Chuyên Đề Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn Toán 10 Cánh Diều.pdf

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN Page 1 BÀI 1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bất phương trình bậc nhất hai ẩn ,x y là[.]

BÀI 1 B ẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

I B ẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn , x y là b ất phương trình có một trong các dạng sau:

;

ax by +  c ax by +  c ax by ; +  c ax by ; +  c

trong đó a b c, , là nh ững số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số

Cho b ất phương trình bậc nhất hai ẩn , x y : ax by +  c ( ) 1 M ỗi cặp số ( x y sao cho 0; 0)

ax + by  là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình (1) Trong mặt c

ph ẳng tọa độ Oxy, t ập hợp tất cả các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình (1) được gọi là

mi ền nghiệm của bất phương trình (1)

II BI ỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô

s ố nghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình ( ) 1 được gọi là miền nghiệm của nó

T ừ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình ax by+ c như sau (tương tự cho bất phương trình ax by+ c)

- Bước 1 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, v ẽ đường thẳng : ax by+ =c

- Bước 2 Lấy một điểm M0( x y0; 0) không thu ộc  (ta thường lấy gốc tọa độ O )

- Bước 3 Tính ax0+ by0 và so sánh ax0+ by0 v ới c

- Bước 4 Kết luận

N ếu ax0+ by0 thì nửa mặt phẳng bờ  chứa c M là mi0 ền nghiệm của ax0+ by0 c

N ếu ax0+ by0 thì nửa mặt phẳng bờ  không chứa c M là mi0 ền nghiệm của ax0+ by0 c

a) x+2y3 b) 3x−4y −3 c) y − +2x 4 d) y −1 2x

Câu 3: Ph ần không gạch (không kể d) ở mỗi Hình a, b, c là miền nghiệm của bất phương trình nào?

Câu 4: M ột gian hàng trưng bày bàn và ghế rộng 2

60 m Di ện tích để kê một chiếc ghế là 0,5 m , một 2chi ếc bàn là 1, 2 m Gọi x là số chiếc ghế, y là số chiếc bàn được kê 2

a) Vi ết bất phương trình bậc nhất hai ẩn , x y cho ph ần mặt sàn để kê bàn và ghế, biết diện tích mặt sàn dành cho lưu thông tối thiểu là 2

12m

b) Ch ỉ ra ba nghiệm của bất phương trình trên

Câu 5: Trong 1 l ạng (100 g thịt bò chứa khoảng 26 g protein, 1 lạng cá rô phi chứa khoảng 20 g protein

Trung bình trong m ột ngày, một người phụ nữ cần tối thiểu 46 g protein (Ngu ồn:https://vinmec.com và https://thanhnien.vn) Gọi x, y lần lượt là số lạng thịt bò và số lạng

cá rô phi mà một người phụ nữ nên ăn trong một ngày Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn ,

x y để biểu diễn lượng protein cần thiết cho một người phụ nữ trong một ngày và chỉ ra ba nghi ệm của bất phương trình đó

Câu 1 B ất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

Phí tính theo quãng đường di chuyển (nghìn đồng/kilômét)

a) G ọi x và y lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong

hai ngày cuối tuần Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa x và y sao cho tổng số tiền

ông An ph ải trả không quá 14 triệu đồng

BÀI T ẬP

b) Bi ểu diển miền nghiệm của bất phương trình ở câu a trên mặt phẳng toạ độ

BÀI 2 H Ệ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

I H Ệ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Tương tự hệ bất phương trình một ẩn

H ệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn , x y mà ta

ph ải tìm các nghiệm chung của chúng Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho

Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

II BI ỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn ta làm nư sau:

- Trong cùng hệ toạ độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ bằng cách

g ạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm của nó

- Ph ần không bị gạch là miền nghiệm cần tìm

III ÁP D ỤNG VÀO BÀI TOÁN THỰC TIỄN

Gi ải một số bài toán kinh tế thường dẫn đến việc xét những hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

và gi ải chúng Loại bài toán này được nghiên cứu trong một ngành toán học có tên gọi là Quy

12a) 12b)

a)

2 3 1

x y

x y

Câu 4: M ột phân xưởng sản xuất hai kiểu mũ Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất nhiều gấp

hai l ần thời gian làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai Nếu chỉ sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai thì trong 1 gi ờ phân xưởng làm được 60 chiếc Phân xưởng làm việc 8 tiếng mỗi ngày và thị trường tiêu th ụ tối đa trong một ngày là 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai Tiền lãi khi bán m ột chiếc mũ kiểu thứ nhất là 24 nghìn đồng, một chiếc mũ kiểu thứ hai là 15 nghìn đồng Tính số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản

xu ất để tiền lãi thu được là cao nhất

Câu 1 H ệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) 0

0;

x y



Câu 2 Bi ểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

a)

1 0 0;

x y

x y

Câu 3 M ột gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày Mỗi

ịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600

đơn vị protein và 400 đơn vị lipit Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg th ịt lợn; giá tiền 1 kg thịt bò là 250 nghìn đồng; 1 kg thịt lợn là 160 nghìn đồng Giả sử

gia đình đó mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn

a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình

r ồi xác định miền nghiệm của hệ đó

b) G ọi F (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn Hãy biểu

diễn F theo x và y

c) Tìm s ố kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất

D ẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN LIÊN BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Câu 1: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình 2x+ y 3.

Câu 2: Bi ểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình − + + 3x y 2 0

Câu 3: Bi ểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình x+ +3 2(2y+ 5) 2(1−x)

Câu 4: Bi ểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình (1+ 3) (x− −1 3)y2

D ẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Câu 1: Bi ểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình

4 0 0

x y

0 1 0

4 0

y x

y x x y

D ẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN

Bài toán: Tìm giá tr ị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức T x y, ax by v ới x y; nghi ệm đúng

m ột hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước

Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho Kết quả thường được miền

nghiệm S là đa giác

Bước 2: Tính giá trị của F tương ứng với x y; là t ọa độ của các đỉnh của đa giác

Bước 3: Kết luận:

Giá trị lớn nhất của F là số lớn nhất trong các giá trị tìm được

Giá trị nhỏ nhất của F là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được

Câu 1: M ột hộ nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích 800m2 N ếu trồng đậu thì cần 20 công và

thu 3.000.000 đồng trên 100m2 n ếu trồng cà thì cần 30 công và thu 4.000.000 đồng trên 100

m2 H ỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất khi tổng

s ố công không quá 180

BÀI T ẬP TỰ LUẬN

2

=

Câu 2: Bạn An kinh doanh hai mặt hàng handmade là vòng tay và vòng đeo cổ Mỗi vòng tay làm trong

4 gi ờ, bán được 40 ngàn đồng Mỗi vòng đeo cổ làm trong 6 giờ, bán được 80 ngàn đồng Mỗi

tu ần bạn An bán được không quá 15 vòng tay và 4 vòng đeo cổ Tính số giờ tối thiểu trong tuần

An c ần dùng để bán được ít nhất 400 ngàn đồng?

Câu 3: M ột xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình Xưởng sản xuất loại sản phẩm I và II

M ỗi sản phẩm I bán lãi 500 nghìn đồng, mỗi sản phẩm II bán lãi 400 nghìn đồng Để sản xuất được một sản phẩm I thì Chi ến phải làm việc trong 3 giờ, Bình phải làm việc trong 1 gi ờ Để

s ản xuất được một sản phẩm II thì Chi ến phải làm việc trong 2 gi ờ, Bình phải làm việc trong

6 gi ờ Một người không thể làm được đồng thời hai sản phẩm Biết rằng trong một tháng Chiến không th ể làm việc quá 180 giờ và Bình không thể làm việc quá 220 giờ Tính số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng

Câu 4: Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày Mỗi

kiogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn

vị protein và 400 đơn vị lipit Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1, 6 kg thịt bò và 1,1

kg thịt lợn Giá tiền một kg thịt bò là 160 nghìn đồng, một kg thịt lợn là 110 nghìn đồng Gọi x

, y lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua Tìm x , y để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn?

Câu 5: Một hộ nông dân định trồng dứa và củ đậu trên diện tích 8ha Trên diện tích mỗi ha, nếu trồng

d ứa thì cần 20 công và thu 3 triệu đồng, nếu trồng củ đậu thì cần 30 công và thu 4 triệu đồng

H ỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu ha để thu được nhiều tiền nhất, biết

r ằng tổng số công không quá 180

Câu 1: B ất phương trình 3 – 2 – x ( y x +  tương đương với bất phương trình nào sau đây? 1 0 )

A x– 2 – 2 0y  B 5 – 2 – 2 0x y  C 5 – 2 –1 0x y  D 4 – 2 – 2 0x y 

Câu 2: Cho b ất phương trình 3 ( x − + 1 ) ( 4 y −  2 ) 5 x − Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng? 3

A Điểm O ( ) 0;0 thu ộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho

B Điểm B ( − 2; 2 ) thu ộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho

C Điểm C ( − 4; 2 ) thu ộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho

D Điểm D ( − 5;3 ) thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho

Câu 3: Cho b ất phương trình x + + 3 2 2 ( y +  5 ) ( 2 1 − Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai? x )

A Điểm A ( − − thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho 3; 4 )

B Điểm B ( − − thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho 2; 5 )

C Điểm C ( − − thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho 1; 6 )

D Điểm O ( ) 0;0 thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho

Câu 4: Cặp số ( 1;–1 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây? )

Câu 11: Mi ền nghiệm của hệ bất phương trình

6

8 2

3

9 3

y

x y

y x

y x

là ph ần mặt phẳng chứa điểm nào sau đây?

y x

−



− +

0 2 3 2

0 2

y x

y x

−



− +

0

4 2

3 ) 1 ( 2

0 1 3 2

x

y x

y x

Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A Điểm A ( ) 2;1 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho

B Điểm O ( ) 0;0 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho

C Điểm C ( ) 1;1 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho

D Điểm D ( ) 3;4 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho

Câu 16: Cho h ệ bất phương trình:

Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A Điểm O ( ) 0;0 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho

B Điểm B ( ) 1;0 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho

C Điểm C ( 0; 2 − ) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho

D Điểm D ( ) 0; 2 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho

Câu 17: Điểm O ( ) 0;0 thu ộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?

5 (2) 2

 G ọi S1 là t ập nghiệm của bất phương trình (1), S2 là t ập nghiệm của

b ất phương trình (2) và S là tập nghiệm của hệ thì

x y

M ệnh đề nào sau đây là sai?

A Trên m ặt phẳng tọa độ Oxy, bi ểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền

t ứ giác ABCO kể cả các cạnh với A ( ) 0;3 , 25 9

D Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y + , với x và y thõa mãn hệ bất phương trình đã cho là 0

Câu 23: Giá tr ị nhỏ nhất của biết thức trên miền xác định bởi hệ

A min F = 1 khi x=2,y=3 B min F = 2 khi x=0, y=2

C min F = khi 3 x=1,y=4 D min F = khi 0 x=0, y=0

Câu 24: Bi ểu thức F= −y x đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện



−

−

 +

−

0 5

2 2

2 2

x

y x

y x

y x

2

A

x

Câu 25: Giá tr ị nhỏ nhất của biểu thức F x y ( ) ; = − x 2 y , v ới điều kiện







0 2

0 2 0

5 0

y x

y x x y

là

A − 12 B − 10 C − 8 D − 6

Câu 26: Biểu thức L= −y x, với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình

2 3 6 0 0

Câu 28: Trong m ột cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 g hương liệu, 9 lít nước và 210

g đường để pha chế nước cam và nước táo

● Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 g đường, 1 lít nước và 1 g hương liệu;

● Để pha chế 1 lít nước táo cần 10 g đường, 1 lít nước và 4 g hương liệu

M ỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất?

A 5 lít nước cam và 4 lít nước táo B 6 lít nước cam và 5 lít nước táo

C 4 lít nước cam và 5 lít nước táo D 4 lít nước cam và 6 lít nước táo

Câu 29: Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm

● Mỗi kg sản phẩm loại I cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40 nghìn;

● Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lời 30 nghìn

Xưởng có 200 kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu

để có mức lời cao nhất?

A 30 kg loại I và 40 kg loại II B 20 kg loại I và 40 kg loại II

C 30 kg loại I và 20 kg loại II D 25 kg loại I và 45 kg loại II

Câu 30: M ột nhà khoa học đã nghiên cứu về tác động phối hợp của hai loại Vitamin A và B đã thu

được kết quả như sau: Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị Vitamin cả A

l ẫn B và có th ể tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin

B Do tác động phối hợp của hai loại vitamin trên nên mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị vitamin B không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin A và không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A Tính s ố đơn vị vitamin mỗi loại ở trên để một người dùng mỗi ngày sao cho chi phí

r ẻ nhất, biết rằng mỗi đơn vị vitamin A có giá 9 đồng và mỗi đơn vị vitamin B có giá 7,5 đồng

A 600 đơn vị Vitamin A , 400 đơn vị Vitamin B

B 600 đơn vị Vitamin A , 300 đơn vị Vitamin B

C 500 đơn vị Vitamin A , 500 đơn vị Vitamin B

D 100 đơn vị Vitamin A , 300 đơn vị Vitamin B

Câu 31: Công ty Bao bì Dược cần sản xuất 3 loại hộp giấy: đựng thuốc B1, đựng cao Sao vàng và đựng

"Quy sâm đại bổ hoàn" Để sản xuất các loại hộp này, công ty dùng các tấm bìa có kích thước giống nhau Mỗi tấm bìa có hai cách cắt khác nhau

• Cách th ứ nhất cắt được 3 hộp B1, m ột hộp cao Sao vàng và 6 hộp Quy sâm

• Cách th ứ hai cắt được 2 hộp B1, 3 h ộp cao Sao vàng và 1 hộp Quy sâm Theo kế hoạch, số hộp Quy sâm ph ải có là 900 hộp, số hộp B1 t ối thiểu là 900 hộp, số hộp cao sao vàng tối thiểu là 1000

h ộp Cần phương án sao cho tổng số tấm bìa phải dùng là ít nhất?

A C ắt theo cách một x −  tấm, cắt theo cách hai 300 tấm 2 0

B C ắt theo cách một 150 tấm, cắt theo cách hai 100 tấm

C C ắt theo cách một 50 tấm, cắt theo cách hai 300 tấm

D C ắt theo cách một 100 tấm, cắt theo cách hai 200 tấm

Câu 32: M ột nhà máy sản xuất, sử dụng ba loại máy đặc chủng để sản xuất sản phẩm A và s ản phẩm B

trong một chu trình sản xuất Để sản xuất một tấn sản phẩm A lãi 4 triệu đồng người ta sử dụng máy I trong 1 gi ờ, máy II trong 2 gi ờ và máy III trong 3 giờ Để sản xuất ra một tấn sản phẩm

B lãi được 3 triệu đồng người ta sử dụng máy I trong 6 giờ, máy II trong 3 giờ và máy III

trong 2 gi ờ Biết rằng máy I ch ỉ hoạt động không quá 36 giờ, máy hai hoạt động không quá

23 giờ và máy III hoạt động không quá 27 giờ Hãy lập kế hoạch sản xuất cho nhà máy để tiền lãi được nhiều nhất

A S ản xuất 9 tấn sản phẩm A và không s ản xuất sản phẩm B

BÀI 1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

I BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

;

ax by c  ax by c ax by c ax by c  ;   ;  

Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn ,x y : ax by c   1 Mỗi cặp số x y0; 0 sao cho

0 0

phẳng tọa độ Oxy , tập hợp tất cả các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình (1) được gọi là miền nghiệm của bất phương trình (1)

II BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô

số nghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học

được gọi là miền nghiệm của nó

Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của

- Bước 3 Tính ax by0 0 và so sánh ax by0 0 với c

- Bước 4 Kết luận

Lời giải

a) Thay x0,y 1 vào bất phương trình 2x3y3 ta được:

2.0 3 ( 1) 3     3 3 (Vô lý)

2.2 3.1 3 1 3    (Luôn đúng)

Vậy (2;1) là nghiệm

c) Thay x3,y1 vào bất phương trình 2x3y3 ta được:

2.3 3.1 3   3 3 (Vô lý)

Vậy (3;1) không là nghiệm

Câu 2: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau:

Câu 3: Phần không gạch (không kể d) ở mỗi Hình a, b, c là miền nghiệm của bất phương trình nào?

b) Đường thẳng qua điểm (2;0) và (0;1) nên phương trình đường thẳng là

Lấy điểm (0;1) thuộc miền nghiệm ta có x y   1 0

Câu 4: Một gian hàng trưng bày bàn và ghế rộng 60 m Diện tích để kê một chiếc ghế là 2 0,5 m , một 2

b) Chỉ ra ba nghiệm của bất phương trình trên

Lời giải

a)

Diện tích của x chiếc ghế là 0,5 x m và y chiếc bàn là  2 1,2y m  2

Tổng diện tích x chiếc ghế và y chiếc bàn là 0,5 1,2x y m 2

Diện tích lưu thông là 60 0,5 1, 2 x y m 2

Câu 5: Trong 1 lạng (100 g thịt bò chứa khoảng 26 g protein, 1 lạng cá rô phi chứa khoảng 20 g protein

Trung bình trong một ngày, một người phụ nữ cần tối thiểu 46 g protein (Nguồn:https://vinmec.com và https://thanhnien.vn) Gọi x, y lần lượt là số lạng thịt bò và số lạng

cá rô phi mà một người phụ nữ nên ăn trong một ngày Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn

x y để biểu diễn lượng protein cần thiết cho một người phụ nữ trong một ngày và chỉ ra ba nghiệm của bất phương trình đó

Lời giải

Lượng protein trong y lạng cá rô phi là 20 ( )y g

Bước 2: Biểu diễn bất phương trình

Vì lượng protein tối thiểu là 46 g nên ta có bất phương trình:

Bước 3: Tìm nghiệm của bất phương trình

Vậy (1;1),(2;1),(1;2) là các nghiệm cần tìm

Chú ý

Có thể chọn các nghiệm khác, miền là nghiệm nguyên

Câu 1 Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) 2 3x y6; b) 22x y 0; c) 2x2 y 1

Lời giải

Câu 2 Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ:

a) 3x2y300; b) 7x20y0

Lời giải

Bước 2: Ta lấy gốc toạ độ O 0;0 và tính 3.0 2.0 300  (vô lí)

BÀI TẬP

 Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 7x20y0

Bước 2: Ta lấy điểm M0 1;1 và tính 7.1 20.1 0  (vô lí)

Câu 3 Ông An muốn thuê một chiếc ô tô (có lái xe) trong một tuần Giá thuê xe được cho như bảng sau:

Phí cố định (nghìn đồng/ngày)

Phí tính theo quãng đường di chuyển (nghìn đồng/kilômét)

a) Gọi x và y lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong hai ngày cuối tuần Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa x và y sao cho tổng số tiền ông An phải trả không quá 14 triệu đồng

b) Biểu diển miền nghiệm của bất phương trình ở câu a trên mặt phẳng toạ độ

Gọi x và y lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong hai

Số tiền ông An phải trả từ thứ 2 đến thứ 6là 5.900 8 x4500 8 x(nghìn đồng)

Vì đề bài yêu cầu tổng số tiền ông An phải trả không quá 14 triệu đồng nên ta có

Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn này được xác định như sau:

Bước 2: Ta lấy gốc toạ độ O 0;0 và tính 0 2 0 0 3250   

thẳng d

BÀI 2 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

I HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Tương tự hệ bất phương trình một ẩn

phải tìm các nghiệm chung của chúng Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho

Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

II BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn ta làm nư sau:

- Trong cùng hệ toạ độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ bằng cách gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm của nó

- Phần không bị gạch là miền nghiệm cần tìm

III ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN THỰC TIỄN

Giải một số bài toán kinh tế thường dẫn đến việc xét những hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

và giải chúng Loại bài toán này được nghiên cứu trong một ngành toán học có tên gọi là Quy hoạch tuyến tính

Câu 1: Kiểm tra xem mỗi cặp số (x;y) đã cho có là nghiệm của hệ bất phương trình tương ứng không

Vậy ( 1; 3)  là nghiệm của hệ còn (0; 3) không là nghiệm

Câu 2: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:

Miền nghiệm của hệ:

Từ hình vẽ ta thấy hệ vô nghiệm

b) Vẽ các đường thẳng 4x2y8 (nét đứt) và hai trục (nét liền) Thay tọa độ O vào

4x2y8 ta được: 4.0 2.0 8  (Sai) => Gạch đi phần chứa O

Miền nghiệm của hệ:

Câu 3: Miền không bị gạch ở mỗi Hình 12 ,12 a b là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào cho ở

dưới đây?

a)

231

Hình 12a

Từ các phương trình trên thì ta chọn luôn là câu c mà không cần xét tiếp

Từ các phương trình trên thì ta chọn luôn là câu a mà không cần xét tiếp

Câu 4: Một phân xưởng sản xuất hai kiểu mũ Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất nhiều gấp

hai lần thời gian làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai Nếu chỉ sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai thì trong 1 giờ phân xưởng làm được 60 chiếc Phân xưởng làm việc 8 tiếng mỗi ngày và thị trường tiêu thụ tối đa trong một ngày là 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai Tiền lãi khi bán một chiếc mũ kiểu thứ nhất là 24 nghìn đồng, một chiếc mũ kiểu thứ hai là 15 nghìn đồng Tính số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu được là cao nhất

Theo giả thiết, thị trường tiêu thụ tối đa trong một ngày là 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240

60y h Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra một chiếc

mũ kiểu thứ hai nên thời gian làm mũ thứ nhất là 1 giờ làm được 30 chiếc

Bước 3: Biểu diễn miền nghiệm

Miền biểu diễn miền nghiệm là phần màu vàng:

Câu 1 Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

y xxy

xy

y xxy

Vì 1 0 nên tọa độ điểm  1;0 thỏa bất phương trình x 0

Bước 3: Vẽ đường thẳng  d3 :y 0

Vì  1 0 nên tọa độ điểm 0, 1 thỏa bất phương trình y  0

0; 1 không kể bờ Ox

Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch

b)

00

xy

Vì 1 0 nên tọa độ điểm  1;0 thỏa bất phương trình x 0

thẳng x  chứa điểm 0  1;0

Vì 1 0 nên tọa độ điểm  0,1 thỏa bất phương trình y  0

thẳng y 0chứa điểm  0;1

Vì 2.0 0 0 4   nên tọa độ điểm O 0;0 thỏa mãn bất phương trình 2x y 4

Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch

Câu 3 Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày Mỗi

kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn

vị protein và 400 đơn vị lipit Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn; giá tiền 1 kg thịt bò là 250 nghìn đồng; 1 kg thịt lợn là 160 nghìn đồng Giả sử gia đình

đó mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn

a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó

b) Gọi F (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn Hãy biểu diễn F theo x và y

c) Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất

Lời giải a) Gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn Giả sử gia đình này mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn thì x và y cần thỏa mãn điều kiện:

DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN LIÊN BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Lời giải

Lời giải

Trước hết, ta vẽ đường thẳng  d : 3   x y 2 0

Lời giải

BÀI TẬP TỰ LUẬN

2

=

Đầu tiên, thu gọn bất phương trình đề bài đã cho về thành 3x4y11 0.

Ta vẽ đường thẳng  d :3x4y 11 0

Lời giải

Trước hết, ta vẽ đường thẳng  d : 1  3 x 1 3y2

DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

00

x y

x yxy

nửa mặt phẳng bờ  d1 ,  d2 ,  d3 ,  d4 không chứa điểm M Miền không bị tô đậm (hình 0.

ba miền nghiệm của ba bất phương trình Sau khi gạch bỏ miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ

Câu 3: Tìm trị lớn nhất của biểu thức F x y ;  x 2y, với điều kiện

010

40

yx

yxx

y

Lời giải

Vẽ đường thẳng d x y1:   1 0, đường thẳng d qua hai điểm 1 0; 1  và  1;0

Vẽ đường thẳng d x2: 2y10 0 , đường thẳng d qua hai điểm 2  0;5 và  2;4

Miền nghiệm là ngũ giác ABCOE với A       4;3 , 2;4 , 0;4 , 1;0B C E

Ta có: F 4;3 10 , F 2;4 10 , F 0;4 8 , F 1;0 1 , F 0;0 0

Vậy giá trị lớn nhất của biết thức F x y ;  x 2y bằng 10

DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN

Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức T x y ,  ax by  với x y ;  nghiệm đúng

một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước

Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho Kết quả thường được miền

Bước 2: Tính giá trị của F tương ứng với x y ;  là tọa độ của các đỉnh của đa giác

Bước 3: Kết luận:

 Giá trị lớn nhất của F là số lớn nhất trong các giá trị tìm được

thu 3.000.000 đồng trên 100m2 nếu trồng cà thì cần 30 công và thu 4.000.000 đồng trên 100

Lời giải Gọi x là số x00 m2 đất trồng đậu, y là số 00y m2 đất trồng cà Điều kiện x 0, y  0

Theo bài ra ta có

8

00

x y

xy

x y

xy

4 giờ, bán được 40 ngàn đồng Mỗi vòng đeo cổ làm trong 6 giờ, bán được 80 ngàn đồng Mỗi tuần bạn An bán được không quá 15 vòng tay và 4 vòng đeo cổ Tính số giờ tối thiểu trong tuần

An cần dùng để bán được ít nhất 400 ngàn đồng?

Lời giải

Theo giả thiết ta có

miền trong tam giác đó

khi x2,y4

Vậy số giờ tối thiểu trong tuần An cần dung là L 4.2 6.4 32 

nhất trong một tháng của xưởng

xy

nên loại

Tại A60; 0  thì T 30 triệu đồng

Tại B40;30  thì T 32 triệu đồng

trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn?

Lời giải

0 1,1

xy

A O C

Số đơn vị protein gia đình có là 0,8.x0,6.y0,9 8x6y9 d1

Số đơn vị lipit gia đình có là 0, 2.x0,4.y0, 4 x 2y2  d2

dứa thì cần 20 công và thu 3 triệu đồng, nếu trồng củ đậu thì cần 30 công và thu 4 triệu đồng Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu ha để thu được nhiều tiền nhất, biết rằng tổng số công không quá 180

Lời giải Gọi x y, lần lượt là số ha trồng dứa và củ đậu

D

1 2

1,6 x

1,1 y

2 2

x y  

8 6 9 x y  

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác OABC với A     0;6 , 6;2 ,B C 0;8

Có T 0,0 0; 0;6T 24; 6;2T 26; 8;0T 24

Vậy cần trồng 6 ha dứa và 2 ha củ đậu

Lời giảiChọn B

3 – 2 –x y x  1 0 3x2y2x  2 0 5x2y 2 0

Lời giải Chọn A

là nghiệm của bất phương trình đã cho

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

3

=

A Điểm A   3; 4 thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho

Lời giải Chọn D

không là nghiệm của bất phương trình đã cho

Lời giảiChọn C

–2 –x y        y 3 2x y 3 y 2x3 *

Lời giải Chọn B

Ta có 5x2y 1 0 5x2y 2 0; ta thay từng đáp án vào bất phương trình, cặp  1;3