Vật lý đại cương nguyễn hữu xý, nguyễn văn thỏa, trương quang nghĩa tập 1, đại học và trung học chuyên nghiệp, 1985

Trong chương này chúng ta chỉ nghiên cứu chuyền động của một chất điểm Như ta đã biết, chuyền động cơ học có tính chất tương đối, vì vậy khi xé, _ chuyền động của một điềm, cần xác định

LỜI NỔI ĐẦU

Bộ giáo trình « Vật lý đại cương», do các cán bộ giảng dạy vật lý của trường Đại học Tông hợp Hà nội biên soạn, gồm nhiều quyền đã lần lượt xuất bản trong những năm _

từ 1970 — 1976, đến nay đã qua -khoảng 10 năm Trong thời gian đổ bộ sách đã được sử

dụng làm sách giáo khoa cho sinh viên vật lý trường Đại học Tồng hợp Hà Nội Trong

quá trình sử dụng sách, một số vấn đề nội dung cũng như phương pháp trình bày đã được v xem xét lại theo hướng làm cho sách phù hợp tốt nhất với yêu cầu đào tạo Mặt khác

trong thời gian qua nhiều phát minh vật lý mới đã được ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật, ` |

Xuất phát từ tình hình trên, bộ sách đã được viết lại, nhiều chương trình mới được _“ |

Quyền Cơ học xuất bản lần này có 11 chương, bao gồm toàn bộ nội dung của chương trình Cơ vật lý giảng dạy ở năm thứ nhất khoa vật lý trường Đại học Tổng bợp Hà Nội

Phần một gồm các chương từ I — V trình bày các khái niệm và định luật cơ ban _ về chuyền động của chất điềm Riêng chương V trình bày tính chất tương đối của chuyền -

động, đề cập đến một vấn đề cơ bản và sâu sắc của vật lý học Nội dung chương này phần

Phần hai gồm các chương VI, VỊI, VIII trình bày các khái niệm và đinh luật eơ bản về chuyền động của vật rắn, Phần này được bắt đầu bằng các khái niệm mômen động -

lượng, mômen lực, mômen quán tính Với các khải niệm này việc chuyền từ các định luật

và tính chất chuyền động của chất điềm sang các định luật và tính chất chuyền động của

Phần ba gồm các chương IX, X, XI trình bày cơ học các môi trường liên tục:

chuyền động dao động và sóng, biến dang cia vat ran, co hoc chất lưu

Nội dung các vấn đề trong phần hai và phần ba được trình bày khá ngắn gọn trong khuôn khồ chương trình vật lý đại cương ae

Cuốn sách sẽ được dùng làm sách giáo khoa cho sinh viên khoa vật lý trường Đại học Tông hợp Hà Nội, tuy nhiên sách cũng có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh

Vì khả năng có hạn cuốn sách khó có thề tránh khỏi những sai sót, chúng tôi mong - các bạn đọc đóng góp cho nhiều ý kiến phê bình, nhận xét, đề lần xuất bản sau được

Hà Nội, ngày 01 thang 2 ndm 1985

PHIN I

€ẤC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN

VỀ CHUYỀN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỀM

CHUONG I

§1 Chuyền động của chat điềm _

1 Chuyền động cơ học, Chuyển động cơ học là sự thay đồi vị trí của vật này đối với vậi khác Í~

hoặc của phần này đối với phần khác của cùng một vật

- Dễ đàng quan sát thấy chuyền động cơ học có ở khắp mọi nơi xung quanh

_ta: người di, xe chạy, tên lửa bay Tuy nhiên xem một vật cụ thể nào đó là _“:

đứng yén hay chuyền động cũng chỉ là xét một cách tương đối Thật vậy, nếu xem

quả đất là đứng yên thì sẽ thấy người, xe, tên lửa chuyển động đối với quả đất - y

(cả mặt trời cũng trở thành chuyền động tương đối quanh quả đất!) Trái lại nếu ˆ

xem mặt trời là đứng yên, thì phải thừa nhận quả đất vừa tự quay vừa dịch chuyền _`

—„ Khái niệm đửng yên cũng chỉ có tỉnh chất tương đối, cho đến nay người ta

chưa: tìm được vật nào đứng yên tuyệt đối cả Ngay mặt trời cũng chuyền động _

xung quanh (âm thiên hà của chúng ta và thiên hà này cũng chuyền động tương `

đối so với các thiên hà khác trong vũ trụ bao la ST Ä

Chuyền động cơ học là đối tượng của môn cơ học Trong cơ học, phần nghiên -

_ cứu tính chất của các chuyền động mà không xét đến các nguyên nhân gây racác

chuyền động đó gọi là Động học, Như vậy động học chỉ nghiên cửu những tính

chất hình học của chuyền động, tức là sự thay đồi vị trí tương đối của các vật

mà thôi -

Đề mô tả chuyền động của một vật có kich thước, cần biết rổ chuyền động

của mọi điềm trên vật Tuy nhiên khi kích thước của vật bé so với khoảng cách

dịch chuyển mà ta xét đến, mọi điểm trên vật dịch chuyền như nhau hoặc gần như

nbau, thì có thề mô tả chuyền động của vậi như chuyển động của một điềm và a

_ vật đó được gọi là hạt hay chất điềm

Trong chương này chúng ta chỉ nghiên cứu chuyền động của một chất điểm

Như ta đã biết, chuyền động cơ học có tính chất tương đối, vì vậy khi xé, _ chuyền động của một điềm, cần xác định rõ điềm ấy chuyền động so với những -

vật nào được xem là đứng yên, — _ số

| Hệ vật mà ta qui ước là đứng yến và dùng làm căn cứ, làn mốc xác định `

vị trí của điềm chuyền động được gọi là hệ quí chiếu

ape

_ động tròn đối với xe và chuyều động của xe đối với mặt đường +

đường; có thề xác định được: chuyền động của một điềm trên vành se dap dé imei vie

Khi khảo sát chuyền động ta có thề chọn hệ quy chiếu này hay hệ quy chiếu

_ khác Chuyển động sẽ được mô tả một cách khác nhau đối với các hệ quy chiếu ”,

khác nhau Thí dụ, xét chuyển động của một điềm lrên vành xe đạp đang chạy ˆ

nếu chọn hệ quy chiếu là xe đạp thì mỗi điềm trên vành xe đạp đều thực hiện một,

chuyền động tròn; nếu chọn hệ quy chiếu là mặt đường †hì mỗi,điền trên vành

sẽ tham gia một chuyền động phức tạp, là tổng hợp éủa hai chuyền động: chuyển © + ‘

Khi xét một chuyển động cụ thể, người ta thường chọn hệ quy chiến sao _

cho việc mô tả và nghiên cửu tính chất chuyền động được đơn giản hơn cả số

Đề mô tả chuyền động trện trái đất, người ta thường chọn hệ quy chiếu là -

Irái đất hay là một hệ vật nào đó không chuyển động đối với trải đất, ví dụ, đề

nghiên cứu chuyển động của một quả đạn pháo, ta có thề chọn hệ duy chiếu là ”?

Đối với hệ quy chiếu trái đất, chuyền động của các hành tỉnh có vẻ phức | 2 tạp đến nỗi trong nhiều thế kỷ các nhà thiên văn không, sao tìm ,đyyyc một tách ©

chính xác quy luật chuyền động của các hành tỉnh Mãi đến đầu thế kỷ thứ 17' sản

nhờ sử dụng hệ quy chiếu mặt trời (hệ quy chiếu Copernie), Kepler triới”tlm đước - ›

quy luật đúng đắn mô tẢ chuyền động của các hành tỉnh trong hệ mặt trời "Vĩ

vậy đề xét nhiều chuyển động trong vũ trụ người ta thường dùng hệ quy chiếu:

Copernic, Cần chú ý thêm rằng, chuyền động tuy được: mô.tả khác nhau;tròng:cắc

hệ quy chiếu khác nhau, nhưng nếu biết chuyền động tương đối của các hệ quy: :

Chiếu có thể từ cách mô tả chuyển động đối với.hệ,quy chiếu này suy¿ra cách mô;

tả chuyên động đối với hệ quy chiếu khác Ví dụ biết chuyền dong tron cia! mot

mặt đường

, Dé mé tA vi tri tcong mot hé quy chiéu người ta oòn phải đưa: vào đơu:9{‹sii -

đề đợ độ đài, đơn vị này có thể là kích thước của một vật thể chuẳn: hoặe khoảng,

cách chuẩn giữa hai vật thể Đơn vị đề đo thời gian có thề là độ đài của chu ky ici

hoặc mật phần chu kỳ của một quá trình chuẩn nào đó; Trong hệ SỊ,đợn vị độ dài ˆ -ˆ

được chon là mét (m) và đơn vị thời gian được chọn là giây (see) cụ ĐỒ làn vũ

sau khi đã đưa vào đơn vị độ dài, đơn vị thời gian yi tri của một điền

trong không gian được mô tả một cách hình học Mỗi điểm trong không ,gian được ;iu

đặc trưng bởi tập hợp của ba số (Ví dụ x, y, z trong bệ tợa độ đêcac) và ngƯỢđ: nịc-

— lại tập hợp của ba số trên xác định vị trEela` -'

một điềm trong không giản .Tập hợp của ba, số, ,-,

đó gọi là tọa độ của điểm đã cho - oụ

Sau đây chúng ta: xét một số' hệ tọa: độ:

thường dùng trong cơ học cũng: như trong xất:

ly noi chung, - ~ ee,

a) Hệ lọa độ Đêcac Hệ'toa độ đêcac gồm "

ba ,truc toa d6, Ox, Oy, Oz vuông !góe: với nhau `

từng đôi một, hợp: thành một tan điện thuận:: 5

Oxyz, trong do O gọi:là gốœlọa d§ (hints }1) Vy

,trí của một điền bất kỳ M nào đó được đặc dđrưng hoặc bằng vectơ bán kính z hoặcthằng bu ¡ý

trên ba truc toa 46 Ox, Oy, Oz, ta thấy Ting ©.” , ¬_

bì Hệ tọa độ trụ

Trong hệ tọa độ trụ, vị trí của điềm Bất kỳ M' được xác định bởi bá tọa độ

_- giữa trụ Ox và pe, cén z là hình chiếu đủa ‘r trén tru Oz Cac vecto đơn vị trong

hệ tọa độ trụ là Xà Trong đó eo là veclơ đơn vị dọc theo trục ø, ®ạ 1à -

As

vectơ đơn vị vuông góc với trục p và trục Öz và.htrớrig thếo chiều tăng của ợ, ® _

ï So r= P&, + ZOz- ` " :

' (12}-.,: / 7 Sod

Biết bartoa độ trụ của một điểm ta'có thể xáo :định' được ha tọa'86:đãếgo bê 2

ca : x= p00se, ! ÿ = gšỈng,"'2=2 - _ (8

ngược: lại ta có

' eo) Hệ tọh độ cầu °Ý số ee

Trong hệ tọa độ cầu, vị trí của điềm M bất kỳ được xác định bằng tợá “ấp *”-

r, 9, ọ (hình 3), trong đó r là độ dài của vectơ bản kinh r, 9 là góc giữa trục Oz' ˆ

_ và r còn g6 đượp địt *ágBÍu°BtfecLDngMH:foađÓ trục nàn

‘y] dgéthea truer; eg la ivecto! don ¥pnéin trong “init: phing kish tuyén €PQWMAM s

và vướng đóc với e, và có phường! theo tHiều tăng của 8; ey được đính gHfa Khử”

trong hệ tọa độ trụ Nhu vay vectơ''Bãn kinñ Eửa điềm M bó đạng'” "` \ `

Hink 1.2

- điềm ấy dại những thời điểm khác, nhau, Nói một cách khác, chúng ta cần biết, -

- vectơ bản kinh của chất điềm là hàm của thời gian ¬

-_ viết dưới đạng tọa độ, Trong hệ tọa độ đêcac ta có

vậy ta nói rằng trong 'hậ tọa độ ‘tra, mét chuyển động bất ky được phân tính,

của điềm ấy bằng các phép biến đồi sau? ¬"

trong các hệ tọa độ khác nhau một cách thích hop dé mé tả chuyền “động Thòng' °!”: thường nếu chất điểm chuyền động theo một đường thẳng ta chọn hệ tọa độ đêcac,

nếu chất điểm 'chuyền động quanh một trục: ta chọn hệ tợa độ trụ,:còn nếu chất |

° 3, Nếu chất điềm chuyển động trong một mặt phẳng người ta thường xét tron§-

mặt phẳng z== 0 Khi đó hệ tọa độ đêcac có hai tọa độ là x và y, con các hệ tọa:

3 Cac hé tọa độ đêcac, trụ và cầu đều là các hệ tọa độ trực giao, tức là các.”

hệ tọa độ rong đó các veelơ đơn-vị đọc theo các trục đều vuông góe với nhau từng

Phương trình trên biểu điễn vị trí của chất điềm theo thời gian và gọi id -

Ba phương trình trên mô tả ba chuyền động thẳng đọc theo ba trực lọa độ

Ox, Oy, Oz Vi vay ta nói rằng trong hệ tọa độ décac một chuyền động bất kỳ

phương trình thứ, nhất trong (1.10) mô tả chuyền động thang doc theo truge

phương trình thứ hai to-t4 chuyén dong tron trong mit phẳng (xOy) xung quaảhh ' tâm O, còn phương trình thứ ba mô tả chuyển động thẳng doc theo truc Oz “Vi -

gy

thành hai chuyên động thŸñg và một chuyền động tròn,

8

Phương trình thứ nhất trong (1.11) mô tả chuyên động thẳng đọc theo trụer; '

các phương trình thứ hai và thử ba tương ứng mô tả các chuyển động tròn dọc -

theo các kinh tuyến và vĩ tuyến Vì vậy trong hệ tọa độ cầu, một chất điềm chuyền

động bất kỳ có thể xem đồng thời tham gia vào một chuyền động thẳng và haji,

Khi chuyền động vi trí của chất điềm luôn luôn thay đồi, vạch thành một ES đường liên tục trong không gian, đó là guỹ đạo của chất điềm chuyền động.1=>-71 ` Biết hệ phương trình chuyển động có (hề suy ra được phương trình quỹ 'ˆ- -

hệ phương trình (1.9) ta được

f\(x,y)=0, fy,z=0 (42

f¿(x, y)— 0 là phương trình đường cong

không gian fi(x, y) =0 là phương trình

mặt trụ có đường chuần là đường cong |

C: va dwong sinh song song với trục z cu

phẳng (yOz) đồng thời cũng là phương trình mặt trụ có đường chuẩn là đường -:

Quỹ đạo của chuyển động mà hệ phương trình (1.12) mô tả là đường cắt e

Như vậy hệ phương trinh mé ta quf dao chuyén dong cia chat diém gdm’

hai phương trình vô hướng độc lập, mỗi phương trình mô tả một mat cong trong -

không gian Quỹ đạo của chất điềm chính là đường cắt của hai mặt cong đó, ˆ

Trong các hệ tọa độ khác nhau, các phương trình quỹ đạo nói chung có - dang khác nhau, nhưng chủng cùng mô tả một quỹ đạo xác định Nếu quỹ đạo cia |

một chất điềm nào đó là một đường tron trong hệ tọa độ đêcac thì nó cũng là :.- ›

đường tròn trong các hệ lọa độ trụ hoặc cầu gắp với cùng một hệ quy chiếu Tuy : nhiên trong mỗi hệ quy chiếu, quỹ đạo của một chất điểm chuyển đông lại có một hình ˆ'-.-: đạng xác định, chẳng hạn trong một toa tầu chuyển động đều, nếu ta buông cho:

một vật rơi tự đo thì quỹ đạo đối với hệ toa tàu là một đường thẳng, trong khi -

đó đối với hệ quy chiếu mặt đường, quỹ đạo của vật đó lại là một đường parabol :

_ Quỹ đạo là một trong những đặc trưng cơ bản của chuyền động Tuy nhiên -

trên cùng một quỹ đạo, chất điềm có thể chuyền động theo những quy luật khác -

nhau Khi chuyển động, ở những thời điềm khác nhau chất điềm tồn tại ở những - ' -

nào đó tại những thời điềm khác nhau Vì vậy bên cạnh phương trình quỹ đạo: - -

chung ta cần phải biết quy luật' chuyền động của chấtđiềm trên quỹ đạo đó, Bọi - ˆ

— già độ dai ¢ của quỹ đạo tính từ gốc O11 nào đó Chiều đương của s lấy theo chiều ˆ

_- chuyền động của chất điềm Khi đó quy luật chuyền động của chất điểm ''tiên quỹ -

đạo sẽ được cho bởi phương trình

- fạo ab va nim trong mặt những z=Ú

"trong đó R, wo, A = const

Ta phải tìm phương trinh quy dao va quy luat chuyền động của chất điểm ˆ si

Khử t khỏi (1.12) ta được

x? 4 y? — R?

'2= 0

Trong Soin thời gian dt, chất điềm chuyền dịch được: quãng đường: tt

= Vdx? + dy? = wRadt, hay las=s,4+oRt, -

Vậy chất điểm chuyền động đều trên đường tròn với:tốc' độ v=>aR: dì %

Ví đụ 2 Cho phương trình chuyển động của chất điềm trong hệ tọa độtrụi imp i

_— Đề tìm phương trình quỹ đạo và: quy luật chuyền động của a chit điểm twit :

làm như sau Khử t khỏi (1.15) ta được:

Như vậy quỹ đạo là một đường xoắn trên mặt trụ bán kính' Ried trục đếtãno

xứng: là trục O,

Trong khoảng thời gian 1 dt, chất điềm dich chuyền quing đường *

_ ds = Vdx? + dy? + dz? = VaR? + A® dt,:

Ngoài vị trí, chuyẻ‹ động của chất aitm còn được đặc trưng bling: vận Wes -

của nó Trong chuyền động thang đều vận téc duoc xac dinh bang ty 86 gittaiqaang - be

đường dich chuyền của chất điềm và khoảng thời gian mà chất điềm dịch chuyền _-

hết quảng đường ‹ đó Trong chuyển động thẳng không đều, hạt chuyềnrđời hie nhanheA.'

lúc chậm và ở mỗi thời điềm, chuyền: động được đặc trưng bằng một xên.tốc (khác ‹i

nhau Nấu trong khoảng thời gian vỏ cùng bé di kề từ một: thời điền 1 nàơ đó,, : E:

hat dgch chuyên được một đoạn đường vô cùng bé dx, thì trong khoảng thời gian a ‹

vô cùng bẻ aye chuyén động có thề xem là đều và vận tốc tại thời điền đó: _

_ v6 cling bé ds của hạt

Nhu vay vận tốc bằng đạo hàm của tọa độ theo thời gian và nói chung là - -

hàm của thời gian v= vq):

Biết biều thức của vận lốc, ta có thê xác định được quãng đường đi cia

hat trong một khoảng lhời gian cho trước Nếu chọn gốc tọa độ x — 0 là vị trí của-

chat & thoi diém t— 0, thì vị trí của hạt ở thời điềm ! được xác định bằng cách ẹ Hai lấy tích phân :

dx = vdt

t

°

Trong trường hợp tông quát, khi chuyền động không đều và có phương thay

đồi, thì vận tốc của hạt được định nghĩa là một vectơ, bằng tỷ số của vectơ độ

đời wô cùng bé ds.của bạt chia cho khoảng thời gian vô cùng bé dt đề hạt đi được

độ dời ấy Gọi v là veclơ vận lốc, ta có

ds

dt

chiều của veclơ vận lốc v trùng với chiều của vector độ đời ds, tức là:ở mỗi thời

diam, van tốc hướng theo phương kiếp tuuến uới quỹ đạo oà lheo chiều chuuền a

động của hạt

Bây giờ ta lấy hai vị trí vô cùng gần nhau của hạt, ứng với các veclơ bán

_ kinh r và r + đr (hình: 1.5) Rõ ràng là vi phân của vectơ bán kính dr bằng'độ đời -

Vậy vận tốc của chất điểm tại một điểm nào đó

bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian ctia vecto

bán kinh tại điềm đó

Từ các công thức (1.18) hoặc (1.19) ta thấy - Hình 1,5 `

rằng thứ nguyên của vận tốc bằng mét trên giây (m/s)

' 2 Bitu thire cla van téc trong cdc hệ tọa độ đêcae, trụ và cầu

8) Trong hệ tọa độ đêcac độ dịch chuyển vi phân của chất điềm:

Như vậy thành phần vận tốc của mot chất điểm trên một trục tọa độ đang

bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của tọa độ tương ứng

Vì trong hệ tọa độ đêcac các thành phần của vận tốc vuông góc với nhau

từng đôi một, nên ta đễ dàng xíe định được giả trị và hướng của vectơ vận tốc „

v = Vy + vệ -L vì = Võ? + p?¿2 +z? ho (1.38, 5 c) Trong hệ tọa độ cầu, độ dich chuyền vi phân của chất điềm: ¬

re) St: +

Từ đó suy ra các thành phần của vectơ vận tốc trong hệ tọa độ cầu

pee gee oe “¬" "anh a me mee pee

Dura trêu Hình trực giao của hệ tọa độ cầu ta suy ra được giá trị của vec lơ vận lốc - °

oe Trong mục trên chúng ta đã đưa vào các đại lượng đặc trưng cho sự thay

- "găn đỉnh ốc thuận thì đỉnh ốc tiến theo chiều của veotơ

- vận tốc góc œ (hình 1.8) Nếu gọi n là vettơ đơn vị đọc

theo, vectơ vận tốc góc ta có

oa pate (1.34)

đt x

, — Rö ràng là khi đó veetơ vận tốc góc ø, veclơ bán,

“kinh r và vectơ vận tốc của chất điềm chuyền động họp ©

Thay vào (1.36) ta được

Xĩlmot chấtđiềm chuyển động theo mội đường cong (Ö) Gia st “PP;

vung’ he bất kỳ của: đường cong do Qua Pi, Pz vă một điềm Bait, ky P

gần đúng lă một cung của: vòng - trín ¬ vă công

đúng nếu P¡ vă Pạ căng gần nhau, tức lăăbkưnng

"Khi P;¿ tiến đến' P_ thbwông trờ8: z Hiền (HIỂU, đến một vị tri giới hạn gọi lă đường tròn: mật tiếp : với đường cong (C) tại P¡ (hình 1.7) Nếu gọi R: Ỉ bản kinh của đường tròn mật tiếp ấy thi:

Mặt phẳng chứa đường tròn mật tiếp với đường cong gọi lă mặt Lphẳng mật :

- tiếp với đường cong tại điềm tương ứng Phâp tuyến với đường cong tại điềm:

vă nằm trong mặt phẳng mật tiếp được gọi lă phâp tuyến chính vă bản kính cya”

đường tròn mật tiếp tương ứng gọi lă bân kính chính: 'kRúe lảy bản kinh đ : cong tại điềm đê cho

2 Gia tóc tiếp tuyến vă gia tốc phâp tuyến :

_._ Trong trường hợp-ehung, vận tốc của một het Tuba tude biến đổi che độ

lớn lẫn phương chiều Đại lượng đặc trưng cho sự biến thiín của vận tốc theo thời: t!©:gian gọi lă gia tốc của hạt vă: được xẩ' định bằng đạo hăm của van ta theo

Mặt khâc ta lại có v = đs/dt: Nếu gọi + lă eđfớ đơn ý đặc: theo phường

ds

Y——-.Tr—-Vt

dt Thay (1.45) văo (1.44) ta được:

ca a= wv + ye `

| ¬ Gọi tạ và z; là hai vectơ tiếp tuyến đơn vị ở rất gần nhau, ta có dĩ =

— =+;-¬z¡ (hình 1.7), ĐỀ đễ so sánh chúng ta tịnh tiến vectơ x¡ lại gần vectở +,

._ sao cho chúng có chung một gốc (hình 1.8) ˆ ae

Vi dx la mot vecto vo cing bé va |z:| = |*zÌ =

.vectơ œ„ Nếu ta gọi m là vectơ đơn vị vuông góc với tiếp tuyến và hưởng vào lâm

Gia tốc tiếp tuyển a„ có thể âm hoặc dương tùy thuộc vào hướng của veoclơ ~ gia tốc Nếu v = const-thì gia tốc tiếp tuyến bằng không va ta co chuyền động: ` đều, Nếu v tăng đầnotbeo thời gian thì gia tốc tiếp tuyến lớn hơn không và cùng ~ ,auotướng với vận tốc Chuyển động của chất: điềm trong trường hợp này là chuyển a

-.ø động nhanh đầne Nếu.w.giảm đần theo thời gian thì gia tốc tiếp tuyén am va)” 2

hướng ngượo:chiềun xới vectơ vận tốc, Chuyền động của chất điềm trong trường _ hợp này là chuyển động chậm dần Như vậy gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự -

thay đồi về tốc độ lớn của veclơ vận lốc - :

Gia tốc pháp tuyến a bao giờ cũng hưởng về phía lỗm của quÿ đạo, về

` phía tâm của vòng tròn mật tiếp tại điềm đang xét Độ lớn của nó tỷ lệ với bình:

phương vận tốc và tỷ lệ nghịch với bán kinh độ cong Gia tốc pháp tuyến xác định -

sự thay đồi về phương của vận tốc

— Trong trường hợp riêng, chuyểền.động thẳng, bản kính độ cong bằng vô -

cực, gia tốc pháp tuyến triệt tiêu và vectơ gia tốc chỉ có một thành phần là thành

phần tiếp tuyến và hướng dọc theo phương của chuyền động thẳng Khi hạt chuyển

EG

công

“3

4

động tron đều, độ lớn của vận tốc không đồi, gia tốc tiếp tuyến bằng không,: ala OSS

tốc pháp tuyến sẽ có độ lớn không đồi, tỷ lệ nghịch với bản kính quỹ đạo và SA

luôn hướng vào lâm đường tròn Vì vậy gia lốc phép tuyến trong chuyển: động ù

_ Hệ tọa độ tự nhiên gồm ba trục tọa độ vuông góc Gốc ida độ đặt ở vị, Ay

tiếp tuyến đương của quỹ đạo tại vị trí ấy và có veotơ::

đơn lvị z Trục tọa độ thứ hai cùng "hướng với pháp

tuyến chỉnh tại P veclơ đơn vị là n Hai vectơ evàm ` nằm trong mặt phẳng mật tiếp với quỹ đạo tại P Trục:

tọa độ thứ ba vuông góc với mặt phẳng mật tiếp tại BP,

vecto đơn vị là b—{x X n] Ba trục tọa độ trên tạo

High 1.9 thành một tam điện thuận Như vậy hệ tọa độ tự nhiề

` aa thay đổi theo vị 'trí của chất điềm chuyển động P v

phan ảnh một phần tính chất hình học của quỹ đạo °

Trong hệ tọa độ tự nhiên, vectơ vận tốc v và giả tốc tiếp tuyến a luôn, luôn nằm trên trục tọa độ thứ nhất, còn gia tốc pháp tuyến a› luôn lưên niin trên trục tọa độ thử hai

13 Cho mật chất điềm chuyền động với gia tốc tiếp ¬ không

đồi œ¿ =a Tính vận tốc và phương trình chuyền động của chất điềm trong hệ

1.4, Biu điễn gia tốc của chất điềm theo tốc độ góc -

16 ` + :

1.5 Mot vidn dai phao ditoc bắn lén với tốc độ ban đầu v„ và làm với -

phương ngang một góc bằng œ Xác định phương trình quỷ đạo của chuyền động

Tỉnh độ cao và tầm xa của viên đạn Biết rằng sức cản của không khí là không

— 1.6, Cho một bánh xe bán kinh R lăn đều theo một đường thắng với tốc

độ góc œ không đồi, Tính vận tốc và gia tốc của một điềm trên vành bánh xé $0

với mặt đường

_ Đáp SỐ -a) Y=oR(l — f0sof)ex + cosat.ey

1.7 Cho một hạt chuyền động đọc theo một nửa đường thing OA với vận aoe tốc tỷ lệ với khoảng cách v —kR Nửa đường thẳng OA quay quanh tâm O với

Vận tốc góc w không đồi trong mặt phẳng ngang Xác định phương trình quÿ đạo,

vận tốc và gia tốc của hạt đối với mặt phẳng đã cho Biết rằng lúc t0 hạt ở °

1.8 Tỉnh gia tốc của một chất điềm trong các hệ tọa: độ đâoAo, trụ, cầu,

` b) a=(o— pee to ae g)ey + zes

c) a =(r— rt? ~ _

+ R a (r? 8) — rsindcos0.¢ a gt + [ 1L _Ởđ rayïng, oles

rsinO dt

CHUONG II

DONG LUC HOC CHAT DIEM

Trong chương trước, chúng ta đã nghiên cứu phương pháp mớ tẢ- chuyền -

động của một chất điềm Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu đến các tÁC

nhân làm thay đồi chuyền đông và các quy luật chỉ phối chuyền động

Quan sát và nghiền cửu chuyển động của các vật thể, chúng ta nhận thay

bác vật chỉ bắt đầu chuyền động cũng như chỉ thay đồi chuyền động khi chịu tác '

tàu bắt đầu chuyền bánh, khi bánh xe động lực của đầu máy tác dụng vào —

ray (nói đúng hơn khi đường ray tác dụng vào bánh xe) Trái đất và các hành ?' tỉnh chuyên động quanh Mặt trời theo sự chi phối của lực hấp dẫn của: mat 4

Các định luật động lực học xác định mối quan hệ giữa chuyển động và nguyên nhân gây ra hoặc làm thay đồi chuyển động Nói cách khác, các định luật

chuyển động của vật Trong số các định luật ấy, thì cơ bản hơn cả là ba định, luật Niufơn Trong chương này, chúng la sẽ nghiên cửu ba định luật này trong ` trường hợp chất điềm, và sẽ áp dung ching đề giải một số bài toán về động lực :

học chất điểm Trước hết ta cần làm sáng tỏ các khái niệm cơ bản là chất điềm, =

1, Chất điềm

Chuyén động của một vật thường khá phức tạp, mỗi aitm t trên vật có the

chuyén dong theo những quỹ đạo khác nhau đề đơn giản việc nghiên cứu, chúng ˆ

ta co thé nghiên cứu chuyển động của một điểm xác định trên vật sau đó nghiên :

cứn chuyền động của các điềm khác đối với điềm đặc biệt ấy Như thế chúng _

ta đã phân tích chuyền động phức tạp của vật thành hai chuyền động đơn giản ˆ

hơn ; chuyền động của một điềm xác định, chọn một cách đặc biệt trên vật, là: ”-ˆ

chuyền động chung của cả vật và chuyền động của vật quanh điềm ấy, coi như mot

điềm cố định

của trải đất quanh mặt trời, v.v Kích thước của vật là nhỏ, không đáng kỀ so - với quãng đường chuyền động, sự khác nhau về chuyền động của các điểm trên ˆ` oo vật không đáng chủ ý bằng chuyền động chung của ca vật, vì vậy có thệ bổ qua, :

_ nếu chủng la chỉ ch # đến những đặc điểm chủ yếu trong chuyền động cha val '*-; :

Khi đu nghiên cửu chuyền động của vậi, ta co thể coi no như một «điềm hình -ˆ

học», man toàn bộ khối lượng của vật Điềm như thế gọi là một chất điềm”

điềm là một vật, mà kích thước có thể bồ qua so với những khoảng cách mà ta :

- Có thể eoi một vậi:nào đó là một chất điểm được hay không, điều đó phụ `

của một viên dan pháo tầm xa, nếu chỉ chủ ý đến tầm xa cổ hàng chục kilômẻt,

(co học) lả một đại lượng vat ly dae truhg cho tương lác cỡ học giữa các vat

Chính lực cơ học tác dụng vdo cdi xe, nào đoàn tàu đã làm thay đồi trạng thải

chuyền động của chúng, và cũng chính lực cơ học téc dụng vào cái cung đã làm,

_ biến dạng cái cung Ta có thề định nghĩa: Lực cơ bọc là nguyên nhân oật lý làm: - a

Tương tác giữa các vật có thề xảy ra khi các vật tiếp cận với nhau ( người:

đầy xe, mặt đường tác đụng vào bánh xe ) Tuy nhiên tương tác giữa các vật cũng

co thé xây ra khi các vat không tiếp cận với nhau (tương tác hấp dẫn; tương tác:

điện từ ) Vì lẽ trên, về mặt cơ học người ta phân các lực làm bai loại; loại thứ - +

nhất gồm các lực xuất hiện kbi có tiếp cận giữa các vật tương tác như lực đàn hồi,:

lực ma sát; loại thứ hai gồm cóc lục xuất hiện: khi các vật tương tác không tiếp

cận với nhau như lục hấp dẫn vạn vật, lực điện từ

Các vật tương tác Liếp cận với nhau thường gây biến dạng; chính sự biến - „

đạng của các vật là nguyên nhân làm xuất hiện lực đàn hồi Trong tự nhiên không

có, những vật rắn tuyệt đối, không chịu biến đạng, tuy nhiêu sự biến dạng thường -

khá bẻ và không phải bao giờ cũng dễ dàng nhận thấy nếu không sử dụng những

thiết bị đặc biệt đề phát hiện Một chiếc lò xo khi bị biến dang (nén hay kéo) sẽ

tác dụng lên vật nén hay kéo nó một lực đàn hồi Tương tự như vậy, mọi vật -

“khác trong một chừng mực nhất định cũng có thể bị biến dạng và khi ở trạng thái

biến đạng sẽ tác đụng những lực đàn hồi lên vật đã làm nó bị biến dạng Độ lớn,

của lực đàn hồi phụ thuộc vào tính chất và mức độ biến dạng

[are ma sát không chỉ phụ thuộc vào đặc trưng biến dang ma con phu thuộc,

nhiều yếu tố khác như vận tốc tương đối, trạng thái bề mặt của các vật tiếp cận

nhau và cọ sát lên nhau

Các lực loại hai xuất hiện khi các vật tương téc ở xa nhau Ta noi là giữa :

_ các vật tương tác có một trường lực, hay vật này được đặt trong trường lực của

vat kia Chang hạn, mọi vật thể đều tạo ra trong không gian xung quanh một trường

hấp dân, vật tích điện tạo ra trong không gian xung quanh một điện trường, các

hạt tích điện khi chuyền động còn tạo ra một từ trường Bất kỳ vật nào đặt trong Tà :

một trường hấp dẫn cũng chịu tác dụng của lực hấp dẫn Vật tích điện đặt trong: :

` một điện trường chịu tác dụng của lực điện Từ trường tác dụng lên điện tích: me

chuyền động một lực điện từ

Sự phân chia các lực cơ học thành hai loại chỉ có tỉnh chất quy tước Thật

vậy, tác dụng của các lực loại một thực ta cũng thông qua một loại trường tồn

tại giữa các nguyên tử hay phân tử của các vật tiếp cận nhau Tuy nhiên, đặc

điềm của loại trường này là giảm rất nhanh theo khoảng cách, vì vậy ảnh “hưởng,

của nó chỉ phát hiện thấy ở những khoảng cách rất bé giữa các phân tử của một

vật hay của hai val tiép cận nhau Như vậy mọi loại lực tương tác đều thông qua

Bản chất các loại lực tương tác sẽ được nghiên cứu trong các lĩnh vực khác

nhau của vật lý Trong cơ học chúng ta chỉ chủ y xét xem {rong từng trường hop

cu thé đã có những lực nào xuất hiện, độ lớn của c1e lực đó và vai Lrò của chúng"

đối với chuyền động

Tác đụng của lực được đặc trưng bởi bốn yếu tố: -điểm đặt, phương, chiều

và cường độ Vậy lực là một đại lượng vectơ, có thê biều điễn bằng một vecto,

và tuân theo các quy tắc tính toán biến đồi về vectơ

lượng thường được đo một cách chính xác hơn nhiều, bằng cân Cân cho phép ta _

_ quốc tế là một khối hình trụ tron bing bach kim pha Indi, đường kính đáy và đường

Muốn xác định cường độ một lục, là phải đo nó, lức là phải so sảnh đà lớn

tủa nó với độ lớn của một lực được chọn làm đơn vị Có hai phương pháp đe lực Phương pháp động là phương pháp căn cứ vào khả năng làm thsy đồ? chuyền động của mội vật mà đánh giá độ lớn của lực tác dụng Phương pháp đơ lực này và đơn vị đo lực sể được nói rõ sau khi trình bày định luật ‡hử haŸ,

Phương pháp tĩnh là phương pháp dựa trên sự so sánh tác đụng của đực

@ần đo và của lực chuẩn vào một vật thứ ba Vật thứ ba thường dùng là lực kế: ˆ :

Hộ phận chủ yếu của lực kế là một lò xo bằng thép đàn hồi, miệt

đầu được giữ cố định, ở đầu kia có gắn một kim đi động doc theo:

Độ đẫn AI của lò xo tỷ lệ với tác đụng E Nếu AI không

quá lớn, thì ta có thể coi E = kAI, với k là một hằng số Hang sd -

k phải được xác định đối với mỗi hrc kế riéng biét Mudu-do một lực Ez nào đo, ta cho tác đụng vào lò xo, làm xuất hiện độ-dân

Alx Bo Alx, ta tinh được lực Fx==kAl,/ Trong thực tổ, lực kế: được chia độ trực tiếp theo các lực F¿ làm đần lò xo các đoạn Ai)

đề khi đó ta đọc ngay được trị số lực Ex ứng với độ dan Aly eda:

Kinh nghiệm cho thấy rằng lực kế lò xo Hoạt động tất,

chính xác nếu lực F, cần đo bé hơn lực giới hạn đàn hỏi nhiều Khi F vượt quá _

giới hạn ấy, thì sau khi F ngừng tác dụng, lò xo vẫn giữ một độ biến dạng còn

cu Als, lực kế không trở về được vị trí số không và không đùng được nữa - - Lực kế lỏ xo có độ chính xác không cao (chỉ vài phần trăm) nên không -:

thích hợp cho các phép đo chính xác Tuy nhiên, vì đơn giản và sử dụng thuận ¿ -” tiện, nên lực kế lò xo cũng được dùng phô biến trong kỹ thuật, với điều kiện 1à

s© sánh trọng lượng của hai vật với mức chính xác tới 10-8, Thí nghiệm cho thấy ”

nằng, với mức chính xác ấy, tỷ số trọng lượng của hai vật, xác định ở cùng một nơi, là một hằng số chỉ phụ thuộc hai vật, mà không phụ thuộc nơi đo chúng Đó _`- cổng chính là tỉ số của những số do một đại lượng đặc trưng có ở mọi vật là khối _

kượng của ật ái cân, giúp ta xác định tỷ số trọng lượng của bai vật, cũng là 7 dụng cụ để xác định tỷ số khối lượng của chúng Khối lượng, đo đó là một đại lượng có thê đo được một cách trực tiếp, chỉ cần chọn trước một đơn vị đề đo nø.~

Trong đơn vị hệ đo lường bợp pháp của ta, đơn vị khối lượng là kilôgam, định ' nghĩa như sau: « Kiôgam là khối lượng của chuần quốc lế oề khối lượng » Chuẩn

cao xấp xi bằng 39mn, được lưu trử ở phòng cân đo quốc tế, -trong đỉnh (hạt -

Rhối lượng của một vật là một đại lượng đặc trưng cho vật, khác hần với

trọng lượng, là lực hấp dẫn do trái đất tác đụng vào vật,

Khối lượng đo được bằng phương pháp cân, dựa vào sự so sánh lực hấp dẫn

tác dụng vào vật, đặc trưng cho khả năng hấp dẫn của vật được gọi là khối lượng

§2 Định luật Niutơn thứ nhát

1, Lực và chuyền động

Khi xác định mối quan hệ giữa lực tác dụng và chuyển động, các nhà bảo

học cô Hy lạp đã từng cho ring «Lue tac dụng lên một vật càng lớn, thì vân tốc

chuyền động của vật càng cao» Kết luận trên xuất phát từ kinh nghiệm phô biến

là khi người ta kéo cái xe bằng một lực càng lớn thì xe chạy càng nhanh, xe đóng

hai ngựa chạy nhanh hơn cũng xe ấy khi chỉ đóng một con ngựa Khi ngừng đầy

hay kéo, thì xe đừng lại, Đúng là ngoại hực tác dụng vào một vật có ảnh hưởng

đến tốc độ chuyền động của vật, nhưng nói rằng vận tốc của vật tỷ lệ với lực là

không chính xác Nghiên cứu quan hệ giữa lực fác dụng 0à chujền động Niutơn

đã phát biều ba định luật cơ bản sau đây của động lực học, thường gọi là ba

dink luét Niu ton phan anh day đủ quan hệ trên

2 Định luật Niu tơn thứ nhất

Định luật này được Ñiutơn phát biều như sau :

«Moi vật giữ nguyên trạng thái đứng yên hoặc chuyền động thẳng đều (vận

tốc không đổi), nếu tồng hình học cíe ngoại lực tác dụng lên vật bằng không», |

Định luật này xét đến chuyện động của các vật trong điều kiện không ed

ngoại lực nào tác dụng lên vật, hoặc tông ngoại lục tác dụng lên vật bằng không :

Trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều là trạng thái vận tốc không thay

đồi, giữ nguyên như cũ là theo « quản tính», Vì vậy định luật này có lên gọi là

định luật quán tính Trong thực tế, chúng tà không thể bố trí được những thí nghiện:

trong đó có một vật hoàn toàn cô lập, không chịu tác dụng của bất kỳ miột ngoại °-

lực nào

Vi vay, khong thé trực tiếp kiêm nghiệm định luật này bằng thực nghiệm,

Mặt khác, phạm vi 4p dụng của định luật này vượt ra ngoài khuôn khô của những -

thí nghiệm dùng làm cơ sở cho nó, cho nên ta nện coi định luật này như một

nguyên lý, tương tự như một tiên đề trong toán học ta chỉ thừa nhận mà không

chứng minh hoặc kiểm nghiệm trực tiếp, rồi từ đó, sổ suy diễn ra những hệ quả

có thể xác nhận lại dược bằng thực nghiệm Thỏng thường những thí

nghiệm gián tiếp nay c2 thé dat độ chính xác rất cao, Nếu hệ quả được thực

nghiệm xác nhận thì có thé coi là định luật đã được xác nhận cũng với mức chính

xác ấy Việc tính toán chính xác chuyên động của các thiên thể, các chu kỷ nhật

thực và nguyệt thực, quỹ đạo của lên lửa, đạn pháo v.v đựa trên việc áp dụng

định luật này, đều là những bằng chứng gián tiếp xác mỉnh sự đúng đắn cửa _

định luật

Có thề nêu một vài kết quả qúan sát thông thường giúp chúng ta dễ dang

thừa nhận định luật Một vật nặng « đứng yên » trên bàn, tiếp tục đứng yên mãi nếu

không có một ngoại lực nào buộc nó chuyền động Sở di như vậy là vì tuy vật nặng có -

trọng lượng, tức là chịu sức hút của trái đất, nhưng khi đặt trên bàn; vật còn chịu tảo

dụng của phản lực từ mặt bàn; tổng của hai lực này bằng không

Khi đầy cho một vật nặng trượt trên sàn nhà, ta thấy vận tốc của vật giảm đầu:

và cuối cùng vật đừng lại Nhưng trên một sàn nhãn, vật có thề trượt rất lâu, và t8

4

và phản lực của mặt bàn như trong trường hợp trên, vật còn chịu tác dụng của lực cần của không khí và lực ma sát, cả hại đều ngược hướng chuyền động của vật Càng giảm : dần lực cẩn và lực ma sát; thi vật duy trì càng lâu chuyền động thẳng đều của nó, mặc - dau ban đầu vật chỉ bị day trong một thời gian rất ngắn Tạ có thề tưởng tượng rằng nếu làm trượt tiêu hoàn toàn lực can và lực ma sát; thì vật sẽ vĩnh viễn chuyền độn thẳng đều trên mặt sàn Thực tế cho thấy đúng là tàu hỏa, ôtô chuyền động thẳng và: đều khi lực kéo của động cơ cân bằng với tồng lực cần của không khí và lực ma sát của mặt đường- Trong không giau vũ trụ, con tàu vũ trụ hầu như không chịu tác dung của lực.) nào (nếu bỏ qua lực hấp dẫn nhỏ bé của mặt trời và các hành tinh) nên khi thoát khỏi - trải đất với một vận tốc v con tàu tiếp tục chuyền động theo hướng đường thẳng với vận tốc ấy, mà không cần một lực đầy thêm nào, cho đến khi bị một thiên thề khác Hữ /VÀ buộc nó thay đồi trạng thái chuyền động

2N

3 Hệ quy chiến quán tính

Định luật thứ nhất của Niutơn khẳng định rằng, một vậi khong chiw tac

dụng của một lực nào, sẽ đứng yên hoặc chuyền động thẳng đều Tuy nhiên, chuyền - ˆ

động của một vật, hoặc trạng thái đứng yên của nó chỉ co tính tương đối và:phụ ::

thuộc vào hệ quy chiếu Ngoài ra, chúng ta còn thấy hiện tượng sau đây : Ta đứng ˆ'

trong một toa tàu đứng yên, trọng lượng của ta cân bằng với phản hré của sân ` toa, bỗng tàu đột ngột chuyền bánh, mặc dù không có thêm lực nào tác đụng, ta vẫn „_ Cảm thấy bị một lực vô hình đầy về phía sau, tức là phía ngược hướng chuyền”

_ động của đoàn tàu Muốn giữ nguyên trạng thái đứng yên, ta phải bíu vào thành - a ghế, tức là phải nhận thêm một lực từ toa tàu Vậy chúng ta tự hỏi, quỹ đạo thẳng "`

hoặc trạng thái đứng yên nói trong định luật Niuton thứ nhất, là đối với hệ quy - -;

Thời Niutơn, ông coi hệ quy chiếu tâm mặt trời còn được gọi là hệ quy' chiếu Côpecnic là cố định Do đó, ông đã phát biêu định luật trên đối với hệ quy

chiếu Côpecnfc ĐỀ xác định tọa độ một điểm trong hệ quy chiếu này, người

thường dùng một hệ tọa độ vuông góc mà gốc là khối tâm của mặt trời và ba trục hướng:

tới ba ngôi sao cố định Đối với hệ này, thì mặt trời là đứng yên, mọi hành tỉnh đều chuyển đọng quanh mặt trời còn các ngôi sao, vì ở rất xa, nên cũng được co{_: -

là đứng yên Thục tế cho thấy rằng áp dụng định luật thứ nhất của Niutơn cho lệ >< quy chiếu này không đẫn đến mau thuẫn, Hệ quy chiếu Côpecníe được gọi là một -:

Hãy giờ ta xét một hệ quy chiếu X chuyển động thẳng đều với vận tốc vụ đố: `

với hệ quy chiếu Côpecniíe Giả sử một vật M không chịu tác dụng của một lực nào,

Theo định luật Niutơn thứ nhất, vật sẽ đứng yên hoặc chuyên động thẳng đều với

vận lốc v, đối với hệ Côpecnic Nếu vật đứng yên đối với hệ Côpecníc, thì đối với

hệ quy chiếu Ä, nó sẽ chuyển động với vận tốc — vo Nếu vật chuyền động với vận ˆ tốc không đồi v đối với hệ X, nó sẽ chuyên động với vận tốc không đồi (—v„ -} v), tức là chuyển động thẳng đều Trong trường hợp — v„ + v, = 0 thi vat đứng yên

đối với hệ X Như vậy, đối với hệ quy chiếu X, vật M không chịu tác dụng của lực

Định luật thứ nhất của Niutơn đúng cho mọi hệ quy chiếu chuyền động thẳng đều đối với hệ quy chiếu Côpecnio, nòi một cách khác, mọi hệ quy chiếu '

chuyền động thẳng đầu đối với hệ quy chiếu Côpe.níc đều là những hệ quy chiếu: quán lính

22

Kế tục Niutơn, các nhà vật lý coi hệ quy chiếu gắn với mặt trời đúng là

Đến đây, chúng ta có thể nêu định nghĩa:

«Hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu trong đó một vật không chịu tác

đụng của ngoại lực sẽ giữ r guyên trạng thái đứng yên hoặc chuyền động thẳng đều »

Hệ quy chiếu « đứng yên trong vũ trụ» *) lề tất nhiên cũng là một hệ quy

chiếu quản tính, hơn nữa, còn là một hệ quy chiếu đặc biệt Theo nhận xét này; -

của ngoại lực, sẽ đứng yên hoặc chuyền động thẳng đều Ta thử xem hệ Côrecnic

có thỏa mãn điều kiện nào trong hai điều kiện nêu trên đây hay không

“Trước hết, các quan sát thiên văn liên tục hàng mấy trăm năm nay đã

chứng minh rằng, hệ mặt trời có chuyền động thắng đều, với vận tốc chừng -

20km/s về phía mội điềm của bầu trời, gọi là điềm apex Sau nữa ngày nay chủng

nó với chu kỳ T=200 triệu năm Với khoảng cách tới tâm thiên hà chừng

3 10!?tm, mặt trời có chuyển động tròn với vận tốc khoảng 300km/s và với gia

x a=——=- —— v R 9.104 km 3.107 s —=3.10—!9s.E 3.19716 2, km sẽ s?

nhỏ hơn gia tốc của trọng trường trên mặt đất (8 = 10 +) cỡ 3 1018 lần Nếu , an s ,

tâm thiên hà chuyền động có gia tốc — điều này đến nay chưa thề bác bổ hoặc _

công nhận — thì gia tốc toàn phần của mặt trời có thé con lớn hơn trị số trên -

chút ít, nhưng có lễ cũng không thay đồi mấy Vậy, nói cho thực dung, bit ky hé-

quy chiếu nào gắn liền với mặt trời cũng không thé được coì là hệ quán tỉnh

Tuy nhiên, những thí nghiệm chính xác nhất hiện nay chưa cho phép ta phát biện -

được những gia tốc nhỏ như trên, tức là phát hiện những sai lệch đối với định

luật thứ nhất của Niutơn đo chuyển động co gia tốc của hệ Côpecnic sinh ra, Vi

vay, trong cơ học, chúng ta liép tuc coi hệ Côpecníc là một hệ quy chiếu'

quán tính

vào vật Tuy nhiên vấn đề cũng không đơn giản như mới thoạt nhìn, Lực tác

dụng lên một vật không chỉ xuất hiện khi vật tiếp can với các vật khác, mà còn

xuất hiện cẢ khi những vật ấy ở xa Không kề lực điện từ tác dụng lên những

hạt tích điện, mọi vật trên trái đất đều chịu tác dụng của trọng lực, lực hấp dẫn

của mặt trời của các hành tỉnh và các thiên thề khác trong vũ trụ Lực hấp: dan do’

mặt trăng tác đụng vào một vật trên mặt đất chỉ vào khoảng 10-É trọng lượng

_ tủa vật, lực hấp dẫn của mặt trời còn nhỏ bơn chừng hai lần, lực do các thiên

thề khác còn nhỏ hơn nữa Nhưng lực này tuy nhỏ, nhưng không thé bo qua trong

việc tính toán chuyền động của tên lửa của tàu vũ trụ Vậy, nói cho thực đúng,

không thŠ đựa vào trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều của một vật

đổi với hệ Côpecníc đề kết luận rằng hệ Côpecnic là một hệ quy chiếu quản tính :

Tuy nhiên, khi nghiên cứu chuyển động của một vật trên trái đất, ta có thầ bộ - qua lực hấp dẫn do các thiên thể (kŠ cả mặt trời, mặt trăng) tác dụng vào vật, so:

_với trọng lượng của vật Khi trọng lượng của vật và phản lực của mặt phẳng: ` đặt cân bằng với nhau, chúng ta thấy đúng là vật chi co thd đứng yên hoặc chuyên

động thẳng đều trên mặt phẳng ấy Từ đó, trong phạm vi gần đúng nêu trên, có thề coi hệ Côpecnic là hệ quy chiếu quản tính Si ỐC sẽ

4 Hệ quy chiếu trái đất - oe

Hệ quy chiếu Côpecnic chỉ thuận tiện cho việc nghiên cứu chuyền động của | thiên thể, hoặc của con tàu vũ trụ, mà không thích hợp cho việc nghiên cứu cae

chuyén động trên trái đất Đối với những chuyền động này, thông thường người,

_ ‡a dùng một hệ quy chiếu gắn với trái đãi, Chủng ta hãy xem một hệ quy chiếu

gắn với trải đãi trong chừng mực nào thì có thể được coi là hệ quy chiếu

Trước hết, ta xét một hệ quy chiếu không quay, mà chỉ chuyển động lịnh - - tiến đối với hệ Côpecnie Hệ quy chiếu này có gốc là tâm trái đất và có ba trục tọa độ hướng tới ba ngôi sao cố định, và được gọi là hệ quả đất không quay, Hệ - ° quả đất không quay như vậy, chỉ tham gia vào chuyền động tịnh tiến của trái đất, °| quanh mặt trời, chuyển động tịnh tiến này gần đúng là chuyền động tròn với bán -

kinh lỗ 108km từ trái đất đến mặt trời với vận tốc chừng 30km/s, gỉ”a tốc của.” trai d&t sé là:

= = py km/s = 6 10-F km ]s? = 0,6 km/s? R 15.10Ẻ ;

chưa bằng 1/1000 gia tốc trong chuyền động rơi tự do trên mặt đãi vì vậy có thệ ˆ

bỏ qua trong nhiều thí nghiệm, nhiều bài tính cơ học Vậy khi thời gian chuyền- -

động của uậi, không quá ải giờ, chuyền động tịnh tiến của trái đất quanh mặt

trời có thề coi là chuyển động thẳng đều, và hệ quy chiến quả đất không quay o& ”

Ta lại xét một hệ quy chiếu cùng quay với trải đất Hệ quy chiến này có” ?-

gốc là một điềm cố định trên trái đất, có ba trục tọa độ hướng tới ba điềm cố định-

trên trái đất, và được gọi là hệ quả đất quay Hệ quy chiếu này là hệ quy chiếu: : : biên thường dùng hàng ngày; hệ quy chiếu phòng thí nghiệm chính là một hệ quy chiếu

-l@ại này, Hệ quy chiếu quả đất quay vừa tham gia chuyền động tịnh tiến của tral

đất quanh mặt trời, vừa tham gia chuyền động tự quay ngày — đêm của trái đất

quanh trục của nó Gia (ốc trong chuyển động tự quay của mỗi điềm trên mặt đất ˆ

taay đỏi theo vĩ độ của điểm-ấy Ở xích đạo gia tốc hướng tâm của một điềm trên =-

86 400

tức là lớn hơn gần 6 lần gia lốc hướng lâm trong chuyển động quanh mặt trời ` -

và đỗ dàng phát hiện được bằng thực nghiệm, Gia lốc này và gia tốc Côriôi đo - -

nó sinh ra (sẽ xét đến trong chương 5) không thể bỏ qua trong những chuyền động _

trên một quãng đường đài (chẳng hạn chuyền động của đạn pháo tầm xa), hoặc kéo

dài nhiều giờ (chẳng hạn chuyền động của con lắc Pucô) Trong những chuyền `

§3 Định luật Niuton ther hai

Định luật Niton thw hai mô tÄ tác dung của lực lên chuyền động của vat,

Bài tỉnh được xét trong hệ quy chiếu quán tính

"Như vậy chuyền động của xe là nhanh dần đều với gia tốc không đồi :a.- :ˆ-

' Bo s vat ta tinh được gia tốc a = 3 Lực F tác dụng lên xe đo được bằng lực co

Thí nghiệm cho biết dưới tác dung của một lực E xác định, mặc di xe chuyền động nhanh dần, gia tốc a mà xe thu được là không đồi, không.tùy thuộc vào vận

tốc của xe Khi hrc F ting, gia tốc a cũng tăng tỷ lệ với lực tác dụng To

‘a= xF _ 2.2)

bằng, lò xo bị biến dạng đài thêm 1 đoạn AI, sao cho lực đàn hồi F, =k Al, ma

lò xo tác đụng vào vật cân bằng với trọng lượng p của vật (P =— F) Kéo dài

của lò xo sẽ là Al-Ƒx Tồng hop lực FE tác dụng lên vật gồm lục đàn hồi “

F,=k(x + Al.) và trọng lượng P của vật

= P + F,;

_F=P—F,=P— k(x + Al,) = — kx tà

So sanh ting hop lực tác dụng lên vật lúc t theo (2.ð): với gia tốc mà vat,

œ2

a= —

k và ¡ là những số đương nên hệ số tỷ lệ ⁄ cũng là một số đương Theo (2.6)"

gia lốc mà một uật thu được tại từng thời điềm ty lé ouới lực tác dụng lên vat’ ¬

2 Khối lượng

ˆ Lặp lại thí nghiệm trên bình (2.2) nhưng tăng đần lượng vật đặt lên xe, sẽ - Thí nghiệm chứng tỏ rằng dưới tác dụng của cùng một lực kéo gia tốc xe thu được

giảm khi tăng hrợng vat Như vậy gia tốc mà một vật thu được đưới tác dụnổ ˆ

của một lực không những phụ thuộc vào độ lớn của lực tác đụng mà còn phụ thuộc 2

vào một đặc trưng vật lý nào đấy của vật được gia tốc

Dưới tác dụng của một lực không đồi, vật thu được gia tốc không đồi a,vận =|

Đối với các vật khác nhau, hệ số tỷ lệ x trong công thức (2.2) là khác nhan `

z là một hằng số đối với mọi vật

Giá trị của « tùy thuộc vào đơn vị đùng đề đo lực F, gi đơn vi đùng đề đo khối lượng của vat

Gia tốc a là một đại lượng vectơ Thực nghiệm cho thấy vectơ gia tốc a“

cùng hướng với lực tác dụng F Như vậy theo (2.7) khối lượng là một đại lượngvô -

hướng Công thức (2.7) có thề viết đầy đủ hơn dưới dang

¬

em ,

a=

Theo công ước quốc tế, người ta thừa nhận đơn v‡ khối lượng là khối lượng

của chuẩn quốc iế về khối lượng Đơn vị khối lượng ấy là kilôgam (viết tắt là kg)

_ Trong hệ đơn vị đo lường hợp pháp của nước ta kilôgam (kg) cũng được thừa os nhận là đơn vị khối lượng

'Biết đơn vị khối lượng, về nguyên tắc có thề xác định được khối lượng của _

một vật bất kỳ, bằng cách so sảnh gia tốc mà vậi ấy thu được với gia tốc mà vat

chuần thu được đưới tác dụng của cùng một lực Thật vậy, gọi ac và a tương ứng

là gia tốc của vật chuần và gia tốc mà vậi cần xác định khối lượng thu được dưở

Khối lượng xác định theo gia tốc mà vật thu được dưới tac dụng của một

lực là khối hrợng quán lính Khối lượng quản tính à một đại lượng động lực học tin

đặc trưng cho kha năng thu gia tốc cua vat Thong thường đề ngắn gọn hơn (thay

cho khối lượng quán tính) người ta chỉ cần gọi là khối lượng Theo quan điềm cơ

học cô điền, vận lốc có giá trị tương đối tùy thuộc hệ quy chiếu song vì không gian và, “ 8 g¢ g

thời gian là tuyệt đối nên gia tốc cũng trở thành tuyệt đối không tùy thuộc hệ quy

thuộc vào hệ quy chiếu Nghiên cứu chính xác các hiện tượng cơ học, người ta nhận

khi vật chuyền động với vận tốc rất lớn, so sánh được với vận tốc ánh sáng (như "

điện từ) thì khối lượng của vật trở nên phụ thuộc vào vận lốc :

Trong các chuyền động cơ học thường gặp trong kỹ thuật thì v < c Vi vậy - sự

theo (2.12), với mức độ chính xác rất cao co thd xem khéi lượng là không đôi và

bằng mụ Như vậy khái niệm khối lượng là tuyệt đối không tùy thuộc hệ quy chiếu

chỉ là mội khái niệm gần dung

Kết quả thu được ở (2.8) chính là nội dung định luật Ninton thy hai, |

Gia tốc mà một vật thu được đưới lác dụng của một lực, tỷ lệ với lực tác:

'dụng và tỷ lệ ngược với khối lượng của vật

œ

Trị số của ø tùy thuộc vào đơn vị dùng đề đo khối lượng, gia tốc và lực ˆ.,:

Theo (2.14) lực là một đại lượng dẫn xuất, đơn vị đo lực là Niutợn Nuiơn là -.: -

lực truyền cao vật có khấi lượng 1kg, gia tốc Im/s? Niuton được ký hiệu là N Thứ nguyên của đại lượng lực là

vài

[F] =[m][a] =M.L.T-2, - (I8, Ẻ

Ngoài đơn vị Niutơn, trong các sách xuất bản từ trước, ta thấy có đơn vị là a

- Nếu dùng đơn vị lực là kG, đơn: vị khối lượng là kø còn đơn vị gia lốc là: -

m/s* thi có thể xác định hệ số « trong công thức (2.13) như sau :_ -

Trong trường hợp tồng quái, khối lượng thay đôi theo vận tốc Dưởi tác - dụng của một ngoại lực, không những vận tốc cỏa chất điềm thay đôi, mà đo vận ' -

tốc thay đồi nên khối lượng cũng thay đồi, trạng Lhái chuyền động của chất điểm -

thay đồi, Đề đặc trưng cho trạng thái chuyền động cơ học trong trường hẹp này người ta dùng đại lượng «động lượng » (gọi là xung lượng), Động lượng của một |

vật chuyền động tịnh tiến là một đại lượng 0ectơ v2 sé tri bang lich số của khối :

lượng oới uận tốc, có phương uà chiều trùng uởi phương 0à chiều của van lốc,

28

Bon vi dong lượng không có tên gọi riêng Trong hệ đơn vị hợp pháp, đem `

vị của động lượng là kilôgam mét/giây (ký hiệu kg.m/s) Thứ nguyên của động

Lấy đạo hàm hai vế (2.19) và chủ ý răng theo định luật thứ hai của Niutơn

Theo (2.90) Đạo hàm của động lượng bang vé dé lén va cing hudng uởi

Như vậy, sử đụng khái niệm động lượng có thề phải biểu định luật thứ bai của Niutơn đưới đạng khái quát như sau: Độ biến thiên của động lượng trong

một đơn 0ị thời gian !ÿ lệ oới lực tác dụng va cing hướng 0ới lực -

Chúng ta đã suy ra (2.20) từ (2.14) trong trường hợp riêng khi vận lốc của' vật rất nhỏ so với vận tốc ánh sáng (v < ©c) Ở đây, mặc dù chủng ta không suy

luận chặt chế, song cũng nhấn mạnh thêm rằng biểu thức (2:20) có ý nghĩa khái

quát và đúng với mọi vận lốc,

Trong trường hợp tổng quát, biểu thức (2.20) có đạng:

F = — oo (2.20 ,

dt (™ V v2 ` 20),

l—+%z Cc

Biều thức (2.20) rõ ràng là phức tạp và (2.14) chỉ là một trường hợp riêng,

Đề minh họa sự khúc biệt giữa (2.20) và (2.14) chúng ta xét hai trường hợp riêng

_` Módun của v không đổi nên as = an la gia tốc pháp luyến, lực Ê có hưởng ;

Vận tốc v thay đôi giá trị nhưng không đổi hưởng nên a= a: là gia tốc

c?

Mối liên hệ giữa lực và gia lốc theo (2.22) khác với theo (2.21) cũng như, ~

khác với (2.14), mặc dù trong trường hợp riêng khi ve (2.22) va (2,21) du

Thực nghiệm với các hạt chuyền động nhanh như chuyển động của các hạt

tích điện trong trường điện lừ mạnh, xác nhận sự đúng đắn của (2.20), tuy vậy

trong các chuyền động cơ học thường gặp với v < c (2.20) chuyền thành (2.14), nên

trong nhiều trường hợp thực tế có thé áp dụng công thức (2.14) Vì vậy, công thức -

Trên đây chúng ta chỉ mới xét đến mối liên hệ giữa lực tác dụng và gia tc

nà vật chịu tác dụng thu được Trong thực tế, mọi sự thay đồi trạng thải chuyền-

động trong các hệ quy chiếu quẩn tính đều xảy ra do kết quả tương tác giữa các ˆ

- vật Định luật thứ ba của Niutơn xét đến sự tương tác giữa các vật, được phát

Tác dụng luôn luôn bằng oà ngược hướng uới phần tác dụng Nói cách - ˆ khác: lực lương tác mà hai oật chịu bằng nhau oề độ lớn bà ngược hướng nhau,

- Như vậy, theo định luật thứ ba của Ñiuiơn, nến vật B chịu tác dung tir vaj

À lực Fap thì vật B cũng tác đụng lên vật A lực Epa Hai lực Fap va Fea ma hai |

vật B và A chịu, bằng nhau về độ lớn nhưng ngược hướng, nghĩa là _

Fan = — ba

Hiền nhiên rằng lên goi «tac dung» vA «phan tac đụng » chỉ có tính chất

Thực nghiệm xác nhận đầy đủ sự đúng đắn của định luật Niuton thw ba,

' đặc biệt là với các tương tác tiếp cận Trong các tương tác mà hai vật không tiếp

: thái đứng yên, hay chuyển động thẳng đều Tuy nhiên do tính chất quan trọng của

cận, tương tác không thê xảy ra tức thời vì vậy tại mội thời điềm bất kỳ lực Fan

có thể không bằng đúng — Fsa tuy nhiên trong trạng thái cân bằng cuối cùng EAp

riêng của định luật thử bai, thực vậy theo định luật thứ hai của Niutơn nếu lực tác

dụng lên vật bằng không, thì gia tốc thu được cũng bằng không, tức là vật ở trạng

trường hợp đặc biệt này, mà Niuton xem nó như một định luật riêng biệt

dụng khi biết chuyền động của chát điềm

Sau đây chúng ta sử dụng các định luật cơ bản của động lực học đê giải mội -

vài bài loán thường gặp trong khoa học và kỹ thuậi Trong động lực học có hai

loại bài toán sau đây:

Bài toán thứ nhất còn gọi là bài toán thuận của động lực học, có nội dung

cơ bẵn là: biết chuyển động của chất điềm, xác định lực tác dụng gây ra chuyền

Bài toán thử hai còn gọi là bài toán ngược của động lục học, có nội dung

cơ bản là: biết các lực lác đụng lên chất điềm và những điều kiện ban đầu của

chuyÊn động, xác định chuyền động của chất điềm ot

Trong chương này, khi giải minh họa hai loại bài toán cơ bản này, chúng

la xét những chất điểm chuyển động với vận tốc v < c nghĩa là xét những bài toán

ĐỀ giải loại bài toán thứ nhất, cần xác định gia tốc của chất điểm, sau đó xác định lực tác dụng lên chất điềm theo định luật Niutơn thứ hai dưới dạng (2.14) -

Thí dụ 1: Kéo một vật nặng khối lượng m lên cao nhanh đần với gia tốc a

Xác định lực kéo (hình 2.5) Lực tác dụng lên vật nặng gồm lực kéo Fy va trong

Theo định luật thir hai cha Niutoti

_ Hai lực E¿ và P ngược hướng nên có thể viết

| E — mg — ma

Lực kéo F rõ ràng phải lớn hơn trọng lượng vật P " ek Thí dụ 2: Một người thợ sơn khối lượng M, ngồi trong một ghế treo Khai lượng m ĐỀ lên cao nhanh với gia tốc a, anh ta kéo dậy với lực kéo F Xác định

hye kéo Fy va trong tải F, tác dụng lên móc treo (hỉnh 2.6) No,

Người thợ sơn kéo dây bằng lực kéo — Fx theo định luật thứ ba của Niutơn

dây tác dụng vào người thợ sơn luc Fy Théng qua rong roc, day thir hai cũng “

kéo ghế treo với lực E„ Nhu vay theo định luật thứ hai của Niutơn:

Lực kéo Fx chỉ cần lớn hơn một nửa trọng lượng của người và ghế cling

để đề đưa người và ghế lên cao Tuy vậy muốn tên nhanh, tức là muốn gia tốc av

R6 rang là tấi trọng lớn hơn trọng lượng của người và ghế -

Thí dụ 3: Một ôtô trọng lượng ‘P qua

cầu cong bản kính R, với vận {ốc v, xác định

áp hực mà ôtô tác dụng lên cầu (hình 2.7)

lên ôtô gồm phản lực pháp tuyến N cha mit gồm 2 thành phần P; và Pa:

P, =Psine tao ra gia tốc tiếp tuyếp'

Ap lực mà ôtô tác dụng lên cầu về số trị bằng phản lực pháp tuyến N; luôn

luôn nhỏ hơn trẹng lượng ôtô P = mg và tùy thuộc vào vận tốc chuyển động

của Ôtô

_ Phần lực pháp tuyến NÑ sé là

N=Pcox.-

"

Thí dụ 4: Một sàng than nằm ngang chuyên động dao động theo: phương

thẳng đứng với phương trình chuyền động

Z = Z,coset

Xác dinh phah lc ma mat sang tác dụng lên mảnh

than, có bao giờ mảnh than rời khỏi mặt sàng không ? (hình 2.8) _

Bỏ qua lực ma sát, các lực tác dụng, lên mảnh than

gồm trọng lượng mảnh than P, phan luc ctia mat sang lén ©

N và P ngược hướng nền có thể viết

N — P= ma; = — mo’z, cosut

Phan lye ma sàng than đặt lên mảnh than là:

_— *z,cos(wt) ) 8

Giá trị phần lực luôn luôn thay đôi theo thời gian Mảnh than có thể rời

khỏi mặt sàng khi phản lực Ñ nhận giá trị không:

Như vậy, với tần số đao động của sàng than là œ > œ„ = ye có lúc

sàng than chuy&n déng voi gia tốc a >g mảnh than rời khỏi sàng than, mặc cho " :

sàng than chuyền động nhanh hơn ở phía trước Khi sàng than chuyền động ngược `" :

lại, mảnh than lại va vào sàng (han

Š 66, Bài toán thứ hai của động lực học xác định chuyền dong oo

khi biết lực tac dụng

Đề giải các bài toán loại thứ hai này cần xác định cụ thể lực tác dụng lên -

- từng chất điềm, sau đọ xác định gia tốc mà chất điềm thu được, Nếu biết vận tốc -

và vị trí ban đầu của chất điềm thì có thể xác định được hàm vận tốc và tọa độ cố

.theơ thời gian, nghĩa là xác định được phương trình chuyển động cũng như phương - 4mlnh quỹ đạo của chất điềm

lượng day nối không đáng kề,

Ninh 2.0 kéo xe mị là E, lực mà sợi day kéo trong vat la — F,

Đối với trọng vật P, chúng ta có phương trình ;

ma —=P— F, Gọi Eì là: lực căng của, 1 day nối giữa xe con mị và xe con mạ, Như vậy đối với xe mi:

mia — F _— Fy,

Đối với xe mạ

mea = Fi, Ching ta đã thu được phương trình chuyển động đối với từng vật Tuy nhiên "

vì sợi đây không co dần, có thê khảo sáải chuyển động của hệ 3 vật như một thé : thống nhất, chúng ta.có ngay phương trình chuyền động;

m m+ m+ m,

a=

Thí dụ 1: Một hệ chuyền ; động : gồm hai xe con khối lượng My wage Xác định chuyền động của hệ dưới tig `”: dụng của trọng lượng P = me (hình, 2B) 5 |

Hệ chuyền động không co ma sat, Khoi

Gọi F 1a lực căng của đây nối oie

trong val va xe con m1 Lực e mà sợi dây “uy

ẹ Cũng cớ thề thu được kết quả này bằng cách cổng vế với vẽ Sota b ba phương

trình chuyển động đối với từng vat

ban đầu là s,, van (6c ban đầu vo, chúng ta thu được phường: trình chuyền động -

§ =8; + vạ‡+ Sat Thí dụ 2: Một hệ gồm ba vat khối lượng r mi, m2 va

mạ, treo trên các sợi đây không co đẩn vắt qua các ròng

rọc như trên hình (2.10) Khối lượng day va rong roc khong

dang kề Xác định gia tốc của mỗi vật, 7

ay, a2, as la gia tốc của các vậi Áp dụng công thức cơ bản,

(2.14) cho ba vật chúng ta thu được ba phương trình sau:

Bay giờ chúng ta xét đến mối liên hệ giữa ai, a„ và a;#Gọi lạ và lạ là

chiều đài đây vắt qua ròng rọc I và ròng rọc 2 Chúng ta thu được:

Lấy (1) trừ (2) và (3) chúng ta thu được:

SỐ 3 mya, 3A3 =4 2 =mg—Ea = Oxy) -F - £3) 43) Bik: xo

Ròng rọc không có khối lượng, đây căng không co din nên đễ đàng Yhấy rings |

hi giải, các bài tính tương tự như bài này cần chủ ý đến đấu của lực và:

đưới Huong thực của gia tốc tùy thuộc, vào dấu của ay, 42,- a3 thu được & (9),

(10) va (11)

Thí dụ 3 Một vật nặng trọng lượng

P = mg được ném lên cao với vận tốc ban 7 đầu Vạ làm với phương nằm ngang một góc nS

a Xác định phương trình chuyền động của -

vat Xem lực cẩn của không khí là tỷ lỆ-

và ngược hướng với vận tốc F = — Ke (hinh 2.11)

Z = Ú

Các lực tác dụng lên vậi gồm trong lượng P = mg lực cẩn B, = — kv vi ©

Gọi a là gia tốc của vật theo định luật thứ hai của Niutơn ta có:

‘“

ÀA là một hằng số tích phân Dùng điều kiện ban đầu ver = v,cosa ta xác

định được :

Thay (ð) vào (4) chúng ta thu được:

đạo, Quỹ đạo là một đường cong tiệm cận với một đường thẳng song: ‘song vớt

| xuyên tâm, tỷ lệ với khoảng cách tới tâm lực tác dụng Thiết lập phương trình ˆ

_ phẳng xOy, tâm O đặt tại tâm hực lác dụng Vị trí M của vật được xác định bằng

Hai phương trình (9) và (15) lập thành hệ phương trình chuyền động '

Từ hai phương trình (9) và (15) có thề xác định được phương trình quỷ Ỷ

trục z Thật vậy khi t —- eo thi theo (6), (9), (12):

vx —> 0 V,COSa

đường thẳng song song với trục oz, đường này cắt trục ox tại vị trí |

_—_ VACO§&

=:

` Thí dụ +: Một vật khối lượng m, chuyền động dưới tác dụng của một lực 7 chuyền động và phương trính quỹ đạo của vật TẢ

„ , Như sể chứng minh ở các chương sau, theo định luật bảo toàn mômen động ˆ

tượng, quỹ đạo chuyền động là phẳng Ta lấy mặt phẳng chuyền động làm mặt -

bản kính vectơ OM — r (hình 2,12a) Lực tác dụng xuyên tâm E được biều diễn:

$

Đề đơn giẩn ta xem thời điềm ban đầu là thời điềm nà vận tổế v„ vuông

góc với bán kính veclơ r xác định vị trí vật Như vậy lúc l—=Ú, f==rạ, V = Fo

rọ | v„, chọn trục Ox hướng theo bán kính ro

X,==Fo vox =O

Yor 0 Voy “= VY,

a) Trước hết chúng ta xét trường hợp lực tác dụng là lực hit F == — mk?r,

‘A ia mội hằng số tích phân Từ các điều kiện ban đầu x = Vor = Ova

Hệ phương trình (7) và (11) chính là hệ phương trinh chuyền động của vật -

Khử t khỏi hệ phương trình chuyền động (7) và (11) ta thu được phương- ,

S eR , TỐ :

(12) là phương trình của một elip mà hai bán trục là r, và —®- (hình 12b) -

Vậy quỹ đạo chuyền động của vật là một elip ¡nà các bán trục tùy thuộc -

Trong trường hợp riêng v„ =— 0, vật thực hiện chuyền động theo trục Ox:-

b) Trường hợp lực tác đụng la lực đầy F = mk?r Thay — k? = i2k?, F = mi?kr vào phương trình (1), ta được

a+ i2k?r — 0 _ (18) -

Giải phương trình (13) theo phương pháp giải phương trình (1) với các điều -

kiện ban đầu t = Ú; x¿ —r,, y„ — Ú; v,=—U; V¿y —vạ, chúng ta thu được