Một tiếp cận xây dựng miền giá trị chân lý ngôn ngữ trong các hệ logic.

Một tiếp cận xây dựng miền giá trị chân lý ngôn ngữ trong các hệ logic.

L ỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kết quả được công bố với các tác giả khác đều được sự đồng ý của đồng tác giả trước khi đưa vào luận án Các kết quả trong luận án là trung thực và chưa từng được công

bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả

Lê Anh Phương

L ỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành tại Viện Công nghệ thông tin và Truyền thông, trường Đại học Bách khoa Hà Nội Để hoàn thành luận án này, tác giả đã nhận được sự chỉ bảo tận tình, sự động viên khích lệ, cùng những yêu cầu nghiêm khắc của PGS TS Trần Đình Khang, người đã truyền đạt rất nhiều kiến thức quí báu cũng như những kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong suốt thời gian tác giả theo học nghiên cứu sinh Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy

Xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo - PGS TSKH Nguyễn Cát Hồ, người đã dành nhiều thời gian động viên, trao đổi và chỉ bảo nhiều kiến thức trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu của tác giả và cũng là tấm gương cho tác giả noi theo trong học tập và nghiên cứu khoa học

Tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn về sự chia sẽ kiến thức khoa học hữu ích của TS Trần Đức Khánh, TS Lê Văn Hưng và ThS Đinh Khắc Dũng đã giúp ích rất nhiều cho tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu luận án

Tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn đến Ban lãnh đạo Viện Công nghệ thông tin và Truyền thông, Viện Đào tạo Sau đại học và Bộ môn Hệ thống thông tin thuộc trường Đại học Bách khoa Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án

Xin cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Tin học và các Phòng ban chức năng thuộc trường Đại học Sư phạm Huế đã quan tâm giúp đỡ để tác giả có thể thực hiện kế hoạch nghiên cứu đúng tiến độ

Qua đây, cho phép tác giả gửi lời cảm ơn đến Quỹ Phát triển Khoa học và Công nghệ Quốc gia đã tài trợ một phần cho nghiên cứu này

Cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo và các anh chị em ở Bộ môn Hệ thống thông tin - Viện Công nghệ thông tin và Truyền thông, trường Đại học Bách khoa Hà Nội, các đồng nghiệp thuộc khoa Tin học - Trường Đại học Sư phạm Huế đã động viên, trao đổi kinh nghiệm và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả có thể hoàn thành luận án

Luận án này, như một món quà tinh thần, xin đáp lại những niềm quan tâm, mong mỏi của mọi thành viên trong gia đình, đó là một trong những động cơ để tác giả nỗ lực học tập, nghiên cứu

Cuối cùng, tác giả xin biểu thị sự biết ơn tới những người thân và bạn bè đã

ưu ái, giúp đỡ, động viên, khích lệ để tác giả hoàn thành luận án này

DANH M ỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

Tên các gia tử thường gặp

FMP Fuzzy modus ponens

FMT Fuzzy modus tollens

GFMP Generalized fuzzy modus ponens

GFMT Generalized fuzzy modus tollens

LĐSD Lược đồ suy diễn

DANH M ỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Các phép kéo theo mờ

Bảng 1.2 Các giá trị ngôn ngữ của biến HEALTH và AGE

B ảng 2.1 Ánh xạ ngược của các gia tử 𝑉−, 𝑀−, 𝑃−

B ảng 2.2 Ánh xạ ngược của các gia tử 𝑉−, 𝑀−, 𝑃−

B ảng 2.3 Ánh xạ ngược của 2 − 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴

M ỤC LỤC

L ỜI CAM ĐOAN 1

L ỜI CẢM ƠN 2

DANH M ỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT 4

DANH M ỤC CÁC BẢNG 5

M Ở ĐẦU 8

CH ƯƠNG 1: T ỔNG QUAN VỀ LẬP LUẬN XẤP XỈ TRÊN MIỀN GIÁ TRỊ

CHÂN LÝ TRONG CÁC H Ệ LOGIC 16

1.1 Lập luận xấp xỉ trên miền giá trị chân lý trong logic mờ 16

1.1.1 Tập mờ 16

1.1.2 Các phép toán trên tập mờ 17

1.1.3 T-norm, T-conorm và Negation 17

1.1.4 Phép kéo theo mờ 18

1.1.5 Biến ngôn ngữ 19

1.1.6 Sơ lược về logic mờ 22

1.1.7 Lập luận xấp xỉ với miền giá trị chân lý trong logic mờ 24

1.2 L ập luận xấp xỉ trên miền giá trị chân lý trong logic mệnh đề ngôn ng ữ dựa trên đại số gia tử 28

1.2.1 Đại số gia tử 28

1.2.2 Đại số gia tử đơn điệu 32

1.2.3 Ánh xạ ngược của gia tử 34

1.2.4 Phương pháp lập luận ngôn ngữ dựa trên đại số gia tử 37

1.3 K ết luận chương 1 43

CH ƯƠNG 2: L ẬP LUẬN NGÔN NGỮ DỰA TRÊN LOGIC ĐA TRỊ NGÔN NG Ữ 44

2.1 Giới thiệu 44

2.2 Miền giá trị chân lý ngôn ngữ 46

2.2.1 Miền giá trị chân lý ngôn ngữ dựa trên đại số gia tử đơn điệu hữu hạn 46

2.2.2 Xây dựng ánh xạ ngược của gia tử 50

2.3 Logic đa trị ngôn ngữ (Linguistic many-valued logic) 64

2.3.1 Đại số Lukasiewicz giá trị ngôn ngữ (Lukasiewicz linguistic – valued algebra) 64

2.3.2 Logic đa trị ngôn ngữ (Linguistic many-valued logic) 65

2.3.3 Lập luận ngôn ngữ dựa trên logic đa trị ngôn ngữ 70

2.4 Kết luận chương 2 80

CH ƯƠNG 3: M Ở RỘNG CÁC QUY TẮC SUY DIỄN TRONG LOGIC ĐA TR Ị NGÔN NGỮ 81

3.1 Giới thiệu 81

3.2 Quy tắc suy diễn modus ponens và modus tollens trong logic đa trị ngôn ng ữ 84

3.2.1 T-norm, T-conorm, Implication và Negation trong logic đa trị ngôn ngữ 84

3.2.2 Quy tắc suy diễn modus ponens trong logic đa trị ngôn ngữ 85

3.2.3 Quy tắc suy diễn modus tollens trong logic đa trị ngôn ngữ 86

3.3 Mở rộng quy các quy tắc suy diễn trong logic đa trị ngôn ngữ 88

3.3.1 Mở rộng quy tắc suy diễn fuzzy modus ponens 89

3.3.2 Mở rộng quy tắc suy diễn fuzzy modus tollens 92

3.3.3 Mở rộng quy tắc suy diễn fuzzy syllogism 95

3.3.4 Mở rộng luật “If…Then…Else…” 100

3.4 Kết luận chương 3 103

K ẾT LUẬN CHUNG 105

HƯỚNG NGHIÊN CỨU VÀ PHÁT TRIỂN CỦA LUẬN ÁN 106

DANH M ỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ C ỦA LUẬN ÁN 107

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 108

M Ở ĐẦU

Chúng ta biết rằng con người sử dụng ngôn ngữ tự nhiên để mô tả các hiện tượng, cảm xúc hay tri thức Tuy nhiên, bất kỳ ngôn ngữ nào cũng đều chứa đựng các khái niệm mờ hay các từ mờ, hay nói cách khác là các từ mà ngữ nghĩa

của chúng dù thể hiện không chính xác, mơ hồ mà vẫn được hiểu tốt bởi con người Vấn đề đặt ra là làm sao mô hình hóa quá trình biểu diễn và xử lý tri thức

để xây dựng các hệ thống “thông minh” cho máy tính điện tử có một số cơ chế

hoạt động giống người, chẳng hạn như các hệ chuyên gia, hệ trợ giúp ra quyết định, hệ điều khiển thông minh…

Tuy nhiên, việc mô hình hóa quá trình tư duy lập luận của con người là

một quá trình phức tạp do đặc trưng giàu thông tin của ngôn ngữ tự nhiên,

bởi vì ngôn ngữ tự nhiên gần như duy nhất gói các chất liệu giàu thông tin vào một ít các từ

Mô hình toán học đầu tiên của các khái niệm mờ đã được L A Zadeh đề

xuất vào năm 1965 dựa trên khái niệm tập mờ [6] Với mục tiêu là đưa ra cách

tiếp cận tính toán đến các phương pháp suy luận của con người, L A Zadeh đã

đề xuất và phát triển một lý thuyết để mô hình hóa quá trình lập luận của con người đó là phương pháp lập luận xấp xỉ [6, 7] Trong lý thuyết lập luận xấp xỉ, khái niệm của biến ngôn ngữ (linguistic variable) và logic mờ (fuzzy logic) đóng

một vai trò quan trọng cốt yếu

Theo L A Zadeh, biến ngôn ngữ là các biến mà giá trị của chúng là các giá

trị ngôn ngữ Các giá trị của biến ngôn ngữ được xây dựng từ các phần tử sinh nguyên thủy của biến đó (ví dụ như các phần tử sinh nguyên thủy young và old

của biến Age) bởi tác động của các gia tử như very, more or less… và các liên từ,

ví dụ như AND, OR,…[7]

Một vấn đề khác của mô hình hóa cơ chế suy luận của người, đó là quá trình lập luận xấp xỉ tìm các kết luận không chắc chắn bằng phương pháp suy

diễn theo nghĩa xấp xỉ từ một họ các tiên đề không chắc chắn bằng các quy tắc suy diễn gần đúng Như vậy, quá trình lập luận xấp xỉ phần nhiều mang đặc trưng định tính hơn là định lượng Do đó lập luận xấp xỉ nằm ngoài khả năng của logic kinh điển Theo L A Zadeh, logic mờ làm cơ sở cho phương pháp lập luận xấp xỉ là logic giá trị ngôn ngữ, tức là giá trị chân lý của các mệnh đề là giá trị chân lý của biến ngôn ngữ Truth [8]

Tuy nhiên, do các khái niệm mờ được biểu diễn bởi các tập mờ với đặc trưng là hàm thuộc trên đoạn [0,1] và phương pháp lập luận xấp xỉ ở đây sử dụng quy tắc suy diễn hợp thành (CRI-compositional rule of inference) với các luật

If…Then… d ựa trên quy tắc suy diễn fuzzy modus ponen (FMP) cho nên vấn đề

tính toán là tích hợp các quan hệ mờ với các giá trị là hàm thuộc của các khái

niệm mờ:

Ant 1 If x is A Then y is B

Ant 2 x is A’

Cons y is B’

Một mở rộng của phương pháp lập luận xấp xỉ đã được Baldwin [12, 13]

giới thiệu đó là phương pháp lập luận mờ sử dụng logic mờ với giá trị chân lý

mờ, hay một mệnh đề mờ “x is F” với một giá rị chân lý mờ τ:

(x is F) is τ ⇔ x is G

Với các tập mờ F và G là trên cùng một không gian U, khi đó tập mờ G

được xác định như sau:

𝜇𝐺(𝑢) = 𝜇𝜏(𝜇𝐹(𝑢)) Khi đó quy tắc suy diễn FMP được mở rộng thành quy tắc suy diễn GFMP

(Generalized fuzzy modus ponens) có lược đồ suy diễn như sau:

Ant 1 (If x is A Then y is B) is 𝜏1Ant 2 (x is A’) is 𝜏2

Từ khi ra đời (L A Zadeh đề xuất năm 1965) vấn đề tính toán, suy diễn

mờ đóng vai trò quan trọng trong các ứng dụng mờ, đem lại hiệu quả lớn trong

thực tế mô phỏng được một phần suy nghĩ của con người Chính vì vậy mà các phương pháp mờ được nghiên cứu và phát triển rất mạnh mẽ Tuy nhiên logic

mờ được mở rộng từ logic đa trị nên đã có rất nhiều cách định nghĩa các quan hệ

mờ của toán tử kéo theo mờ, nhiều cách hợp thành các quan hệ mờ, nhiều cách định nghĩa các phép toán T-norm, T-conorm cũng như các phương pháp mờ hóa,

khử mờ khác nhau và việc mở rộng các quy tắc suy diễn trong logic mờ như

fuzzy modus ponens, fuzzy modus tollens, fuzzy syllogism cho phù hợp với các ứng dụng cũng cần được quan tâm xem xét, nghiên cứu Vì vậy việc nghiên

cứu lý thuyết mờ đã được quan tâm bởi nhiều nhà nghiên cứu như Mizumoto, M và các cộng sự [17-28], Enric Trillas và các cộng sự [42-48],

D Ruan, E.E Kerre [85-91], Bernadette Bouchon-Meunier [29-35], Habiballa, H và Novak, V [76-79],… về mở rộng phép kéo theo mờ, các quy

tắc suy diễn, mô hình lập luận mờ và phương pháp lập luận mờ,… nhằm xây

dựng một phương pháp lập luận mờ tốt cho các ứng dụng Tuy nhiên khi phát triển lý thuyết này người ta vẫn còn gặp phải một số khó khăn sau [3, 5]:

- Thứ nhất, cấu trúc thứ tự cảm sinh trên các khái niệm mờ không trùng với quan hệ thứ tự trên các tập mờ Ví dụ, quan hệ thứ tự false < true nhưng các hàm

thuộc của nó lại không sánh được với nhau

- Thứ hai, tập các khái niệm mờ không đóng đối với một số phép toán trên các tập mờ Vì vậy trong quá trình lập luận nhiều khi ta cần phải xấp xỉ ngôn

ngữ, tức là tìm ra một giá trị ngôn ngữ mà ý nghĩa của nó được xấp xỉ với một

tập mờ cho trước, điều này gây nên sự phức tạp và sai số cho quá trình lập luận

- Cuối cùng, logic mờ thiếu một cơ sở đại số làm nền tảng, bởi vì mỗi

một hệ suy diễn xây dựng trên một ngôn ngữ hình thức đều xác định trên

tập các lớp công thức tương đương với một cấu trúc đại số thuộc lớp đại

số trừu tượng Chẳng hạn như logic kinh điển xác định đại số Bool, logic

đa trị xác định đại số Lukasiewicz,…

Vì vậy, việc nghiên cứu tìm kiếm các phương pháp suy diễn dựa trên logic

mờ đã được các nhà nghiên cứu quan tâm nghiên cứu và phát triển cả lý thuyết

lẫn ứng dụng Một trong các phương pháp đã được chính L A Zadeh [5-10] đề

xuất và nghiên cứu đó là tính toán với các từ (Computing with words), tức là tính

toán với các giá trị ngôn ngữ thay cho tính toán trên các số Vấn đề tính toán trực

tiếp trên ngôn ngữ, không thông qua tập mờ đã phần nào khắc phục những khó khăn nêu ra ở trên

Trong [36, 37], Luigi Di Lascio và Antonio Gisolfi đã xây dựng không gian hữu hạn có thứ tự tuyến tính các giá trị chân lý ngôn ngữ, đồng thời cũng đã đưa ra phương pháp lập luận xấp xỉ mờ, tuy nhiên phương pháp nêu ra lại dựa trên các số mờ tam giác có giá trong đoạn [0,1] Hsing-Tai

Ch u ng và Dan i el G Sch wart z [3 8 , 3 9 ], J o n at h an Lawry [1 21 ], Pau l P Wan g v à Ch i h Hs u n Hs i eh [1 0 3 , 1 0 4 ] đã sử dụng tập các nhãn cho miền giá trị chân lý ngôn ngữ, nhưng vấn đề xử lý trên miền giá trị chân lý cho các ứng dụng là phức tạp do vấn đề xây dựng miền giá trị chân lý ngôn ngữ

Herman Akdag [51-58] đã xây dựng miền giá trị chân lý ngôn ngữ dựa trên

tập các ký hiệu Miền giá trị chân lý trong các nghiên cứu của Herman Akdag

dựa trên tập “Multiset” Việc tính toán trong quá trình lập luận dựa trên các phép toán được định nghĩa trên tập này Một vấn đề được đặt ra là làm thế nào để xây

dựng được tập các giá trị chân lý này?

Các nghiên cứu [59-66] của Mazen El-Sayed, Daniel Pacholczyk và [67-70]

của Saossen BelHadj Kacem, AmelBorgi và Khaled Ghedira đã mở rộng quy tắc suy diễn FMP với các gia tử Trong các nghiên cứu này, đã sử dụng hàm biến đổi gia tử dựa trên độ tương tự để chọn ra kết quả phù hợp cho quá trình lập luận

Tuy nhiên vấn đề sử dụng hàm biến đổi gia tử không những phức tạp mà còn có

độ sai số lớn khi phải lựa chọn kết quả dựa trên độ tương tự ngữ nghĩa ở kết quả trong quá trình tính toán

Một hướng tiếp cận khác để xây dựng miền giá trị chân lý ngôn ngữ đó là

dựa trên dàn được Yang Xu và các cộng sự [85-100] nghiên cứu và phát triển

Dựa trên cấu trúc đại số kéo theo, Yang Xu và các cộng sự đã nghiên cứu và xây

dựng các phương pháp lập luận trực tiếp trên các giá trị ngôn ngữ và đã có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như hệ chuyên gia, hệ hỗ trợ ra quyết định,… Tuy nhiên với cấu trúc này thì chỉ có một gia tử tác động vào phần tử sinh trong các biến ngôn ngữ, hơn nữa các phép toán trên miền giá trị chân lý ngôn ngữ này là phức tạp bởi phải xét cả trên gia tử cũng như phần tử sinh

Để khắc phục các vấn đề trên, một cấu trúc đại số của miền giá trị của các biến ngôn ngữ đã được đề xuất bởi N C Ho và W Wechler [110] Theo hướng tiếp cận này, mỗi giá trị ngôn ngôn ngữ của một biến ngôn ngữ nằm trong cấu trúc đại số

gọi là đại số gia tử (ĐSGT) Ngoài mục tiêu là đại số hóa miền giá trị của biến ngôn

ngữ, đại số gia tử tuyến tính đối xứng đủ giàu về cấu trúc tính toán để mô hình hóa các toán tử logic làm cơ sở cho logic ngôn ngữ [5] Dựa trên đại số gia tử, trong [2-

5, 111, 112] N C Ho, T Đ Khang đã nghiên cứu phương pháp lập luận ngôn ngữ, phương pháp này tương tự như phương pháp suy luận trong logic kinh điển, nhưng phương pháp này thao tác trực tiếp trên ngôn ngữ và kết quả cũng ở dạng ngôn ngữ Tuy nhiên, phương pháp này có những trường hợp không suy diễn được và vấn đề

chỉ được giải quyết bởi việc sử dụng ánh xạ ngược của gia tử [2, 113, 114] Hơn

nữa, con người thường sử dụng hữu hạn các gia tử trong thể hiện ngôn ngữ và khi xâu gia tử lớn thì giá trị của ánh xạ ngược của gia tử có thể tập trung về hai phía của

miền giá trị chân lý ngôn ngữ, vì vậy cần giới hạn độ dài gia tử tác động vào phần

tử sinh cho phù hợp với các ứng dụng Một vấn đề cần được khắc phục đó là sử

dụng ánh xạ ngược cho quy tắc suy diễn RT2 [2, 113, 114], tuy nhiên thuật toán xây dựng ánh xạ ngược của gia tử lại chưa được nghiên cứu

Trong lý thuyết tập mờ [6], một trong các tính chất quan trọng của lý thuyết

tập mờ đó là tính chất bao hàm 𝐴 ⊂ 𝐵 ⟹ 𝜇𝐴 ≤ 𝜇𝐵 Đại số gia tử là một công cụ

biểu diễn và xử lý các thông tin ngôn ngữ không đầy đủ, không chắc chắn giống như tập mờ, và trong nhiều trường hợp, khi cần biểu diễn ngữ nghĩa của các giá

trị ngôn ngữ thông qua tập mờ thì tính chất bao hàm cũng cần được xét đến Trong [1], T D Khang đã phân tích và thấy rằng tính chất bao hàm không đúng đối với lớp đại số gia tử tổng quát khi sử dụng luật chuyển gia tử và đã đề xuất, nghiên cứu lớp đại số gia tử đơn điệu cho các xử lý ở các hệ thống sử dụng luật chuyển gia tử kết hợp với xử lý thông tin mờ

Với các nhận xét trên, việc nghiên cứu một lớp đại số gia tử thu hẹp là cần thiết, phù hợp với các ứng dụng trong thực tế suy luận của con người Đó là lý

do để luận án tiếp tục nghiên cứu và phát triển phương pháp lập luận ngôn ngữ

mới dựa trên lớp đại số thu hẹp được xem xét nghiên cứu

Trong luận án này, những mục tiêu nghiên cứu được đặt ra cụ thể như sau: 1) Nghiên cứu lớp đại số gia tử đơn điệu hữu hạn cho miền giá trị chân lý ngôn ngữ, nghiên cứu các tính chất của ánh xạ ngược của gia tử và xây dựng thuật toán xác định ánh xạ ngược của gia tử trong đại số gia tử đơn điệu hữu hạn 2) Nghiên cứu logic trên miền giá trị chân lý ngôn ngữ trong đại số gia tử đơn điệu hữu hạn và phương pháp suy diễn ngôn ngữ trên logic này

3) Nghiên cứu mở rộng các quy tắc suy diễn cho bài toán lập

luận ngôn ngữ

Với mục tiêu được đặt ra trên đây, luận án đã có những đóng góp:

1) Xây dựng miền giá trị chân lý ngôn ngữ (AX) dựa trên đại số gia tử đơn điệu hữu hạn làm miền giá trị chân lý cho logic đa tri ngôn ngữ

2) Nghiên cứu các tính chất của ánh xạ ngược của gia tử trong đại số gia

tử đơn điệu hữu hạn và đề xuất thuật toán xác định ánh xạ ngược của gia tử 3) Nghiên cứu đề xuất logic đa trị ngôn ngữ với miền giá trị chân lý ngôn

ngữ (AX) dựa trên đại số Lukasiewicz giá trị ngôn ngữ và phương pháp lập luận

ngôn ngữ dựa trên các quy tắc suy diễn và phương pháp hợp giải trong logic đa

trị ngôn ngữ

4) Nghiên cứu mở rộng các quy tắc suy diễn fuzzy modus ponens, fuzzy

modus tollens, fuzzy syllogism và lu ật If… Then… Else… với các gia tử trong

logic đa trị ngôn ngữ và áp dụng cho giải bài toán lập luận ngôn ngữ

Với các đóng góp ở trên, luận án có ý nghĩa:

1) Góp phần chứng tỏ khả năng ứng dụng phong phú của ĐSGT trong

biểu diễn và xử lý thông tin mờ, không chắc chắn

2) Làm phong phú thêm các phương pháp lập luận xấp xỉ

Về bố cục của luận án, ngoài phần mở đầu và phần kết luận, nội dung chính được kết cấu thành ba chương: Chương 1 - Tổng quan về lập luận xấp xỉ trên

miền giá trị chân lý; Chương 2 – Lập luận ngôn ngữ dựa trên logic đa trị ngôn

ngữ; Chương 3 – Mở rộng các quy tắc suy diễn trong logic đa trị ngôn ngữ Cụ

thể các chương được trình bày như sau:

Chương 1: Trình bày các khái niệm cơ bản phục vụ cho việc nghiên cứu các chương tiếp theo Đầu tiên là các khái niệm về tập mờ, các toán tử T-norm

và T-conorm cho việc mở rộng các phép toán trên tập mờ, phép kéo theo mờ cho các luật If… Then…, tiếp đến là khái niệm về biến ngôn ngữ Logic mờ được

trình bày tiếp theo với miền giá trị chân lý ngôn ngữ, và quy tắc suy diễn fuzzy

modus ponens với cơ sở tri thức mờ cũng đã được xem xét, cuối cùng là phương pháp lập luận dựa trên miền giá trị chân lý đã được trao đổi và bàn luận Tuy nhiên, việc giải quyết bài toán suy luận vẫn dựa vào hàm thuộc của các tập mờ, điều này làm cho việc tính toán có sai số lớn và phức tạp ở quá trình mờ hóa và

khử mờ Trong phần đầu cũng đã chỉ ra các cách tiếp cận cũng như các vấn đề trong việc giải bài toán lập luận dựa trên miền giá trị chân lý Để khắc phục các

vấn đề đã nêu, trong phần sau của chương này tác giả đã trình bày mô hình biểu

diễn biến ngôn ngữ dựa trên ĐSGT, một số vấn đề cốt yếu như lớp đại số gia tử đơn điệu, ánh xạ ngược của gia tử, logic mờ giá trị ngôn ngữ và các quy tắc suy

diễn cũng như phương pháp lập luận trực tiếp trên ngôn ngữ đã được xem xét và bàn luận để khắc phục và phát triển trong các chương tiếp theo

Chương 2: Trình bày một tiếp cận xây dựng miền giá trị chân lý ngôn ngữ

dựa trên đại số gia tử đơn điệu hữu hạn Khi đó miền giá trị chân lý ngôn ngữ

(AX) là hữu hạn và được sắp xếp tuyến tính Với miền giá trị chân lý ngôn ngữ

(AX), một thuật toán xác định ánh xạ ngược của gia tử đã được trình bày Dựa

trên miền giá trị chân lý ngôn ngữ (AX) và ánh xạ ngược của gia tử, logic đa trị

ngôn ngữ đã được đề xuất và nghiên cứu Khi đó một phương pháp lập luận ngôn ngữ dựa trên các quy tắc suy diễn mới được xem xét và nghiên cứu và một

phương pháp hợp giải dựa trên quy tắc suy diễn modus ponens trong logic đa trị

ngôn ngữ được đề xuất và áp dụng cho bài toán lập luận trực tiếp trên ngôn ngữ, Đây là kết quả mới cho việc áp dụng giải quyết bài toán lập luận trực tiếp trên ngôn ngữ

Chương 3: Việc mở rộng các quy tắc suy diễn fuzzy modus ponens, fuzzy

modus tollens, fuzzy syllogism và lu ật If… Then… Else… với các gia tử trong

logic đa trị ngôn ngữ được nghiên cứu trong Chương 3 Ở đây, các lược đồ suy

diễn trong logic đa trị ngôn ngữ đã được giải quyết và ứng dụng hiệu quả cho

giải bài toán lập luận trực tiếp trên ngôn ngữ với các hệ cơ sở tri thức khác nhau Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong các bài báo [1], [2], [3], [4], [5], [6] và báo cáo tại các hội nghị khoa học và seminar:

- Các seminar ở Bộ môn Hệ thống thông tin, Viện công nghệ thông tin và truyền thông, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

- Hội thảo Khoa học Quốc gia lần thứ IX: “Một số vấn đề chọn lọc của Công nghệ thông tin và Truyền thông”, 12 -13 tháng 6, 2008, Huế

- Hội thảo quốc gia “Một số vấn đề chọn lọc của Công nghệ thông tin và truyền thông”, Cần Thơ, 7-8 tháng 10 năm 2011

- Hội thảo quốc tế URKE 2012 “IEEE International Conference on Uncertainty Reasoning and Knowledge Engineering”, Jakarta, Indonesia, Aug 14, 2012 - Aug 15, 2012

- Hội thảo quốc tế iFUZZY 2012 “IEEE International conference on Fuzzy Theory and Its Applications” National Chung Hsing University (NCHU), Taichung, Taiwan, November 16-18, 2012

CH ƯƠNG 1

Chương 1 của luận án trình bày một số kiến thức liên quan, dùng để nghiên cứu logic đa trị ngôn ngữ và mở rộng các quy tắc suy diễn hợp

thành (Zadeh’CRI -compositional rule of inference) cho bài toán lập luận xấp xỉ Nội dung của chương này bao gồm: Tập mờ, logic mờ và phương pháp lập luận mờ; Đại số gia tử, đại số gia tử đơn điệu và phương pháp lập luận trực tiếp trên ngôn ngữ

1.1 L ập luận xấp xỉ trên miền giá trị chân lý trong logic mờ

Phần này trình bày một số khái niệm cơ bản về tập mờ, T-norm và T-cornom, Negation, phép kéo theo mờ, logic mờ và lập luận xấp xỉ trên miền giá trị chân lý Về chi tiết có thể tham khảo thêm trong [ 6-8, 17, 18]

1.1.1 T ập mờ

Định nghĩa 1.1 Lấy X là một tập vũ trụ khác rỗng Một tập mờ A trên tập

vũ trụ X được đặc trưng bởi hàm thuộc:

1.1.2 Các phép toán trên t ập mờ

Mỗi tập mờ được biểu diễn bằng hàm thuộc, nên việc tính toán trên tập mờ được thực hiện trên các hàm thuộc Các phép toán tập hợp, bao gồm phép hợp, phép giao và phép lấy phần bù giữ một vị trí rất quan trọng khi nghiên cứu về

lý thuyết tập mờ

Lấy A và B là các tập con mờ của tập vũ trụ X, chúng ta có các phép toán

trên các tập mờ A và B được xác định như sau với ∀𝑡 ∈ 𝑋:

Phép giao: (𝐴 ∩ 𝐵)(𝑡) = 𝑀𝑖𝑛{𝐴(𝑡), 𝐵(𝑡)} = 𝐴(𝑡)⋀𝐵(𝑡)

Phép hợp: (𝐴 ∪ 𝐵)(𝑡) = 𝑀𝑎𝑥{𝐴(𝑡), 𝐵(𝑡)} = 𝐴(𝑡)⋁𝐵(𝑡)

Phép lấy phần bù: (¬𝐴)(𝑡) = 1 − 𝐴(𝑡)

1.1.3 T-norm, T-conorm và Negation

T-norm được giới thiệu bởi Schweizer và Sklar cho mô hình khoảng cách trong không gian xác suất Trong lý thuyết tập mờ, T-norm được mở rộng cho liên kết logic “AND”, T-conorm được mở rộng cho liên kết logic “OR” và Negation là phép toán phủ định

Định nghĩa 1.2 (norm) Một ánh xạ 𝑇: [0,1] × [0,1] → [0,1] là một

T-norm khi và chỉ khi thỏa mãn các tính chất sau với ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ [0,1]:

(i) T có tính giao hoán: T(x, y) = T(y, x);

(ii) T có tính kết hợp: T(T(x, y), z) =T(x,T(y, z));

(iii) T có tính đơn điệu: tức là nếu x ≤ x’ và y ≤ y’ thì T(x, y) ≤ T(x’, y’);

(iv) T có phần tử đơn vị 1: T(x, 1)=x

Định nghĩa 1.3 (T-conorm) Một ánh xạ 𝑆: [0,1] × [0,1] → [0,1] là một

T-conorm khi và chỉ khi thỏa mãn các tính chất sau với ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ [0,1]:

(i) S có tính giao hoán: S(x, y) = S(y, x);

(ii) S có tính kết hợp: S(S(x, y), z) =S(x,S(y, z));

(iii) S có t í n h đơn điệu: S(x, y) ≤ S(x’, y’) nếu x ≤ x’ và y ≤ y’;

(iv) S có phần tử đơn vị 0: S(x, 0)=x

Dựa trên T-norm và T-conorm, chúng ta có thể định nghĩa lại phép hợp và giao của hai tập mờ A và B như sau:

(𝐴 ∩ 𝐵)(𝑡) = 𝑇(𝐴(𝑡), 𝐵(𝑡)) với ∀𝑡 ∈ 𝑋 (𝐴 ∪ 𝐵)(𝑡) = 𝑆(𝐴(𝑡), 𝐵(𝑡)) với ∀𝑡 ∈ 𝑋

Cho p là một mệnh đề có dạng: “x is A” với A là một tập mờ và q là một

mệnh đề có dạng “y is B” Chúng ta định nghĩa một phép kéo theo mờ p→ q

(𝐴(𝑥) → 𝐵(𝑦)) như là một quan hệ mờ Khi đó giá trị chân lý của biểu thức (𝐴 → 𝐵)(𝑥, 𝑦) sẽ được định nghĩa chỉ phụ thuộc 𝐴(𝑥) và 𝐵(𝑦), hay:

(𝐴 → 𝐵)(𝑥, 𝑦) = 𝐼�𝐴(𝑥), 𝐵(𝑦)� = 𝐴(𝑥) → 𝐵(𝑦) Trong đó giá trị 𝐴(𝑥) của 𝐴 được xem như là giá trị chân lý của mệnh đề p

và giá trị chân lý 𝐵(𝑦) của B được xem như là giá trị chân lý của mệnh đề q

Có ba loại phép kéo theo mờ quan trọng thường được dùng, đó là:

S-implication:

𝑥 → 𝑦 = 𝑆(𝑁(𝑥), 𝑦)

Với S là T-conorm và N là một phủ định trên đoạn [0,1] Phép kéo theo này

được mở rộng từ phép kéo theo trong logic cổ điển:

𝑝 → 𝑞 = ¬𝑝 ∨ 𝑞 Phép kéo theo Lukasiewicz and Kleene-Dienes là S-implication

R-implication:

𝑥 → 𝑦 = 𝑠𝑢𝑝{𝑧 ∈ [0,1]|𝑇(𝑥, 𝑧) ≤ 𝑦}

Phép kéo theo này mở rộng từ logic trực giác (Intutionistic logic) Phép kéo

theo Lukasiewicz, Godel và Gaines là R-implication

T-norm implication:

𝑥 → 𝑦 = 𝑇(𝑥, 𝑦) Phép kéo theo Mandami và Larsen là các T-norm implication

Các phép kéo theo mờ (Bảng 1.1) thường được áp dụng cho các ứng dụng

Việc xây dựng hàm thuộc của các tập mờ dựa trên ngữ nghĩa của các khái

niệm mờ Ngược lại một khái niệm mờ có thể được mô hình hóa bởi các tập mờ Trên cơ sở mối quan hệ này, L A Zadeh đã đưa ra khái niệm biến ngôn ngữ

Khái niệm của biến ngôn ngữ được L A Zadeh giới thiệu trong [7] là một công cụ quan trọng để phát triển phương pháp lập luận xấp xỉ dựa trên logic mờ Chúng ta có thể xem trích dẫn sau đây (trong [7]) như là một động cơ để nghiên

cứu biến ngôn ngữ

“Khi thi ếu hụt tính chính xác bề ngoài của những vấn đề phức tạp cố

h ữu, một cách tự nhiên là tìm cách sử dụng các biến gọi là biến ngôn ngữ; đó

là các bi ến mà các giá trị của chúng không phải là các số mà là các từ hoặc các câu trong một ngôn ngữ tự nhiên hoặc nhân tạo Động cơ cho việc sử

d ụng các từ hoặc các câu hơn là các số bởi vì các đặc trưng ngôn ngữ nói chung là ít xác định hơn các đặc trưng số”

Tóm lược này đã khái quát cho khái niệm biến ngôn ngữ Một cách hình

thức biến ngôn ngữ được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.5 Biến ngôn ngữ là một bộ gồm năm thành phần

(X,T(X),U, R, M), trong đó X là tên biến, T(X) là tập các giá trị ngôn ngữ của biến X, U là không gian tham chiếu của biến cơ sở u, mỗi giá trị ngôn ngữ xem như là một biến mờ trên U kết hợp với biến cơ sở u, R là một qui tắc cú pháp sinh các giá trị ngôn ngữ cho tập T(X), M là qui tắc ngữ nghĩa gán mỗi giá trị ngôn ngữ trong T(X) với một tập mờ trên U

Ví dụ 1.1 Xét biến ngôn ngữ AGE, tức là X = AGE, biến cơ sở u có miền

xác định U = [1, 100] Khi đó, các giá trị ngôn ngữ tương ứng của biến AGE là

T(AGE) có thể bao gồm các giá trị:

young old not young or old

not young not old not very young or old

not very old very young very old or young

possibly young possibly old

Các giá trị ngôn ngữ young và old được gọi là các giá trị nguyên thủy

Mỗi giá trị ngôn ngữ trong T(AGE) là tên của một biến mờ trên U, tức là biến

có thể nhận giá trị trên U với một mức độ tương thích trong đoạn [0,1],

ràng buộc trên mỗi giá trị ngôn ngữ hình thành ngữ nghĩa cho giá trị ngôn ngữ

đó, ví dụ ngữ nghĩa của old được cho như sau:

𝜇𝑜𝑙𝑑(𝑢) = �

0 ; 𝑢 ∈ [0,50]

�1 + �𝑢 − 505 �−2�

−1 ; 𝑢 ∈ [50,100]

Ngữ nghĩa các giá trị ngôn ngữ khác trong T(AGE) có thể được tính

thông qua tập mờ của các giá trị nguyên thủy bởi các phép toán tương ứng

với các gia tử tác động, ví dụ như phép CON cho gia tử very hay phép DIL cho gia tử more or less (Mol) [7]

Vấn đề mô hình các hóa các gia tử ngôn ngữ sử dụng tập mờ đã được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm, chẳng hạn L A Zadeh [6, 7], B Bouchon-Meunier và M Ying [34, 35] Mặt khác, chúng ta thấy việc gán ngữ nghĩa cho

biến ngôn ngữ không có quy tắc ràng buộc nhất định như cách chọn hàm thuộc

𝜇𝑜𝑙𝑑(𝑢) ở trên, hơn nữa các phép toán trên tập mờ nói chung không đóng Vì vậy trong các nghiên cứu của mình về biến ngôn ngữ và lập luận xấp xỉ, L A Zadeh luôn nhấn mạnh hai đặc trưng quan trọng sau đây của biến ngôn ngữ:

- Đặc trưng thứ nhất là tính phổ quát của cấu trúc miền giá trị của chúng,

tức là miền giá trị của hầu hết các biến ngôn ngữ có cùng cấu trúc cơ sở theo

nghĩa các giá trị ngôn ngữ tương ứng là giống nhau ngoại trừ phần tử sinh nguyên thủy, như các giá trị ngôn ngữ được cho tương ứng bởi hai biến ngôn

ngữ HEALTH và AGE cho bởi Bảng 1.2

- Đặc trưng thứ hai là tính chất độc lập ngữ cảnh của các gia tử và các liên

từ, trong khi ngữ nghĩa của các phần tử sinh nguyên thủy là phụ thuộc ngữ

cảnh Đặc trưng này có thể thấy từ cách xác định ngữ nghĩa của tập mờ cho các giá trị ngôn ngữ

Bảng 1.2 Các giá trị ngôn ngữ của biến HEALTH và AGE

Very Good Very Old

More-or-less Good More-or-less Old

Very Poor Very Young

More-or-les Poor More-or-less Young

Do các đặc trưng của biến ngôn ngữ, chúng ta có thể sử dụng cùng một

tập gia tử và xây dựng một cấu trúc toán học cho miền giá trị của các biến ngôn ngữ khác nhau

Dựa trên khái niệm của biến ngôn ngữ, lý thuyết lập luận xấp xỉ nhằm mô hình hóa quá trình suy luận của con người đã được L A Zadeh đề xuất và nghiên cứu [7] Do đặc trưng của thông tin ngôn ngữ là mơ hồ, không chính xác nên phương pháp lập luận xấp xỉ không còn áp dụng được với logic kinh điển Vì

vậy, logic mờ [7] đã được L A Zadeh đề xuất và nghiên cứu áp dụng cho phương pháp lập luận xấp xỉ

1.1.6 Sơ lược về logic mờ

Miền giá trị chân lý trong logic mờ của Zadeh là tập các giá trị của biến ngôn

ngữ 𝑇(𝑇𝑟𝑢𝑡ℎ) = {𝑡𝑟𝑢𝑒, 𝑣𝑒𝑟𝑦𝑡𝑟𝑢𝑒, 𝑚𝑜𝑟𝑒𝑡𝑟𝑢𝑒, 𝑡𝑟𝑢𝑒, 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑒, 𝑣𝑒𝑟𝑦𝑓𝑎𝑙𝑠𝑒, … } Với khái niệm mờ A, giá trị chân lý của mệnh đề mờ có dạng “X is A” là một giá trị

ngôn ngữ thuộc 𝑇(𝑇𝑟𝑢𝑡ℎ), biểu thị bởi một tập mờ có hàm thuộc 𝜇𝐴(𝑢) trên không gian nền U

Trong logic mờ, các toán tử hội, tuyển, phủ định được tính bằng các T-norm, T-cornom, Negation đã làm tăng độ mềm dẻo so với việc chỉ dùng các hàm min, max và phủ định trong logic kinh điển Như vậy, giả sử trong logic

mờ với mệnh đề mờ “X is A” có giá trị chân lý biểu diễn bởi hàm thuộc 𝜇𝐴(𝑢) trên không gian nền U và mệnh đề mờ “Y is B” có giá trị chân lý biểu diễn bởi

hàm thuộc 𝜇𝐵(𝑣) trên không gian nền V, khi đó hàm thuộc của mệnh đề mờ

“X is A or B” là 𝜇𝐴∪𝐵 = 𝑆(𝜇𝐴(𝑢), 𝜇𝐵(𝑣)) với S là một T-conorm, hàm thuộc của mệnh đề mờ “X is A and B” là 𝜇𝐴∩𝐵 = 𝑇(𝜇𝐴(𝑢), 𝜇𝐵(𝑣)) với T là một T-norm và hàm thuộc của mệnh đề mờ “X is NOT A” có hàm thuộc là

𝜇¬𝐴 = 𝑁(𝜇𝐴(𝑢)) với N là một Negation

Một toán tử quan trọng để biểu diễn các mệnh đề mờ có điều kiện

dạng “If X is A Then Y is B” là toán tử kéo theo mờ, biểu diễn này thể hiện mối

quan hệ giữa các khái niệm mờ Do đó chúng cảm sinh một quan hệ mờ R thể

hiện bởi một tập mờ trên không gian tích Đề các U x V được xác định bởi hàm

thuộc như sau:

𝜇𝐴→𝐵(𝑢, 𝑣) = 𝑆(𝑇�𝜇𝐴(𝑢), 𝜇𝐵(𝑣)�, 𝑁�𝜇𝐴(𝑢)�)

Nếu chọn T-norm: 𝑇(𝑎, 𝑏) = min (𝑎, 𝑏), T-conorm: 𝑆(𝑎, 𝑏) = max (𝑎, 𝑏)

và Negation: 𝑁(𝑎) = 1 − 𝑎, chúng ta được:

𝜇𝐴→𝐵(𝑢, 𝑣) = 𝑚𝑎𝑥(𝑚𝑖𝑛�𝜇𝐴(𝑢), 𝜇𝐵(𝑣)�, 1 − 𝜇𝐴(𝑢))

Việc chọn T-norm, T-conorm và Negation cho quan hệ mờ R phụ thuộc

ngữ nghĩa của mệnh đề kéo theo và từng ứng dụng cụ thể

Một vấn đề quan trọng trong logic mờ là các quy tắc suy diễn Việc mở

rộng các quy tắc suy diễn fuzzy modus ponens, fuzzy modus tollens, tam đoạn

luận (fuzzy syllogism),… trong logic kinh điển sang logic mờ đã được nhiều

nhà nghiên cứu quan tâm như J F Baldwin [17-20], Mizumoto và Zimmermann [22-33], Da Ruan và E E Kerre [81-87], Banibrata Mondal và Swapan Raha [106, 107],…

1.1.7 L ập luận xấp xỉ với miền giá trị chân lý trong logic mờ

Lập luận xấp xỉ dùng logic mờ với miền giá trị chân lý mờ đã được Baldwin [17, 18]

đề xuất và nghiên cứu Trong [22], Tsukamoto đã mở rộng phương pháp lập luận

dựa trên logic mờ với miền giá trị chân lý mờ theo các tập mờ mức α Lược đồ suy diễn này là suy diễn hợp thành (fuzzy compositional inference) dựa trên việc

mở rộng quy tắc suy diễn modus ponens mờ:

Ant 1 (If X is A Then Y is B) is 𝜏1

Ant 2 (X is A’) is 𝜏2

Cons Y is B’

Đặt 𝜏𝐴 là giá trị chân lý của mệnh đề mờ “X is A” và 𝜏𝐵 là giá trị chân lý

của mệnh đề mờ “Y is B” Theo mô hình lập luận xấp xỉ trên, kết luận B’ được

suy diễn như sau:

Bước 1: Tính 𝜏𝐴

𝜇𝜏𝐴(𝑡) = max𝑢:𝜇𝐴(𝑢)=𝑡{𝜇𝐴′(𝑢)} với 𝑢 ∈ 𝑈, 𝑡 ∈ [0,1]

Bước 2: Tính 𝜏𝐵

𝜇𝜏𝐵(𝑡) = max𝑡∈[0,1]�𝜇𝜏𝐴(𝑡) ∧ 𝐼(𝜏1, 𝜏2)�

Với 𝐼(𝜏1, 𝜏2) là một toán tử kéo theo mờ

Bước 3: Tính giá trị chân lý của mệnh đề mờ “ Y is B’ ”

𝜇𝐵′(𝑣) = 𝜇𝜏𝐵(𝜇𝐵(𝑣)) với mọi 𝑣 ∈ 𝑉 Khi giải bài toán lập luận xấp xỉ trên, do có nhiều cách chọn các toán tử kéo theo mờ nên có nhiều quan hệ R khác nhau có thể được xây dựng, vì vậy

sẽ có nhiều kết quả lập luận khác nhau Điều này không mâu thuẫn với đặc trưng của lập luận xấp xỉ, vấn đề là chọn quan hệ R để có một phương pháp

lập luận xấp xỉ tốt nhất

Có ba hướng tiếp cận giải bài toán lập luận xấp xỉ:

1) Cách tiếp cận truyền thống là tích hợp các quan hệ mờ ứng với mỗi

mệnh đề điều kiện thành một quan hệ chung, sau đó sử dụng phép hợp thành với đầu vào để nhận được kết quả Cách tiếp cận này đã được quan tâm nghiên cứu

bởi Mizumoto và Zimmermann [22-33], Da Ruan và E E Kerre [81-87], Enric Trillas [47-53]; Habiballa, H., Novak, V [76-79]; …

2) Một cách tiếp cận khác cũng được các nhà nghiên cứu quan tâm như Banibrata Mondal và Swapan Raha [106, 107], Bernadette Bouchon-Meunier [34-40],

T D Khang [4],… là xác định ngữ nghĩa gần nhau của đầu vào và đầu ra, hay

nếu đầu vào “gần” với giả thiết của mệnh đề điều kiện thì đầu ra cũng sẽ “gần”

với kết luận của mệnh đề điều kiện đó;

3) Lập luận xấp xỉ dựa trên các các quy tắc suy diễn trực tiếp trên tập các giá trị của biến ngôn ngữ mà không thông qua tập mờ đã và đang là một hướng

tiếp cận được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm như Luigi Di Lascio, Antonio Gisolfi và Vincenzo Loia [41, 42], Mingsheng Ying, Bernadette Bouchon Meunier [35], Hsing-Tai Chung, Daniel G Schwartz [43], Herman Akdag [56-63], Mazen El-Sayed

và Daniel Pacholczyk [64-71], Saossen BelHadj Kacem, AmelBorgi Khaled Ghedira [72-75], Jun Liu, Luis Martinez Lopez, Yang Xu, Zengpei và Zhirui

Lu [89-105], N C Ho, T D Khang, H V Nam, N H Chau [111, 112], V

H Le, F Liu, T D Khang [2], L X Vinh [3], …

Trong các nghiên cứu của Luigi Di Lascio, Antonio Gisolfi và Vincenzo Loia [41, 42], Mingsheng Ying, Bernadette BouchonMeunier [35], Hsing-Tai Chung, Daniel G Schwartz [43], các tác giả đã xây dựng miền giá trị chân lý ngôn ngữ cho các mệnh đề mờ và lập luận trên miền giá trị chân lý này Tuy nhiên, để thực hiện các phép toán trên miền giá trị chân lý ngôn ngữ, các tác

giả lại ánh xạ về tập các giá trị số trên đoạn [0,1] và tính toán trên tập giá trị số này Ví dụ, với tập giá trị chân lý ngôn ngữ H={more or less true, probably true,

more true, very true, more very true, very very true} ta có:

Positive Negative more or less true 7/12 more or less false 5/12

probably true 8/12 probably false 4/12

more very true 11/12 more very false 1/12

very very true 12/12 very very false 0/12

Khi đó việc tính toán trên miền giá trị chân lý ngôn ngữ được thực hiện trên

miền giá trị số đã được ánh xạ đến bởi các phép toán được định nghĩa trong logic

đa trị dựa trên MV-đại số

Đối với các tác giả Herman Akdag [56-63], Mazen El-Sayed và Daniel Pacholczyk [64-71], Saossen BelHadj Kacem, AmelBorgi Khaled Ghedira [72-75],

để xây dựng miền giá trị chân lý ngôn ngữ, các tác giả này sử dụng tập “Multiset”

của các giá trị chân lý ngôn ngữ ℒ𝑀 = {𝜏1, … , 𝜏𝑖, … , 𝜏𝑀} với quan hệ thứ tự

𝜏𝑖 ≤ 𝜏𝑗 ⇔ 𝑖 ≤ 𝑗 Dựa trên tập “Multiset” này Herman Akdag, Daniel Pacholczyk

đã xây dựng một logic đa trị các ký hiệu (symbolic multi-valued logic) với việc dùng các phép toán T-norm, T-cornom, Implication và Negation theo ngữ nghĩa

của các phép toán Lukasiewicz cho logic đa trị Mặt khác, để xử lý việc chuyển đổi các gia tử từ các khái niệm mờ đến miền giá trị chân lý, các tác giả đã phải xây dựng hàm biến đổi các ký hiệu (symbolic modifiers) 𝑚𝜌: ℒ𝑀 ⟶ ℒ𝑀′ với

𝜏𝑖 ⟼ 𝜏𝑖′ thỏa mãn độ gần nhau (về ngữ nghĩa) từ tập ℒ𝑀 và tập ℒ𝑀′ dựa trên vị trí của các giá trị 𝜏𝑖 và 𝜏𝑖′ Với hướng tiếp cận này, ta thấy việc xây dựng tập

“Multiset” phụ thuộc từng ứng dụng, và việc xác định mối quan hệ giữa các biến ngôn ngữ và tập giá trị chân lý là phức tạp trong các nghiên cứu này

Để lập luận trực tiếp trên các giá trị chân lý ngôn ngữ, Jun Liu, Luis Martinez Lopez, Yang Xu, Zengpei và Zhirui Lu [89-105] đã đề xuất một

cấu trúc dàn chứa các giá trị chân lý ngôn ngữ, mỗi phần tử trên dàn là một giá trị chân lý ngôn ngữ được tạo bởi một gia tử tác động vào một phần tử sinh (ℎ, 𝑐) với ℎ ∈ 𝐻 = {ℎ1, … ℎ𝑛} (tập các gia tử) và 𝑐 ∈ {𝑐+, 𝑐−} Các phép toán trên miền giá trị chân lý này được định nghĩa thông qua cả gia tử lẫn

phần tử sinh dựa trên ngữ nghĩa của đại số Lukasiewicz:

�ℎ𝑗, 𝑐𝑖� ∨ (ℎ𝑘, 𝑐𝑠) = (ℎmax(𝑗,𝑘), 𝑐max(𝑖,𝑠))

�ℎ𝑗, 𝑐𝑖� ∧ (ℎ𝑘, 𝑐𝑠) = (ℎmin(𝑗,𝑘), 𝑐min(𝑖,𝑠))

�ℎ𝑗, 𝑐𝑖� ⟶𝐿 (ℎ𝑘, 𝑐𝑠) = (ℎmin(𝑛,𝑛−𝑗+𝑘), 𝑐min(2,2−𝑖+𝑠)) Trong hệ cơ sở tri thức là tập các cặp khẳng định 𝐴 = (𝑝(𝑥; 𝑢), (ℎ, 𝑐)) với 𝑝(𝑥; 𝑢) là các câu mờ và (ℎ, 𝑐) là giá trị chân lý của câu mờ đó Khi đó, để giải bài toán lập luận ngôn ngữ, ngoài việc sử dụng quy tắc chuyển gia tử trong [112]:

RT1: (𝑝(𝑥;ℎ𝑢),𝑐) (𝑝(𝑥;𝑢),(ℎ,𝑐)) , RT2:

(𝑝(𝑥;𝑢),(ℎ,𝑐)) (𝑝(𝑥;ℎ𝑢),𝑐)Yang Xu, Zengpei [89] đã đề xuất các quy tắc suy diễn theo cách nhìn của logic mệnh đề bao gồm:

R1: 𝑝(𝑥;ℎ1𝑢),𝑐1) 𝑎𝑛𝑑 𝑞(𝑦;ℎ2𝑣),𝑐2)

𝑝(𝑥;𝑢)∧𝑞(𝑦,𝑣),(ℎ1,𝑐1)∧(ℎ2,𝑐2) , R2:

𝑝(𝑥;ℎ1𝑢),𝑐1) 𝑜𝑟 𝑞(𝑦;ℎ2𝑣),𝑐2) 𝑝(𝑥;𝑢)∨𝑞(𝑦,𝑣),(ℎ1,𝑐1)∨(ℎ2,𝑐2) ,

với ℎ𝑖⨂ℎ𝑗 = ℎmax (1,𝑖+𝑗−𝑛) và 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 ∈ {𝑐+, 𝑐−}, ℎ1, ℎ2, ℎ3 ∈ 𝐻

Tuy nhiên, phương pháp lập luận này vẫn dùng quy tắc chuyển gia tử, các phép toán trên miền giá trị chân lý phức tạp và chỉ với số lượng nhỏ các giá trị chân lý, hơn nữa giá trị chân lý trong tiếp cận này chỉ được tác động

bởi một gia tử

Do đặc trưng của biến ngôn ngữ đó là tính phổ quát của cấu trúc miền trị

và tính độc lập ngữ cảnh của các gia tử ngôn ngữ vì vậy phương pháp suy

diễn trực tiếp trên tập giá trị của biến ngôn ngữ không thông qua tập mờ đã phản ánh được ngữ nghĩa tự nhiên của các giá trị ngôn ngữ, gần với suy luận tự nhiên

của con người Một mô hình hóa toán học miền giá trị của biến ngôn ngữ được

gọi là đại số gia tử đã được đề xuất và nghiên cứu bởi N C Ho và Wechler [110]

và một phương pháp lập luận xấp xỉ trực tiếp trên tập giá trị của biến ngôn ngữ cũng đã được N C Ho, T D Khang, H V Nam, N H Chau [111, 112] nghiên

cứu Đại số gia tử như là một cấu trúc toán học để mô hình hóa cấu trúc tự nhiên

miền giá trị của các biến ngôn ngữ Trong mục tiếp theo chúng ta sẽ nghiên cứu cách tiếp cận này

1.2 L ập luận xấp xỉ trên miền giá trị chân lý trong logic mệnh đề ngôn ng ữ dựa trên đại số gia tử

Trong phần này, chúng tôi trình bày các khái niệm và tính chất của đại số gia tử, đại số gia tử đơn điệu, ánh xạ ngược của gia tử, logic mệnh đề ngôn ngữ

và phương pháp lập luận xấp xỉ dựa trên đại số gia tử Chi tiết các vấn đề này có

thể tham khảo trong [1-5, 110-114]

1.2.1 Đại số gia tử

Do cấu trúc toán học của tập các giá trị chân lý là nền tảng quan trọng để xây dựng logic tương ứng, vì vậy đại số gia tử (ĐSGT) được xem như là một cấu trúc toán học cho miền giá trị chân lý ngôn ngữ làm nền tảng cho logic ngôn ngữ Xét miền giá trị chân lý ngôn ngữ 𝑇𝑟𝑢𝑡ℎ chẳng hạn như 𝑇𝑟𝑢𝑒, 𝑉𝑒𝑟𝑦𝑇𝑟𝑢𝑒, 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑙𝑦𝐹𝑎𝑙𝑠𝑒, 𝑉𝑒𝑟𝑦𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑙𝑦𝐹𝑎𝑙𝑠𝑒, … được tạo ra từ tập

{𝛿𝑐 | 𝑐 ∈ 𝐺, 𝛿 ∈ 𝐻∗ } (𝐻∗ là tập các xâu gia tử sinh ra từ H) Hơn nữa, nếu

chúng ta xét quan hệ 𝑇𝑟𝑢𝑒 > 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑒 thì quan hệ thứ tự này cũng đúng cho các

cặp giá trị ngôn ngữ trên X, điều này có nghĩa là tồn tại một quan hệ thứ tự bộ

phận “ ≤” trên X

Xét một cách tổng quát, cho các tập hữu hạn không rỗng G và H tương ứng

là tập các phần tử sinh và các gia tử, khi đó tập các giá trị ngôn ngữ được sinh ra

từ G và H là tập X được xác định 𝑋 = {𝛿𝑐 | 𝑐 ∈ 𝐺, 𝛿 ∈ 𝐻∗ } Chúng ta định

nghĩa 𝑢 ≥ 𝑣 khi và chỉ khi 𝑢 > 𝑣 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑢 = 𝑣 thì trên X tồn tại một quan hệ thứ

tự bộ phận ≥ Do đó X được mô tả bởi một đại số trừu tượng 𝐻𝐴 = (𝑋, 𝐺, 𝐻, ≤)

Với mỗi ℎ ∈ 𝐻 có thể xem như là một hàm một ngôi ℎ: 𝑋 → 𝑋, 𝑥 ↦ ℎ𝑥 Hơn nữa, giả sử rằng mỗi gia tử ℎ là một phép toán thứ tự, nghĩa là

∀ℎ ∈ 𝐻, ∀𝑥 ∈ 𝑋: ℎ𝑥 ≥ 𝑥 ℎ𝑜ặ𝑐 ℎ𝑥 ≤ 𝑥 Lấy 𝐼 ∉ 𝐻 là một gia tử đơn vị (𝐼𝑥 = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝑋) Khi đó, với hai gia tử ℎ, 𝑘 chúng ta nói rằng:

i) ℎ và 𝑘 là ngược nhau nếu ∀𝑥 ∈ 𝑋: ℎ𝑥 ≥ 𝑥 ⟺ 𝑘𝑥 ≤ 𝑥;

ii) ℎ và 𝑘 là tương thích nếu ∀𝑥 ∈ 𝑋: ℎ𝑥 ≥ 𝑥 ⟺ 𝑘𝑥 ≥ 𝑥;

iii) ℎ có ngữ nghĩa lớn hơn hay bằng 𝑘, ký hiệu ℎ ≥ 𝑘, nếu ∀𝑥 ∈ 𝑋: ℎ𝑥 ≤

𝑘𝑥 ≤ 𝑥 hoặc ℎ𝑥 ≥ 𝑘𝑥 ≥ 𝑥 Ký hiệu ℎ > 𝑘 nếu ℎ ≥ 𝑘 và ℎ ≠ 𝑘;

iv) ℎ là dương đối với k nếu ∀𝑥 ∈ 𝑋: ℎ𝑘𝑥 ≤ 𝑘𝑥 ≤ 𝑥 hoặc ℎ𝑘𝑥 ≥ 𝑘𝑥 ≥ 𝑥;

v) ℎ là âm đối với k nếu ∀𝑥 ∈ 𝑋: 𝑘𝑥 ≤ ℎ𝑘𝑥 ≤ 𝑥 hoặc 𝑘𝑥 ≥ ℎ𝑘𝑥 ≥ 𝑥

Trong thực tế, có nhiều biến ngôn ngữ chỉ dùng hai phần tử sinh đối nghĩa nhau, như true và false, tall và short, old và young,… Khi đó, đại số gia tử có

tập G chỉ gồm hai phần tử sinh, với một phần tử sinh có nghĩa “mạnh” hơn,

như là truth, tall, old,… là phần tử sinh dương, và phần tử còn lại, như false,

small, young,… là phần tử sinh âm Lấy 𝐺 = {𝑐+, 𝑐−} với 𝑐+ > 𝑐−, 𝑐+ và 𝑐−

được gọi là phần tử sinh dương và âm tương ứng Tập H được phân thành

các tập con 𝐻+ = {ℎ ∈ 𝐻 | ℎ𝑐+ > 𝑐+} và 𝐻− = {ℎ ∈ 𝐻 | ℎ𝑐+ < 𝑐+} và với

mỗi giá trị 𝑥 ∈ 𝑋, đặt 𝐻(𝑥) = {𝜎𝑥 | 𝜎 ∈ 𝐻∗ }

Định nghĩa 1.6 Một đại số trừu tượng 𝐻𝐴 = (𝑋, 𝐺, 𝐻, ≤) , với 𝐻 ≠

∅, 𝐺 = {𝑐+, 𝑐−} và 𝑋 = {𝜎 𝑐 |𝑐 ∈ 𝐺, 𝜎 ∈ 𝐻∗ } được gọi là đại số gia tử nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

(A1) Với mọi ℎ ∈ 𝐻+ và 𝑘 ∈ 𝐻− thì h và k là ngược nhau

(A2) Với mỗi cặp ℎ, 𝑘 ∈ 𝐻 thì h hoặc là dương hoặc là âm đối với k

(A3) Nếu u và v độc lập thì 𝑥 ∉ 𝐻(𝑣) với mọi 𝑥 ∈ 𝐻(𝑢) Nếu 𝑥 ≠ ℎ𝑥 thì

𝑥 ∉ 𝐻(𝑥) hơn nữa, nếu ℎ𝑥 ≠ 𝑘𝑥 thì ℎ𝑥 và 𝑘𝑥 độc lập

(A4) Nếu ℎ ≠ 𝑘 và ℎ𝑥 ≤ 𝑘𝑥 thì ℎ′ℎ𝑥 ≤ 𝑘′𝑘𝑥 với bất kỳ ℎ, 𝑘, ℎ′, 𝑘′ ∈ 𝐻

và 𝑥 ∈ 𝑋

(A5) Nếu 𝑢 ∉ 𝐻(𝑣) và 𝑢 ≤ 𝑣 (hay 𝑢 ≥ 𝑣) thì 𝑢 ≤ ℎ𝑣 (hay 𝑢 ≥ ℎ𝑣) với

mọi gia tử ℎ ∈ 𝐻

Với điều kiện tập 𝐻+ ∪ {𝐼} và 𝐻− ∪ {𝐼} sắp thứ tự tuyến tính với I là gia tử

đơn vị thì 𝐻𝐴 = (𝑋, 𝐺, 𝐻, ≤) được gọi là đại số gia tử tuyến tính

Ví d ụ 1.2 Xét đại số gia tử 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑇𝑟𝑢𝑒, 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑒}, 𝐻, ≤) với H={Very,

More, Probably, Mol} thì chúng ta có:

i) Very và More là dương đối với Very và More, và là âm đối với

Probably và Mol;

ii) Probably và Mol là âm đối với Very và More và là dương đối với

Probably và Mol;

Tập H được phân thành 𝐻+ = {𝑉𝑒𝑟𝑦, 𝑀𝑜𝑟𝑒} và 𝐻− = {𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑙𝑦, 𝑀𝑜𝑙} Trong 𝐻+∪ {𝐼} chúng ta có 𝑉𝑒𝑟𝑦 > 𝑀𝑜𝑟𝑒 > 𝐼 và trong 𝐻−∪ {𝐼} chúng ta có 𝑀𝑜𝑙 < 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑙𝑦 < 𝐼

Cho phần tử 𝑢 ∈ 𝑋, biểu thức ℎ𝑛… ℎ1𝑢 được gọi là một biểu diễn chính tắc

của 𝑥 đối với 𝑢 nếu 𝑥 = ℎ𝑛… ℎ1𝑢 và ℎ𝑖… ℎ1𝑢 ≠ ℎ𝑖−1… ℎ1𝑢 với 𝑖 nguyên và

𝑖 ≤ 𝑛 Ta gọi độ dài của 𝑥 (ký hiệu |𝑥|) là số gia tử trong biểu diễn chính tắc

của nó đối với phần tử sinh cộng thêm 1

Cho 𝑥 = 𝜎𝑐 , với 𝜎 ∈ 𝐻∗, 𝑐 ∈ {𝑐+, 𝑐−} , chúng ta gọi 𝑦 = 𝜎𝑐′ với 𝑐′ ∈{𝑐+, 𝑐−} và 𝑐′ ≠ 𝑐 là phần tử đối nghịch của phần tử 𝑥, ký hiệu 𝑦 = −𝑥 Khi đó

chúng ta có định nghĩa đại số gia tử đối xứng:

Định nghĩa 1.7 Cho đại số gia tử 𝐻𝐴 = (𝑋, 𝐺, 𝐻, ≤), với 𝐺={𝑐+, 𝑐−}, được gọi là đối xứng nếu mọi phần tử 𝑥 ∈ 𝑋 có duy nhất một phần tử đối nghịch -𝑥 ∈ 𝑋

Để so sánh các phần tử trong X, chúng ta có tiêu chuẩn so sánh được phát

biểu trong mệnh đề sau:

M ệnh đề 1.1 [110] Cho đại số gia tử 𝐻𝐴 tuyến tính Giả sử 𝑥 = ℎ𝑛… ℎ1𝑢

và 𝑦 = 𝑘𝑚… 𝑘1𝑢 là hai biểu diễn đối với 𝑢 Khi đó, nếu tồn tại một chỉ số

𝑗 ≤ 𝑚𝑖𝑛{𝑚, 𝑛} + 1 để với mọi 𝑖 < 𝑗, chúng ta có ℎ𝑖 = 𝑘𝑖 thì:

1) 𝑥 < 𝑦 nếu và chỉ nếu ℎ𝑗𝑥𝑗 < 𝑘𝑗𝑥𝑗, ở đây 𝑥𝑗 = ℎ𝑗–1… ℎ1𝑢

2) 𝑥 = 𝑦 nếu và chỉ nếu 𝑛 = 𝑚 = 𝑗 và ℎ𝑗𝑥𝑗 = 𝑘𝑗𝑥𝑗

Như vậy tiêu chuẩn so sánh để sắp thứ tự các phần tử của ĐSGT tương tự

giống cách sắp xếp của các từ trong từ điển nhưng hiển thị các ký hiệu trong biểu

diễn xâu của ĐSGT được xét theo thứ tự đối xứng gương trong thứ tự từ điển

M ệnh đề 1.2 [110] Cho đại số gia tử tuyến tính 𝐻𝐴 = (𝑋, 𝐺, 𝐻, ≤), thì các

phần tử trong X được sắp xếp thứ tự tuyến tính

Định nghĩa 1.8 Lấy 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, chúng ta định nghĩa ∨, ∧ và → như sau:

𝑥 ∨ 𝑦 = max (𝑥, 𝑦); 𝑥 ∧ 𝑦 = 𝑚𝑖𝑛 (𝑥, 𝑦); 𝑥 → 𝑦 = −𝑥 ∨ 𝑦 Các tính chất dưới đây chỉ ra rằng X có thể được dùng như là miền giá trị

chân lý cho logic ngôn ngữ

Định lý 1.1 [110] Cho đại số gia tử đối xứng tuyến tính 𝐻𝐴 = (𝑋, 𝐺, 𝐻, ≤),

Đại số gia tử là một cấu trúc toán học tốt để biểu diễn ngữ nghĩa của các

biến ngôn ngữ và là cơ sở đại số cho logic ngôn ngữ Đã có nhiều nghiên cứu

áp dụng đại số gia tử để giải quyết tốt cho nhiều lớp bài toán, lập luận xấp xỉ, điều khiển, phân lớp,… Tuy nhiên, để giải quyết cho các lớp bài toán khác nhau đôi khi cần thu hẹp miền biểu diễn ngôn ngữ cho phù hợp Dưới đây là

lớp đại số gia tử đơn điệu, một cấu trúc đại số thu hẹp của đại số gia tử đã được

đề xuất và nghiên cứu bởi T D Khang [1]

1.2.2 Đại số gia tử đơn điệu

Một vấn đề quan trọng khi giải bài toán lập luận xấp xỉ trực tiếp trên ngôn

ngữ tự nhiên đã được N C Ho, T D Khang, H V Nam, N H Chau [111, 112] nghiên cứu đó là sử dụng quy tắc chuyển gia tử trong các mệnh đề mờ Vì đại số gia tử là cơ sở cho logic mờ cho nên nó phải thỏa mãn các tính chất khi xử lý thông tin mờ, một trong những tính chất quan trọng trong logic mờ là tính chất bao hàm, nghĩa là tập mờ 𝐴 ⊂ 𝐵 thì 𝜇𝐴(𝑢) ≤ 𝜇𝐵(𝑣) Tuy nhiên khi nghiên cứu tính chất này đối với quy tắc chuyển gia tử trong đại số gia tử trong [110],

T D Khang đã phân tích và chỉ ra rằng tính chất bao hàm không thỏa mãn với

lớp đại số gia tử tổng quát, vì vậy cần giới hạn đại số gia tử với các ràng buộc

mới Trong [1], T D Khang đã đề xuất lớp đại số gia tử mới với tập gia tử

là tuyến tính và thuần nhất được gọi là đại số gia tử đơn điệu

Định nghĩa 1.9 (𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴) Đại số gia tử đối xứng tuyến tính

𝐻𝐴 = (𝑋, 𝐺, 𝐻, ≤) được gọi là đại số gia tử đơn điệu nếu với mỗi ℎ ∈ 𝐻+(𝐻−)

là dương với tất cả 𝑘 ∈ 𝐻+(𝐻−) và âm đối với 𝑘 ∈ 𝐻−(𝐻+)

Chúng ta giả thiết rằng, cả hai tập 𝐻+∪ {𝐼} và 𝐻−∪ {𝐼} là tuyến tính Tuy nhiên, tập 𝐻 ∪ {𝐼} không được sắp thứ tự tuyến tính, chẳng hạn trong Ví

dụ 1.2 𝑉𝑒𝑟𝑦 ∈ 𝐻+ và 𝑀𝑜𝑙 ∈ 𝐻− là không so sánh được Vì vậy, chúng ta mở

rộng quan hệ thứ tự trong 𝐻+∪ {𝐼} và 𝐻− ∪ {𝐼} đến quan hệ thứ tự (≥𝐻) trong 𝐻 ∪ {𝐼} như sau:

Định nghĩa 1.10 Cho ℎ, 𝑘 ∈ 𝐻 ∪ {𝐼}, ta có ℎ ≥𝐻 𝑘 khi và chỉ khi thỏa mãn

một trong 3 điều kiện sau:

i) ℎ ∈ 𝐻+ và 𝑘 ∈ 𝐻−

ii) ℎ, 𝑘 ∈ 𝐻+ ∪ {𝐼} và ℎ ≥ 𝑘

iii) ℎ, 𝑘 ∈ 𝐻− ∪ {𝐼} và 𝑘 ≥ ℎ

Ký hiệu ℎ >𝐻 𝑘 khi và chỉ khi ℎ ≥𝐻 𝑘 và ℎ ≠ 𝑘

Định nghĩa 1.11 Cho 𝛿 = ℎ𝑛… ℎ1, 𝜎 = 𝑘𝑚… 𝑘1 với ℎ𝑖, 𝑘𝑗 ∈ 𝐻 ∪ {𝐼}, 𝑖 =

Ký hiệu 𝛿 >𝐻 𝜎 khi và chỉ khi 𝛿 ≥𝐻 𝜎 và 𝛿 ≠ 𝜎

Như vậy, đại số gia tử đơn điệu là một lớp đặc biệt trong đại số gia tử đối

xứng tuyến tính, với quan hệ thứ tự mở rộng ≥𝐻 Khi đó một ĐSGT là tuyến tính

nếu (𝐻, ≥𝐻) và (𝐺, ≤) là các tập sắp thứ tự tuyến tính

Ví d ụ 1.3 Cho đại số gia tử trong Ví dụ 1.2 được gọi là đại số gia tử đơn

điệu bởi vì 𝑉 và 𝑀 là dương đối với 𝑉 và 𝑀, là âm đối với 𝑃 và 𝑀𝑜𝑙 Tương tự

𝑃 và 𝑀𝑜𝑙 cũng là dương với 𝑃 và 𝑀𝑜𝑙 , là âm với 𝑉 và 𝑀 Từ đó ta có:

𝑉 >𝐻 𝑀 >𝐻 𝐼 >𝐻 𝑃 >𝐻 𝑀𝑜𝑙

Dưới đây, chúng ta nghiên cứu một số tính chất của đại số gia tử đơn điệu

cần thiết cho luận án

M ệnh đề 1.3 [113] Cho đại số gia tử đơn điệu 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐−, 𝑐+}, 𝐻, ≤)

với các gia tử ℎ, 𝑘 ∈ 𝐻 thì:

ℎ ≥𝐻 𝑘 ⟺ ℎ𝜎𝑐+ ≥ 𝑘𝜎𝑐+

Dựa trên Mệnh đề 1.3 chúng ta có hệ quả sau:

H ệ quả 1.1 [113] Cho đại số gia tử đơn điệu 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐+, 𝑐−}, 𝐻, ≤)

với các gia tử ℎ, 𝑘 ∈ 𝐻 thì:

∀ℎ ∈ 𝐻+, 𝑘 ∈ 𝐻− thì ℎ𝜎𝑐+ ≥ 𝜎𝑐+ và 𝑘𝜎𝑐+ ≤ 𝜎𝑐+

M ệnh đề 1.4 [113] Cho đại số gia tử đơn điệu 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐+, 𝑐−}, 𝐻, ≤)

với gia tử ℎ ∈ 𝐻 và các xâu gia tử 𝜎1, 𝜎2 ∈ 𝐻∗ thì:

𝜎1𝑐+ ≥ 𝜎2𝑐+ ⟺ 𝜎1ℎ𝑐+ ≥ 𝜎2ℎ𝑐+

M ệnh đề 1.5 [113] Cho đại số gia tử đơn điệu 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐+, 𝑐−}, 𝐻, ≤)

với gia tử ℎ ∈ 𝐻, các xâu gia tử 𝜎1, 𝜎2 ∈ 𝐻∗ và 𝑐1, 𝑐2 ∈ 𝐺 thì:

𝜎1𝑐1 ≥ 𝜎2𝑐2 ⟺ 𝜎1ℎ𝑐1 ≥ 𝜎2ℎ𝑐2Theo Mệnh đề 1.5 chúng ta có hệ quả sau:

H ệ quả 1.2 [113] Cho đại số gia tử đơn điệu 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐+, 𝑐−}, 𝐻, ≤ )

với các xâu gia tử 𝜎1, 𝜎2, 𝛿 ∈ 𝐻∗ và các phần tử sinh 𝑐1, 𝑐2 ∈ {𝑐+, 𝑐−} thì:

𝜎1𝑐1 ≥ 𝜎2𝑐2 ⟺ 𝜎1𝛿𝑐1 ≥ 𝜎2𝛿𝑐2

1.2.3 Ánh x ạ ngược của gia tử

Trong logic mờ, tri thức thường được biểu diễn bởi hai thành phần, một câu câu mờ và độ tin cậy (giá trị chân lý) của câu mờ đó Một câu mờ có thể biểu

diễn được dưới dạng 𝑝(𝑥, 𝑢) trong đó 𝑥 là biến ngôn ngữ, 𝑢 là một khái niệm mờ

và 𝑝 là quan hệ kết hợp hai thành phần đó Khi đó câu “Nam studies very well”

có thể được biểu diễn dưới dạng Study(Nam, VeryWell) Một khẳng định mờ

của tri thức con người có thể được biểu diễn dưới dạng (𝑝(𝑥, 𝑢), 𝑡) trong đó 𝑝(𝑥, 𝑢) là một câu mờ và 𝑡 là độ tin cậy hay giá trị chân lý của câu mờ đó

Chẳng hạn một khẳng định “It is More true that Nam studies very well” có

thể được biểu diễn trong cơ sở tri thức dưới dạng “(Study(Nam, VeryWell), More True)

Theo L A Zadeh [7], việc đánh giá các câu dưới đây có thể được xem xét bởi việc xấp xỉ ngữ nghĩa tương đương: “It is very true that Lucia is

young” và “It is true that Lucia is very young” Điều này có nghĩa là chúng ta có

(Age(Lucia, young), VeryTrue) thì chúng ta cũng có (Age(Lucia, Very young), True),

do đó gia tử Very có thể được dịch chuyển từ miền giá trị chân lý đến vị từ mờ

Đây chính là quy tắc chuyển gia tử RT2:

RT2: (𝑝(𝑥;𝑢),𝛿ℎ𝑐) (𝑝(𝑥;ℎ𝑢),𝛿𝑐)được nghiên cứu bởi N C Ho, T D Khang, H V Nam, N H Chau [111, 112] cho việc áp dụng đại số gia tử giải quyết bài toán lập luận xấp xỉ trực tiếp trên ngôn ngữ tự nhiên

Tuy nhiên, các phép chuyển gia tử nói trên lại không áp dụng được trong

một số trường hợp, chẳng hạn, từ giá trị chân lý của câu “John is Young” là

“VeryTrue”, ta không th ể tính được giá trị chân lý của câu “John is MoreYoung”

bằng quy tắc chuyển gia tử RT2 Hơn nữa, khi sử dụng quy tắc chuyển gia tử (𝑝(𝑥; 𝑢), 𝛿ℎ𝑐) → (𝑝(𝑥; ℎ𝑢), 𝛿𝑐), ta có thể thấy 𝛿ℎ𝑐 → 𝛿𝑐, hay là đã có một toán

tử nào đó “khử” gia tử ℎ trong 𝛿ℎ𝑐 Điều này có thể nhìn nhận như có một ánh

xạ ngược ℎ− tác động vào 𝛿ℎ𝑐 để tạo thành 𝛿𝑐 hay ℎ−(𝛿ℎ𝑐) = 𝛿𝑐 Mặt khác, trong đại số gia tử đơn điệu thì 𝛿𝑐 ≥ 𝛿′𝑐 ⇔ 𝛿ℎ𝑐 ≥ 𝛿′ℎ𝑐, do ℎ−(𝛿ℎ𝑐) = 𝛿𝑐 và

ℎ−(𝛿′ℎ𝑐) = 𝛿′𝑐 nên ℎ−(𝛿ℎ𝑐) ≥ ℎ−(𝛿′ℎ𝑐) Xuất phát từ các nhận xét trên,

T D Khang, D K Dung và L.V Hung đã đề xuất và nghiên cứu ánh

xạ ngược của gia tử [2, 113, 114]

Định nghĩa 1.12 Xét đại số gia tử đơn điệu 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐+, 𝑐−}, 𝐻, ≤)

và gia tử ℎ ∈ 𝐻 Một ánh xạ ℎ−: 𝑋 ⟶ 𝑋 được gọi là ánh xạ ngược của ℎ nếu

thỏa mãn các điều kiện sau:

1) ℎ−(𝛿ℎ𝑐) = 𝛿𝑐 trong đó 𝑐 ∈ 𝐺 = {𝑐+, 𝑐−}, ∀𝛿 ∈ 𝐻∗

2) 𝑥 ≤ 𝑦 ⟹ ℎ−(𝑥) ≤ ℎ−(𝑦) trong đó 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋

Trong trường hợp ánh xạ ngược của một xâu gia tử, chúng ta xác định dựa trên ánh xạ ngược của các gia tử đơn lẻ như sau:

(ℎ𝑘ℎ𝑘−1… ℎ1)−(𝛿𝑐) = ℎ𝑘−(… (ℎ1−(𝛿𝑐) … ) Khi đó quy tắc RT2 khi thay 𝜎ℎ bằng một xâu gia tử 𝛿 bất kỳ, không cần thiết phải kết thúc bởi ℎ, ta có quy tắc GRT2 như sau:

GRT2: (𝑝(𝑥,𝑢),𝛿𝑐)

�𝑝(𝑥,ℎ𝑢),ℎ−(𝛿𝑐)�

Quy tắc GRT2 đã khắc phục được nhược điểm đã nêu ra ở trên

Ví d ụ 1.4 Xét đại số gia tử đơn điệu 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐+, 𝑐−}, 𝐻, ≤), có các gia tử 𝑣𝑒𝑟𝑦 (𝑉), 𝑚𝑜𝑟𝑒 (𝑀) 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑦 (𝑃), hay là 𝐻 = {𝑉, 𝑀, 𝑃}, ta có:

Chúng ta có mệnh đề sau đây về quan hệ thứ tự khi lấy ánh xạ ngược của xâu gia tử

Mệnh đề 1.6 [113] Cho đại số gia tử đơn điệu 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐+, 𝑐−}, 𝐻, ≤ ),

một xâu gia tử δ và ánh xạ ngược của nó 𝛿− và 𝑐1, 𝑐2 ∈ {𝑐+, 𝑐−} thì:

𝜎1𝑐1 ≥ 𝜎2𝑐2 ⟺ 𝛿−(𝜎1𝑐1) ≥ 𝛿−(𝜎2𝑐2) Ánh xạ ngược của gia tử đã được đưa ra lần đầu tiên bởi T D Khang, D

K Dung [113], với điều kiện (2) trong Định nghĩa 1.12 có quan hệ thứ tự chặt (>), khi đó nếu xâu gia tử có độ dài tiến đến vô hạn thì đôi lúc giá trị của ánh

xạ ngược được tập trung về hai phía của miền giá trị chân lý ngôn ngữ Để

khắc phục nhược điểm này, trong [2] các tác giả T D Khang, D K Dung và

L V Hung đã định nghĩa lại ánh xạ ngược của gia tử với điều kiện (2) trong Định nghĩa 1.12 với quan hệ thứ tự không chặt (≥) và chỉ xét trong trường

hợp xâu gia tử có độ dài hữu hạn Một phiên bản khác của ánh xạ ngược của gia tử đã được V H Le, F Liu, T D Khang [114] định nghĩa cho đại số gia

tử tuyến tính đối xứng với điều kiện (1) trong Định nghĩa 1.12 lỏng hơn (ℎ−(ℎ𝑐+) = 𝑐+) và xét thêm quan hệ giữa các gia tử lấy ánh xạ ngược đồng

thời đã chứng minh được sự tồn tại của ánh xạ ngược

Tuy nhiên, khi nghiên cứu quy tắc chuyển gia tử trong xử lý thông tin

mờ, T Đ Khang [1] đã chỉ ra quy tắc chuyển gia tử không thỏa mãn tính chất bao hàm khi thực hiện với lớp đại số gia tử tổng quát và đã đề xuất lớp đại số gia

tử đơn điệu cho các quy tắc chuyển gia tử Chính vì vậy, để khắc phục các nhược điểm của ánh xạ ngược của gia tử đã được nghiên cứu trong [2, 113], chúng tôi nghiên cứu các tính chất của ánh xạ ngược được định nghĩa bởi Định nghĩa 1.12

và xây dựng ánh xạ ngược của gia tử với lớp đại số gia tử đơn điệu trong trường

hợp độ dài của xâu gia tử là hữu hạn

1.2.4 Phương pháp lập luận ngôn ngữ dựa trên đại số gia tử

Trước hết, chúng ta đưa ra cách biểu diễn tự nhiên của tri thức loài người, sau đó chúng ta xem xét tập các quy tắc suy diễn trực tiếp trên ngôn ngữ Như đã

trình bày ở trên, một phần tử cơ sở của tri thức con người gồm hai thành phần:

một câu mờ và giá trị chân lý của câu mờ đó Một câu mờ cơ sở có thể biểu diễn

bởi 𝑝(𝑥, 𝑢), ở đây x là một biến, u là một khái niệm mờ Ví dụ như câu “Robert is

studing hard ” được thể hiện bởi 𝑃 = 𝑠𝑡𝑢𝑑𝑦(𝑅𝑜𝑏𝑒𝑟𝑡, ℎ𝑎𝑟𝑑) và câu “It looks like

Robert is studing hard” được mô hình hóa bởi một cặp (𝑃, 𝐼𝑡𝐿𝑜𝑜𝑘𝑠𝐿𝑖𝑘𝑒) Nói chung, một khẳng định mờ là một cặp 𝐴 = (𝑝(𝑥, 𝑢), 𝑡), ở đây 𝑝(𝑥, 𝑢) là một câu

mờ và t là độ tin cậy hay là giá trị chân lý của câu đó (t>W)

Theo tài liệu tham khảo [111, 112] với đại số gia tử tuyến tính đối xứng, ký

hiệu 𝑇(𝑝) là tập các khái niệm mờ ứng với vị từ 𝑝 và FP là tập các công thức với

các phép toán logic AND (∧), OR (∨), implication (→) và negation (¬) Mỗi

phần tử của 𝑇(𝑝) được ý hiệu bởi x, y, u, v và các phần tử của FP bởi F, P, Q, R,

S,… Tương tự như trong logic kinh điển, mỗi mệnh đề được gán bởi một giá trị chân lý “đúng” “sai” thì mỗi mệnh đề trong logic mờ ngôn ngữ sẽ được gán một giá trị chân lý ngôn ngữ để biểu đạt mức độ đúng của nó, ví dụ “Robert is studing hard is

very true” Như vậy, chúng ta đã nhúng các mệnh đề mờ cơ sở vào miền giá trị

của biến ngôn ngữ Truth Việc mở rộng phép gán này cho tập các công thức FP

là yêu cầu tự nhiên và nó sẽ trở thành cơ sở để xác định mức độ đúng cho các

mệnh đề kết luận trong quá trình lập luận ngôn ngữ Chúng ta dùng khái niệm

định giá là một đồng cấu 𝑣 từ tập các công thức FP đến đại số gia tử đối xứng

tuyến tính 𝐻𝐴 = (𝑋, 𝐺, 𝐻, −,∪,∩, ⇒, ≤) được xác định như sau:

𝑣(𝑃 ∨ 𝑄) = 𝑣(𝑃) ∪ 𝑣(𝑄) 𝑣(𝑃 ∧ 𝑄) = 𝑣(𝑃) ∩ 𝑣(𝑄) 𝑣(𝑃 → 𝑄) = 𝑣(𝑃) ⇒ 𝑣(𝑄) 𝑣(¬𝑃) = −𝑣(𝑃)

Với P, Q ∈ FP và trong vế trái là các phép toán logic và trong vế phải là

các phép toán trên HA Hai công th ức P và Q được gọi là tương đương, ký hiệu

là P≡Q n ếu với mọi đánh giá 𝑣 thì 𝑣(𝑃) = 𝑣(𝑄) Khi đó ta có định lý sau:

Định lý 1.2 [111] Với mọi công thức P, Q, R ∈ FP, mọi ℎ ∈ 𝐻 và mọi vị

Cho một cơ sở tri thức K gồm một tập hữu hạn các khẳng định 𝐴 = (𝑝(𝑥, 𝑢), 𝑡)

chúng ta có thể suy diễn được một khẳng định mới bởi việc dùng các quy tắc suy

Khi đó, chúng ta có các quy tắc suy diễn cơ bản sau:

1) Quy tắc chuyển gia tử:

(RT1) (𝑝(𝑥,ℎ𝑢),𝜎𝑐)

(𝑝(𝑥,𝑢),𝜎ℎ𝑐) (RT2)

(𝑝(𝑥,𝑢),𝜎ℎ𝑐) (𝑝(𝑥,ℎ𝑢),𝜎𝑐)

Các quy tắc của (RT3) và (RT4) là mở rộng của (RT1) và (RT2) như sau: (RT3) (ℎ𝑃,𝜎𝑐)

(𝑃,𝜎ℎ𝑐) (RT4)

(𝑃,𝜎ℎ𝑐) (ℎ𝑃,𝜎𝑐) 2) Quy tắc chuyển gia tử bao hàm:

3) Quy tắc suy diễn modus ponens và modus tollens

≡

Dựa trên logic mệnh đề giá trị ngôn ngữ và các quy tắc suy diễn, chúng ta

có được phương pháp lập luận trên ngôn ngữ

Bài toán lập luận xấp xỉ ngôn ngữ là tìm kiếm các luật mờ bằng phương pháp suy diễn theo nghĩa xấp xỉ từ các tiền đề mờ ở dạng ngôn ngữ Giả sử

cho trước các khẳng định K bao gồm các câu mờ có giá trị chân lý ngôn ngữ

dạng σTrue, bằng các quy tắc suy diễn ở trên chúng ta có thể suy ra được các

kết luận gì từ K?

Tương tự như trong logic cổ điển, một dẫn xuất từ K là một dãy hữu hạn

các khẳng định (𝑃1, 𝑡1), … , (𝑃 𝑛, 𝑡𝑛) sao cho mỗi i=1,2,…,n, (𝑃𝑖, 𝑡𝑖) thuộc K hoặc

(𝑃𝑖, 𝑡𝑖) được suy ra từ các khẳng định (𝑃1, 𝑡1), … , (𝑃𝑖−1, 𝑡𝑖−1) bằng một trong các quy tắc suy diễn (RT1), (RT2), (RTI1), (RTI2), (RMP), (RMT), (RPI), (RSUB) và (RE) Khi đó (𝑃𝑛, 𝑡𝑛) gọi là một dẫn được từ K, ký hiệu 𝐾 ⊢ (𝑃𝑛, 𝑡𝑛)