SKKN: Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm trong khi giải toán

SKKN: Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm trong khi giải toán

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Phát hiện và biện pháp khắc phục sai

lầm trong khi giải toán

PHẦN I:MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng, nhưng

mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng Toán học là một môn học giữ một vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông Tuy nhiên, nó là một môn học khó, khô khan và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình Chính vì vậy, đối với mỗi giáo viên dạy toán việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học Để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả trong việc truyền thụ các kiến thức Toán học cho học sinh là công việc cần phải làm thường xuyên

Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạy học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách

Giải toán là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy, bởi lẽ việc giải toán là một việc mà người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm, đặc biệt

là đối với những học sinh bậc THCS thì việc giải toán là hình thức chủ yếu của việc học toán

Khi giải toán, chắc các bạn đã không ít lần mắc phải những sai lầm đáng tiếc Trong chuyên mục “Sai ở đâu ? Sửa cho đúng”, các bạn đã chứng kiến rất nhiều lời giải sai lầm Nhà sư phạm toán nổi tiếng G Polya đã nói : “Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình” A.A Stoliar còn nhấn mạnh : “Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh”

Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Phần Đại số là một phần kiến thức khá quan trọng Các phép biến đổi, biến đổi tương đương và bất đẳng thức có nhiều ứng dụng trong các phần kiến thức của môn Toán như: Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, giải bất phương trình, hệ phương trình…

Qua quá trình giảng dạy và đặc biệt là bồi dưỡng học sinh khá giỏi thì tôi thấy học sinh trong quá trình vận dụng Các phép biến đổi, biến đổi tương đương và bất đẳng thức có nhiều ứng dụng trong các phần kiến thức của môn Toán như: Chứng minh bất

đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, giải bất phương trình, hệ phương trình…thường gặp những sai lầm trong đó nghiêm trọng có thể làm sai đi bản chất của vấn đề

Vì vậy tôi viết sáng kiến này cùng trao đổi thêm về cách dạy, cách học sao cho có hiệu quả nhất nhằm khắc phục những sai lầm hay mắc phải cũng như định hướng để giải quyết một số bài toán theo hướng tư duy và suy luận lôgic

III Phạm vi nghiên cứu

Để thực hiện đề tài này, tôi thực hiện nghiên cứu tại đơn vị công tác là Trường THCS Lý Tự Trọng Cụ thể là các khối lớp 8, 9 và những học sinh tham gia đội tuyển học sinh giỏi Toán của trường, của Huyện trong 8 năm qua

IV Cơ sở nghiên cứu

Để thực hiện đề tài này, tôi dựa trên cơ sở các kiến thức đã học ở Trường Đại học Quy Nhơn, Trường CĐSP Thừa Thiên Huế, các tài liệu về phương pháp giảng dạy, các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo của bộ môn Toán bậc trung học cơ sở và cả trên mang Internet

V Phương pháp nghiên cứu

Thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây:

– Phương pháp nghiên cứu lý luận

– Phương pháp khảo sát thực tiễn

– Phương pháp phân tích

– Phương pháp tổng hợp

– Phương pháp khái quát hóa

– Phương pháp quan sát

– Phương pháp kiểm tra

– Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

VI Thời gian nghiên cứu

Đề tài được thực hiện từ ngày 10/6/2010 đến ngày 28/11/2010

VII Giới hạn của đề tài

Đề tài được sử dụng trong việc dạy các tiết luyện tập, phụ đạo và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi các cấp, với đối tượng là những học sinh trung bình, khá, giỏi bộ môn Toán

PHẦN II: NỘI DUNG

I CÁC BÀI TOÁN BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN VỀ CĂN THỨC

1 Muỗi nặng bằng voi!

Ví dụ 1: Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh “Con muỗi nặng bằng con voi”

dưới đây:

Gọi khối lượng con muỗi là: m (kg) m > 0

Gọi khối lượng con voi là: v (kg) v > 0

Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!)

Vậy sai lầm ở đâu? Phải chăng học sinh thường mắc phải trong suy luận:

A2 = B2  A = B Sửa lại cho đúng A2  B2  A  B

Đây là bài toán trong sách Để học tốt Toán 8 của GS Hoàng Chúng, giới thiệu cho các em học sinh lớp 8 tham khảo, rút ra kinh nghiệm khi làm toán về hằng đẳng thức

Ví dụ 2: (Bài 16 SGK Toán 9 trang 12) Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh

“Con muỗi nặng bằng con voi” dưới đây

Giả sử khối lượng con muỗi m(g) và khối lượng con voi V(g)

Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!)

Ghi chú: Bài toán này cho các em thấy nếu quên kí hiệu giá trị tuyệt đối trong

hằng đẳng thức: A  A thì có lúc nào đó con muỗi sẽ nặng bằng con voi

2 Sai lầm khi học sinh không chú ý đến điều kiện để một biểu thức có căn bậc hai, A có nghĩa; các quy tắc nhân các căn bậc hai, chia căn bậc hai

Ví dụ 1: Có học sinh viết:

+Vì (  4 ).(  25 )  100  10 và 4. 25  (4).(25)  100 10

- Khi dạy phần này giáo viên cần khắc sâu cho học sinh điều kiện để một biểu

thức có căn bậc hai, điều kiện để A xác định, điều kiện để có: a b ab ;

Như thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm

+ Khi dạy phần này giáo viên nên củng cố lại về số âm và số đối của một số

 



, neáu 0 , neáu 0

a

4 Sai lầm khi học sinh chưa nắm vững hằng đẳng thức: A 2  A

Ví dụ: Bài tập 9d (sgk toán 9 - tập 1- trang 11)

 3x = 12 hoặc 3x = -12 Vậy x = 4 hoặc x = -4

Ví dụ 2: Bài tập 14c (sgk toán 9 - tập 1 – trang 5)

+ Nguyên nhân: Học sinh chưa nắm vững hằng đẳng thức A2  A , giá

trị tuyệt đối của một số âm

Ví dụ 3: Khi so sánh hai số a và b Một học sinh phát biểu như sau: “Bất kì hai số nào

cũng bằng nhau ” và thực hiện như sau:

Ta lấy hai số a và b tùy ý Gỉa sử a > b

a 2abb b 2aba hay 2  2

ab  ba (1) Lấy căn bậc hai hai vế ta được: ab2  ba2

Do đó: a  b b a

Từ đó : 2a2b ab

Vậy bất kì hai số nào cũng bằng nhau

Học sinh này sai lầm ở chỗ : Sau khi lấy căn bậc hai hai vế của đẳng thức (1)

phải được kết quả: a b  b a chứ không thể có a - b = b- a

+ Nguyên nhân: Học sinh chưa nắm vững hằng đẳng thức 2

A  A , giá

trị tuyệt đối của một số âm

Ví dụ 4: Tìm x sao cho B có giá trị là 16

B = 16 x 16 - 9 x 9+ 4 x 4 + x1 với x  -1

+ Nguyên nhân : Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x = 15 và x

=-17 nhưng chỉ có giá trị x = 15 là thoả mãn, còn giá trị x = -=-17 không đúng Đâu là nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá rập khuôn vào công thức mà không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với x -1 thì các biểu thức trong căn luôn tồn tại nên không cần đưa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.!

+ Biện pháp khắc phục: Qua các bài tập đơn giản bằng số cụ thể giúp cho học

sinh nắm vững được chú ý sau : Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có

5 Sai lầm kỹ năng khi giải bài toán rút gọn

Ví dụ 1: Bài 47 SGK Đại số 9 tập 1 trang 27

( x y )( x y ) x y

Vậy em học sinh nào làm sai? Em học sinh nào làm đúng?

Dễ thấy em học sinh A làm sai!

Ví dụ 2: Giải bài tập 58c ( SGK toán 9 - tập1 – trang 32 )

+ Biện pháp khắc phục: Khi dạy giáo viên cần cho học sinh nắm vững:

2 5 1 1

5 2 7 3 5 2 7 3 5

2

- Nguyên nhân:

+ Học sinh chưa biết biến đổi biểu thức dưới dấu căn bậc hai thành dạng

A B A B ( với A 0 và B 0) để tính

+ Học sinh hiểu mơ hồ về quy tắc khai phương một tích, khai phương một thương

+ Học sinh mất kiến thức căn bản ở lớp dưới nhất là các hằng đẳng thức

và tính chất cơ bản của phân thức

+ Học sinh chưa hiểu rõ quy tắc trục căn thức bậc hai ở mẫu và như thế nào là hai biểu thức liên hợp của nhau, hai biểu thức này liên quan đến hằng đẳng thức:

AB  A B tương tự như A B  A. B ( với A 0 và B 0)

+ Khi cần thiết giáo viên cũng cố lại kiến thức có liên quan Chẳng hạn như hằng đẳng thức, tính chất cơ bản của phân thức

+ Nhấn mạnh thế nào là hai biểu thức liên hợp của nhau

+ Cần khắc sâu các công thức:

A A B B

2

C A B C

Khi giảng phần này giáo viên cần cho học sinh nắm định căn bậc ba của một số

a, đồng thời lưu ý học sinh hiểu rõ giữa căn bậc hai của một số a  0; căn bậc hai số học của một số a 0 và căn bậc ba của một số a

8 Sai lầm trong kĩ năng biến đổi :

Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi bỏ qua các dấu của số hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai

Ví dụ 1 : Tìm x, biết :

(4- 17 ) 2x 3 ( 4  17 )

- Cách giải sai :

(4- 17 ) 2x 3 ( 4  17 )  2x < 3 ( chia cả hai vế cho 4- 17) x <

- Nguyên nhân: Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn đề gì Học

sinh khi nhìn thấy bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ quan không để ý đến dấu của bất đẳng thức : “Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một

số âm thì bất đẳng thức đổi chiều”

- Biện pháp khắc phục: Chỉ ra sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 4 và

17 cho nên mới bỏ qua biểu thức 4 - 17 là số âm, dẫn tới lời giải sai

3 (

= x - 3

- Cách giải đúng : Biểu thức đó là một phân thức, để phân thức tồn tại thì cần

phải có x + 3 0 hay x - 3 Khi đó ta có

3 (

có thể có kết quả được

II/ NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Ví dụ 1: Giải PT: ( x2011) x2010 0 (*)

Sai lầm thứ hai là (4) và (5) Không tương đương

Phương trình (5) là phương trình hệ quả của phương trình (4), nó chỉ tương đương với

phương trình (4) với điều kiện: 27x 0 x  2

7 Do đó x = 2 cũng không phải là

nghiệm của (1)

+ Cách giải đúng:

Cách 1: Giải xong thử lại

Cách 2: Đặt điều kiện căn thức xác định 1 x  2

7 Do đó khi giải xong kết luận phương trình vô nghiệm

Cách 3: Chứng minh: Vế trái số âm Còn vế phải không âm Kết luận phương trình vô

Vậy phương trình trên vô nghiệm

Nhận xét : Phương trình đã cho có nghiệm x= -7?

Ghi nhớ : Như vậy lời giải trên đã bỏ sót một trường hợp khi: A  0; B < 0

 2 x  5  x  2  x   7(Thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm x = -7

 x  0 hoặc x  7

12 Nhận xét: Dễ thấy ngay là x = 0 không phải là nghiệm của (1)

Ghi nhớ: Phép biến đổi thứ 2 từ trên xuống là phép biến đổi hệ quả (suy ra) nên tập

nghiệm cuối của phương trình bao giờ cũng nhiều nghiệm hơn ban đầu…

Do đó khi giải phương trình bằng biến đổi hệ quả bao giờ cũng phải thử lại

Còn bài này chỉ sai có mỗi một cái dấu  ở dòng thứ 2 phải là  mới đúng!

III/ NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

+ Phân tích sai lầm: Sai lầm ở hai chỗ:

- Chưa đặt điều kiện để căn thức có nghĩa

- Chưa đặt điều kiện để x 60 trước khi bình phương hai vế

+ Lời giải đúng: Bổ sung thêm hai điều kiện:

+ Phân tích sai lầm: Sai lầm khi giải bất phương trình (2): Khi bình phương

hai vế của (2) chưa đặt điều kiện x > 0

Giải (2):

2

0 0

2x 1

1 2

x x

x x

(2)

x x

3 3

2 2

2

x x

x x

x x

Ghi chú: Hãy chú ý đến dấu “=” khi giải bất phương trình

IV/ NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ

Ví dụ 1: Cho A = x2 - 3x +5 Tìm Min A với x  2?

+ Lời giải sai: Ax    ; x R.

+ Lời giải sai: Giả sử x  y  z > 0

Ta suy ra: x - z > 0  y(x - z)  z(x - z)

z  x  y tức là biểu thức không đổi Điều đó cho phép ta giả sử x là số

lớn nhất (hoặc số nhỏ nhất), nhưng không cho phép giả sử x  y  z Thật vậy sau khi chọn x là số lớn nhất (x  y, x z) thì vai trò của y và z không bình đẳng: giữ nguyên

x, thay y bởi z, thay z bởi y ta được: x z y ,

+ Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhưng lập luận sai khi khẳng định “A

có tử không đổi nên có giá trị không lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” mà chưa đưa ra nhận xét tử và mẫu là các số dương

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Ax x

4

02

+ Nguyên nhân: Khi làm bài học sinh chưa nắm vững và cũng không chú

ý điều kiện để A tồn tại

Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M x y

2 2

+ Phân tích sai lầm: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức M bằng 4, đạt được khi x.y

= 1 Khi đó kết hợp với điều kiện x + y = 1 của đề bài, ta có hệ :

Dễ dàng nhận thấy hệ vô nghiệm, tức là M không thể bằng 4 Do đó lời giải trên

2 16

(thỏa mãn xy 1)

Ghi chú:

- Nguyên nhân dẫn đến sai lầm trong các ví dụ trên chính là các bạn đã quên

không xác định các giá trị tương ứng của các biến để bất đẳng thức trở thành

đẳng thức Đặc biệt, trong trường hợp giá trị của biến tồn tại thì chúng có thỏa mãn các điều kiện cho trước hay không

PHẦN III: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN

- Sau khi trực tiếp áp dụng đề tài vào giảng dạy tôi nhận định rằng: Đề tài áp dụng đã có hiệu quả nhất định vì nó gần gũi và phù hợp với đối tượng học sinh trung bình, khá, giỏi

- Dạy trong các tiết bài tập

- Dạy vào tiết tự chọn

- Bồi dưỡng học sinh giỏi

PHẦN IV: KẾT QUẢ

Trong quá trình giảng dạy tôi đã làm phép đối chứng ở các học sinh giỏi toán của trường trong nhiều năm qua tôi đã cho học sinh đọc một số cách giải sai mà học sinh hay mắc phải những chỗ sai và tìm cách khắc phục như thế nào Kết quả 90% học sinh

có thể định hướng và vận dụng giải các bài toán thành thạo một cách có hiệu quả

Như vậy sau khi tôi phân tích kỹ các sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong khi giải bài toán về căn bậc hai, các bài toán rút gọn, giải phương trình vô tỉ và bất phương trình vô tỉ thì số học sinh giải đúng bài tập tăng lên, số học sinh mắc sai lầm khi lập luận tìm lời giải giảm đi nhiều Từ đó chất lượng dạy và học môn Đại số nói riêng và môn Toán nói chung được nâng lên

PHẦN V: KẾT LUẬN

Thông qua bài viết các bạn có thể phần nào thấy được những sai lầm thường gặp trong việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy từ đó rút ra được cho bản thân cách dạy, cách

học như thế nào cho hiệu quả nhất

Phần kiến thức về căn bậc hai, các bài toán rút gọn, giải phương trình vô tỉ và bất phương trình vô tỉ các phép biến đổi rất rộng và sâu, tương đối khó với học sinh, có thể nói nó có sự liên quan và mang tính thực tiễn rất cao, bài tập và kiến thực rộng, nhiều Qua việc giảng dạy thực tế tôi nhận thấy để dạy học được tốt thì cần phải nắm vững những sai lầm của học sinh thường mắc phải và bên cạnh đó học sinh cũng phải có đầy

đủ kiến thức cũ, phải có đầu óc tổng quát, lôgic do vậy sẽ có nhiều học sinh cảm thấy khó học phần kiến thức này

Để nâng cao chất lượng dạy và học giúp học sinh hứng thú học tập môn Toán thì mỗi giáo viên phải tích luỹ kiến thức, phải có phương pháp giảng dạy tích cực, củng cố kiến thức cũ cho học sinh và là cây cầu nối linh hoạt giữa kiến thức và học sinh

Với sáng kiến “Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm trong khi giải toán”

tôi đã cố gắng trình bày các sai lầm của học sinh thường mắc phải một cách tổng quát nhất, bên cạnh đó tôi đi phân tích các điểm mới và khó trong phần kiến thức này so với khả năng tiếp thu của học sinh để giáo viên có khả năng phát hiện ra những sai lầm của học sinh để từ đó định hướng và đưa ra được hướng giải quyết cũng như biện pháp khắc phục các sai lầm đó

Bên cạnh đó tôi luôn phân tích các sai lầm của học sinh và nêu ra các phương pháp khắc phục và định hướng dạy học ở từng dạng cơ bản để nâng cao cách nhìn nhận của học sinh qua đó giáo viên có thể giải quyết vấn đề mà học sinh mắc phải một cách

dễ hiểu Ngoài ra tôi còn đưa ra một số bài tập tiêu biểu thông qua các ví dụ để các em

có thể thực hành kỹ năng của mình

Do thời gian nghiên cứu đề tài có hạn và tôi chỉ nghiên cứu ở một phạm vi, nên khó tránh khỏi thiếu sót và khiếm khuyết Đặc biệt gặp sai lầm khi giải toán là điều khó tránh khỏi Tìm ra sai lầm và sửa chữa sai lầm cũng không dễ chút nào Nhưng nếu các bạn có ý thức khi giải toán thì chắc chắn các bạn sẽ thành công !

Vì vậy tôi chỉ đưa ra những vấn đề cơ bản nhất để áp dụng vào trong năm học này qua sự đúc rút của các năm học trước đã dạy Rất mong được lãnh đạo và đồng nghiệp chỉ bảo, giúp đỡ và bổ sung cho tôi để sáng kiến được đầy đủ hơn có thể vận dụng được tốt và có chất lượng trong những năm học sau

Tôi xin chân thành cám ơn !

Pơng Drang, ngày28 tháng 11 năm 2010

Người viết

Võ Kim Oánh