đề tài các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập

ðiều ñó ñòi hỏi người dạy và học phải tìm tòi ra những phương pháp tổng hợp một lượng kiến thức khá sâu và rộng phù hợp hơn với chương trình mới.. ðối với các học sinh Trung Học Phổ Thôn

PHẦN MỞ ðẦU I.Lý do chọn ñề tài

Hiện nay, chương trình cải cách giáo dục ở ñất nước ta ñang diễn ra mạnh mẽ

và dần hoàn thiện ðiều ñó ñòi hỏi người dạy và học phải tìm tòi ra những phương pháp tổng hợp một lượng kiến thức khá sâu và rộng phù hợp hơn với chương trình mới Trong chương trình cải cách toán Trung học phổ thông thì phân môn lượng giác ñóng vai trò khá quan trọng Ngoài ra nó còn khá nhiều ứng dụng trong việc giải các phân môn khác của toán học và một số môn học khác ðối với các học sinh Trung Học Phổ Thông, một số các bạn sinh viên và giáo viên thì việc học và dạy toán lượng giác tương ñối gặp khá nhiều khó khăn vì tính phức tạp và ña dạng của

nó Là một sinh viên năm 3 của khoa sư phạm vừa trải qua học phần kiến tập sư phạm tôi ñã mạnh dạn chọn ñề tài “ Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập”cho học phần tiểu luận tốt nghiệp của mình ðể giúp các bạn sinh viên, học sinh và một số giáo viên Trung Học Phổ Thông nắm vững ñược một số phương pháp giải toán phương trình lượng giác hơn ðồng thời chuẩn bị một lượng kiến thức cơ bản phục vụ cho việc giảng dạy của bản thân trong tương lai và học phần Thực tập sư phạm sắp tới Nhưng do tính ña dạng, phức tạp của lương giác và thời gian thực hiện ñề tài khá hạn hẹp nên nội dung bài tiểu luận chỉ gói gọn một số phương pháp giải toán lượng giác và lượng bài tập cơ bản

II.Mục ñích nghiên cứu

-Hoàn thành học phần Tiểu luận tốt nghiệp

- Có ñược một số phương pháp giải toán phù hợp với bản thân góp phần thực hiện tốt hơn học phần tực tập sư phạm sắp tới cũng như trong việc giảng dạy trong tương lai

-Làm nguồn tài liệu tham khảo có ích cho học sinh, sinh viên và các bạn yêu toán khác trong việc giải toán và nghiên cứu các ñè tài khác có liên quan

-Góp phần phục vụ cho việc tổng hợp các phương pháp giải toán lượng giác

Từ ngày: 31/12/2008 ñến ngày 12/04/2009

IV Phạm vi nghiên cứu

Vì thời gian thực hiện ñề tài tương ñối ngắn và song song với việc thực hiện nhiều học phần khác nên ñề tài chỉ nghiên cứu chủ yếu các phương pháp giải phương trình lượng giác tổng quát và mốt số dạng thương gặp

V.Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình thực hiện ñề tài tôi ñã thực hiện nhiều phương pháp khác nhau ñể nghiên cứu Ở ñây, chủ yếu tôi sử dụng phương pháp tổng hợp, khái quát các nguồn tư liệu sưu tầm ñược Trên cơ sở ñó chọn lọc, thống kê lại theo một hệ thống logic sao cho phù hợp Bên cạnh ñó còn sưu tầm, tham khảo các bài báo cáo, các luận văn khác có liên quan Nhất là tham khảo cách trình bày, cách bố trí từng

ñề mục của những bài nghiên cứu khác sẽ góp phần giúp cho tiểu luận thật sự logic

và khoa học

VI Bố cục ñề tài: gồm ba phần

*PHẦN MỞ ðẦU Giới thiệu sơ lược về ñề tài, phương pháp tiếp cận và thực hiện ñề tài

*PHẦN NỘI DUNG

A Lý thuyết: Giới thiệu tổng quát các kiến thức cơ bản cần thiết và các phương pháp giải phương trình lượng giác

I.Các công thức biến ñổi lượng giác cơ bản

I.1 Các công thức biến ñổi lượng giác cơ bản

I.2 Bảng giá trị lượng giác của các cung ñặc biệt; Cung liên kết

I.3.Công thức cộng

I.4.Công thức nhân

I.5 Công thức biến ñổi tổng thành tích

I.6 Công thức biến ñổi tích thành tổng

II.Các phương pháp giải phương trình lượng giác

II.1Phương pháp ñưa về phương trình lượng giác cơ bản

II.2.Phương pháp ñưa về phương trình tích

PHẦN NỘI DUNG

A Lý thuyết

I.Các công thức và phép biến ñổi lượng giác cơ bản

I.1 Các công thức biến ñổi lượng giác cơ bản

I.2 Bảng giá trị lượng giác của các cung ñặc biệt; Cung liên kết

I.2.1 Bảng giá trị lượng giác của các cung ñặc biệt

0 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o sin x 0 1

2

22

32

2

22

12

0

2

22

12

3

- 33

I.2.2 Cung liên kết

a.Cung ñối nhau

cos(-x) = cosx sin(-x) = -sinx tg(-x) = -tgx cotg(-x) = -cotgx b.Cung bù nhau

cos(π-x) = -cosx sin(π-x) = sinx tg(-x) = -tgx cotg (π-x) = -cotgx

c Cung phụ nhau

cos(

2

π-x) = sinx sin(

2

π-x) = cosx

tg(

2

π-x) = cotgx cotg(

2

π-x) = tgx

d Cung hơn kém πcos(π+x) = -cosx sin(π+x) = -sinx tg(π+x) = tgx cotg(π+x) = cotgx

e Cung hơn kém

2π

cos(

2

π+x) = -sinx sin(

2

π+x) = cosx

tan(

2

π+x) = -tanx cotg(

2

π+x) = -cotgx I.3 Công thức cộng

sin(a+b) = sina.cosb + sinb.cosa

sin(a-b) = sina.cosb - sinb.cosa

cos(a+b) = cosa.cosb – sina.cosb

cos(a-b) = cosa.cosb + sina.cosb

tg(a+b) =

tga tgbtga tgb

−+ ;(a,b,a+b 2 k ,k

+

− ;(a,b,a+b 2 k ,k

π π

≠ + ∈Z) I.4 Công thức nhân

I.4.1 Công thức nhân ñôi

≠

2

π+kπ, k∈Z)

2 2 2

2

2sin

11cos

121

ta

tta

tttga

2 1

II.Các phương pháp giải phương trình lượng giác

II.2.1Phương pháp ñưa về phương trình lượng giác cơ bản

a Phương pháp: Dùng phép biến ñổi lượng giác tương ñương ñưa về các dạng phương trình lượng giác cơ bản ñã biết ñể giải

b Các phương trình lượng giác cơ bản

( ) ( ) ,

u x tgu x tgv x v x

Vậy nghiệm của phương trình (1) là:

4

2 3

II.2.Phương pháp ñưa về phương trình tích

II.2.1 Phương pháp: Sử dụng các phép ñổi tương ñương ñưa phương trình ñã cho về dạng phương trình tích

Giải các phương trình Ai=0; Tìm nghiệm và hợp tất cả các nghiệm ñó chính

là nghiệm của phương trình ban ñầu

2 cos (cos 1) sin 1 0

2 cos (cos 1) (sin 1)(sin 1) 0

2 cos (cos 1) cos (sin 1) 0

cos [2(cos 1) (sin 1)] 0

cos (2 cos sin 1) 0

cos (2 cos cos ) 0

2

1 cos

2 2 2 2

sin 2 sin 4 sin sin 3

1 os4 1 os8 1 os2 1 os6

cos 6 cos 2 cos 2 cos 4

cos 2 (cos 6 cos 4 ) 0

+Dạng phương trình: a sin x b + cos x = c(1)

Thay (*) vào (1) giải tìm t Từ ñó suy ra x

nghiệm của phương trình (1) hay không

b) Phương trình ñối xứng loại 1

+Dạng phương trình: a(sinx±cos )x n +b(sin cos )x x m+ =d 0; ,m n∈ (2)

1

s inx cos

21

s inx cos

2

tx

tx

Thay vào phương trình (2) giải tìm t thoả (*) Rồi từ ñó suy ra x

c) Phương trình ñối xứng loại 2

+Dạng phương trình: f tg x( n ±cotg x tgn , n−1x±cotg xn−1 , ,tgx±cotgx)=0;n ∈ Z (3) +ðặt

a)Ví dụ 5: Giải phương trình 3

(s inx+cos )x +sin x cosx− =1 0(5) Giải: ðặt t = s inx cos + x

2

2

1 2 sin x cos

1 sin x cos

2

t x

t + − − =

2

21

t

tt

II.4.1 Phương pháp

ðể giải phương trình f(x)=g(x) ta cần chứng minh ∀ ∈x Df ∩Dg: ( ) ( )

f x ≤ g x ( hoặc ( )f x ≥g x( ))

Ta thường giải quyết các vấn ñề của bài toán bằng 3 cách sau:

+ Cách 1: Sử dụng tính bị chặn của hàm sin, cos

+ Cách 2: Dùng các bất ñẳng thức cơ bản là Cauchy và Bunhiakopsky

2 2

sin sin 0 sin (sin 1) 0

sin 0sin 0

sin 1sin 1

xx

f x = − − x

a) Ví dụ 9: Giải phương trình c os2 x − cos 6 x + 4(3sin x − 4 sin3 x + = 1) 0(9)

Ta có: c os2 x − cos 6 x + 4(3sin x − 4sin3 x + = 1) 0

(1 2sin ) (1 2sin 3 ) 4sin 3 4 0

1 2sin 1 2sin 3 4sin 3 4 0

2sin 2sin 3 4sin 3 4 0

2(1 sin 3 ) 2(1 sin ) 0 (1 sin 3 ) cos 0

b) Ví dụ 10: Giải phương trình 2sin 2 x c + os2 x + 2 2 sin x − = 4 0 (10)

Ta có(10) ⇔ 2.2 sin x cos x + − 1 2 sin2 x + 2 2 sin x − = 4 0

2 2

2 2

(sin x cos ) (sin ) 0

2 4 3

2 2

tga

a a

a

tg

a

sin cot

) cos sin

(

= +

+ +

cot ( 1) cos

1

( 1) cos

sin 1

+

sin cot sin cot

sin

1 sin

1 cot sin cot

cot cot sin

1 sin

cot

n n

Từ (1) và (2): ðiều phải chứng minh

Bài 3: Rút gọn biểu thức sau:

sin 4 os os 4sin

A = x + c x + c x + x

Giải:

sin 2 sin 4 sin 6 sin 8

2 sin 3 cos 2 sin 7 cos

2 cos (sin 3 sin 7 )

4 cos sin 5 cos 2

os2 os4 os6 os8

2 os3 cos 2 os7 cos

2 cos ( os3 os7 )

2 cos 2 os5 cos 2

ta có: (1 cos )(1 cos ) − x + x = sin2 x

Bài 5: Rút gọn biểu thức sau:

a) sin 2 sin 4 sin 6 sin 8

os2 os4 os6 os8

os( ( / 6)) os(( / 6) ) os(( / 6) )

os( ( / 6)).sin(( / 6) ) sin(( / 6) )

c a

B

aa

B

aa

Bài 6: Tính giá trị các biểu thức:

a) A=sin2100+ sin2200+…+ sin21700

Giải:

A=sin2100+ sin2200+…+ sin2100+ sin2200+…+ sin21700

A=sin2100+ sin2200+…+ sin2800+ sin2900+sin2(1800-800)…+ sin2(1800-100)

A=2(sin2100+ sin2200+…+sin2800)+sin2900

A=2(sin2100+sin2200+…+sin2400+sin2(900-400)+sin2(900-300)+…

Cho
ABC chứng minh rằng:

a) cos( / 2)A =sin( / 2) os(B c C/ 2) sin(+ C/ 2) os( / 2)c B

b) tg A( / 2) ( / 2)tg B +tg B( / 2) ( / 2)tg C +tg C( / 2) ( / 2) 1tg A =

c)

2 3 os( / 2) os( / 2) os( / 2) os( / 2) os( / 2) os( / 2)

A Btg

2 2

1 sin

os

x A

c x

+

=

1 2 os2 1

3 os2 2

1 2 os2 1 2 os2 2

16 sin10 sin(90 60 ) sin(90 40 ) sin(90 20 )

16 sin10 os60 os40 os20

16 sin10 os60 os40 os20 os10

os108sin 20 os60 os40 os20

1 os sin

xx

xtg

(cos os3 )(cos os3 )

2sin 2 sin( ).2 os2 cos

2sin cos 2sin 2 os2

(sin 5 2 os2 sin 2 os4 sin )

/ sin

sin 5 sin( 2 ) sin( 2 ) sin( 4 ) sin( 4 )

sin sin 5 sin sin 3 sin 5 sin 3

sin sin

1 sin

[ ]

1 sin 2 sin( / 2) sin 2

1 sin 2 sin( / 2) sin 2

sin 9 sin15 sin 27 os27 os15 os9

os9 os15 os27 sin27 sin15 sin9

sin 9 os9 sin15 os15 sin 27 os27

sin 25 sin 75 os25 os75

80 sin 25 sin 75 10 os25 os75

Bài 1: Chứng minh các biểu thức sau:

a) sin4 x+6 osc 2x+3 osc 4x+ cos4x+6sin2x+3sin4x =4

Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:

a) A = 2(sin6 x + cos6 x ) 3(sin − 4 x + cos4 x )

2 2

os20 os40 os180

sin 5 sin10 sin 355

Bài 11: Tính:

Bài 12: rút gọn

b)sin2 A + sin2 B + sin2C = + 2 2 cos cos cos A B C

c) cos cos cos 1 4 sin sin sin

A+ B+ C = +

d) c os2A + c os2B + c os2C = − 1 2 cos cos cos A B C

II Một số phương pháp giải phương trình lượng giác:

II.1 Phương pháp ñưa về phương trình lượng giác cơ bản II.1.1 Bài tập và giải

Giải các phương trình sau:

Bài 1) cos2x + cos22x + cos23x +cos24x =2

2 os3 cos 2 os7 cos 0

cos ( os3 os7 ) 0

Vậy nghiệm của phương trình ñã cho là: / 10 / 2 / 5 ( )

tgtgx tg

4 sin os3 4 os sin3 3 3 os4 3

(3s inx sin 3 ) os3 (3 osx+cos3 ).sin3 3 3 os4 3

3s inx os3 sin 3 os3 3 osx.sin3 +cos3 sin3 3 3 os4 33(s inx os3 osx.sin3 ) 3 3 os4 3

s inx os3 osx.sin3

Vậy phương trình ñã cho có 2 nghiệm là

Giải:

ðiều kiện:

sin 2 0 cos 0 sin 2 0

x

21

2 2

2

2

1 cos 2 (2 cos 2 1) 3cos 2 0

2 cos 2 3cos 2 cos 2 1 0

1(cos 2 ).(2 cos 2 2 cos 2 2) 0

2

1cos 2

21

41

os

23

21

1 1

tg x t

cos 0

(*) cos 2 0

x x

II.1.2 Bài tập tự luyện:

Giải các phương trình sau:

2

3 3 2) 4(sin cos ) sin 4 1

2 3) sin sin 2 sin 3 2

4) sin sin 2 sin 3 sin 4 cos cos 2 cos 3 cos 4

đáp số 2 ( ) 1 1

,2

26

2 3

12) 4 cos 3 2 sin 2 8 cos

13) 1 sin sin cos 2 cos cos sin 0

14) 1 sin cos cos 2 sin 2 0

15) 2 sin cot 1 2 sin 2

16) cos cos 2 cos 3 cos 4 0

Giải các phương trình sau

2(1 s inx) 2 cos sin 2 cos 2sin cos sin 0

2(1 s inx) sin cos 2 cos sin cos 0

2(1 s inx) sin cos 2 cos sin cos 0

2(1 s inx) (1 sin ) cos (1 sin ) cos 0

(1 s inx) 2 cos (1 sin ) cos 0

sin cos (2 sin ) cos 1 0

cos (2 sin ) cos 1 sin 0(*)

Vậy phương trình (1) có 1 nghiệm x=π

Bài 2) tg x2 sinx+ 3(sinx− 3 2 ) 3 3tg x − =0(2)

Giải ðiều kiện: cos 2 x ≠ 0 (*)

Giải

1 sin 2 x [4 cos x 3cos x (4 sin x 3sin )] x

3 3 2

2 2

1 sin 2 [4(cos sin ) 3(sin cos )]

1 sin 2 [4(cos sin cos sin ) 3)(sin cos )]

1 sin 2 [(1 4 sin cos )(sin cos )]

1 sin 2 [(1 2 sin 2 )(sin cos )]

2 (1 2 sin 2 ) (sin cos )

(sin cos ) (1 2 sin 2 ) (sin cos )

(sin cos ) [1 (1 2 sin 2 ) ] 0

Vậy phương trình (3) có nghiệm: ,

4

x=kπ k∈

ZBài 4) (2 sin x − 1)(2 cos 2 x + 2 sin x + = 1) 3(1 2 cos 2 ) − x (4)

Giải Phương trình (4)⇔ (2 sin x − 1)[2(1 2 sin − 2 x ) 2 sin + x + = 1] 3[1 2(1 2 sin − − 2 x )]

2

2

2

(2 sin 1)(3 4 sin 2 sin ) 3( 1 4 sin )

(2 sin 1)(3 4 sin 2 sin ) 3(2 sin 1)(2 sin 1)

(2 sin 1)[3 4 sin 2 sin 3(2 sin 1)] 0

2

2 2

ðiều kiện

os( ) 0

4cos 0

ππ

αβ

2 2

(6 ') 2

3 5 1

( 3 5 )( 3 5 )2

Vậy ,

32 8

x = π +k π k∈

Zlà nghiệm của phương trình (6) ∀ ∈k Z

Kết luận: Phương trình (6) có 2 họ nghiệm ; ( )

x= π +kπ x= +π kπ k∈

ZBài 7) tgx + sin x + 3(cot gx + cos ) 4 x + = 0 (7)

Giải ðiều kiện:

1sin( ) 1

43

24

Vậy phương trình (7) có 3 nghiệm

Giải ðiều kiện sin x ≠ 0 (*)

2 sin cos 4 sin cos sin

2 sin cos 4 sin cos sin 0

cos (1 4 sin ) sin (2 sin 1) 0

cos (2 sin 1)(2 sin 1) sin (2 sin 1) 0

(2 sin 1)[sin cos (2 sin 1)] 0

sin 2 cos sin cos 0

2 ,6

6sin( ) sin

26

245

24

2sin 2(sin cos )(1 ) sin 2 sin cos

5(cos 2 cos 4 ) 3(cos 4 cos 6 )

3cos 6 9 cos 2 8 cos 4 4 cos 2 0

3(cos 6 3cos 2 ) 8(2 cos 2 1) 4 cos 2 0

12 cos 2 16 cos 2 8 4 cos 2 0

3cos 2 4 cos 2 2 cos 2 0

cos 2 1

2cos 2

3cos 2

2) sin 3 cos (cos sin )( 2 )

3) 1 sin cos sin 2 cos 2 0

24) 3 3 cot 2 2

sin 45) sin sin sin sin cos cos cos cos

6) sin sin cos sin 1 2 cos

28) sin sin 3 4 cos 0

9) cos 7 sin 8 cos 3 sin 2

310) cos cos 2 cos 3 cos 4

211) sin cos cos 2 sin cos sin cos 0

5c

thay vào (1’) ta ñược:

sin cos cos sin 0

sin cos cos sin 1

sin( ) 0

sin( ) 1

22

22

xx

( ); sin , os

22

cos 0

(*) cos 2 0

x x

ðặt t=tgx thay vào (2) ta ñược

Vậy phương trình (2) có nghiệm là: x = k π , k ∈ Z

Bài 3) 4 2(sinx+cos ) 6sin cosx + x x− =11 0 (3)

Giải ðặt

21sin cos 2 sin( ) sin cos

t

tt

Bài 4) (sinx−cos )x 4 −6sin cosx x− =1 0 (4)

Giải ðặt

21

s inx cos 2 sin s inx.cos

1 2 sin 1

41sin

Giải ðặt

Vậy phương trình (5) có 1 nghiệm ,

2

x = k π k ∈

Z

Bài 6) sin cos 2 cot 0 (6)

sin 0

cos 0

x x

1

44

Bài 7) tg x4 −2 2tg x+2 sin 2xcos2x=0 (7)

ðặt t = cos x + 2 cos − 2 x

ðiều kiện 0≤ ≤t 2 (*)

2 2

2 2 cos 2 os

2cos 2 os

Vậy phương trình ñã cho có nghiệm là: x=k2 ,π k∈Z

Bài 9) tgx+sinx+ tgx−sinx = 4tgx (9)

Giải

ðiều kiện :

cos 0

cos 00

(*)sinsin 0

sin 0

x

xtgx

(10) (cos 1)(cos 2)(cos 3)(cos 6) 8 cos

(cos 1)(cos 6)(cos 3)(cos 2) 8 cos

Giải các phương trình sau

34

9

19

x

c x

u

u vv

II.4.1 Bài tập và giải

Dạng 1: Sử dụng tính bị chặn của hàm sin và cos

Dạng 2: Dùng các bất ñẳng thức cơ bản Cauchy và Bunhiakopsky

Bài 4) cos 1 1 cos 2 1 1 1 (4)

2 cos (1 cos ) cos (1 cos ) 1

2 cos 2 (1 cos 2 ) cos 2 (1 cos 2 ) 1

cos (1 cos )

21cos 2 (1 cos 2 )

2cos (1 cos ) cos 2 (1 cos 2 ) 1

cos 1 cos2

1 cos 2 1 cos 2cos 2 (1 cos 2 )

21

2cos

3

1cos 2

⇒Phương trình (4) vô nghiệm

Bài 5) tg x tg y4 + 4 +2cotg x cotg y2 2 = +3 sin (2 x+ y) (5)

Giải

ðiều kiện:

cos 0 cos 0 sin 2 0

(*) sin 0 sin 2 0 sin 0

sin sin

14

n n

sin sin 2 sin 3 2 cos sin 2 2 sin cos

2 cos sin cos sin 2

ðặt t = sin2x, với t < 1,ta có:

Vì t =0 không là nghiệm của phương trình

Do ñó ta có:

2

(8") 4

t

m t

Vậy khi m=1/4 thì phương trình (8”) vô nghiệm

1 1 ' 1

y t

t y

c otgx 1

, 4

m ≥

− +

= là hàm luôn giảm ∀ ≠ t 0

Ta có bảng biến thiên:

ðể (10) có nghiệm thì chỉ cần (d) cắt ( C ) trên nửa khoảng (0,1]

Vậy ñể phương trình (10) có nghiệm khi và chỉ khi 1

3

1 sin 24

os 1 0 ( ( , ))

2

c ϕ−mtgϕ − = ϕ∈ −π π

2 1 3

6

2 6

2 2

, 1

2 2

1

2 2

1

2 2

sin 2 2 cos 2 4 2 cos 5 0 (3)

2 s inx cos 2(2 os 1) 4 2 cos 5 0 (4 os 4 2 cos 2) 2 s inx cos 1 0 (2 cos 2 ) (s inx cos ) 0

2 cos

Vậy phương trình (3) có 1 họ nghiệm là:

cos cos

4

, 2

2 4

3 2 2 3

2 ( 2 )2 3

, , 2

3

2 3

2 3

( )

42

ky

4 sin 4 sin sin 3 sin 3 sin 3 sin 3 0

2 sin sin 3 sin 3 1 sin 3 0

2 sin sin 3 sin 3 cos 3 0

1 sin sin 3

2

2 sin sin 3 0

sin 3 0 sin 3 cos 3 0

2sin 3 0

sin 3 1sin 3 1

1sin

2sin 3 1sin 0

xx

xx

xx

xx

Bài 9) x2 − 2 sin xy − 2 cos x xy + = 2 0

Vậy phương trình ựã cho vô nghiệm

II.5.2 Bài tập tự luyện

Giải các phương trình sau

3) 2 sin 2 x + cos 2 x + 2 2 sin x − = 4 0 đáp số: 2 ,

4

x= +π k π k∈

Z( )

5) sin x+sin y=sin sinx y+sinx+sin y−1 đáp số: 2

( , , , )2

23

239) cos cos cos

210) sin sin sin 6 2 1 sin 1 sin 1 sin

đIỀU KIỆN MẪU KHÁC 0

a Nếu phương trình có ẩn là tgx hoặc có chứa cosx ở mẫu số thì ta phải có ựiều