Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Phong Vân

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai TRƯỜNG THCS PHONG VÂN ĐỀ THI HSG LỚP 8 MÔN TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút) Đề số 1 Bài 1 (3 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) a4 + 8a3 + 14a2 8[.]

Trang 1

TRƯỜNG THCS PHONG VÂN ĐỀ THI HSG LỚP 8

MÔN: TOÁN

(Thời gian làm bài: 120 phút)

Đề số 1

Bài 1 (3 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) a4 + 8a3 + 14a2 - 8a -15

b) 4a2b2 - (a2 + b2 - c2)2

Bài 2 (3 điểm)

a) Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n+1)

b) Chứng minh (a2 + 3a + 1)2 - 1 chia hết cho 24 với a là số tự nhiên

Bài 3 (3 điểm) Cho

1

a + 1 b + 1 c =0

Tính giá trị biểu thức M =

b+c

Bài 4 (4 điểm) Tìm giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị nguyên.

A =

2x3−6 x2+x−8

x−3

Bài 5 (4 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi M là một điểm nằm giữa B và C Từ M kẻ MD song

song AB (D∈AC), kẻ ME song song AC (E∈AB)

a) Xác định vị trí của M nằm trên BC để DE ngắn nhất

b) Tinh DE ngắn nhất với AB = 4(cm); góc ABC = 600

Bài 6 (3 điểm) Tìm x biết: x5(3x – 1)m+3 : x5(3x – 1)m-1 – 56 : 52 = 0;

(với x ≠ 0; x ≠

1

3; m∈N*)

ĐÁP ÁN Bài 1 (3 điểm):

a) a4 + 8a3 + 14a2 - 8a -15 = a4 + 8a3 + 15a2 - a2 - 8a -15

= (a4 + 8a3 + 15a2) - (a2 + 8a +15)

= a2( a2 + 8a + 15) - (a2 + 8a +15)

= (a2 + 8a +15)( a2 - 1)

= (a+3)(a+5)(a+1)(a-1)

b) 4a2b2 - (a2 + b2 - c2)2 = (2ab)2- (a2 + b2 - c2)2

= (2ab + a2 + b2 - c2) (2ab - a2 - b2 + c2)

= [(a+b)2 - c2][c2 - (a-b)2]

= (a + b - c)(a + b+c)(c-a+b)(c+a-b)

Bài 2 (3 điểm):

Trang 2

a) Ta có 3x(x+1) = x(x+1)(x+2) – (x-1)x(x+1).

Do đó: 3A = 1.2.3 – 0.1.2 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + + n(n+1)(n+2) – (n-1)n(n+1) = n(n+1)(n+2)

 A =

b) (a2+3a+1)2-1 = (a2 +3a+1+1)(a2+3a+1-1) = (a2+3a+2)(a2+3a) = a(a+1)(a+2)(a+3) chia hết cho 24 (tích của bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24)

Bài 3 (3 điểm):

M =

b+c

M = ( b+c

a +1 ) + ( c+a

b +1 ) + ( a+b

c +1 ) −3

M =

a+b+c

M = ( a+b+c ) ( 1

a + 1 b + 1 c ) −3

M = –3

Bài 4 (4 điểm)

A =

2x3−6 x2+x−8

x−3 = 2 x

x−3 ( x≠3)

⇒ x −3 là ước của 5 ⇒ư (5) = { -5; -1; 1; 5}

Nếu x−3=−5 ⇒ x=−2

Nếu x−3=−1⇒ x=2

Nếu x−3=1⇒ x=4

Nếu x−3=5⇒ x=8

Bài 5 (4 điểm)

a) Tứ giác ADME có:

AE//DM (AB//DM) ; AD//EM (AC//EM) và A = 900 (gt)

Trang | 2 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang 3

⇒ tứ giác ADME là hình chữ nhật

⇒ DE = AM (t/c hình chữ nhật)

Mà AM ngắn nhất khi AM¿BC tức là AM là đường cao ∆ABC

Vậy M là chân đường cao kẻ từ A đến BC của ∆ ABC

b) Xét ∆ ABM vuông tại M có ABM = 600

⇒ ∆ ABM là nữa tam giác đều có cạnh AB

⇒ BM =

AB

2 = 42 = 2(cm)

⇒ AM2 = AB2 – BM2 = 42 – 22 = 12 (pi-ta-go)

⇒ AM = √ 12cm

Vậy AM ngắn nhất bằng √ 12cm ⇒ DE ngắn nhất bằng √ 12cm

Câu 6 (3 điểm):

Ta có: x5(3x – 1)m+3 : x5(3x – 1)m-1 – 56 : 52 = 0 ( với x ≠ 0 ; x ≠

1

3) (3x – 1)m+3 – (m-1) – 56 – 2 = 0

(3x – 1)4 = 54

⇔ 3x – 1 = 5 hoặc 3x – 1 = –5

x = 2 x =

−4 3 Vậy x = 2 ; x =

−4 3

Đề số 2

Câu 1 (4 điểm)

Chứng minh rằng biểu thức sau đây không phụ thuộc vào biến x

4(6 - x) + x2 (2 + 3x) - x(5x - 4) + 3x2 (1 - x)

Câu 2 (4 điểm)

Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử

a) x2y + xy2 - x - y

b) x2 + 5x - 50

Câu 3 (3 điểm)

Cho phân thức A = \f(x-1,x2-3x+2

a) Tìm điều kiện của x để A xác định

b) Rút gọn A

Trang 4

c) Tìm x đề giá trị của A bằng 1

Câu 4 (4 điểm)

Cho tam giác ABC Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = BA Trên tia đối của tia CB lấy điểm G sao cho CG = CA Kẽ BH vuông góc với AD, CK vuông góc với AG Chứng minh rằng:

a) AH = HD

b) HK //BC

Câu 5 (3 điểm):

Cho tam giác đều ABC M là điểm thuộc cạnh BC I và D lần lượt là trung điểm của AM và BC; E, F là chân đường vuông góc kẽ từ M đến AB và AC

a Tính số đo các góc và

b Chứng minh tứ giác DEIF là hình thoi

Câu 6 (2 điểm)

Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi

ĐÁP ÁN Câu 1

4(6 - x) + x2(2 + 3x) - x(5x - 4) + 3x2 (1 - x)

= 24 - 4x + 2x2 + 3x3 – 5x2 + 4x + 3x2 – 3x3

= 24

Câu 2

a x2y + xy2 - x - y

= (x2y + xy2) – (x + y) = xy(x + y ) – ( x + y )

= (xy – 1)( x + y)

b x2 + 5x - 50 = x2 + 10x – 5x – 50

= (x2 + 10x) - (5x +50) = x(x + 10) – 5(x + 10)

= (x – 5)(x + 10)

Câu 3

A = \f(x-1,x2-3x+2

a Để A xác định khi x2 – 3x + 2 và

b A = \f(x-1,x2-3x+2=

c để A = 1

Câu 4

K H

A

Trang 5

a cân B, BH là đường cao nên AH = HD

b tương tự câu a ta có AK = KG

HK là đường trung bình của nên HK //DG Vậy HK // BC

Câu 5

a Tam giác AEM vuông tại E , EI là đường trung tuyến nên ta có IE = IA = IM khi đó (1)

Ta lại có tam giác ADM vuông tại D, DI là đường trung tuyến

Từ (1) và (2) ta có:

Vậy góc DIE bằng 600, tương tự góc DIF bằng 600

tương tự đều từ đó DEIF là hình thoi

Câu 6

Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y, z; trong đó cạnh huyền là z (x, y, z là các số nguyên dương )

Ta có xy = 2(x + y + z) (1) và x2 + y2 = z2 (2) 0,25

Từ (2) suy ra z2 = (x + y)2 - 2xy , thay (1) vào ta có :

z2 = (x + y)2 - 4(x + y + z)

z2 + 4z = (x + y)2 - 4(x + y)

z2 + 4z + 4 = (x + y)2 - 4(x + y) + 4 (z + 2)2=(x + y - 2)2 , suy ra z + 2 = x + y - 2

z = x + y - 4 ;

thay vào (1) ta được :

xy = 2(x + y + x + y - 4)

xy - 4x - 4y = -8 (x - 4)(y - 4) = 8 = 1.8 = 2.4 0,25

Từ đó ta tìm được các giá trị của x , y , z là :

(x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ;

(x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25

D E

A

B

C M I

Trang 6

Đề số 3

Câu 1(4.0 điểm) : Cho biểu thức A =

a) Rút gọn biểu thức A

b) Chứng minh rằng giá trị của A luôn dương với mọi x ≠ - 1

Câu 2(4.0 điểm): Giải phương trình:

a)

b)

Câu 3(3.0 điểm) : Cho xy ≠ 0 và x + y = 1.

Câu 4(3.0 điểm): Chứng minh rằng: Với mọi x  Q thì giá trị của đa thức :

Câu 5 (6.0 điểm) : Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H BC) Trên tia HC lấy

điểm D sao cho HD = HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E

1 Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo

2 Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng Tính

số đo của góc AHM

Tia AM cắt BC tại G Chứng minh:

ĐÁP ÁN Câu 1

=

b) Với mọi x ≠ - 1 thì A = =

Vì

Câu 2

Trang 7

a) * Với x 1 (*)  x - 1  0  ta có phương trình

* Với x< 1 (**)  x - 1  0  ta có phương trình

x2 -3x + 2 + 1 - x = 0

+ x - 1 = 0 ( Không thỏa mãn điều kiện **)

+ x - 3 = 0 ( Không thoả mãn điều kiện **)

Vậy nghiệm của phương trình là : x = 1

b) * Điều kiện x ≠ 0 (1)

* pt

hoặc x = -8

So sánh với điều kiện (1) , suy ra nghiệm của phương trình là x = - 8

Câu 3

Câu 4

Ta có: M =

Đặt a = x2 - 10x + 16 suy ra M = a( a+8) + 16 = a2 + 8a + 16 = ( a+ 4)2

M = x2 - 10x + 20 )2 ( đpcm)

Câu 5

Trang 8

a) + Hai tam giác ADC và BEC có:

Góc C chung

(Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)

Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)

Suy ra: (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết)

Nên do đó tam giác ABE vuông cân tại A Suy ra:

mà (tam giác AHD vuông vân tại H)

Do đó (c.g.c), suy ra:

c) Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC

Do đó:

Đề số 4

Bài 1 (3 điểm) Chứng minh rằng:

a) 85 + 211 chia hết cho 17

b) 1919 + 6919 chia hết cho 44

Bài 2 (3 điểm) Tìm x biết:





















10 2 : 2

1 3

6

6 4

2 3

2

x

x x

x x x

x x

a) Tìm điều kiện của x để A xác định

Trang 9

b) Rút gọn biểu thức A

c) Tìm giá trị của x để A > O

Bài 4 (4 điểm) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên:

83 2 3

4 3 2







x

x x x

Bài 5 (3 điểm): Cho tam giác ABC, đường cao AH, vẽ phân giác Hx của góc và phân giác Hy của góc Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy

Chứng minh rằng tứ giác ADHE là hình vuông.

Bài 6 (3 điểm) Cho góc vuông và điểm I nằm trong góc đó Kẻ IC vuông góc với Ox; ID vuông góc với Oy Biết IC = ID = a Đường thẳng kẻ qua I cắt Ox ở A cắt Oy ở B

a) Chứng minh rằng tích AC.DB không đổi khi đường thẳng đi qua I thay đổi

b) Biết diện tích tam giác AOB là SAOB = 3

8a2 Tính CA và DB theo a

ĐÁP ÁN Câu 1 (3 điểm):

a) (1,5đ) Ta có: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1) = 211.17

Nên kết quả trên chia hết cho 17

b) (1,5đ) Áp dụng hằng đẳng thức:

an + bn = (a + b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - …- abn-2 + bn-1) với mọi n lẽ

Ta có: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 +…+ 6918)

= 88(1918 – 1917.69 + …+ 6918) chia hết cho 44

Câu 2 (3 điểm):

Đặt a = x – 2010 (a 0), ta có hệ thức:

(thoả ĐK)

Trang 10

Suy ra x = hoặc x = (thoả ĐK)

Vậy x = và x = là giá trị cần tìm

Câu 3 (4 điểm):

a) x # 2 , x # -2 , x # 0 (0,75đ)

6 : 2

1 2

2 4















x

(2đ)

=

6 : 2 2

2 2

2









x x

x

x x

x

x x





2

1 6

2 2 2 6

c) Để A > 0 thì 21 0

 x  2 x0 x2 (1,25đ)

Câu 4 (4 điểm) Biến đổi A = 4x2 + 9x + 29 + 3

4



 A Z  3

4



Câu 5 (3 điểm)

Hx là phân giác của góc ; Hy phân giác của góc mà và là hai góc kề bù nên Hx

và Hy vuông góc (1đ)

Hay = 900 mặt khác = 900

Nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật (1) (1đ)

Trang 11

Do

Hay HA là phân giác (2)

Từ (1) và (2) ta có tứ giác ADHE là hình vuông (1đ)

Câu 6 (3 điểm):

a) (1,5đ) Ta có góc A chung và = (cặp góc đồng vị)

Suy ra: BO

IC AO

AC 

AO IC

AC 

(1) Tương tự: BID ~ BAO (g.g)

Suy ra: BD

OB ID

OA 

ID OB

OA 

(2)

Từ (1) và(2) Suy ra: BD

ID IC

AC 

Hay AC BD = IC ID = a2

Suy ra: AC.BD = a2 không đổi

b) (1,5đ) Theo công thức tính diện tích tam giác vuông ta có:

SAOB = 2

1

OA.OB mà SAOB = 3

8a2 (giả thiết)

hay 2

1

OA.OB = 3

8a2  OA OB = 3

16a2

Suy ra: (a + CA)(a + DB ) = 3

16a2  a2 + a(CA + DB) + CA.DB = 3

16a2

Mà CA DB = a2 ( theo câu a)  a(CA +DB) = 3

16a2

- 2a2 =

 CA + DB =

Vậy:

Giải hệ pt  CA = 3

a

và DB = 3a

Trang 12

Hoặc CA = 3a và DB =3

a

Đề số 5

Cõu 1 (4,0 điểm) Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử:

a)

b)

c)

Cõu 2 (3,0 điểm).

a) Rỳt gọn biểu thức:

b) Chứng minh giỏ trị của biểu thức sau khụng phụ thuộc vào biến:

Cõu 3 (4,0 điểm).

1) Giải phương trỡnh:

a)

b)

c)

2) Hai người làm chung cụng việc trong 4 ngày thỡ xong Nhưng chỉ làm được trong 2 ngày , người kia đi làm cụng việc khỏc , người thứ hai làm tiếp trong 6 ngày nữa thỡ xong Hỏi mỗi người làm một mỡnh thỡ bao lõu xong cụng việc ?

Cõu 4 (2,0 điểm) Cho tam giỏc ABC, trung tuyến AD, trọng tõm G Đường thẳng d qua G cắt AB,AC

lần lượt tại M, N Chứng minh rằng:

Cõu 5 (5,0 điểm) Cho hỡnh bỡnh hành ABCD (AC > BD) Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu của B, D lờn

AC; H, K lần lượt là hỡnh chiếu của C trờn AB và AD

a) Tứ giỏc DFBE là hỡnh gỡ? Vỡ sao?

b) Chứng minh: CHK BCA

c) Chứng minh: AC2 = AB AH + AD.AK

Cõu 6 (2,0 điểm).

1) Chứng minh rằng n5 – 5n3 + 4n  120 với  n  N

2) Cho biểu thức A = Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên

Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:

ĐÁP ÁN Cõu 1

Trang 13

a)

b)

c)

Đặt

Câu 2

a)

b)

Bài 3.

1 a)

Trang 14

Vậy tập nghiệm của phương trình là

b)

ĐKXĐ:

2) Gọi số phải tìm là x (x > 0)

Vì phần nguyên x có một chữ số nên khi viết thêm chữ số 2 vào bên trái thì số đó tăng thêm 20 đơn vị,

nghĩa là ta có số có giá trị là 20 + x

Vì khi dịch dấu phẩy sang trái một chữ số thì số đó giảm đi 10 lần, nên khi dịch dấu phẩy của số có giá trị

20 + x sang trái thì được số có giá trị là

Số mới nhận được bằng số ban đầu nên ta có phương trình

Vậy số phải tìm là 2,5

Trang 15

Câu 4

1) Do

Lấy E trên AC sao cho Khi đó AE < AC

và đồng dạng (g-g)

2)

Gọi k là tỉ số đồng dạng của và

(GT)

(2)

Câu 5:

A

E

A

A'

Trang 16

O F E

K

H

C

A

D B

a) Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF

Chứng minh :

=> BE = DF

Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành

b) Ta có:

Chứng minh :

c) Chứng minh :

Chứng minh :

Mà : CD = AB

Suy ra : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF).AC = AC2

Câu 6

1) Ta có

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Đặt x2 + x – 2 = t

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -4

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t = 0

Trang 18

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội

dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi

về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh

tiếng

I Luyện Thi Online

-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học

-Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường

PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên

khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

-Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt

điểm tốt ở các kỳ thi HSG

-Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành

cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

-HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu

tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

H c m i lúc, m i n i, m i thi t bi – Ti t ki m ọ ọ ọ ơ ọ ế ế ệ

90%

HOC247 NET c ng đ ng h c t p mi n phí ộ ồ ọ ậ ễ

Tiêu đề	Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Phong Vân
Trường học	Trường THCS Phong Vân
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Đề thi

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	460,06 KB