Tập hút toàn cục đối với một số lớp phương trình Parabolic suy biến

Tập hút toàn cục đối với một số lớp phương trình Parabolic suy biến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

LÊ THỊ THÚY

TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH

PARABOLIC SUY BIẾN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

LÊ THỊ THÚY

TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH

PARABOLIC SUY BIẾN

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã số: 62.46.01.05LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Tập thể hướng dẫn khoa học:

1 TS Cung Thế Anh (HD1)

2 TS Nguyễn Đình Bình (HD2)

Hà Nội - 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướngdẫn của TS Cung Thế Anh và TS Nguyễn Đình Bình Các kết quả đượcphát biểu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trongcác công trình của các tác giả khác

Tác giả

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của các thầy TS CungThế Anh và TS Nguyễn Đình Bình Các thầy đã dẫn dắt tác giả làm quenvới nghiên cứu khoa học từ khi tác giả còn là học viên cao học Ngoàinhững chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của cácthầy dành cho tác giả luôn là động lực lớn giúp tác giả tự tin và say mêtrong nghiên cứu Qua đây tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và lòngquý mến đối với các thầy

Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô và các bạnđồng nghiệp trong Seminar Bộ môn Toán cơ bản, Đại học Bách khoa HàNội; Seminar Bộ môn Giải tích, Đại học Sư phạm Hà Nội và Seminar Giảitích đại số, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạomột môi trường học tập và nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thànhluận án này Tại đây tác giả đã nhận được nhiều chỉ dẫn, góp ý cũng nhưmột môi trường khoa học sôi nổi và thân thiện, điều không thể thiếu trongquá trình nghiên cứu, hoàn thành luận án của tác giả

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại họcĐiện lực, các anh chị đồng nghiệp công tác tại Bộ môn Toán, Khoa Khoahọc Cơ bản, trường Đại học Điện lực đã tạo điều kiện thuận lợi trong quátrình tác giả học tập, công tác và hoàn thành luận án này

Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình bố mẹ, cácanh chị em và bạn bè Gia đình, bạn bè luôn luôn là nguồn động viên vàđộng lực to lớn đối với tác giả

Tác giả

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN 1

LỜI CẢM ƠN 2

MỤC LỤC 3

MỞ ĐẦU 6

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 16 1.1 Các không gian hàm 16

1.2 Không gian hàm phụ thuộc thời gian 18

1.3 Tập hút toàn cục 19

1.3.1 Một số khái niệm 19

1.3.2 Tập hút toàn cục 21

1.3.3 Sự tồn tại tập hút toàn cục 23

1.3.4 Số chiều fractal của tập hút toàn cục 26

1.4 Tập hút đều 27

1.4.1 Tập hút đều của quá trình đơn trị 27

1.4.2 Tập hút đều của nửa quá trình đa trị 29

1.5 Một số bất đẳng thức thường dùng 32

1.6 Một số bổ đề quan trọng 33

Chương 2 TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH TRÊN MIỀN BỊ CHẶN 35 2.1 Đặt bài toán 35

2.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu 37

2.3 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong L2(Ω) 43

2.4 Sự phụ thuộc nửa liên tục trên của tập hút toàn cục vào số hạng phi tuyến 45

2.5 Tính trơn của tập hút toàn cục 49

2.5.1 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong L2p−2(Ω) 49

2.5.2 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong D02(Ω, σ) 56

2.6 Đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục 59

Chương 3 TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH TRÊN TOÀN KHÔNG GIAN 64 3.1 Đặt bài toán 64

3.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu 66

3.3 Sự tồn tại và tính trơn của tập hút toàn cục 70

3.3.1 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong L2(RN) 74

3.3.2 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong Lp(RN) 80

3.3.3 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong H10(RN, σ) ∩ Lp(RN) 83 Chương 4.TẬP HÚT ĐỀU ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN TỰA TUYẾN TÍNH KHÔNG ÔTÔNÔM 86 4.1 Đặt bài toán 86

4.2 Sự tồn tại nghiệm yếu 88

4.3 Sự tồn tại tập hút đều trong L2(Ω) 89

4.4 Tính trơn của tập hút đều trong trường hợp duy nhất nghiệm và p = 2 94

4.4.1 Tập (L2(Ω), Lq(Ω)) - hút đều 98

MỞ ĐẦU

1 Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài

Các phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến xuất hiện nhiềutrong các quá trình của vật lí, hóa học và sinh học, chẳng hạn các quátrình truyền nhiệt và khuếch tán, quá trình truyền sóng trong cơ học chấtlỏng, các phản ứng hóa học, các mô hình quần thể trong sinh học, Việcnghiên cứu những lớp phương trình này có ý nghĩa quan trọng trong khoahọc và công nghệ Chính vì vậy nó đã và đang thu hút được sự quan tâmcủa nhiều nhà khoa học trên thế giới Các vấn đề đặt ra là nghiên cứu tínhđặt đúng của bài toán (sự tồn tại duy nhất nghiệm, sự phụ thuộc liên tụccủa nghiệm theo dữ kiện đã cho) và các tính chất định tính của nghiệm(tính trơn, dáng điệu tiệm cận của nghiệm, )

Sau khi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán, việc nghiên cứu dángđiệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian ra vô cùng là rất quan trọng vì nócho phép ta hiểu và dự đoán xu thế phát triển của hệ động lực trong tươnglai, từ đó ta có thể có những điều chỉnh thích hợp để đạt được kết quảmong muốn Về mặt toán học, điều này làm nảy sinh một hướng nghiêncứu mới, được phát triển mạnh mẽ trong khoảng ba thập kỉ gần đây đó là

Lí thuyết các hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều Lí thuyết này nằm ở giaocủa 3 chuyên ngành là Lí thuyết hệ động lực, Lí thuyết phương trình viphân đạo hàm riêng và Lí thuyết phương trình vi phân thường (xem Bảngphân loại toán học năm 2010) Bài toán cơ bản của lí thuyết này là nghiêncứu sự tồn tại và các tính chất cơ bản của tập hút, chẳng hạn đánh giá số

chiều fractal hoặc số chiều Hausdorff, sự phụ thuộc liên tục của tập húttheo tham biến, tính trơn của tập hút, xác định các modes, Tập húttoàn cục cổ điển là một tập compact, bất biến, hút tất cả các quĩ đạo của

hệ và chứa đựng nhiều thông tin về dáng điệu tiệm cận của hệ Cụ thể vớimỗi quĩ đạo cho trước của hệ và một khoảng thời gian T tùy ý, ta đều tìmđược một quĩ đạo nằm trên tập hút toàn cục mà dáng điệu khi thời gian

đủ lớn của hai quĩ đạo này sai khác đủ nhỏ trên một khoảng có độ dài T Hơn nữa, trong nhiều trường hợp tập hút toàn cục có số chiều fractal hữuhạn và khi đó ta có thể qui việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của mộtnghiệm bất kì về nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các nghiệm trên tậphút toàn cục, tức là qui việc nghiên cứu một hệ động lực vô hạn chiều vềnghiên cứu hệ động lực hữu hạn chiều trên tập hút toàn cục

Trong ba thập kỉ gần đây, nhiều nhà toán học đã nghiên cứu và thuđược nhiều kết quả về lí thuyết tập hút đối với nhiều lớp phương trình viphân đạo hàm riêng (xem, chẳng hạn, các cuốn chuyên khảo [27, 37, 38,

54, 85, 89] và các bài tổng quan gần đây [25, 72, 79]) Một trong nhữnglớp phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu nhiều nhất là lớp phươngtrình parabolic Lớp phương trình này mô tả nhiều quá trình trong vật

lí, hóa học và sinh học như quá trình truyền nhiệt, quá trình phản ứng khuếch tán, mô hình toán học trong sinh học quần thể,

-Sự tồn tại tập hút toàn cục đối với phương trình và hệ phương trìnhparabolic nửa tuyến tính không suy biến đã được nghiên cứu bởi nhiềutác giả, trong cả miền bị chặn và không bị chặn (xem [17, 23, 26, 33,

34, 41, 43, 48, 63, 65, 69, 77, 78, 83]) Tính liên tục của tập hút toàncục đối với các bài toán parabolic được nghiên cứu trong các công trình[21, 22, 23, 24, 32, 75, 76] Trong những năm gần đây, sự tồn tại tập hút đã

được chứng minh cho phương trình parabolic với điều kiện biên phi tuyến[22, 35, 80, 76, 70, 91, 93], phương trình parabolic với điều kiện biên độnglực [5, 47, 51, 92, 94, 93] Cho đến nay, các kết quả về lí thuyết tập hút đốivới lớp phương trình parabolic không suy biến rất phong phú và đã kháhoàn thiện Tuy nhiên, các kết quả tương ứng trong trường hợp phươngtrình suy biến vẫn còn ít Các phương trình parabolic suy biến xuất hiệnmột cách tự nhiên trong nhiều bài toán của vật lí, hóa học, sinh học, vàđang thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong

và ngoài nước

Dưới đây, chúng tôi điểm qua một số kết quả gần đây về lí thuyết tậphút toàn cục đối với phương trình parabolic suy biến:

• Phương trình parabolic suy biến có phần chính dạng:

−∆Φ(u) hoặc − div(Φ(u)∇u), trong đó Φ(0) = 0

Trong những năm gần đây, sự tồn tại tập hút đã được chứng minh chonhiều lớp phương trình parabolic thuộc loại này, chẳng hạn phươngtrình tựa tuyến tính p-Laplacian [36, 44, 52, 59, 74, 95] và một số lớpphương trình khác [45, 49, 50]

• Phương trình parabolic suy biến chứa toán tử Grushin: Đó là lớpphương trình parabolic suy biến chứa toán tử Grushin (xem [53]),

Gsu = ∆x1u + |x1|2s∆x2u, x = (x1, x2) ∈ Ω ⊂ RN1

× RN2, s ≥ 0.Dựa trên các kết quả về phép nhúng kiểu Sobolev thiết lập trong [86],

sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm đã được nghiên cứu cho một

số lớp phương trình parabolic chứa toán tử này, trong cả hai trườnghợp ôtônôm và không ôtônôm Trong trường hợp ôtônôm, sự tồn tại

tập hút toàn cục đã được chứng minh trong [13] khi số hạng phituyến là Lipschitz địa phương và thỏa mãn điều kiện tăng trưởng kiểuSobolev; và được chứng minh trong [14] khi số hạng phi tuyến tăngtrưởng và tiêu hao kiểu đa thức Trong trường hợp không ôtônôm, tức

là khi ngoại lực phụ thuộc vào cả biến thời gian t và biến không gian

x, sự tồn tại tập hút đều và tập hút lùi đối với lớp phương trình này

đã được chứng minh trong [6, 19, 28] Gần đây, một số kết quả trênđây đã được mở rộng sang hệ parabolic có chứa toán tử Grushin, xem[20]

• Phương trình parabolic kì dị hoặc suy biến liên quan đến bất đẳngthức Caffarelli-Kohn-Nirenberg: Đây là lớp phương trình chứa toán tử

A = −div(|x|−pγ|∇u|p−2∇u) Mặc dù đã có một số kết quả về sự tồntại nghiệm của lớp phương trình này (xem, chẳng hạn, [1, 2, 3, 4, 40]),nhưng theo hiểu biết của chúng tôi kết quả trong bài báo [29] là kếtquả đầu tiên về dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương trình này

• Phương trình parabolic suy biến kiểu Caldiroli - Musina: Đây là lớpphương trình parabolic chứa toán tử −div(σ(x)∇u), ở đó hệ số khuếchtán σ là hàm không âm, đo được và có thể bằng không tại hữu hạnđiểm Cụ thể, ta giả sử σ thỏa mãn các điều kiện do Caldiroli vàMusina (xem [31]) đưa ra năm 2000: khi miền Ω bị chặn,

(Hα) σ ∈ L1loc(Ω) và với α ∈ (0, 2), lim infx→z |x − z|−ασ(x) > 0 với

mọi z ∈ Ω,

và khi miền Ω không bị chặn,

(H∞α,β) σ thỏa mãn điều kiện (Hα) và lim inf|x|→∞|x|−βσ(x) > 0 với

β > 2

Một ví dụ điển hình là σ(x) ∼ |x|α, α ∈ (0, 2), trong trường hợp miền

bị chặn, và σ(x) ∼ |x|α+ |x|β, α ∈ (0, 2), β > 2, trong trường hợp miềnkhông bị chặn

Để nghiên cứu lớp phương trình này, Caldiroli và Musina đã xét khônggian năng lượng tự nhiên D01(Ω, σ) được định nghĩa là bổ sung đủ của

C0∞(Ω) đối với chuẩn

ut − div(σ∇u) + f (u) + g(x) = 0

đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả Phương trình này có thể xem là

mô hình đơn giản của quá trình khuếch tán nơtron (điều khiển phảnhồi của phản ứng hạt nhân) (xem [42]) Trong trường hợp này u và σtương ứng chỉ sự chảy nơtron và sự khuếch tán nơtron

Các tác giả N.I Karachalios và N.B Zographopoulos (xem [55, 56])

đã nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm của bàitoán Cauchy-Dirichlet đối với lớp phương trình trên trong trường hợpđặc biệt f (u) = −λu + |u|2γu (0 ≤ γ < N −2+α2−α ), g(x) = 0

Năm 2008, các tác giả C.T Anh và P.Q Hưng (xem [12]) đã chứngminh sự tồn tại tập hút toàn cục đối với bài toán Cauchy-Dirichlettrong trường hợp dữ kiện ban đầu u0 ∈ D1

0(Ω, σ), g ∈ L2(Ω) chotrước, và f thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương và tăng trưởng

kiểu Sobolev Kết quả này mở rộng đáng kể các kết quả trước đó củaN.I Karachalios và N.B Zographopoulos.

• Phương trình parabolic kiểu p-Laplacian suy biến không duy nhất nghiệm:Gần đây, sử dụng lí thuyết hệ động lực đa trị của Melnik và Valero[66, 67], các tác giả C.T Anh, N.Đ Bình, T.Đ Kế đã chứng minh

sự tồn tại nghiệm (có thể không duy nhất) và sự tồn tại tập hút chomột số lớp phương trình parabolic tựa tuyến tính kiểu p-Laplacian suybiến kiểu Caldiroli-Musina (xem [15, 16]), tức là phương trình chứatoán tử dạng −div(σ|∇u|p−2∇u) và phương trình parabolic liên quanđến bất đẳng thức Caffarelli-Kohn-Nirenberg (xem [29]) Để làm điều

đó, các tác giả C.T Anh và T.Đ Kế đã xây dựng các không gianSobolev có trọng tương thích với bài toán và chứng minh các định línhúng tương ứng Các kết quả này mở rộng các kết quả tương ứng khi

p = 2 của Caldiroli và Musina [31] Tuy nhiên, một điểm đáng chú

ý (và là một thuận lợi) trong các công trình này là phần chính củaphương trình là một toán tử đơn điệu

Từ những kết quả ở trên, chúng ta thấy rằng đối với lớp phương trìnhparabolic suy biến, mặc dù đã có một số kết quả gần đây về tập hút toàncục, tuy nhiên các kết quả thu được vẫn còn ít và còn nhiều vấn đề mở.Nói riêng, những vấn đề mở mà chúng tôi quan tâm trong luận án này (xinxem thêm phần Kết luận về những vấn đề mở khác) bao gồm:

• Nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của tập hút đối với lớp phươngtrình suy biến kiểu Caldiroli-Musina trong miền bị chặn khi số hạngphi tuyến f thỏa mãn điều kiện tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thứcvới bậc tùy ý

• Nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút đối với phương trìnhsuy biến kiểu Caldiroli-Musina trong miền không bị chặn, chẳng hạntrong toàn không gian Lúc này khó khăn cơ bản xuất hiện là do tínhcompact của các phép nhúng kiểu Sobolev không còn đúng nữa Đểkhắc phục điều này, chúng tôi sử dụng kĩ thuật hàm cắt và kĩ thuậtước lượng đuôi của nghiệm (xem [88]).

• Nghiên cứu sự tồn tại tập hút của phương trình tựa tuyến tính suybiến không ôtônôm trong trường hợp nghiệm có thể không duy nhất

và phần chính của phương trình có thể là toán tử không đơn điệu.Khi đó để xử lí tính không duy nhất nghiệm của bài toán, chúng tôi

sử dụng lí thuyết hệ động lực đa trị của Melnik và Valero [66, 67, 68]

Việc nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút đối với những lớpphương trình parabolic suy biến là những vấn đề thời sự, có ý nghĩa khoahọc và hứa hẹn có nhiều ứng dụng trong các bài toán thực tế

Với những lí do trên, chúng tôi lựa chọn những vấn đề trên làm nội dungnghiên cứu của Luận án với tên gọi là "Tập hút toàn cục đối với một sốlớp phương trình parabolic suy biến"

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Mục đích của Luận án là nghiên cứu sự tồn tại và một số tính chất củatập hút toàn cục (bao gồm tính trơn, sự phụ thuộc liên tục theo tham biến,đánh giá số chiều fractal, ) đối với một số lớp phương trình parabolicsuy biến kiểu Caldiroli-Musina, cả trong miền bị chặn và trong toàn bộkhông gian

3 Phương pháp nghiên cứu

• Để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu, chúng tôi sử dụngphương pháp xấp xỉ Galerkin kết hợp với các bổ đề compact (thườngđược gọi là phương pháp compact trong các tài liệu)

• Để chứng minh sự tồn tại tập hút và tính trơn của tập hút, chúng tôi

sử dụng các phương pháp của lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều, nóiriêng là phương pháp đánh giá tiên nghiệm tiệm cận và phương phápđánh giá phần đuôi của nghiệm

• Để đánh giá số chiều của tập hút toàn cục, chúng tôi sử dụng phươngpháp của Ladyzhenskaya

4 Cấu trúc và các kết quả của Luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục công trình đã công bố và Tàiliệu tham khảo, Luận án được chia làm bốn chương:

– Chương 1 nhắc lại các khái niệm và kết quả tổng quát về tập húttoàn cục và tập hút đều, các kết quả về không gian hàm và toán tử được

sử dụng trong luận án, và một số kiến thức bổ trợ khác Đây là những kiếnthức cơ sở cần thiết cho việc trình bày các chương sau

– Chương 2 trình bày các kết quả về sự tồn tại và một số tính chấtcủa tập hút toàn cục (tính trơn, sự phụ thuộc nửa liên tục trên theo sốhạng phi tuyến, đánh giá số chiều fractal) đối với một lớp phương trìnhparabolic suy biến nửa tuyến tính ôtônôm trên miền bị chặn Ω ⊂ RN với

số hạng phi tuyến tiêu hao và tăng trưởng kiểu đa thức với độ tăng tùy ý.– Chương 3 trình bày các kết quả về sự tồn tại và tính trơn của tập

hút toàn cục đối với một lớp phương trình parabolic suy biến nửa tuyếntính ôtônôm trên toàn không gian RN Do các phép nhúng kiểu Sobolevkhông còn compact trong trường hợp này (và điều này gây ra những khókhăn lớn cho việc nghiên cứu), tính chất của toán tử tuyến tính phần chínhthay đổi (không còn có nghịch đảo compact như trong Chương 2) và nhiều

kĩ thuật sử dụng trong trường hợp miền bị chặn ở Chương 2 không còn

áp dụng được nữa Để vượt qua các khó khăn này, chúng tôi sử dụng Bổ

đề compact của Temam (thay cho Bổ đề compact Aubin-Lions) để chứngminh sự tồn tại nghiệm và kĩ thuật đánh giá phần đuôi của nghiệm doWang đề xuất năm 1999 trong [88] để chứng minh tính compact tiệm cậncủa nửa nhóm sinh bởi bài toán

– Chương 4 trình bày kết quả về sự tồn tại tập hút đều đối với mộtlớp phương trình parabolic suy biến tựa tuyến tính không ôtônôm trênmiền bị chặn Ω ⊂ RN, trong trường hợp nghiệm của phương trình có thểkhông duy nhất Chương này cũng trình bày các kết quả về tính trơn củatập hút đều nhận được ở trên trong một trường hợp đặc biệt, đó là trườnghợp nửa tuyến tính và duy nhất nghiệm

5 Ý nghĩa của các kết quả của Luận án

Các kết quả của Luận án là mới, có ý nghĩa khoa học và góp phần hoànthiện việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp các phương trìnhparabolic suy biến Các kết quả và ý tưởng của Luận án có thể sử dụngtrong việc nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của tập hút đối với một

số lớp phương trình parabolic suy biến khác có dạng tương tự

Nội dung chính của Luận án đã được công bố trong 04 bài báo khoa

học, liệt kê ở mục "Danh mục công trình khoa học của tác giả liênquan đến luận án".

Các kết quả chính của luận án đã được báo cáo tại các hội nghị khoahọc sau:

- Hội nghị quốc tế về Giải tích phức và ứng dụng lần thứ 17, thành phố

Hồ Chí Minh, 2009;

- Hội nghị khoa học chào mừng 55 năm thành lập Trường Đại học Báchkhoa Hà Nội, 2011;

và tại các Seminar khoa học:

- Seminar của Bộ môn Toán cơ bản, Viện Toán ứng dụng và Tin học,Trường Đại học Bách khoa Hà Nội;

- Seminar Giải tích đại số, Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại họcKhoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội;

- Seminar của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sưphạm Hà Nội

Chương 1KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong luận án này ta sử dụng các không gian hàm sau

• Lp(Ω), 1 ≤ p < ∞, là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm khảtích Lebesgue bậc p trên Ω với chuẩn được định nghĩa như sau:

• L∞(Ω) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm đo được và bịchặn hầu khắp trên Ω với chuẩn

kukL∞ (Ω) := ess sup

và khi miền Ω không bị chặn,

(H∞α,β) σ thỏa mãn điều kiện (Hα) và lim inf|x|→∞|x|−βσ(x) > 0 với

β > 2

Khi đó ta định nghĩa không gian D01(Ω, σ) là bổ sung đủ của không

gian C0∞(Ω) đối với chuẩn

Số mũ 2∗α là số mũ tới hạn trong phép nhúng Sobolev liên quan đếnkhông gian D10(Ω, σ)

Các bổ đề dưới đây là các kết quả từ [31, Mệnh đề 3.3-3.5]

Bổ đề 1.1.1 Giả sử rằng Ω là miền bị chặn trên RN, N ≥ 2, và σthỏa mãn điều kiện (Hα) Khi đó:

(i) Phép nhúng D01(Ω, σ) ,→ L2∗α(Ω) là liên tục;

(ii) Phép nhúng D10(Ω, σ) ,→ Lp(Ω) là compact nếu p ∈ [1, 2∗α)

Bổ đề 1.1.2 Giả sử rằng Ω là miền không bị chặn trên RN, N ≥ 2,

và σ thỏa mãn điều kiện (H∞α,β) Khi đó:

i) Phép nhúng D10(Ω, σ) ,→ Lp(Ω) là liên tục với mọi p ∈ [2∗β, 2∗α];ii) Phép nhúng D01(Ω, σ) ,→ Lp(Ω) là compact nếu p ∈ (2∗β, 2∗α)

• Ta định nghĩa không gian Sobolev có trọng D2

0(Ω, σ) là bao đóng củakhông gian C0∞(Ω) với chuẩn

Đó là một không gian Hilbert với tích vô hướng tương ứng là

và σ thỏa mãn (Hα) Khi đó phép nhúng D20(Ω, σ) ,→ D10(Ω, σ) là liêntục

có điều phải chứng minh

Trong luận án này ta sử dụng các không gian hàm phụ thuộc thời giansau:

Giả sử X là một không gian Banach

• C([a, b]; X) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm u : [a, b] →

X liên tục từ [a, b] vào X với chuẩn

kukC([a,b];X) = sup

Giả sử X là một không gian Banach, ta có các định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.3.1 Một nửa nhóm (liên tục) trên X là một họ các ánh xạS(t) : X → X, t ≥ 0, thỏa mãn

(i) S(0) = I, I là phép đồng nhất,

(ii) S(t)S(s) = S(s)S(t) = S(t + s),

(iii) S(t)u0 liên tục đối với (t, u0) ∈ [0; +∞) × X

Định nghĩa 1.3.2 Tập Y ⊂ X được gọi là bất biến dương nếu S(t)Y ⊂

Y, ∀t ≥ 0

Tập Y ⊂ X được gọi là bất biến âm nếu S(t)Y ⊃ Y, ∀t ≥ 0

Tập Y ⊂ X được gọi là bất biến nếu S(t)Y = Y, ∀t ≥ 0

Ta giới thiệu các khái niệm về tính tiêu hao của nửa nhóm

Định nghĩa 1.3.3 Nửa nhóm S(t) gọi là tiêu hao điểm (t.ư., tiêu hao bịchặn) nếu tồn tại một tập bị chặn B0 ⊂ X hút các điểm (t.ư., hút các tập

bị chặn) của X

Nếu S(t) là tiêu hao bị chặn thì tồn tại một tập B0 ⊂ X sao cho với mọitập bị chặn B ⊂ X, tồn tại T = T (B) ≥ 0 sao cho S(t)B ⊂ B0, ∀t ≥ T Tập B0 như vậy gọi là một tập hấp thụ đối với nửa nhóm S(t).

Dễ thấy một nửa nhóm tiêu hao bị chặn thì tiêu hao điểm Điều ngượclại nói chung không đúng, nhưng nó đúng đối với các nửa nhóm trongkhông gian hữu hạn chiều

Bây giờ ta định nghĩa tính compact tiệm cận

Định nghĩa 1.3.4 Giả sử X là một không gian Banach Nửa nhóm S(t)gọi là compact tiệm cận nếu với mọi t > 0, S(t) có thể biểu diễn dưới dạng

là compact trong X, ở đây [γ] là bao đóng của tập γ

Một hệ động lực gọi là compact nếu nó là compact tiệm cận và ta cóthể lấy S(1)(t) ≡ 0 trong biểu diễn (1.1) Rõ ràng rằng bất kì hệ động lựctiêu hao hữu hạn chiều nào cũng là compact

Dễ dàng thấy rằng điều kiện (1.2) được thỏa mãn nếu tồn tại một tậpcompact K trong X sao cho với bất kì tập bị chặn B ⊂ X, tồn tại t0(B)sao cho S(2)(t)B ⊂ K, ∀t ≥ t0(B) Nói riêng, một hệ tiêu hao là compact

nếu nó có một tập hấp thụ compact.

Bổ đề sau đây rất hữu ích khi chứng minh tính compact tiệm cận

Bổ đề 1.3.5 Nửa nhóm S(t) là compact tiệm cận nếu tồn tại một tậpcompact K sao cho

lim

t→+∞dist(S(t)B, K) = 0,với mọi tập B bị chặn trong X

Chứng minh Vì K là tập compact nên với mọi t > 0 và u ∈ X, tồn tạiphần tử v := S(2)(t)u ∈ K sao cho

dist(S(t)u, K) = ||S(t)u − S(2)(t)u||

Do đó nếu đặt S(1)(t)u = S(t)u − S(2)(t)u, dễ thấy sự phân tích (1.1) thỏamãn tất cả các yêu cầu trong định nghĩa của tính compact tiệm cận.Chú ý [85] Nếu X là một không gian Banach lồi đều và nửa nhóm S(t)

có một tập hấp thụ bị chặn B, thì ba điều kiện sau là tương đương:

i) Nửa nhóm S(t) là compact tiệm cận;

ii) Nửa nhóm S(t) thuộc lớp AK, tức là với mọi dãy bị chặn {xk} trong

X và mọi dãy tk → ∞, {S(tk)xk}∞k=1 là compact tương đối trong X;iii) Tồn tại một tập compact K ⊂ X sao cho

dist(S(t)B, K) → 0 khi t → ∞

1.3.2 Tập hút toàn cục

Tập hút toàn cục là đối tượng trung tâm của lí thuyết các hệ động lực tiêuhao vô hạn chiều

Định nghĩa 1.3.6 Một tập con khác rỗng A của X gọi là một tập húttoàn cục đối với nửa nhóm S(t) nếu:

1 A là một tập đóng và bị chặn;

2 A là bất biến, tức là S(t)A = A với mọi t > 0;

3 A hút mọi tập con bị chặn B của X, tức là

Mệnh đề 1.3.7 Giả sử S(t) có tập hút toàn cục A Khi đó:

1 Nếu B là một tập con bị chặn bất biến của X thì B ⊂ A (tính cựcđại);

2 Nếu B là một tập con đóng hút các tập bị chặn của X thì A ⊂ B(tính cực tiểu);

3 A là duy nhất

Kết quả sau đây nói về cấu trúc của tập hút toàn cục

Định lí 1.3.8 [82] Giả sử nửa nhóm S(t) có tập hút toàn cục A Khi đómọi quĩ đạo đầy đủ bị chặn (nói riêng là các điểm dừng và các quĩ đạotuần hoàn, nếu có) đều nằm trên A Hơn nữa, nếu S(t) là đơn ánh trên Athì A là hợp của tất cả các quĩ đạo đầy đủ bị chặn

Các kết quả dưới đây chỉ ra rằng các hệ động lực "trên tập hút toàncục" sẽ quyết định các dáng điệu tiệm cận có thể có của các quĩ đạo riêng

lẻ, nghĩa là sau một khoảng thời gian đủ lớn, bất kì một quĩ đạo nào củaphương trình gốc trông sẽ giống như một quĩ đạo nào đó trên tập hút trongmột khoảng thời gian đủ dài

Định lí 1.3.9 [82] Giả sử hệ động lực (X, S(t)) có tập hút toàn cục A.Cho trước một quĩ đạo u(t) = S(t)u0, một sai số  > 0 và một khoảng thờigian T > 0 Khi đó tồn tại một thời điểm τ = τ (, T ) và một điểm v0 ∈ Asao cho

ku(τ + t) − S(t)v0k ≤  với mọi 0 ≤ t ≤ T

Để xấp xỉ quĩ đạo đã chọn u(t) trong một khoảng thời gian dài hơn, taphải dùng nhiều quĩ đạo trên tập hút toàn cục A Mệnh đề sau đây là hệquả trực tiếp của Định lí 1.3.9

Hệ quả 1.3.10 [82] Cho trước một quĩ đạo u(t), tồn tại một dãy các sai

số {n}∞n=1 với

n → 0,một dãy tăng các thời điểm {tn}∞n=1 với

tn+1 − tn → ∞ khi n → ∞,

và một dãy các điểm {vn}∞n=1 với vn ∈ A sao cho

ku(t) − S(t − tn)vnk ≤ n với mọi tn ≤ t ≤ tn+1.Hơn nữa, bước nhảy kvn+1 − S(tn+1 − tn)vnk dần tới 0 khi n → ∞

1.3.3 Sự tồn tại tập hút toàn cục

Kết quả sau đây là định lí cơ bản về sự tồn tại tập hút toàn cục

Định lí 1.3.11 [85, Chương 1] Giả sử S(t) là nửa nhóm liên tục trênkhông gian Banach X Giả sử S(t) là tiêu hao và compact tiệm cận Nếu

B là một tập hấp thụ bị chặn của S(t) thì A = ω(B) là một tập compactkhác rỗng và là tập hút toàn cục đối với S(t) Hơn nữa, tập hút toàn cục

A là liên thông trong X

Hệ quả sau đây thường được dùng để chứng minh sự tồn tại tập húttoàn cục đối với phương trình parabolic trong miền bị chặn ở chương sau

Hệ quả 1.3.12 [82] Nếu nửa nhóm S(t) là tiêu hao và B là một tập hấpthụ compact thì S(t) có một tập hút toàn cục compact liên thông A = ω(B).Bây giờ ta nhắc lại một vài khái niệm và kết quả trong [96] sẽ được sửdụng trong các chương sau để chứng minh tính trơn của tập hút toàn cụcbằng phương pháp đánh giá tiên nghiệm tiệm cận

Mệnh đề 1.3.13 [96] Giả sử {S(t)}t≥0 là một nửa nhóm trên Lr(Ω) vàgiả sử rằng {S(t)}t≥0 có một tập hấp thụ bị chặn trong Lr(Ω) Khi đó vớibất kì  > 0 và bất kì tập con bị chặn B ⊂ Lr(Ω), tồn tại hai hằng số dương

T = T (B) và M = M () sao cho

mes(Ω(|S(t)u0| ≥ M )) ≤ ,với mọi u0 ∈ B và t ≥ T , trong đó mes(e) kí hiệu độ đo Lebesgue của

e ⊂ Ω và Ω(|S(t)u0| ≥ M )) := {x ∈ Ω | |(S(t)u0)(x)| ≥ M }

Định nghĩa 1.3.14 [96] Giả sử X là một không gian Banach Nửa nhóm{S(t)}t≥0 trên X được gọi là liên tục mạnh - yếu trên X nếu với bất kì{xn}∞n=1 ⊂ X, xn → x, và tn ≥ 0, tn → t, ta có S(tn)xn * S(t)x trong X.Kết quả sau thường dùng để chứng minh một nửa nhóm là liên tụcmạnh - yếu

Bổ đề 1.3.15 [96] Giả sử X, Y là hai không gian Banach và X∗, Y∗ làcác không gian đối ngẫu tương ứng Ta cũng giả sử rằng X là một khônggian con trù mật của Y , phép chiếu i : X → Y là liên tục và liên hợp của

nó i∗ : Y∗ → X∗ là phép chiếu trù mật Giả sử {S(t)}t≥0 là một nửa nhómtrên X và Y tương ứng, và giả thiết thêm S(t) là liên tục hoặc liên tục yếutrên Y Khi đó {S(t)}t≥0 là liên tục mạnh - yếu trên X nếu và chỉ nếu{S(t)}t≥0 biến các tập con compact của X × R+ thành các tập con bị chặncủa X

Định nghĩa 1.3.16 [96] Nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là thỏa mãn Điềukiện (C) trong X nếu và chỉ nếu với bất kì tập bị chặn B của X và bất kì

 > 0, tồn tại một hằng số dương tB và một không gian con hữu hạn chiều

X1 của X, sao cho tập {P S(t)x|x ∈ B, t ≥ tB} bị chặn và

|(I − P )S(t)x| ≤  với bất kì t ≥ tB và x ∈ B,trong đó P : X → X1 là phép chiếu chính tắc

Các định lí sau thường dùng để chứng minh tính trơn của tập hút toàncục, tức là chứng minh sự tồn tại của tập hút toàn cục trong các khônggian "trơn hơn" không gian chứa điều kiện ban đầu

Định lí 1.3.17 [96] Giả sử {S(t)}t≥0 là một nửa nhóm liên tục mạnh yếu trên Lq(Ω), liên tục hoặc liên tục yếu trên Lr(Ω) với r ≤ q, và có mộttập hút toàn cục trong Lr(Ω) Khi đó {S(t)}t≥0 có tập hút toàn cục trong

-Lq(Ω) nếu và chỉ nếu

(i) {S(t)}t≥0 có một tập hấp thụ bị chặn trong Lq(Ω);

(ii) với bất kì  > 0 và bất kì một tập con bị chặn B của Lq(Ω), tồn tại

các hằng số dương M = M (, B) và T = T (, B) sao cho

Z

Ω(|S(t)u0|≥M )

|S(t)u0|q < , (1.3)với bất kì u0 ∈ B và t ≥ T

Định lí 1.3.18 [96] Giả sử X là không gian Banach và {S(t)}t≥0 là mộtnửa nhóm liên tục mạnh - yếu trên X Khi đó {S(t)}t≥0 có một tập húttoàn cục trong X nếu các điều kiện sau thỏa mãn:

(i) {S(t)}t≥0 có một tập hấp thụ bị chặn trong X,

(ii) {S(t)}t≥0 thỏa mãn Điều kiện (C) trong X

1.3.4 Số chiều fractal của tập hút toàn cục

Định nghĩa 1.3.19 Cho M là một tập compact trong không gian metric

X Khi đó số chiều fractal của nó được định nghĩa như sau

dimfM = lim→0ln n(M, )

ln(1/) ,trong đó n(M, ) là số tối thiểu các hình cầu đóng có bán kính  cần thiếtdùng để phủ tập M

Kết quả sau đây được dùng để đánh giá số chiều fractal của tập húttoàn cục

Định lí 1.3.20 [82] Giả sử rằng M là một tập compact trong không gianHilbert H Giả sử V là ánh xạ liên tục trong H sao cho M ⊂ V (M ) Giả

sử rằng tồn tại một phép chiếu hữu hạn chiều P trong không gian H saocho

kP (V u1 − V u2)kH ≤ lku1 − u2kH, u1, u2 ∈ M, (1.4)

k(I − P )(V u1 − V u2)kH ≤ δku1 − u2kH, u1, u2 ∈ M, (1.5)trong đó δ < 1 Ta cũng giả sử rằng l ≥ 1 − δ Khi đó tập compact M có

số chiều fractal hữu hạn, cụ thể,

1.4.1 Tập hút đều của quá trình đơn trị

Định nghĩa 1.4.1 Giả sử E là một không gian Banach phản xạ

1 Một hàm ϕ ∈ L2loc(R; E) được gọi là bị chặn tịnh tiến nếu

kϕk2Eds < ∞

2 Một hàm ϕ ∈ L2loc(R; E) được gọi là compact tịnh tiến nếu bao đóngcủa {ϕ(· + h)|h ∈ R} là compact trong L2loc(R; E)

3 Một hàm ϕ ∈ L2loc(R; E) được gọi là chuẩn tắc tịnh tiến nếu với bất kì

ε > 0, tồn tại η > 0 sao cho

sup

t∈R

Z t+η t

kϕk2Eds < ε

Kí hiệu L2b(R; E), L2c(R; E) và L2n(R; E) tương ứng là tập tất cả các hàm

bị chặn tịnh tiến, compact tịnh tiến và chuẩn tắc tịnh tiến trong L2loc(R; E)

Ta có (xem [61]):

L2c(R; E) ⊂ L2n(R; E) ⊂ L2b(R; E)

Gọi Hw(g) là bao đóng của tập {g(· + h)|h ∈ R} trong L2b(R; L2(Ω)) vớitôpô yếu Kết quả sau được chứng minh trong [37]

Uσ(t, s)Uσ(s, τ ) = Uσ(t, τ ), ∀t ≥ s ≥ τ, τ ∈ R,

Uσ(τ, τ ) = Id, là ánh xạ đồng nhất với τ ∈ Rtrong đó Σ được gọi là không gian biểu trưng, σ ∈ Σ được gọi là biểutrưng Kí hiệu B(X) là tập tất cả các tập con bị chặn của X

Định nghĩa 1.4.3 Một tập B0 ∈ B(Y ) được gọi là tập (X, Y ) - hấp thụđều của họ các quá trình Uσ(t, τ )σ∈Σ nếu với mọi τ ∈ R và mọi B ∈ B(X),tồn tại t0 = t0(τ, B) ≥ τ sao cho ∪σ∈ΣUσ(t, τ )B ⊂ B0 với mọi t ≥ t0 Mộttập P ⊂ Y được gọi là có tính chất (X, Y ) - hút đều nếu với mọi τ ∈ Rcho trước và B ∈ B(X), limt→+∞supσ∈ΣdistY(Uσ(t, τ )B, P ) = 0

Định nghĩa 1.4.4 Một tập đóng AΣ ⊂ Y được gọi là tập (X, Y ) - hútđều đối với họ các quá trình {Uσ(t, τ )}σ ∈ Σ nếu nó có tính chất (X, Y ) -hút đều và với bất kì tập đóng M có tính chất (X, Y ) - hút đều của họ cácquá trình {Uσ(t, τ )}σ ∈ Σ thì AΣ ⊂ M

Định lí 1.4.5 [19] Giả sử {Uσ(t, τ )}σ∈Σ là họ các quá trình trên X thỏamãn:

(1) Uσ(t + h, τ + h) = UT (h)σ(t, τ ), trong đó {T (h)|h ≥ 0} là một họ cáctoán tử trên Σ và thỏa mãn T (h)Σ = Σ với mọi h ∈ R+;

(2) Σ là tập compact yếu và {Uσ(t, τ )}σ∈Σ là (X × Σ, Y )- liên tục yếu,nghĩa là, với mọi t ≥ τ cho trước, τ ∈ R, ánh xạ (u, τ ) 7→ Uσ(t, τ )u làliên tục yếu từ X × Σ vào Y ;

(3) {Uσ(t, τ )}σ∈Σ là (X, Y ) - compact tiệm cận đều, nghĩa là, nó có mộttập có tính chất (X, Y ) - hút đều và compact

Khi đó họ {Uσ(t, τ )}σ∈Σ có một tập (X, Y ) - hút đều AΣ compact trong Y

và hút mọi tập bị chặn trong X theo tôpô trong Y Hơn nữa

AΣ = ωτ,Σ(B0) = ∩t≥τ∪σ∈Σ∪s≥tUσ(s, τ )B0,trong đó B0 là tập (X, Y ) - hấp thụ bị chặn của {Uσ(t, τ )}σ∈Σ

1.4.2 Tập hút đều của nửa quá trình đa trị

Trong phần này ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả trong [67] sẽ được

sử dụng trong Chương 4

Kí hiệu Rd = {(t, τ ) : τ ≤ t} Giả sử X là không gian metric đầy, P(X)

là tập tất cả các tập con không rỗng của không gian X, và gọi Σ là khônggian metric compact

Định nghĩa 1.4.6 Ánh xạ U : Rd× X → P(X) được gọi là nửa quá trình

đa trị (MSP) nếu

1 U (τ, τ, ) = Id (ánh xạ đồng nhất);

2 U (t, τ, x) ⊂ U (t, s, U (s, τ, x)), với mọi x ∈ X, t, s, τ ∈ R, τ ≤ s ≤ t,trong đó U (t, s, U (s, τ, x)) = ∪y∈U (s,τ,x)U (t, s, y)

Nó được gọi là nửa quá trình đa trị ngặt nếu U (t, τ, x) = U (t, s, U (s, τ, x))

Ta xét họ các nửa quá trình đa trị {Uσ}σ∈Σ và định nghĩa ánh xạ UΣ :

Rd × X → P(X) bởi UΣ(t, τ, x) = ∪σ∈ΣUσ(t, τ, x), cũng là một nửa quátrình đa trị Với B ⊂ X, kí hiệu

γT,στ (B) = ∪t≥TUσ(t, τ, B)

Định nghĩa 1.4.7 Họ nửa quá trình đa trị {Uσ}σ∈Σ được gọi là nửacompact trên tiệm cận đều nếu với bất kì B ∈ B(X) và τ ∈ R sao cho vớimọi T = T (B) > τ, γT,Στ (B) = ∪σ∈ΣγT,στ (B) ∈ B(X), bất kì dãy {ξn}, ξn ∈

Uσn(tn, τ, B), σn ∈ Σ, tn → +∞, là tiền compact trong X

Định nghĩa 1.4.8 Họ nửa quá trình đa trị {Uσ}σ∈Σ được gọi là tiêu haođiểm nếu tồn tại B0 ∈ B(X) sao cho với mọi x ∈ X,

dist(UΣ(t, 0, x), B0) → 0 khi t → ∞

Định nghĩa 1.4.9 Gọi X và Y là hai không gian metric Ánh xạ đa trị

F : X → Y được gọi là w- nửa liên tục trên (w-u.s.c.) tại x0 nếu với bất

kì  > 0 tồn tại δ > 0 sao cho

F (x) ⊂ O(F (x0)), ∀x ∈ Oδ(x0)

Ánh xạ F là w-u.s.c nếu nó là w-u.s.c tại bất kì x ∈ D(F ) = {y ∈ X :

F (x) 6= ∅}

Định nghĩa 1.4.10 Một tập A được gọi là tập hút toàn cục đều đối với

họ các nửa quá trình đa trị {Uσ}σ∈Σ nếu:

1 A là nửa bất biến âm, tức là, A ⊂ UΣ(t, 0, A);

2 A có tính chất hút đều, tức là, dist(UΣ(t, τ, B), A) → 0, khi t → ∞,với mọi B ∈ B(X) và τ ∈ R;

3 Với bất kì tập đóng có tính chất hút đều Y , ta có A ⊂ Y (tính tốithiểu)

Kết quả sau suy từ [67, Định lí 2] và [57, Định lí 3.12] dùng để chứngminh sự tồn tại tập hút đều

Định lí 1.4.11 Giả sử F (R, Z) là không gian các hàm với giá trị trong

Z, trong đó Z là một không gian tôpô, và Σ ⊂ F (R, Z) là một không gianmetric compact Giả sử rằng họ các nửa quá trình đa trị {Uσ}σ∈Σ thỏa mãncác điều kiện sau:

1 Có một toán tử dịch chuyển liên tục T (s)σ(t) = σ(t + s), s ∈ R trên

Σ sao cho T (h)Σ ⊂ Σ, và với bất kì (t, τ ) ∈ Rd, σ ∈ Σ, s ∈ R, x ∈ X,

ta có

Uσ(t + s, τ + s, x) = UT (s)σ(t, τ, x);

2 {Uσ}σ∈Σ là nửa compact trên tiệm cận đều;

3 {Uσ}σ∈Σ là tiêu hao điểm;

4 Ánh xạ (x, σ) 7→ Uσ(t, 0, x) có giá trị đóng và là w- nửa liên tục.Khi đó họ các nửa quá trình đa trị {Uσ}σ∈Σ có tập hút toàn cục đềucompact A Hơn nữa, nếu Σ là một không gian liên thông, ánh xạ (x, σ) 7→

Uσ(t, 0, x) là nửa liên tục trên với giá trị liên thông, và tập hút toàn cụcđều A được chứa trong một tập con bị chặn liên thông của X, thì A là tậpliên thông.

Trong luận án, ta thường xuyên sử dụng các bất đẳng thức Gronwallsau đây:

Bổ đề 1.5.3 [82, Chương 2, tr 54-55] (Bất đẳng thức Gronwall)

Giả sử x(t) là một hàm liên tục tuyệt đối trên [0; T ] và thỏa mãn

dx

dt ≤ g(t)x + h(t), với hầu khắp t,trong đó g(t) và h(t) là các hàm khả tích trên [0; T ] Khi đó

x(t) ≤ x(0)eG(t)+

Z t 0

eG(t)−G(s)h(s)ds,

với 0 ≤ t ≤ T , ở đó

G(t) =

Z t 0

g(r)dr

Nói riêng, nếu a và b là các hằng số và

dx

dt ≤ ax + b,thì

Bổ đề 1.6.2 [60] Giả sử O là tập mở bị chặn trong Rn và gj là dãy trong

Lp(O) thỏa mãn:

kgjkLp (O) ≤ C, ∀j

Nếu g ∈ Lp(O) và gj → g h.k.n trong O thì gj * g trong Lp(O)

Chương 2TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNGTRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH TRÊN

(2.1)

trong đó u0 ∈ L2(Ω) cho trước, số hạng phi tuyến f và ngoại lực g thỏamãn các điều kiện sau:

(F) f : R → R là hàm thuộc lớp C1 thỏa mãn:

C1|u|p− C0 ≤ f (u)u ≤ C2|u|p+ C0, (2.2)

f0(u) ≥ −C3, với mọi u ∈ R, (2.3)với p ≥ 2 nào đó, ở đó C0, C1, C2 và C3 là các hằng số dương Ví dụ chohàm f thỏa mãn (2.2)-(2.3) có thể lấy là f (u) = |u|p−2u hoặc f (u) là những

đa thức bậc lẻ 2m − 1 với hệ số cao nhất dương (khi đó p = 2m)

(G) g ∈ L2(Ω)

Bài toán (2.1) xuất phát từ quá trình khuếch tán nơtron (điều khiểnphản lực của phản ứng hạt nhân) (xem [42]) Trong trường hợp này u và

σ tương ứng chỉ sự chảy nơtron và sự khuếch tán nơtron

Tính suy biến của bài toán (2.1) là do hệ số khuếch tán σ là hàm không

âm, đo được và có thể bằng không tại hữu hạn điểm Cụ thể ta giả sử hàm

σ : Ω → R thỏa mãn điều kiện sau (xem [31]):

(Hα) σ ∈ L1loc(Ω) và với α ∈ (0, 2), lim infx→z |x − z|−ασ(x) > 0 với

mọi z ∈ Ω

Về ý nghĩa vật lí của điều kiện (Hα), có thể tham khảo ở [31, 42, 55,

56, 12] Chú ý rằng trong nhiều quá trình khuếch tán khác nhau ta có thểxem σ(x) ∼ |x|α, α ∈ (0, 2)

2.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu

Chọn t0 sao cho

kun(t0) − um(t0)k2L2 (Ω) = 1

T

Z T 0

Ω

Z T 0

|un(t) − um(t)|2dtdx+ 2

|un(t) − um(t)|2dxdt + 2ku0n− u0mkV∗kun− umkV

Do đó, {un} là dãy Cauchy trong C([0, T ]; L2(Ω)) Vì vậy {un} hội tụ trongC([0, T ]; L2(Ω)) tới một hàm v ∈ C([0, T ]; L2(Ω)) Mặt khác, từ un → utrong V , un(t) → u(t) trong L2(Ω) hầu khắp t ∈ [0, T ] Do đó, ta thu được

u = v hầu khắp nơi Điều đó chứng tỏ u ∈ C([0, T ]; L2(Ω)) (nếu cần có thể

Định lí 2.2.3 Nếu các điều kiện (Hα) - (F) - (G) được thỏa mãn thì bàitoán (2.1) có duy nhất một nghiệm yếu u(t) thỏa mãn

u ∈ C([0, ∞); L2(Ω)) ∩ L2loc(0, ∞; D10(Ω, σ)) ∩ Lploc(0, ∞; Lp(Ω))

và

du

dt ∈ L2loc(0, ∞; D−1(Ω, σ)) + Lploc0 (0, ∞; Lp0(Ω)),trong đó p0 là số mũ liên hợp của p Hơn nữa, ánh xạ u0 7→ u(t) là liên tụctrên L2(Ω), tức là nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu

Chứng minh (i) Sự tồn tại Ta xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ un(t) trongkhông gian hữu hạn chiều xác định bởi n vectơ riêng đầu tiên của toán tử