Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Mỹ An

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai TRƯỜNG THCS MỸ AN ĐỀ THI HSG LỚP 8 MÔN TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút) Đề số 1 Câu 1 a) Tìm thoả mãn b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì biểu thức có g[.]

TRƯỜNG THCS MỸ AN ĐỀ THI HSG LỚP 8

MÔN: TOÁN

(Thời gian làm bài: 120 phút)

Đề số 1

Câu 1

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì biểu thức: có giá trị là một số nguyên

Câu 2

Câu 3

1) Giải phương trình:

a)

b)

2) Một số thập phân có phần nguyên là số có một chữ số Nếu viết thêm chữ số 2 vào bên trái số đó, sau

đó chuyển dấu phẩy sang trái 1 chữ số thì được số mới bằng số ban đầu Tìm số thập phân ban đầu

Câu 4 Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD Gọi E, F lần lượt là hình

chiếu của B và D xuống đường thẳng AC Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng

AB và AD

a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?

b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK

c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2

Câu 5 (2,0 điểm).

a) Cho Chứng minh rằng nếu chia 13 dư 2 và chia 13 dư 3 thì chia hết cho 13

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

ĐÁP ÁN Câu 1

a) Ta có:

Từ (I) ta có:

Từ (II) ta có:

Vậy

b) Ta có:

Hay A là một số nguyên

Câu 2 : Vì , ta có:

b) Ta có:

Vì nên

Câu 3

1)

a)

Vậy tập nghiệm của phương trình là

b)

ĐKXĐ:

2) Gọi số phải tìm là x (x > 0)

Vì phần nguyên x có một chữ số nên khi viết thêm chữ số 2 vào bên trái thì số đó tăng thêm 20 đơn vị,

nghĩa là ta có số có giá trị là 20 + x

Vì khi dịch dấu phẩy sang trái một chữ số thì số đó giảm đi 10 lần, nên khi dịch dấu phẩy của số có giá trị

20 + x sang trái thì được số có giá trị là

Số mới nhận được bằng số ban đầu nên ta có phương trình

Vậy số phải tìm là 2,5

Câu 4

E

K

H

C

A

D B

a) Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF

Chứng minh :

=> BE = DF

Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành

b) Ta có:

Chứng minh :

c) Chứng minh :

Chứng minh :

Mà : CD = AB

Suy ra : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF).AC = AC2

Câu 5

Ta có

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Đặt x2 + x – 2 = t

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -4

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t = 0

Đề số 2

Câu 1 (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x4 + 2009x2 + 2008x + 2009

b) 81x4 + 4

c) (x2 + 3x + 2)(x2+ 11x + 30) – 5

Câu 2

a) Giải phương trình

Câu 3

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

b) Cho a; b; c là ba cạnh của tam giác

Chứng minh

2) Một ô tô phải đi trên quãng đường AB dài 60km trong thời gian nhất định Nữa quãng đường đầu đi

với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h nửa quãng đường sau đi với vận tốc kém hơn vận tốc dự định là 6km/h Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB biết người đó đến B đúng giờ

Câu 4 (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD Gọi M, N, I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD

a) Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh

b) Cho AB = 4cm Tính các cạnh của tứ giác AMNI

Câu 5 (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

ĐÁP ÁN Câu 1

a)

b)

Đặt

Câu 2

a) Phương trình đã cho tương đương với:

x = 2013

b) a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1 a; b; c

a3 + b3 + c3 - (a2 + b2 + c2) = a2(a - 1) + b2(b - 1) + c2(c - 1) 0

a3 + b3 + c3 1 a;b;c nhận hai giá trị là 0 hoặc 1

b2012 = b2; c2013 = c2; S = a2 + b 2012 + c 2013 = 1

Câu 3

a) Ta có: A = 2(x2 + 2xy + y2) + y2 -8x -2y + 18

A = 2[(x+y)2 - 4(x + y) +4] + ( y2 + 6y +9) + 1

A = 2(x + y - 2)2 + (y+3)2 + 1 1

Vậy minA = 1 khi x = 5; y = -3

b) vì a; b; c là ba cạnh của tam giác nên: a + b - c > 0; - a + b + c > 0;

a - b + c > 0 Đặt x = - a + b + c >0; y = a - b + c >0; z = a + b - c >0

ta có: x + y + z = a + b + c;

Mà x + y + z = a + b + c nên suy ra điều phải chứng minh

2) Gọi số phải tìm là x (x > 0)

Vì phần nguyên x có một chữ số nên khi viết thêm chữ số 2 vào bên trái thì số đó tăng thêm 20 đơn vị,

nghĩa là ta có số có giá trị là 20 + x

Vì khi dịch dấu phẩy sang trái một chữ số thì số đó giảm đi 10 lần, nên khi dịch dấu phẩy của số có giá trị

20 + x sang trái thì được số có giá trị là

Số mới nhận được bằng số ban đầu nên ta có phương trình

Vậy số phải tìm là 2,5

Câu 4

E

K

H

C

A

D B

a) Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF

Chứng minh :

=> BE = DF

Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành

b) Ta có:

Chứng minh :

c) Chứng minh :

Chứng minh :

Mà : CD = AB

Suy ra : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF).AC = AC2

Câu 5

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Đặt x2 + x – 2 = t

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -4

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t = 0

Đề số 3

Câu 1 (2 điểm)

Câu 2 (2 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Câu 3 (2 điểm)

Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với hai đáy cắt BC ở I, cắt AD ở J Chứng minh:

Câu 4 (1 điểm)

Cho hình thang ABCD (AD // BC) có hai đường chéo cắt nhau tại O Tính diện tích tam giác AOB, biết diện tích tam giác BOC là 169 và diện tích tam giác AOD là 196

Câu 5 (1 điểm)

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau

ĐÁP ÁN

Câu 1

a) Ta có:

b) Ta có:

Câu 2

a)

b) Ta có:

(vì )

Câu 3

I J

O

B A

a) Ta có:

OI // AB, xét tam giác OIC ta có: (1)

OI // CD, xét tam giác BDC ta có: (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có:

(3)

Cộng vế với vế của (3) và (4) ta có:

Câu 4

O D

C B

A

Do đó

Câu 5 (1 điểm)

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau

Hướng dẫn

khi:

Đề số 4

Câu 1

Câu 2

a) Chứng minh rằng chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

Câu 3: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng

AB và AD

a) Tứ giác BEDF là hình gì? Hãy chứng minh điều đó?

b) Chứng minh rằng: CH.CD = CB.CK

Câu 4

Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH Trên tia HC lấy điểm D sao cho

HD = HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E

b) Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng Tính

ĐÁP ÁN

Câu 1

a) Ta có:

b)

Vậy

Câu 2

a) Ta có:

Vì là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6 và chia hết

cho 6

Do đó chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

b) Cách 1

Vậy min

Câu 3

2 1 O H

K

F

E

D

C B

A

a) Ta có:

(1)

BO = OD (vì O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD)

(đối đỉnh)

Suy ra BE = DF (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên (cùng bù với hai góc bằng nhau)

c) Ta có:

mà

Do đó

Câu 4

G

: chung

b) Ta có:

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

c) Vì AM là tia phân giác của nên mà

Đề số 5

Câu 1 Cho biểu thức

a) Rút gọn A

b) Tìm x để

c) Tìm giá trị của A khi

Câu 2 Cho cân tại A, có , M là trung điểm của BC Lấy D, E thuộc AB, AC sao cho

a) Chứng minh không đổi

b) Chứng minh DM là tia phân giác của

c) Tính chu vi của tam giác AED nếu đều

Câu 3

Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

a) Chứng minh:

b) Gọi M là điểm đối xứng của H qua D Giao điểm của EF với AM là N

Chứng minh: HN.AD=AN.DM

c) Gọi I và K lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC Chứng minh ba điểm I, D, K thẳng hàng

Câu 4

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca = abc Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =

HƯỚNG DẪN

Câu 1 Ta có

a)

Câu 2

1 1

H

I

K

E D

B

A

(gt)

Câu 3

N

M

K

I

H F

E

B

A

a) Xét AEB và AFC có :

chung

Do đó AEB đồng dạng AFC( g.g)

Xét AEF và ABC có : chung

(vì )

Do đó AEF đồng dạng ABC (c.g.c)

Chứng minh tương tự ta được : Do đó :

Tam giác NED có EH là tia phân giác của nên: (1)

Vì EA EH nên EA là tia phân giác ngoài tại đỉnh E của DEN

(2)

Từ ( 1) và (2) suy ra : , mà HD=DM ( Do M là điểm đối xứng của H qua D)

Nên

c)

Từ (3) và (4) suy ra I, K, D thẳng hàng

Câu 4

Áp dụng ta có:

dấu bằng xảy ra khi b = c

Suy ra

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 3

Vậy GTLN của P= khi a = b = c = 3

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội

dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi

về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh

tiếng

I Luyện Thi Online

-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học

-Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường

PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên

khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

-Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt

điểm tốt ở các kỳ thi HSG

-Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành

cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

-HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu

tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

H c m i lúc, m i n i, m i thi t bi – Ti t ki m ọ ọ ọ ơ ọ ế ế ệ

90%

HOC247 NET c ng đ ng h c t p mi n phí ộ ồ ọ ậ ễ