng độ rủi ro Mặt khác, danh mục đầu tư C cũng được

ưa chuộng hơn danh mục đầu tư A vì độ rủi ro của danh mục đầu tư C nhỏ hơn

của A mặc dù A và C có cùng tỷ suất kỳ vọng Do đó ta sẽ loại danh mục đầu

tư A ra

Tương tự, xét danh mục đầu tư D và E, các nhà đầu tư sẽ ưa chuộng danh

mục đầu tư E hơn danh mục đầu tư D vì tỷ suất kỳ vọng của E cao hơn của D

mặc dù D và E có cùng độ rủi ro Mặt khác, danh mục đầu tư E cũng được ưa

chuộng hơn danh mục đầu tư F vì độ rủi ro của danh mục đầu tư E nhỏ hơn của

F mặc dù E và F có cùng tỷ suất kỳ vọng Do đó ta sẽ loại danh mục đầu tư D

và F ra

Chú ý rằng không có danh mục đầu tư nào trội hơn danh mục đầu tư B

hoặc C Vậy danh mục đầu tư B và C được gọi là gì? Danh mục đầu tư B là danh

mục đầu tư có tỷ suất kỳ vọng lớn nhất trong số các danh mục đầu tư đạt được,

còn danh mục đầu tư C là danh mục đầu tư có phương sai nhỏ nhất trong số các

danh mục đầu tư đạt được

Như vậy, biên hiệu quả là đường nằm giữa danh mục đầu tư có phương sai

nhỏ nhất và danh mục đầu tư có tỷ suất kỳ vọng lớn nhất trong số các danh mục

đầu tư đạt được (hình 3.2.3)

w tr

ack er-softw ar e.

c

3.2.3.4 Tỷ suất kỳ vọng của danh mục đầu tư

Giả sử xét danh mục đầu tư gồm hai tài sản rủi ro là A và B

Tỷ suất kỳ vọng của danh mục đầu tư gồm hai tài sản A và B là

E(RP) = ωAE(RA) + ωBE(RB),

trong đó,

RA và RB lần lượt là tỷ suất sinh lời của A và B,

E(RA) là tỷ suất kỳ vọng của tài sản A,

E(RB) là tỷ suất kỳ vọng của tài sản B,

ωA và ωB là tỷ trọng (đầu tư) lần lượt của hai tài sản A, B

3.2.3.5 Phương sai tỷ suất của danh mục đầu tư

V ar(RP) = ω2AV ar(RA) + ωB2V ar(RB) + 2ωAωBCov(RA, RB).

Chứng minhGiả sử tỷ suất trên danh mục đầu tư là RP = ωARA+ ωBRB,

Suy ra, ta có thể tính phương sai của tỷ suất trên danh mục đầu tư nhưsau

V ar(RP) = E(R2P) − [E(RP)]2

= E(ωA2R2A− 2ωAωBRARB + ω2BR2B) − [ωA2(E(RA))2+2ωAωBE(RA)E(RB) + ωB2(E(RB))2]

= ωA2[E(R2A) − (E(RA))2] + ωB2[E(RB2) − (E(RB))2] +2ωAωB[E(RARB) − E(RA)E(RB)]

= ωA2V ar(RA) + ωB2V ar(RB) + 2ωAωBCov(RA, RB).

Để tránh phức tạp ta có thể ký hiệu một số công thức sau

µP = E(RP), σP =pV ar(RP),

µA = E(RA), σA =pV ar(RA),

µB = E(RB), σB =pV ar(RB).

ρAB = Cov(RA ,R B )

σ A σ B là hệ số tương quan của tài sản A và tài sản B

Vì vậy ta có thể viết lại tỷ suất kỳ vọng và phương sai của danh mục đầu

tư như sau:

µP = ωAµA+ ωBµB,

σP2 = ωA2σA2 + ωB2σ2B + 2ωAωBρABσAσB.

trong đó,

µP là tỷ suất kỳ vọng của danh mục đầu tư,

µA và µB lần lượt là tỷ suất kỳ vọng của A và B,

σP là độ lệch chuẩn của danh mục đầu tư,

σA và σB lần lượt là độ lệch chuẩn của A và B,

Cov(RA, RB)là hiệp phương sai giữa tỷ suất sinh lợi của tài sản A và B

3.2.3.6 Hiệp phương sai và hệ số tương quan

+ Hiệp phương sai của các tỷ suất sinh lợi (TSSL)

Khi phân tích DMĐT, chúng ta thường quan tâm nhiều nhất đến hiệpphương sai của TSSL Hiệp phương sai là một ước lượng để hai mức độ khácnhau “tiến lại gần nhau” nhằm tạo thành một giá trị có ý nghĩa Trong lý thuyếtxác suất và thống kê, hiệp phương sai là độ đo sự biến thiên cùng nhau của haibiến ngẫu nhiên

Một giá trị hiệp phương sai dương có nghĩa là TSSL đối với hai khoản đầu

tư có khuynh hướng dịch chuyển về cùng một hướng và ngược lại, một giá trịhiệp phương sai âm chỉ ra rằng TSSL đối với hai khoản đầu tư có khuynh hướngdịch chuyển về hai hướng khác nhau so với mức trung bình của chúng trong suốtmột khoảng thời gian Độ lớn của hiệp phương sai phụ thuộc vào phương sai củanhững chuỗi TSSL cụ thể cũng như mối quan hệ giữa những chuỗi TSSL

- Đối với hai tài sản A và B, hiệp phương sai của TSSL được định nghĩa:

CovAB = E[(RiA− E(RA))(RiB− E(RB))]

- Đối với trường hợp phân phối xác suất TSSL của hai tài sản A và B thìhiệp phương sai được xác định như sau:

Chứng minh

Ta có CovAB = E[(RiA− E(RA))(RiB− E(RB))]

Công thức trên có thể được viết lại như sau:

CovAB = E(RARB) − E(RA)E(RB) (∗)

Dựa vào tính chất của kỳ vọng, khi X và Y độc lập thì E(X,Y) = E(X).E(Y)

Do đó, từ (*) suy ra CovAB = E(RARB) − E(RA)E(RB) = E(RA)E(RB) − E(RA)E(RB) = 0.

- Hệ quả

Với giả thuyết X, Y là tỷ suất sinh lợi của hai tài sản, và a, b là các hằng

số, ta có một số hệ quả sau:

CovXX = V arX, CovXY = CovYX, Cov(aX,bY )= abCovXY, Cov(

ρAB là hệ số tương quan giữa A và B,

σA và σB lần lượt là độ lệch chuẩn của A và B

Hệ số tương quan chỉ có thể thay đổi trong khoảng từ -1 đến +1 Giá trị+1 có thể nhấn mạnh mối quan hệ tuyến tính xác định giữa RA và RB, nghĩa là

tỷ suất kỳ vọng (TSKV) đối với hai cổ phiếu cùng thay đổi trong một kiểu tuyếntính xác định hoàn toàn Giá trị -1 có thể nhấn mạnh mối quan hệ phủ định hoàntoàn giữa hai chuỗi TSKV như khi TSKV của một cổ phiếu cao hơn mức trungbình, TSKV của những cổ phiếu khác sẽ thấp hơn mức trung bình bằng một số

lượng lớn Giá trị 0 có nghĩa là TSKV không có mối quan hệ tuyến tính hay còngọi là tương quan độc lập, qua thống kê chúng không có tương quan với nhau.+ Tính chất của hệ số tương quan

• − 1 ≤ ρAB ≤ 1,

• ρAB = 1, A và B có quan hệ đồng biến,

• ρAB = −1, A và B có quan hệ nghịch biến,

• ρAB = 0, A và B độc lập

3.2.3.7 Định lý 3.1: Nếu bán khống không được cho phép và σP = 0 (rủi

ro của danh mục đầu tư bằng 0) thì với

3.2.3.8 Định lý 3.2 (danh mục đầu tư có phương sai nhỏ nhất): Nếubán khống không được cho phép thì tỷ trọng đầu tư của danh mục đầu tư cóphương sai nhỏ nhất gồm hai tài sản A và B cho bởi bảng sau:

Hệ số tương quan Tỷ trọng của đầu tư A Tỷ trọng của đầu tư B

σ 2

A +σ 2 B

ωB = σ

2

A −2σ 2 B

σ 2

A +σ 2 B

.

Chứng minhGiả sử tỷ trọng đầu tư của tài sản A và B lần lượt là ωA và ωB, với

σ 2

A +σ 2 B

và ωB = σ

2

A −2σ 2 B

σ 2

A +σ 2 B

.

3.2.3.9 Nói thêm về hệ số tương quan

Ta có công thức tính phương sai của danh mục đầu tư như sau:

σ2P = ω2AσA2 + ω2BσB2 + 2ωAωBρABσAσB