dạy học phương trình – bất phương trình vô tỷ theo hướng phân loại phương pháp giải cho học sinh thpt ở miền núi

Vì vậy, để giúp các em học sinh nâng cao khả năng giải Toán và hứngthú trong học tập, cung cấp thêm cho giáo viên về phân loại một số phương phápgiải phương trình − bất phương trình vô t

Luận văn Dạy học phương trình – bất phương trình vô tỷ theo hướng phân loại phương pháp giải cho học sinh THPT

ở miền núi

Mở đầu 1.Lý do chọn đề tài

Trải qua hơn 20 năm đổi mới, đất nước ta đã thu được nhiều thành tựuđáng kể về kinh tế, chính trị, văn hóa, xã hội, đặc biệt trong lĩnh vực khoa học kĩthuật Nhưng bên cạnh đó gặp không ít khó khăn Xã hội ngày càng phát triển,càng đòi hỏi phải có đội ngũ lao động có trình độ khoa học kĩ thuật có năng lựcsáng tạo dám nghĩ, dám làm để thích ứng với thời đại

Chính vì vậy Đảng và Chính phủ ta luôn coi giáo dục là quốc sách hàngđầu Trong đó giáo dục môn Toán giữ một vị trí rất quan trọng Bởi lẽ rất nhiềuvấn đề của các ngành khoa học kĩ thuật dược giải quyết nhờ sự giúp đỡ đắc lựccủa toán Một kiến thức quan trọng và cơ bản là phương trình, bất phương trìnhcủa chương trình THPT Đặc biệt là mảng phương trình- bất phương trình vô tỷ.Rất nhiều học sinh lúng túng và khó nhận dạng để lựa chọn cách giải Các emdùng tất cả các phép biến đổi thông thường nhưng cũng không tìm ra lời giải đốivới phương trình- bất phương trình vô tỷ lạ, cần vận dụng nhiều phương phápmới có thể giải được chúng

Vì vậy, để giúp các em học sinh nâng cao khả năng giải Toán và hứngthú trong học tập, cung cấp thêm cho giáo viên về phân loại một số phương phápgiải phương trình − bất phương trình vô tỷ.Chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài ”Dạyhọc phương trình – bất phương trình vô tỷ theo hướng phân loại phương phápgiải cho học sinh THPT ở miền núi”

2.Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một cách tổng quan và có hệ thống về phương trình − bấtphương trình vô tỷ nhằm nâng cao hiệu quả việc dạy và học môn toán cho giáoviên và học sinh THPT, đặc biệt là các học sinh ở miền núi Phân loại cácphương pháp giải phương trình- bất phương trình vô tỷ giúp học sinh hình thành

tư duy toán học trong quá trình học và làm bài tập

3.Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu phương trình- bất phương trình vô tỷ ở trường phổ thông

- Vai trò của phương trình bất phương trình trong dạy học toán

- Vị trí chức năng của bài toán về phương trình- bất phương trình

- Phương pháp tìm lời giải

- Yêu cầu của lời giải

- Xây dựng hệ thống ví dụ cho từng phương pháp giải

- Thực nghiệm sư phạm

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận tài liệu

- Tìm hiểu thực tế ở phổ thông qua phiếu điều tra

Chương 1: Cơ sở lý luận chung

1, Vai trò của phương trình – bất phương trình vô tỷ trong dạy học toán

2, Vị trí chức năng của bài toán về phương trình bất phương trình

3, Phương pháp tìm lời giải

4, Yêu cầu lời giải.

5, Tìm hiểu việc dạy phương trình- bất phương trình vô tỷ 1 số trườngTHPT

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

1 Mục đích thực nghiệm: kiểm tra giả thiết khoa học và những cơ sở líluận của đề tài Kiểm tra khả năng vận dụng các phương pháp giải phương trình,bất phương trình vô tỷ

2 Nội dung thực nghiệm

3 Tổ chức thực nghiệm

4 Đánh giá kết quả thực nghiệm

Phần kết luận

CHƯƠNG I

CƠ SỞ LÝ LUẬN CHUNG 1.1 Cơ sở lí luận

1.1.1.Vai trò của phương trình - bất phương trình trong dạy học toán

Phương trình - bất phương trình là mảng kiến thức rất quan trọng trong nhiềungành khoa học đặc biệt là trong Toán học Theo Ăngghen “Toán học nghiêncứu những mối quan hệ số lượng và hình dạng của không gian thế giới kháchquan Quan hệ bằng nhau giữa các đại lượng là một quan hệ số lượng rất cơbản” “Quan hệ số lượng” được hiểu theo một nghĩa rất tổng quát và trừu tượng.Chúng không những chỉ ra quan hệ logic “bằng nhau”, “”, “”, “>”, “<”, trêntập hợp số mà được hiểu như những phép toán trên tập hợp có các phần tử lànhững đối tượng loại tùy ý: Mệnh đề, phép biến hình…

Những kiến thức về phương trình – bất phương trình đã được nhiều nhà toánhọc nghiên cứu và đã được phát triển thành lý thuyết đại số cổ điển Khôngnhững thế lý thuyết phương trình còn giữ vai trò quan trọng trong nhiều bộ mônkhác của toán học

Trong lĩnh vực nghiên cứu thì phương trình – bất phương trình giữ một vị tríquan trọng Nhưng trong chương trình toán học ở nhà trường phổ thông thìphương trình – bất phương trình cũng chiếm vị trí hết sức đặc biệt Vì đây là nộidung cơ bản của toán học, nhưng cũng rất phong phú và đa dạng với nhiềuphương pháp khác nhau

1.1.2 Cấu trúc chương trình nội dung.

Trước khi học về phương trình - bất phương trình ở THPT học sinh đã được làmquen và thực hành với những kiến thức liên quan đến phương trình - bất phươngtrình và dần làm việc với chúng và từng loại thích ứng với yếu tố đã học Kháiniệm phương trình - bất phương trình chính thức học sinh được học từ lớp 8 và được ôntập củng cố, chính xác hóa lại kiến thức đó ở lớp 10 đồng thời nâng cao dần cho học sinh.

+ Một số phương trình quy về bậc hai

- Phương trình có chứa than số

đòi hỏi phải biện luận khi giải

- Định nghĩa bất phương trình,

các phép biến đổi tương đương

đối với bất phương trình

Lớp 11:

+ Phương trình lượng giác –

hệ phương trình lượng giác

+ Bất phương trình lượnggiác – hệ bất phương trìnhlượng giác

Lớp 12:

Phương trình – hệ phươngtrình mũ và lôgarit

Bất phương trình – hệ bấtphương trình mũ và lôgarit

bậc hai.

Chương III: Phương trình – hệ phương trình (9 tiết)

Bài 1: Đại cương về phương trình (2 tiết)

Bài 2: Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc

hai( 3 tiết)

Bài 3: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều

ẩn (2 tiết)

Ôn tập chương III (1 tiết)

Kiểm tra chương III(1 tiết)

Chương IV: Bất đẳng thức – bất phương trình (15 tiết)

Bài 1: Bất đẳng thức (2 tiết)

Bài 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

(3 tiết)

Bài 3: Dấu của nhị thức bậc nhất (2 tiết)

Bài 4: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn (2 tiết)

Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai (4 tiết)

Ôn tập chương IV (1 tiết)

Kiểm tra chương IV (1 tiết)

Chương trình nâng cao

Chương III: Phương trình và hệ phương trình (16 tiết)

19-20

21-22-23

24-252627

28-2930-31-3233-3435-36

37-38-39-4041

42

Bài 1: Đại cương về phương trình (2 tiết)

Bài 2: Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn (2 tiết)

Luyện tập (2 tiết)

Bài 3: Một số phương trình quy về phương trình bậc

nhất hoặc bậc hai (1 tiết)

Ôn tập và kiểm tra chương III (2 tiết)

Chương IV: Bất đẳng thức và bất phương trình (25 tiết)

Bài 1: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức (3

tiết)

Luyên tập (1 tiết)

Bài 2: Đại cương về bất phương trình (1 tiết)

Bài 3: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất

3132-33-3435-3637

38-39

40-41-4243

44

45-46474849

Bài 6: Dấu của tam thức bậc hai (1 tiết)

Bài 7: Bất phương trình bậc hai (2 tiết)

Luyện tập (2 tiết)

Bài 8: Một số phương trình và bất phương trình quy về

phương trình bậc hai (2 tiết)

Luyện tập (2 tiết)

Ôn tập và kiểm tra chương IV (3 tiết)

50-51525354-5556-5758-59

60-6162-63-64

1.1.3 Vị trí chức năng của bài tập toán học

Như ta biết các bài toán về phương trình - bất phương trình là một dạng củabài tập toán Cho nên để hiểu vai trò của phương trình - bất phương trình ta đitìm hiểu về vị trí chức năng của bài tập toán học

Ở trường phổ thông dạy học là một dạng hoạt động Toán học Do đó họcsinh có thể xem việc giải bài tập Toán học là một hình thức chủ yếu của hoạtđộng Toán học Thông qua việc giải bài tập toán học, học sinh đều phải trải quanhững hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện những định nghĩa,định lý, quy tắc, phương pháp, những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạtđộng trí tuệ phổ biến và những hoạt động trí tuệ chung Các bài Toán ở trườngphổ thôn là một phương tiện rất hiệu quả và không thể thay thế được trong việcgiúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kỹ năng,

kỹ xảo Qua đó bước đầu rèn luyện tư duy mềm dẻo, nhuần nhuyễn, bồi dưỡngnăng lực sáng tạo độc đáo, kỹ năng giải bài tập toán một cách thành thạo

Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạyhọc ở trường phổ thông Vì vậy tổ chức có hiệu quả trong việc giải bài tập toánhọc có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán

*) Vai trò của bài tập toán thể hiện 3 bình diện.

- Bình diện mục tiêu dạy học

+ Hình thành củng cố tri thức kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau trongquá trình dạy học, kể cả những kỹ năng ứng dụng vào thực tiễn

+ Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy hình thànhphẩm chất trí tuệ

+ Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập và phẩm chấtđạo đức của người lao động mới

• Trên bình diện nội dung dạy học trong bài tập toán là giá mang hoạt động liên

hệ với những nội dung nhất định, là một phương tiện cài đặt nội dung để hoànchỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó được trình bày trong phần lýthuyết

• Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang hoạt động

để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện cácmục tiêu dạy học khác, khai thác tốt những bài tập như vậy góp phần tổ chứccho học sinh học tập và bằng hoạt động tự giác tích cực chủ động sáng tạo đượcthực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán học được sử dụng với những dụng ýkhác nhau, một bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, gợi động cơ, làmviệc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra…Tất nhiên, việc giải bài tập

Cụ thể thông thường không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó của quátrình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng với những chứcnăng khác nhau

Như vậy bài tập toán học có vai trò rất quan trọng, không chỉ phát triểnnăng lực tư duy của học sinh đặc biệt rèn luyện các thao tác trí tuệ, hình thànhphẩm chất tư duy khoa học, kiểm tra đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánhgiá khả năng độc lập toán học và trình độ phát triển của học sinh

Bài tập về PT-BPT vô tỷ mang đầy đủ chức năng, vai trò của một bài tập toánhọc.

1.1.4 Phương pháp tìm lời giải bài toán

Không phải là thuật giải bài toán mà những kinh nghiệm giải toán mang tínhchất tìm tòi phát hiện

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng những gợi ý chi tiết của Polya về cáchthức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học , tổng kếtphương pháp chung để giải bài toán như sau :

+Tìm hiểu nội nội dung đề bài Ta thực hiện các thao tác :

 Phát biểu đề bài dưới những dạng khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán

 Phân biệt cái đã cho, cái phải tìm, phải chứng minh

 Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả nộidung đề bài

+Tìm cách giải

 Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán Biến đổi cái đã cho cái phải tìm hay cái phải chứng minh.Liên hệ cái đãcho cái phải tìm với những tri thức đã biết,liên hệ bài toán cần giải vớibài toán cũ tương tự,một trường hợp riêng , một bài toán tổng quát hơn ,hay một bài toán nào đó có liên quan Sử dụng những phương pháp đặcthù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng , quy nạp toán học ,toán dựng hình, toán quỹ tích

 Kiểm tra lại lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặcbiệt hoá kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả tìm được với một số trithức có liên quan

 Tìm tòi những cách giải khác , so sánh chúng để chọn được cách giải hợp

lí nhất

VD: Để tìm lời giải bài toán giải PT: x x 5 5 **   

Ta cần đặt ra câu hỏi :

 Đã gặp bài toán này hay chưa? Hay gặp bài toán này ở một dạng hơikhác ? (PT trên là PT vô tỷ, ta đã gặp nhiều lần )

 Xét cái chưa biết (tìm nghiệm của PT trên )

 Thấy được bài toán có liên quan mà có lần bạn giải rồi Có cần đưa thêmmột số yếu tố phụ thì mới áp dụng bài toán đó ?

 Giáo viên phân tích : Đặc điểm của PT chỉ chứa một nghiệm, làm thế nào

để biến đổi PT vô tỷ thành PT dạng nguyên? (có học sinh nêu ý kiếnchuyển vếx rồi ta bình phương hai vế được  x 5 2 5 x 2 Sau khiđơn giản ta được x2  11x 30 0   Đó là cách đồng thời bình phươnghai vế để đưa phương trình vô tỷ thành phương trình dạng nguyên Cóthể tìm nghiệm của này dễ dàng )

 Để giải phương trình (**) thì điều kiện phương trình có nghĩa là x 5

 Kiểm tra lại kết quả làm được x 5

Vậy nghiệm của phương trình là x 5 )

 So sánh để tìm ra cách giải tối ưu Rõ ràng cách thứ hai ngắn gọn hơn

Có thể coi là cùng nhạc công nhưng bản nhạc đã khác

+Trình bày lời giải

Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành chươngtrình gồm các bước theo một trình tự thích hợp, và thực hiện các bước đó +Nghiên cứu sâu lời giải

 Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

 Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

1.1.5.Yêu cầu đối với lời giải

 Lời giải không mắc phải những sai lầm

− Lời giải không mắc phải những sai lầm về kiến thức toán học, phương phápsuy luận, kỹ năng tính toán Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, mộtbiểu thức một hàm số thoả mãn yêu cầu bài ra

− Yêu cầu này cũng đảm bảo lời giải phải đầy đủ, không được thiếu một trườnghợp nào, một chi tiết nào Đặc biệt giải PT-BPT không được thiếu nghiệm

− Ngôn ngữ dùng phải chính xác

− Lập luận phải chặt chẽ

+ Luận đề phải nhất quán: Luận đề là một yêu cầu hoặc một điều phải chứngminh Luận đề phải nhất quán nghĩa là không được đánh tráo đề bài, đánh tráođiều phải chứng minh

+ Luận cứ phải đúng: Luận cứ là những tiên đề, định nghĩa định lý đãbiết Trong quá trình giải bài tập phải sử dụng những tiên đề, định nghĩa định lý

đã biết một cách chính xác, đầy đủ các điều kiện

+ Luận chứng phải hợp lôgic: Luận chứng là phép suy luận được sử dụng trongchứng minh, luận chứng phải hợp lôgic nghĩa là phép suy luận phải hợp lôgic

 Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất

Được làm việc với các bài toán có nhiều lời giải khác nhau, học sinh sẽ vậndụng được nhiều kiến thức khác nhau để di đến cùng một đích, chính quá trìnhtìm được lời giải dẫn đến học sinh biết cách so sánh các lời giải với nhau tìm ralời giải hay nhất, ngắn nhất, dễ hiểu nhất và dùng kiến thức đơn giản nhất.

Tìm được những lời giải khác nhau cho một phương trình - bất phương trình làrất tốt Xong vấn đề chỉ có thể thực hiện được có hiệu quả khi học sinh đã giảiđúng được bài toán theo một phương pháp nhất định Đứng trước một phươngtrình - bất phương trình đầu tiên cần lo giải được nó rồi mới giải theo một cáchkhác

 Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề Bài toán khái quát hoá là từ một bài toán ban đầu ta xây dựng bài toán mới nhờ

bỏ bớt đi một số yếu tố của bài toán cũ, hoặc bỏ đi một số điều kiện ràng buộc,hoặc một số đòi hỏi của kết luận, thay hằng bởi biến Khi đó ta có bài toán mởrộng hoặc tăng thêm độ phức tạp của bài toán cũ

 Một yêu cầu quan trọng về hình thức là trình bày lời giải rõ ràng đảm bảo

mĩ thuật

1.2 Cơ sở thực tiễn

*Tìm hiểu việc dạy phương trình - bất phương trình vô tỷ một số trườngTHPT Để thấy được thực trạng dạy và học nội dung phương trình trong cáctrường THPT ở Sơn La Chúng tôi điều tra mẫu trên những trường: THPT MaiSơn (Mai Sơn – Sơn La), THPT Phù Yên ( Phù Yên- Sơn La)

Để tìm hiểu thực trạng dạy và học chúng tôi tiến hành điều tra hai đốitượng: Giáo viên và học sinh Quá trình điều tra thu được kết quả như sau:

1 Điều tra giáo viên

Bảng 1: Đội ngũ giáo viên toán của trường THPT tỉnh Sơn La

Về trình độ: Đa số các giáo viên được đào tạo trình độ đại học chính quy

về chất lượng giảng dạy, đa số đều đạt loại khá, giỏi Trong mỗi trường đều cónhững giáo viên đạt chất lượng loại giỏi và danh hiệu giáo viên dạy giỏi các cấp.Tuy nhiên số lượng chưa nhiều nhưng cũng có vai trò tích cực trong cổ vũ vàđộng viên các nhà giáo phấn đấu nâng cao tay nghề và chất lượng giảng dạy

Qua thăm dò thực tế về nội dung và việc dạy phương trình của giáo viên 2trường THPT: THPT Mai Sơn và THPT Phù Yên chúng tôi thu được kết quảnhư sau :

Bảng 2: Đánh giá về nội dung “ Phương trình – Bất phương trình vô tỉ”trong chương trình

STT

Trường

THPT

Sốlượng

Nội dung chươngtrình Mức độ kiến thứcPhù

hợp

Khôngphùhợp

Kết quả điều tra cho thấy chương trình về “ Phương trình- bất phươngtrình vô tỷ” của học sinh trường THPT là tương đối phù hợp, phân bố hợp lý,mức độ kiến thức trong chương trình tương đối phù hợp với học sinh.

Kết luận: Bằng phương pháp điều tra tôi rút ra một số kết luận chung

nhất về thực trạng giảng dạy nội dung phương trình- bất phương trình vô tỷ ở 2trường THPT của Sơn La như sau

Sử dụng linh hoạt các phương pháp dạy học truyền thống và phương phápmới vào bài giảng, chú ý tới thao tác thực hành nhưng chưa thực sự sâu sắc,chưa chú ý tới cơ sở xuất phát Do đó gây hạn chế cho việc học sinh phát triểnkhả năng nhìn nhận đánh giá có căn cứ, phần lớn còn lúng túng khi giảng “Phương trình - bất phuơng trình vô tỷ” có các dạng phức tạp

Một số giáo viên đã thực hiện đổi mới theo sự hiểu biết của mình dựa trênnhững cơ sở phương pháp truyền thống, nhưng hiệu quả chưa cao

2.Điều tra học sinh

Khó khăn lớn nhất của học sinh THPT nói chung và học sinh THPT miềnnúi nói riêng là chưa linh hoạt trong việc giải phương trình - bất phương trình vô

tỉ Dễ chán nản ngại làm khi gặp những bài toán “ phương trình - bất phươngtrình vô tỷ “ ở dạng khó

Bên cạnh đó đa số các em là con em của các đồng bào dân tộc nên không

có điều kiện để học tập, tài liệu tham khảo còn ít Do đó kết quả học tập chưacao

Qua điều tra về khả năng nhận thức, mức độ kiến thức tính hứng thú họctập kiến thức phương trình - bất phương trình vô tỷ của học sinh

Bảng điều tra đối với học sinh: Bảng 1

STT Tên

trường Lớp Sĩ số

Dân tộcthiểu số Kết quả học tập

Mai Sơn Giỏi Bình kém

THPTPhù YênLớp 10A1

Bảng 3: Thống kê một số kỹ năng khi giải phương trình, bất phương trình vô tỷ

Chưathànhthạo( %)

Chưabiết( %)

Thànhthạo(%)

Chưathànhthạo(%)

Chưabiết %

Nhận xét: Qua bảng điều tra ta thấy học sinh hầu hết nắm được phương

pháp giải phương trình- bất phương trình vô tỷ: Là phương pháp biến đổi tươngđương và phương pháp đặt ẩn phụ còn các phương pháp khác các em chưa thànhthạo hoặc chưa biết Có một số em biết phương pháp đó nhưng không biết vậndụng như thế nào trong quá trình giải bài tập Do đó giáo viên cần nắm bắt đượctình hình này để có phương pháp giảng dạy phù hợp

CHƯƠNG II PHÂN LOẠI CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT-BPT VÔ TỶ

2.1 Những kiến thức có liên quan

2.1.1 Phương trình

a) Định nghĩa

 Cho 2 hàm số f(x) và g(x) lần lượt có TXĐ: D và f D Đặt D=g Df Dg Mệnh đề chứa biến xD có dạng f(x)=g(x) (1) được gọi là phương trìnhmột ẩn, x được gọi là ẩn số D=Df Dg được gọi là tập xác định( hay làmiền xác định) của phương trình (1)

 Nếu xoDsao cho f x o g x ođúng thì x là 1 nghiệm của phươngo

trình (1) Tập TxoD | f x o g x o  đúng gọi là tập nghiệm củaphương trình (1) Giải một phương trình là tìm tập nghiệm của nó Nếutập nghiệm của phương trình là tập rỗng thì ta nói phương trình đó vônghiệm

b)Các định nghĩa về phương trình tương đương

 Giải một phương trình thường là biến đổi phương trình đó đi đến mộtphương trình đơn giản hơn mà ta đã biết cách giải Nếu phép biến đổikhông làm thay đổi miền xác định của phương trình đã cho được biến đổi

tương đương Nếu làm thay đổi miền xác định của phương trình thì có thểtập hợp nghiệm của phương trình đã cho cũng bị thay đổi

 Muốn biết rõ hơn ta dựa vào các định lý và hệ quả sau:

Định lý 1:Cho phương trình f x  g x  Nếu h x có cùng miền xác định với 

Định lý 2:Cho phương trình f x  g x  Nếu biểu thức h x có nghĩa và khác 

0 trong miền xác định của phương trình đã cho thì

2.1.2 Bất phương trình

a) Định nghĩa

Cho hai hàm số f x ,g x với     x R n f x có miền xác định là   PRn,

S P Q  là miền xác định của bất phương trình

Nếu x0S f x 0 g x 0 thì x là nghiệm của BPT0

 0  0  0 

Giải một BPT là tìm tập nghiệm của nó Nếu tập nghiệm của BPT là tập rỗng tanói BPT vô nghiệm

Định nghĩa tương tự cho f x  g x ; f x    g x ; f x    g x 

b)Bất phương trình tương đương

Định lý 1: Cho hai hàm số f x ;g x với     x R n f x  g x   g x  f x 

c) Bất phương trình vô tỷ

Ta biết rằng bất phương trình vô tỷ là một bất phương trình có chứa ẩn dưới dấucăn thức, nói khác đi đó là bất phương trình dạng f x  0 hay f x  0 trong

đó f x là một hàm số vô tỷ (có chứa căn thức của biến số,   x có thể là một

biến, khi đó phương trình một ẩn, x có thể xem là n biến xx ;x x1 2 nRnkhi đó phương trình có n ẩn )

2.2.Một số phương pháp giải thường gặp

2.2.1 Phương pháp biến đổi tương đương

Giả sử f(x), g(x) là hai hàm số xác định trên ER

a) Đối với phương trình vô tỷ

Ví dụ minh hoạ: Giải các phương trình sau:

x2

Vậy x=0 không thỏa mãn phương trình (3) nên không là nghiệm củaphương trình (3)

Thay x=-1 vào phương trình (3) ta có: 3 2  3 2(đẳng thức đúng) Vậy phương trình (3) có một nghiệm x=-1

Chú ý: Trong một số phương trình để giải cho gọn ta có thể giải các

phương trình hệ quả của chúng, sau đó kiểm tra lại kết quả

b) Đối với bất phương trình vô tỷ

2n 1  f x g x  f x  g x   2n 1  f x  g x   f x   g x 2n 1

Dạng 3

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là:x 5

3 Bất phương trình (3) có nghĩa với x 1 (*)

Khi đó:

3 3

+ Phương pháp biến đổi tương đương là phương pháp rất quan trọng, là

tiền đề đặt nền móng cho các phương pháp khác Các phương trình - bất phương

trình vô tỷ dạng phức tạp đều có thể chuyển về dạng đơn giản hơn bằng phép

biến đổi tương đương

+ Khi giải bằng phương pháp biến đổi tương đương trước hết ta phải đặt

điều kiện Do đó mỗi phương trình- bất phương trình thường đặt điều kiện nào

đó mà ẩn phải thỏa mãn

+ Quy tắc giản ước

Khác với các biểu thức đại số bậc nguyên, khi một thừa số khác không ta

có thể giản ước hoặc đặt thừa số chung Đối với biểu thức chứa căn, cần lưu ý

tới điều kiện có nghĩa

+ Khi gặp dạng toán giải và biện luận phương trình - bất phương trình vô

tỷ có chứa căn thức ta thường thực hiện các bước:

B1: Đặt các điều kiện để các biểu thức chứa căn có nghĩa

B2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương chuyển phương trình - bất

phương trình về hệ phương trình - bất phương trình đại số, từ đó tìm nghiệm x

B3: Kiểm tra điều kiện cho nghiệm x tìm được

B4: Kết luận

*Tri thức phương pháp dạng này là : Từng bước biến đổi tương đương

phải tuyệt đối tuân theo các dạng cơ bản đã nêu ở trên

a Đưa phương trình – bất phương trình về dạng có một ẩn phụ.

 Nếu phương trình - bất phương trình có chứa f (x);g x thì ta đặt 

f (x) t (t 0)  Từ đó, ta biểu thị f (x)qua t là t2 f (x)

VD1: Giải phương trình sau:

 2  2

2 x  2x  x  2x 3 9 0   (1)

Phân tích: Ở phương trình (1) nếu ta dùng phép biến đổi tương đương thì

phương trình càng nâng bậc và khó có thể giải được

Mặt khác, nhận thấy phương trình (1) có chứa x2  2x 3 ta coi là t và

ta viết được : 2 x 2  2x 2 x 2  2x 3 3   2 x 2  2x 3 6

Do đó, nếu đặt x2  2x 3 =t thì 2 x 2  2x 2t2 6 Khi đó (1) trởthành phương trình bậc hai đã biết cách giải

Trình bày lời giải:

2 2

t 1

t2

VD2: Giải bất phương trình sau: x 1 x 4     x2 5x 2 (2)

Phân tích: Nếu dùng phép biến đổi tương đương, bình phương 2 vế thì được một

bất phương trình mới có bậc 4 Nên việc giải chắc chắn là khó Để khắc phục tahãy phân tích và tìm mối liên hệ giữa hai biểu thức có mặt trong 2 vế của bấtphương trình

Trình bày lời giải:

Điều kiện để (2) có nghĩa là: x 1 x 4   0 x 4

Vậy nghiệm của bất phương trình là: x 0

f (x), g(x), f (x)g(x) k 0  (k là hằng số)

Đặt f x  t t 0   Khi đó g x  k

t

VD3: Giải phương trình sau

x x2  1 x x2  1 2 (3)

Phân tích: Đối với phương trình dạng này có thể dùng phương pháp biến đổi

tương đương Tuy nhiên, điều đặc biệt ở phương trình này là:

Khi đó (3) đưa về phương trình bậc hai đã biết cách giải

Trình bày lời giải.

Nếu giải bất phương trình (4) theo phép biến đổi tương đương thôngthường thì ta phải khai triển một biểu thức bậc 4 Như thế rất phức tạp Để pháthiện ẩn phụ ta biến đổi BPT đã cho, chú ý rằngx x2  1 x  x2  1 1

Trình bày lời giải:

4 x x2 1 1  x x2 1 1  x2 1 1 x  (3*)

Vì điều kiện x 1 thì 1 x 0  Nên (3*)đúng với  x 1

Vậy nghiệm của BPT đã cho là: x 1

 Nếu phương trình -bất phương trình có dạng :

f (x) g(x); f (x)g(x);f (x) g(x) k 0  

Thì ta đặt t f (x)  g(x)

VD5: Giải phương trình sau:

3 x  6 x 3  (5)

Phân tích: Ta thấy biểu thức (3 x)(6 x)  có thể biểu thị qua

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

 3 x  6 x 2 2(3 x 6 x) 18     t218 3 2 t 3 2  Suy ra: 3 t 3 2 

Từ (*)

2

t 9(3 x)(6 x)

VD6: Giải bất phương trình

2

1 x  x 3  8 2 x  2x 3Tìm điều kiện để BPT trên có nghĩa:

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm

b Dùng ẩn phụ để đưa phương trình-bất phương trình về dạng có một ẩn phụcác hệ số vẫn còn chứa x(phép đặt ẩn phụ không toàn phần ).

Như vậy nếu coi 1 x t  là ẩn phụ mới thì cũng có phương trình tương

tự Ở dạng này, trước khi giải ta cần biểu diễn số hạng 3x dưới dạng tổ hợp của

Phân tích: Để giải bất phương trình trên có rất nhiều cách, có thể dùng phép

biến đổi tương đương nhưng sẽ rất phức tạp vì đưa về bất phương trình bậc 4 Tanghĩ đến phương pháp đặt ẩn phụ Nếu đặt x2  2x t(t 0)  x2  2x t ,2

sẽ rất khó khăn khi biểu diễn x hoặc x2 qua t

Vì vậy ta đưa (2) về bất phương trình bậc 2 mà hệ số vẫn còn chứa x, tính

, tìm nghiệm t Việc tìm x sẽ đơn giản hơn

Trình bày lời giải:

x 2x 2x 1 (2)(I)

2 x 1 2(3) x 2x 1



Chú ý: Có những phương trình - bất phương trình khi lựa chọn ẩn phụ cho một

biểu thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn được triệt để qua ẩn phụ đóhoặc nếu biểu diễn được thì lại rất cồng kềnh và phức tạp Khi đó ta lựa chọnmột trong 2 hướng sau:

Hướng 1: Lựa chọn phương pháp khác

Hướng 2: Thử để phương trình- bất phương trình ở dạng “chứa ẩn phụnhưng hệ số vẫn chứa x ” Khi đó ta được một phương trình bậc hai theo ẩn phụ

có  là số chính phương

c Dùng ẩn phụ để đưa phương trình – bất phương trình về dạng hệ phương trìnhđối với 2 ẩn phụ.

VD1: Giải phương trình: 3 x  6 x 3  (VD5 trang 32)(1)

Phân tích: Đối với một bài toán, để học sinh hiểu được bản chất của bài toán đó

thì giáo viên cần hướng cho học sinh nhiều cách nhìn nhận bài toán bằng cáchchỉ ra nhiều hướng giải quyết bài toán đó ở VD5 ta có thể làm cách khác nhưsau:

Trình bày lời giải.