Chuyên đề Phương trình bậc hai hệ thức Vi-ét và ứng dụng Toán 9

W www hoc247 net F www facebook com/hoc247 net Y youtube com/c/hoc247tvc Trang | 1 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ THỨC VI ÉT VÀ ỨNG DỤNG 1 Tóm tắt lý thuyết[.]

Chuyên đề

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

1.Tóm tắt lý thuyết

1.1 Cách giải phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 ( a  0) = b 2 - 4ac

* Nếu > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = b

2 a

− + 

; x2 = b

2 a

− − 

* Nếu = 0 phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = - b

2 a

* Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm

1.2 Chú ý : Trong trường hợp hệ số b là số chẵn thì giải phương trình trên bằng công thức nghiêm thu gọn

 = b'2 - ac

* Nếu ' > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = b ' '

a

− + 

; x2 = b '

a

− − 

* Nếu ' = 0 phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = - b'

a

* Nếu ' < 0 thì phương trình vô nghiệm

1.3 Hệ thức Vi - Et và ứng dụng :

1 Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phương trình thì :

2 Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình : X - X S+ P = 02

(Điều kiện để có u và v là 2

S 4 P)

3 Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm : x = 1; x =1 2 c

a

Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm : x = 1; x =1 2 c

a

−

−

1.4 Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước:

Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có:

1 Có nghiệm (có hai nghiệm)

2 Vô nghiệm

3 Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau)

4 Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)

5 Hai nghiệm cùng dấu

6 Hai nghiệm trái dấu

7 Hai nghiệm dương(lớn hơn 0)

8 Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0)

9 Hai nghiệm đối nhau

10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau

11 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn  a.c < 0 và S < 0

12 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn  a.c < 0 và S > 0

4 Tính giá trị các biểu thức nghiệm

Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức

có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức

2 Bài tập vận dụng

Bài tập 1 : Định giá trị của tham số m để phương trình x2+m m( +1)x+5m+20=0Có một nghiệm x = -

5 Tìm nghiệm kia

Bài tập 2 : Cho phương trình x2+mx+ =3 0 (1)

a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có một nghiệm bằng 1? Tìm nghiệm kia

Bài tập 3 : Cho phương trình x2−8x+ + =m 5 0 (1)

a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia? Tìm các nghiệm của phương trình trong trường hợp này

Bài tập 4 : Cho phương trình (m−4)x2−2mx+ − =m 2 0 (1)

a) m = ? thì (1) có nghiệm là x = 2

b) m = ? thì (1) có nghiệm kép

Bài tập 5 : Cho phương trình x2−2(m+1)x m+ − =4 0 (1)

a) Chứng minh (1) có hai nghiệm với mọi m

b) m =? thì (1) có hai nghiệm trái dấu

c) Giả sử x x1, 2 là nghiệm của phương trình (1) CMR : M =(1−x x2) 1+ −(1 x x1) 2 không phụ thuộc m

Bài tập 6 : Cho phương trình x2−2(m−1)x+ − =m 3 0 (1)

a) Chứng minh (1) có nghiệm với mọi m

b) Đặt M = x12+x22 (x x1, 2 là nghiệm của phương trình (1)) Tìm min M

Bài tập 7: Cho 3 phương trình

2

2

2

1 0(1);

1 0(2);

1 0(3)

+ + − =

+ + − =

+ + − =

Chứng minh rằng trong 3 phương trình ít nhất một phương trình có nghiệm

Bài tập 8: Cho phương trình

x − −a x a− + − =a (1)

a) Chứng minh (1) có hai nghiệm trái dấuvới mọi a

b) x x1, 2 là nghiệm của phương trình (1) Tìm min B = 2 2

Bài tập 9: Cho phương trình x2−2(a−1)x+2a− =5 0 (1)

a) Chứng minh (1) có hai nghiệm với mọi a

b) a = ? thì (1) có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn x1 1 x2

c) a = ? thì (1) có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn 2 2

x +x = 6

Bài tập 10: Cho phương trình

2

2x +(2m−1)x+ − =m 1 0 (1)

a) m = ? thì (1) có hai nghiệm x x, thoả mãn 3x −4x =11

b) Chứng minh (1) không có hai nghiệm dương

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x x1, 2không phụ thuộc m

Gợi ý: Giả sử (1) có hai nghiệm dương -> vô lý

Bài tập 11: Cho hai phương trình

2

2

( 3 ) 6 0(2)

− + − =

Tìm m và n để (1) và (2) tương đương

Bài tập 12: Cho phương trình

2

0( 0)

ax +bx c+ = a (1)

điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có nghiệm này gấp k lần nghiệm kia là 2 2

( 1) 0( 0)

Bài tập 13: Cho phương trình mx2 +2(m−4)x+ + =m 7 0 (1)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2thoả mãn x1−2x2 =0

c) Tìm một hệ thức giữa x x1, 2 độc lập với m

Bài tập 14: Cho phương trình x2−(2m+3)x+m2+3m+ =2 0 (1)

a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m

b) Tìm m để phưong trình có hai nghiệm đối nhau

c) Tìm một hệ thức giữa x x1, 2 độc lập với m

Bài tập 15: Cho phương trình (m−2)x2+2(m−4)x+(m−4)(m+2)=0 (1)

a) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm kép

b) Giả sử phương trình có hai nghiệm x x1, 2 Tìm một hệ thức giữa x x1, 2 độc lập với m

c) Tính theo m biểu thức

A

+ + ;

d) Tìm m để A = 2

Bài tập 16: Cho phương trình 2

4 0

x −mx− = (1) a) CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2

2(x x ) 7

A

+ +

=

+

c) Tìm các giá trị của m sao cho hai nghiệm của phương trình đều là nghiệm nguyên

Bài tập 17: Với giá trị nào của k thì phương trình x2+kx+ =7 0 có hai nghiệm hơn kém nhau một đơn

vị

Bài tập 18: Cho phương trình x2−(m+2)x m+ + =1 0 (1)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

c) Tìm m để phương trình có nghiệm âm

Bài tập 19: Cho phương trình x2−(m+1)x+ =m 0 (1)

a) CMR phương rình (1) luôn có nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi x x1, 2là hai nghiệm của phương trình Tính x12+x22 theo m

c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn 2 2

x +x = 5

Bài tập 20: Cho phương trình x2+(2m+1)x+m2+3m=0 (1)

a) Giải phương trình (1) với m = -3

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm và tích hai nghiệm đó bằng 4 Tìm hai nghiệm đó

Bài tập 21: Cho phương trình x2−12x+ =m 0 (1)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 toả mãn 2

Bài tập 22: Cho phương trình (m−2)x2−2mx+ =1 0 (1)

a) Giải phương trình với m = 2

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn (1 2+ x1)(1 2+ x2)= − 1

Bài tập 23: Cho phương trình x2−2(m−1)x+ − =m 3 0 (1)

a) Giải phương trình với m = 5

b) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiêm phân biệt với mọi m

c) Tính A = 3 3

1 1

x +x theo m

d) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm đối nhau

Bài tập 24: Cho phương trình (m−2)x2−2mx+ − =m 4 0 (1)

a) Tìm m để phương trình (1) là phương trình bậc hai

b) Giải phương trình khi m = 3

2

c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt không âm

Bài tập 25: Cho phương trình x2 +px+ =q 0 (1)

a) Giải phương trình khi p = − +(3 3) ; q = 3 3

b) Tìm p , q để phương trình (1) có hai nghiệm : x1= −2,x2 =1

c) CMR : nếu (1) có hai nghiệm dương x x1, 2thì phương trình 2

1 0

qx +px+ = có hai nghiệm dương

3, 4

x x

d) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 3x va x1 3 2 ; 2

1

1

1

1 2

x

2 1

x x

Bài tập 26: Cho phương trình

x2 −(2m−1)x m− =0 (1)

a) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiêm phân biệt với mọi m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn : x1−x2 =1;

c) Tìm m để 2 2

x +x − x x đạt giá trị nhỏ nhất

Bài tập 27: Cho phương trình

x2 −2(m+1)x+2m+10=0 (1)

a) Giải phương trình với m = -6

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2 Tìm GTNN của biểu thức A=x12+x22+10x x1 2

Bài tập 28: Cho phương trình

(m+1)x2−(2m−3)x+ + =m 2 0 (1)

a) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu

b) Tìm m để (1) có hai nghiệm x x1, 2 Hãy tính nghiệm này theo nghiệm kia

Bài tập 29: Cho phương trình

x2 −2(m−2)x+(m2+2m− =3) 0 (1)

Tìm m để (1) có hai nghiệm x x1, 2 phân biệt thoả mãn 1 2

1 1

5

+ + =

Bài tập 30: Cho phương trình

x2+mx+ =n 0 có 3m2= 16n

CMR hai nghiệm của phương trình , có một nghiệm gấp ba lần nghiệm kia

Bài tập 31 : Gọi x x1, 2 là các nghiệm của phương trình 2

2x −3x− =5 0 Không giải phương trình , hãy tính : a)

1 1

x + x ; b) (x1−x2)2 ; c) 3 3

x +x d) x1−x2

Bài tập 32 : Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng :

a) 3 và 2 3 ; b) 2 - 3 và 2 + 3

Bài tập 33 : CMR tồn tại một phương trình có các hệ số hữu tỷ nhận một trong các nghiệm là :

a) 3 5

3 5

− + ; b)

2 3

2 3

+

− ; c) 2+ 3

Bài tập 33 : Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng :

a) Bình phương của các nghiệm của phương trình 2

2 1 0

b) Nghịch đảo của các nghiệm của phương trình x2+mx− =2 0

Bài tập 34 : Xác định các số m và n sao cho các nghiệm của phương trình

x2+mx+ =n 0 cũng là m và n

Bài tập 35: Cho phương trình

2 3

2 ( 1) 0

x − mx+ m− = (1) a) Giải phương trình (1) khi m = -1

b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt , trong đó một nghiệm bằng bình phuơng nghiệm còn lại

Bài tập 36: Cho phương trình

2x2−5x+ =1 0 (1)

Tính x1 x2 +x2 x1 ( Với x x1, 2là hai nghiệm của phương trình)

Bài tập 37: Cho phương trình

(2m−1)x2−2mx+ =1 0 (1)

a) Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( -1; 0 )

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn x12−x22 =1

Bài tập 38 : Cho phương trình x2 - (2k - 1)x +2k -2 = 0 (k là tham số)

Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm

Bài tập 39:

Tìm các giá rị của a để ptrình :

( 2) 3 0 )

3 (a2 −a− x2 + a+ x− a2 =

Nhận x=2 là nghiệm Tìm nghiệm còn lại của ptrình ?

Bài tập 40 Xác định giá trị của m trong phương trình bậc hai : 2

x − x+ =m để 4 + 3 là nghiệm của phương trình Với m vừa tìm được , phương trình đã cho còn một nghiệm nữa Tìm nghiệm còn lại

ấy?

Bài tập 41: Cho phương trình : x2−2(m+1)x m+ − =4 0 (1) , (m là tham số)

1) Giải phương trình (1) với m = -5

2) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm x x1, 2

phân biệt mọi m

3) Tìm m để x1−x2

đạt giá trị nhỏ nhất (x x1, 2

là hai nghiệm của phương trình (1) nói trong phần 2/ )

Bài tập 42:

Cho phương trình

1 Giải phương trình khi b= -3 và c=2

2 Tìm b,c để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và tích của chúng bằng 1

Bài tập 43:

Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0 với m là tham số và x là ẩn số

a) Giải phương trình với m = 1

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2

c) Với điều kiện của câu b hãy tìm m để biểu thức A = x1 x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài tập 44:

Cho phương trình ( ẩn x) : x4 - 2mx2 + m2– 3 = 0

1) Giải phương trình với m = 3

2) Tìm m để phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt

Bài tập 45: Cho phương trình ( ẩn x) : x2 - 2mx + m2–

2

1

= 0 (1) 1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm và các nghiệm của ptrình có giá trị tuyệt đối bằng nhau

2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm và các nghiệm ấy là số đo của 2 cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3

Bài tập 46: Lập phương trình bậc hai với hệ số nguyên có hai nghiệm là:

5 3

4

1

+

=

5 3

4

2

−

=

x

1) Tính : P =

4 4

5 3

4 5

3

4













−

+











 +

Bài tập 47: Tìm m để phương trình : x2−2x− x−1+m=0 có đúng hai nghiệm phân biệt

Bài tập 48: Cho hai phương trình sau :

2

2

(2 3) 6 0

− − + =

+ + − = ( x là ẩn , m là tham số )

Tìm m để hai phương trình đã cho có đúng một nghiệm chung

Bài tập 49:

Cho phương trình : 2 2

2( 1) 1 0

x − m+ x m+ − = với x là ẩn , m là tham số cho trước 1) Giải phương trình đã cho kho m = 0

2) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm dương x x1, 2 phân biệt thoả mãn điều kiện

x −x =

Bài tập 50: Cho phương trình :

m+ x + − m x m+ − = ( x là ẩn ; m là tham số )

1) Giải phương trình khi m = - 9

2

2) CMR phương trình đã cho có nghiệm với mọi m

3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba

lần nghiệm kia

Bài tập 51:

1) Cho a, b , c, là các số dương thoả mãn đẳng thức a2+b2−ab=c2 CMR phương trình

2

2 ( )( ) 0

2) Cho phương trình 2

0

x − + =x p có hai nghiệm dương x x1, 2 Xác định giá trị của p khi

x +x −x −x đạt giá trị lớn nhất

Bài tập 52: Cho phương trình x2 + x – 1 = 0

a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm trái dấu

b) Gọi x1 là nghiệm âm của phương trình Hãy tính giá trị biểu thức : P= x18+10x1+13+ x1

Bài tập 53: Cho phương trình với ẩn số thực x:

x2 - 2(m – 2 ) x + m - 2 =0 (1)

Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó

Bài tập 54:

Cho phương trình : x2 + 2(m-1) x +2m - 5 =0 (1)

a) CMR phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Tìm m để 2 nghiệm x x1, 2 của (1) thoả mãn : 2 2

Bài tập 55:

a) Cho a = 11 6 2 ,+ b= 11 6 2− CMR a, ,b là hai nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số nguyên b) Cho c=3 6 3 10,+ d =3 6 3 10− CMR c d2, 2là hai nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số nguyên

Bài tập 56: Cho phương trình bậc hai :

x2 +2(m+1)x+m2+ + =m 1 0 (x là ẩn, m là tham số)

1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có 2 nghiệm x x1, 2 thoả mãn : x1 + x2 = 3

3) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tập giá trị của hàm số y = 2 2

chứa đoạn  2;3

Bài tập 57:Cho phương trình : x2 - 2(m-1) x +2m - 3 =0

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia

Bài tập 58: Cho phương trình : x2+6x+6a−a2 =0

1) Với giá trị nào của a thì phương trình có nghiệm

2) Giả sử x x1, 2 là nghiệm của phương trình này Hãy tìm giá trị của a sao cho x2 =x13−8x1

Bài tập 59: Cho phương trình :

mx2 -5x – ( m + 5) = 0 (1) trong đó m là tham số, x là ẩn

a) Giải phương trình khi m = 5

b) Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

c) Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 , hãy tính theo m giá trị của biểu

10x x −3(x +x ) Tìm m để B = 0

Bài tập 60:

a) Cho phương trình :x2−2mx+m2− =1 0 ( m là tham số ,x là ẩn số) Tìm tất cả các giá trị nguyên của

m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn điều kiện 2000 x1 x2 2007

b) Cho a, b, c, d  R CMR ít nhất một trong 4 phương trình sau có nghiệm

2 2 2 2

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội

dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi

về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh

tiếng

I.Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây

dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường

PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên

khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II.Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt

điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành

cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các

môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu

tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí