chuyên đề mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu trong không gian

 Viết phưong trình mặt phẳng P chứa hai đường thẳng d và d’. Viết phưong trình mặt phẳng P chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d’.. Chú ý: Hai đường thẳng song song cùng vectơ

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.

Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Oxyz

trong không gian z

O y

x

 O ( 0;0;0) gọi là góc toạ độ

 Các trục tọa độ:

 Ox : trục hoành

 Oy : trục tung

 Oz : trục cao

 Các mặt phẳng toạ độ:

 (Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi một vuông

góc với nhau

 là các véctơ đơn vị lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz

 = (1;0;0), = (0;1;0), = (0;0;1)

CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ

 M Ox M(x;0;0)

 M Oy M(0;y;0)

 M Oz M(0;0;z)

 M (Oxy) M(x;y;0)

 M (Oyz) M(0;y;z)

 M (Oxz) M(x;0;z)

 Tọa độ của điểm:

 Tọa độ của vectơ:

LƯU Ý:

 Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên trục Ox là: M1(x0;0;0),trên trục Oy là:

M2(0;y0;0), trên trục Oz là: M(0;0;z0)

 Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên (Oxy) là: M(x0;y0;0), trên (Oyz) là:

M(0;y0;z0), trên (Oxz) là: M(x0;0;z0)

CÁC TÍNH CHẤT CỦA VÉC-TƠ



CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

Trong hệ trục toạ độ Oxyz: Cho A( xA; yA; zA) , B( xB, yB, zB) Khi đó:

2) Độ dài đoạn thẳng AB bằng đồ dài :

.

Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay còn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B.

3) Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:

4) Tọa độ trọng tâm của tam giác:

Cho ABC với A(xA; yA; zA), B( xB; yB; zB), C( xC; yC; zC)

Khi đó toạ độ trọng tâm G của ABC là:

5) Tích có hướng và tính chất của tích có hướng:



 Hai vectơ , cùng phương

 Hai vectơ , không cùng phương

A

Ba điểm A, B, C thẳng hàng

Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C KHÔNG thẳng hàng:

Ba điểm A, B, C không thẳng hàng không cùng phương

Dạng 3: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D KHÔNG đồng phẳng.

Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng đồng phẳng

Chú ý:

 A, B, C, D không đồng phẳng khi đó A, B, C, D là bốn đỉnh của 1 tứ diện ABCD.

 Vậy để chứng minh bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện ta đi chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

Dạng 4: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.

//

Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng đồng phẳng

Dạng 5: Diện tích tam giác Diện tích tam giác ABC:

Dạng 6: Thể tích khối tứ diện Thể tích của khối tứ diện ABCD

a)Phương trình tởng quát.

() : Ax + By + Cz + D = 0 (A2+B2+C2>0), có VTPT n = (A; B; C)

Lưu ý: Phương trình các mặt phẳng tọa độ

(Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0 b) Mặt phẳng đi qua một điểm và cĩ VTPT cho trước.

Ta có ( ) qua M(x o ; y o ; z o ) có vtpt n = (A;B;C)

A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0

Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến

c) Phương trình đoạn chắn

Phương trình mặt phẳng đi qua A(a;0;0), B(0;b;0) , C(0;0;c) :

MẶT PHẲNG

(1): A1x + B1y + C1z +D1 = 0

(2): A2x + B2y + C2z +D2 = 0

PT mp chứa (d) có dạng sau với m2+ n2 ≠ 0 :

m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0

 Mặt phẳng (P) qua điểm

 Do mp(P) song song mp(Q) nên mặt phẳng (P)

 (P):

Chú ý: Hai mp song song cĩ cùng vectơ pháp tuyến.

Cần nhớ:(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến.

Ví dụ 2: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đường thẳng

Ví dụ 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B

 Mặt phẳng (P) qua điểm A

 Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên (P) là:

 Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và d’.

 Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d’.

Phương pháp:

 Mặt phẳng (P) qua điểm

 Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là:

 Mặt phẳng (P) qua điểm A

 Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là:

 (P):

Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB.

Phương pháp:

 Gọi I là trung điểm AB

 Mặt phẳng (P) qua điểm I

Cần nhớ: Mp trung trực của đoạn thẳng AB là mp vuông góc với đoạn thẳng AB tại trung điểm I

của đoạn thẳng AB.

Dạng 8: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và vuơng gĩc với hai mp (Q) và (R) Phương pháp:

 Mặt phẳng (P) qua điểm M

 Hai vectơ cĩ giá song song hoặc nằm trên mp(P) là:

1) Phương trình đường thẳng

a) Phương trình tham số của đường thẳng (d) : Qua M(xo ;yo ;zo) có vtcp

ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN

(Quy ước: Mẫu = 0 thì Tử = 0)

Véctơ chỉ phương , Cần xác định một điểm bằng cách cho x (hoặc y, z) giá trị cụ thể, thay vào hệ tìm hai yếu tố còn lại.

2) Một sớ dạng bài tập

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A,B.

Ví dụ 2: Cho ba điểm A(1;1;1), B(2;2;2), C(3;6;9) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Viết

phương trình đường thẳng OG

Chú ý: Hai đường thẳng song song cùng vectơ chỉ phương

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và song song với đường thẳng d’:

 Đường thẳng d có VTCP:

Chú ý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nhận VTPT của mặt phẳng làm VTCP.

Ví dụ 1: Viết pt đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với mp(P): x-2y-z-1=0.

Cần nhớ: Đường thẳng vuông góc mp nhận VTPT của mp là VTCP.

1) Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

và (Q): có VTPT Khi đó ta có các trường hợp xảy ra

 Xác định điểm M thuộc d và VTCP của d

 Xác định điểm M’ thuộc d’ và VTCP của d’

Bước 2:

 Xét sự cùng phương của hai vectơ chỉ phương bằng cách tính

 Nếu thì cùng phương khi đó d song song với d hoặc d trùng với d’.

o Nếu M thuộc d mà không thuộc d’ thì d song song d’.

o Nếu M thuộc d và cũng thuộc d’ thì d trùng với d’.

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

 Nếu thì không cùng phương khi đó d cắt d’ hoặc d và d’ chéo nhau.

o Nếu thì d và d’ cắt nhau.

o Nếu thì d và d’ chéo nhau.

Ví dụ 1: Chứng minh hai đường thẳng d: và d’: vuông góc với nhau

Ví dụ 2: Chứng minh hai đường thẳng d: và d’: song song với nhau

Ví dụ 3: Chứng minh hai đường thẳng d: và d’: chéo nhau

Ví dụ 4: Tìm giao điểm của hai đường thẳng d:

HD: Xét hệ, kết quả không cắt

Câu 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

A ; B (2; 3; 0)

Đường thẳng  qua hai điểm A, B là đường vuông góc chung của d1 và d2

:

b) PT mặt cầu nhận đoạn AB là đường kính:

3) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp: Cho (d): và mp(P): Ax+By+Cz+D=0

 Biện luận

o Pt(*) có một nghiệm t d cắt mp(P) tại một điểm

o Pt (*) vô nghiệm d song song với (P)

o Pt(*) có vô số nghiệm t d nằm trong (P)

Ví dụ: Cho hai điểm A(0;2;1), B(1;-1;3) và mp(P): 2x+y+3z=0 Tìm giao điểm của đường thẳng

AB và mp(P) (nếu có)

HD: Pt tham số của AB là:

1 Khoảng cách

a) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

Khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là

Cách 2:

 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M

và vuông góc với mp(P)

 Tìm giao điểm H của d và (P)

 Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên (P)

Ví dụ 1: Cho điểm A(-2;1;0) và mặt phẳng (P): x+2y-2z-9=0.

1 Xác định hình chiếu vuông góc của A lên (P)

2 Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (P)

Bài giải

1 Xác định hình chiếu vuông góc của A lên (P)

- Gọi d là đường thẳng qua A(-2;1;0) và vuông góc với (P).

- Pt tham số của d là: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P) thì H là

giao điểm của d và (P)

2 Gọi A’ đối xứng với A qua (P) thì H là trung điểm của AA’ :

Ví dụ 2: Cho (d): , A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2) Tìm điểm I trên đườngthẳng d sao cho IA +IB đạt giá trị nhỏ nhất

b) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) {đi qua N và có VTCP }

Bài toán: Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm trên một đường thẳng

Ví dụ: Cho điểm A(1;1;8) và đường thẳng d:

1 Xác định hình chiếu vuông góc của A lên d

2 Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d

Bài giải

1 Xác định hình chiếu vuông góc của A lên d

- Gọi (P) là đường thẳng qua A(-2;1;0) và vuông góc với d.

- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là

(P):

Gọi H là giao điểm của d và (P), H chính là hình chiếu vuông góc của A lên d

- Xét pt: 2(1+2t)+-1+t+t+5=0=0

Vậy hình chiếu vuông góc của A lên d là H(-1;-2;1)

2 Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d.

- Do A và A’ đối xứng nhau qua d nên H là trung điểm của AA’.

Vậy điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P) là A’(-3;-5;-6)

Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và đường

thẳng d có phương trình Tìm trên (d) điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất

GIẢINhận xét :

Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương

Cho nên đường thẳng d song song với (AB) Do đó (AB) và d cùng thuộc một mặt phẳng Từ đó , theo kết quả của hình học phẳng , ta làm như sau :

- Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d

- Lập đường thẳng d’ qua A’ và B

- Tìm tọa độ M là giao của (A’B) với d Theo cách làm trên , rõ ràng dường thẳng d là trung trực của AA’ cho nên MA=MA’ , cho nên : MA+MB=MA’+MB=A’B Nếu có M’ thuộc d thì M’A+M’B>A’B Vậy M là điểm duy nhất

- Cũng theo nhận xét trên thì MH là đường trung bình của tam giác A’BA cho nên AB=2MH Hay MA’=MB=MA (*) Do đó :

Nếu M nằm trên d thì điểm I có tọa độ là M=(2+3t;-2t;4+2t) Từ đó ta có :

Tương tự :

Hay :

Tọa độ I thỏa mãn yêu cầu là : M=(2;0;4 )

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Cho đường thẳng qua M1 và có VTCP

đường thẳng qua M2 và có VTCP

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên

đường thẳng này đến đường thẳng kia

P

M

thẳng nằm trên (P) đi qua giao điểm của ( d) và (P) đồng thời vuông góc với d Tìm trên  điểm

M sao cho AM ngắn nhất.

GIẢIGọi B(x;y;z) là giao của d với (P) thì tọa độ của B thỏa:

- Nếu tam giác AEF là tam giác đều thì ta có hệ :

Thay hai cặp t tìm được vào tọa độ của M , ta tìm được hai cặp E,F trên

Bài tập áp dụng

Bài 1: cho M(2; 1; 2) và đường thẳng (d): Tìm trên (d) hai điểm A, B sao cho tam giác MAB đều

GiẢI

Vậy thay hai cặp t tìm được ở trên vào tọa độ của A,B ta có kết quả

M thuộc d 1 , N thuộc d2 sao cho MN song song với (P) và đườn thẳng MN cách (P) một khoảng

bằng 2

HD

Như vậy ta tìm được hai cặp M, N :

GIẢI

- M thuộc

- Theo giả thiết ta có hệ :

Bài 4 Cho d: và mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0 Gọi M là giao điểm của

d và (P) Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với d và

khoảng cách từ M tới bằng

GIẢI

- Tìm tọa độ điểm M là giao của d với (P) , thì tọa độ M là nghiệm của hệ :

Vậy : H=(29;-4;-27) hoặc H=(21;-2;-21) Do đó có hai đường thẳng có cùng véc tơ chỉ

phương qua hai điểm H tìm được :

Bài 5 (KB-08 ) Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

và tìm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.

GIẢI

- Lập mặt phẳng (ABC) qua A(0;1;2) có véc tơ pháp tuyến

Với :

Do đó (ABC) có phương trình là : x+2(y-1)-4(z-2)=0 , Hay (ABC): x+2y-4z+6=0

- Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) : 2x+2y+z-3=0

Nếu M=(x;y;z) thuộc (P) : 2x+2y+z-3=0 (1) Ta có :

- Theo giả thiết , MA=MB=MC thỡ ta cú hệ :

Bài 6 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1;4;2),B(-1;2;4)

GIẢINếu M thuộc thỡ M=(1-t;t-2;2t ) Khi đú ta cú :

Theo giả thiết cho :

2 Gúc giữa hai đường thẳng là gúc giữa hai vectơ chỉ phương.

Vớ dụ 1 Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; 2; 3), B(2; 1; 6) và mp(P): x

+ 2y + z 3= 0 Viết phương trỡnh mp(Q) chứa AB và tạo với mp(P) một gúc  thỏa món:

GIẢI Gọi (Q) có dạng : ax+by+cz+d=0

(Q) qua A(-1;2;-3) ta có : -a+2b-3c+d=0 (1) và (Q) qua B(2;-1;-6) : 2a-b-6c+d=0 (2)

- Mặt phẳng (P) có Suy ra

(3)

- Thay vào (3) :

- Vậy có hai mặt phẳng : (Q): -4x+y-3z-15=0 và (Q’): -x+y-3=0

Ví dụ 2 Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2; 1; 1), B(0; 1: 2) và đường thẳng (d):

Viết phương trình đường thẳng () đi qua giao điểm của đường thẳng (d) vớimặt phẳng (OAB), nằm trong mặt phẳng (OAB) và hợp với đường thẳng (d) một góc  sao cho

- Suy ra :

- Với

- Với b=c, thay vào (2) ta có a=-6c

Ví dụ 3 Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A(0;1;2),

vuông góc với đường thẳng và tạo với mặt phẳng (P): 2x + y  z +5 = 0

- Thay (3) vào (2) ta được :

- Với c-0, thay vào (3) ta có b=a suy ra

- Với : c=-2a , thay vòa (3) ta có b=-a

Ví dụ 4 Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác Oxyz, cho hai đường thẳng :

1 : , và 2 : a/Chứng minh hai đường thẳng 1 và 2 chéo nhau

b/Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 2 và tạo với đường thẳng 1 một góc 300

GIẢIa/Chứng minh hai đường thẳng 1 và 2 chéo nhau:

* Đường thẳng 1 cú vộc tơ chỉ phương và qua O(0;0;0), cũn qua B(1;-1;1)

- Với m=-n thỡ (P): 2nx-ny-nz-2n=0 , Hay (P): 2x-y-z-2 =0

Ví dụ 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d và d’ lần

Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua d và tạo với d’ một góc

GIẢITương tự như bài 4, ta chuyển d sang dạng là giao của hai mặt phẳng : x-z=0 và x+y-2=0

Do đú (P) thuộc chựm : m(x-z)+n(x+y-2)=0 ; hay : (m+n)x+ny-mz-2n=0 (1)

Đường thẳng d’ cú Vỡ (P) tạo với d’ một gúc bằng cho nờn

- Với m=-2n thay vào (1) thì (P): -nx+ny+2nz-2n=0 ; hay (P):-x+2y+2z-2=0

- Với n=-2m thay vào (1) thì (P): -mx-2my-mz+4m=0 ; hay (P): -x-2y-z+4=0

Bài tập vận dụng

Bài 1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng () chứa đường thẳng ():

và tạo với mặt phẳng (P) : góc 600 Tìm tọa độ giao

điểm M của mặt phẳng () với trục Oz.

Giao điểm M(0;0;m) cho () có VTPT

() và (P): tạo thành góc 600 nên :

Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm I( 0;0;1) và K( 3;0;0) Viết phương trình mặt

phẳng qua I, K và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc bằng

BÀI TẬP VỀ NHÀ A-MẶT PHẲNG

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng

(P): Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông gócvới mặt phẳng (P) Đs:

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm

Đs:

Câu 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:

Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc

Câu 4: a/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):

và mặt phẳng (P): Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm

vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).

.

Câu 5: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S):

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt

cầu (S) theo một đường tròn có bán kính Đs: (P): y – 2z = 0

Câu 6: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S):

và 2 điểm Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, N và cắt mặt cầu (S)

theo một đường tròn có bán kính

Đs: (P): hoặc (P):

Câu 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc

với mặt phẳng (Q): và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng Đs:

Đs: hoặc

Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng

Câu 10: a/ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với , ,

, Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ

C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P)

Câu 11: a/ Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho các điểm , ,

Viết phương trình mặt phẳng đi qua và gốc tọa độ sao cho khoảng cách từ

b/ Câu hỏi tương tự:Với

Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm , ,

và mặt phẳng (P): Viết phương trình mặt phẳng điqua A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho

Câu 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm