Tuyển tập đề thi cao học sư phạm hà nội

Tổng hợp các đề thi cao học của đại học sư phạm Hà Nội qua các năm, giúp ích cho các bạn có cơ sở thi

DE THI Tuy py SINH CAO HỌC NĂM 291!-

Trường Đại học Sư phạm Hà nội

bài 180 phú (không kế thời gian phát 22)

tài liệu nào khác ngoài những gi da ghi trong dé}

*Câu 3 Chứng mình rằng nếu {ƒ„} là dãy toán tử compact từ không gian Banach Z tớ khó»

jan Bana ¡ toán tử ƒ trong không gian Z(Z, thì ƒ là toán tử compac(

ĐỀ THỊ TUYỂN SINH CAO HỌC Nước: oa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC su PHAM HA

Môn thị: Giải tích hát đê)

Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời wee a

(Thí sinh không duoc sit dung tai lieu khi

i Ly thuyét

Câu 1 a) Dinh nghia tap compact va không gian metric compact: Chứng máng

là đồng và hoàn toàn bị chặn

b) Phát biểu và chứng minh đặc trưng Hausdorff vé tinh compact của mộ

gian metric đầy,

Câu 2 Phất biểu và chứng mình nguyên lý ánh xạ mở cho lớp không gian _

‹ Câu > ame biểu và chứng mình định lý Riesz vẻ dạng wyén tinh lien tye

II Bài tập

Câu 1 Cho C(0, 1 là không gi các c hàm liên tục trên đoạn [0,1] nhan

C|0, 1] xét hai metic

b Chứng mình Á à oán tức

Câu 3 Giả sử E là không gian

và chỉ khi A* o A là toán tử co

fon thi: Giải tích

phút (không kế thời gian phát 4/)

lược sử dụng tài liệu khí lâm bai

A Ly thu: ét

: n lý ánh xa co

+ Câu 1 Phát '› 3u va ching mime" ụ

Ti ` niin bí chặn điểm và bị chặn đều

ag we eee RLS em

ai: 180 phi (khéng ké tho hat dé)

g su dụng tài lu pele

a wang gian metric compact Cho ví dụ về khéng gian métric

-chuan Hausdo-ff vé tap compact trong khong

fra cac khong gian dinh chuan va chimg minh toan tr compact

L(E.F) là đây các toán tr compact từ không

nach Ƒ hội tụ tới ƒ trong ¿(£.F) thì / cũng là

h lý về sự tổn tại phép chiếu trực giao trong

ic compact và /:Ÿ ~ là ánh xa thoa man

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Bˆ ae

Mon thi: CHAT an phat dé)

Thời gian làm hai: 180 phi (Rhone RE IMC! É 0) dapat

Nguòi thì không sử dụ ng tài liệu

Lý thuyết

Câu l1:

¥ a) Dinh nghia khong gian metric day Cho

mot ví dụ Y

cho lớp không g!an metric đây

ẻ không gian metric khong

» b) Phat biêu và chứng minh nguyên lý ánh xã €9

, Câu 2:

act giữa các không gian định chuẩn

a) Định nghĩa toán tr comp

gian Banach F hoi tới /trong L(£.F) thi

liên tục trên [a,b] và thôa mân f(x) < ols)

re fa.) la mo trong Gg với khoang

j cach max ae

Pee :

ip - Câu 2: Giá sử ø:È Ƒ là ánh x4 tuy tự từ không gian định

chuân Em

không gian định chuân F Chung minh ø là liên tục khi và chỉ

khi {ge !’ Vo!

om Câu 4: Cho không #!2"

Thời gian làm bài: 180 phút (không kế thời gian phát để)

*Câu 1: Chứng mình rằng không gian metric X <i khi vả chí khí moi day hinh cau

lồng vào nhau that dần có điểm chung đuy

_,Câu 1: Phát biếu và chứng mính nguyến lý bs chắn đều chờ lớp không

gianb Banach

_ Câu 3: Giải sư pz! vẻ tania tắt KÝ yi 4 es

lá không gian Banach với

Xe eu 1,€H sao cho d{s,.#)=I,~ vf

không gian Hilbert E —

cor: "tòi XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

oe _a) Định nghĩa ` ông gian metric compact Cho ví dụ

: se <a Phat biéu ©) chimy minh dac trmy Hausdorff cua tap compact trong khong

¬ gian metri : ly -

_ Câu 3 Cho E, F_ ` hai không gian định chuẩn Chimg minh rang:

Đ(E,F) là! ¡ nụ gian định chuẩn

"8 eu Fi ta! 2 wach thi L(E,F) 1a khong gian Banach

of erie CAO HOC NAM 2007

G Dat HOC SU PHAM HA NOI

n thisTodn Gidi tích eee

180 phidt (khong kể thời gian phat ae

vàn Hàm tài liệu

.k » ụ ft oy

1 Định nghĩa khong gian mettie dy, Cho vidy

Cực 9> SE AMER! Wotiny rote ding ts

sian Hilbert,

ĐỀ THỊ TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC ?

TRUONG DAI HOC SU PHAM HA NỘI

Mon thi: Gidi ich,

2 Phát bida và thông minh các kết quả về ánh xạ liên

lấn "âu 2 Dịnh nghĩa giá trị chính qui và phổ của toán % i yea “xa cu minh ody Ba không gian Banach trén trutmg K thi p a(f) của mọi f thude dai

số £(E) là tập compact và hàm À — (A — f) tích trên tập gid trí chính

S(f) Hon nda néu K = C mì ø(ƒ) # Ô

CẤU 3 Phát tiểu và chứng mình dịnh lí iều

CONG HOA XA HOI CHU NGHIA VIET NAM

ĐỘC LẬP - TỰDO - HẠNH PHÚC -

ĐỀ THỊ TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC 2006

TRƯỜNG DAI HOC SU PHAM HA NOI

aE Ve

| Mon thi: Gidi tích

The gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

\

a ALY THUYẾT

ee Đình nghĩa không gin metric đầy Cho ví dụ i k bgt Tu a ‘ l4

\ 3 > minh mài đồng trong không gian metric đẩy là khống ` metric!

.Chimg minh f cé diém bat dong

nach và @ : B -+ F 1a 4nh xa twy€n tinh

Pow € E' vaimei f € F',4d6 B' va rr

MŨ PHI TUYỂN SIM SAU ĐẠI HỌC 2001

ĐẠT HỌC §U PHAM HA HOI

| Phat biểu và chứng minh nguyên lý bị chặn đều và hé quá của tú

Nếu {72} là đây phiểm hảm tuyến tính liền tục tiền khóng fan

lầanach E, hội tụ điểm tới ƒ phiếm hàm tuyến tính thí / ben tue vá

[7s lim ine | 7, |

n +, 4 Ễ

3 Định nghĩa và các tinh chat của toán tú compact gitta các l]Hölsg

si | Thy ‘ 4 ` ti Clee aang) eg ARBRE eg!

gian Banach Phat biểu va ching minh dink ly Sehander

LIẬU - j8 đÊ0) 41H Đ 4 LẠ HN:

là ảnh xạ từ không pian metric X

Y,€M nêu đồ thị của / là đóng,

1 trong Ahoy: iin Banach pace tM

PPesaed: phic deg os pha compact vi

Ah) ofa bp altee Poco đem bất động:

Cn thon dive neu the đoan fay bf

ĐỂ THỊ TUYỂN CAO HO” ;ẠM HÀ NỘI

TRUONG Bal HOC SU PF

Mon thi: Dai số 1j đời gian nhớt để),

Thời gian làm bài: 180 phúi (h2# © NT

Người thí không sử 48 f ,

Bài J (1 điểm), Cho 1 < n & Z, Cuứng mình rnế ÉP ghiệ „

Ati

ĐỀ THỊ TUYẾy, 10 c1} }- A ie

CAO HOC NAM 28 ⁄

TRƯỜNG ĐẠI toc SƯ PHAM HÀ NỘI

gi làm bài Môn thì; Đại số : Đạ dé) j

Thời gien làn bai 180 phụ, (thang kd thon gia” „

Người tỉ kháng s7 dụng tài liêu:

Bài 1 (2 điểm) Cho ánh xạ tuyến tín / _ m› wk định bởi cong the sau!

“Bài 2 Q,8 điểm) Giả sử V là K-không gian véc tơ n chiếu Giả sử ƒ Ý ~— là ánh

xạ K-tuyến tính có rank(ƒ) = r Ta đặt eơrank(ƒ) = n ~ 7-

Giả sử V là K-không gian véc tơ n chiếu, Giá sử ƒ : V — V là ánh xạ K-tuyến tính

Giả sử W là K-không gian véc tơ con cia V Ching minh ring:

a) dim W ~ corank(f) < dim f(W) < dim W

b) dim W < dim f~'(W) < dim W + corank(f)

fin céc K-khong gian vécts

_0—=V.Sv®Sv*¬0

- ánh xạ / là toàn cấu và [mo = Kerf)

ng gian véctơ hữu hạn chiều khi và chỉ khi cả V“ và V" déu

46 ta 06: dim V = dim V' + dim V"

ett

co

“Câu 1 (# điển) Cho n 3 2 là aot fg RY RY Ua hai

1) rank(ƒ + g) < rank(ƒ) + ranl(g), trong 6 rank(y) = dim(Im(y)) vat mor

ánh xạ tuyễn tính ọ

2) Néu f= „— thì R" = Im(ƒ) @ Ker(ƒ)

*

a Cau 2 (3 điển) Dito = = trong 46 là đơn vị do Cho f(x) =

gg ¥ bet ea? € R[z] vd ma tran 2

‘DE TUYẾN SINH CAO HỌC 2002 ĐỢT 1ˆ

TRƯỜNG bar noc su PHAM BA NO!

Mon thi: DAVS i thời gian phát đỏ)

~_ Thời gian làm bài: 180 phút (khón#

Người thì không sử dụng tài liệu

Cho R là trường các số thực và môt ánh M7

ĐÈ TUYẾN SINH cAo HỌC 2009 ĐGT 2

Thời gian làm bai: 180 hi: (khong ke thoi gian phat dé)

Người thi không sử dụng tải liệu

g các số thực và R - không gian vectơ RÌ Cho ma tran thie

f

-3, hay tim tri riéng va vec to £

\ câu, và trong trường hợp /

lá trị nào cua a thi / không là

à một đơn cấu hãy tìm một cơ

O[XỊ là vành các đa thức rới

y chi ra một không gan

"thành mét co so cvs Q -

al khac ideal khéng va A

Chung minh rang:

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

ĐỌC LẶP - TỰ DO - HẠNH PHÚC

ĐÈ TUYẾN SINH CAO HỌC 2009 ĐỢT 1

NC ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Thai gian làm bài: 180 phút (khóng kê thời gian phát dé)

Người thi không sử dụng tài liệu

Câu 1 (3 điểm): Cho R là trường các số thực vả | hột ánh xa /:#' + #* cho bới tưcv v

Oc hung mình rằng / là một đâng cấu tuyến ¡tính của R - không gian vecto R`

ii) Tim ma trận của /theo cơ sở ¢, = (1.0.0).e, =(0.1.0}:e, = (0.0.1) của R` và các trị `

ii) Tìm các tn riêng Và các vectơ riêng tương ứng cua

(2 điểm): Cho một không gian vectơ Ý có chiêu hữu hạn trên trường: : Bs va

Ni es giản veeto con cua V Chimg minh rang:

73 i;

Mi(M^ ae (M+ Nye mm Tử vr suy ra đăng thức

` dim(M +N) =dim M + dim Ý = -dim(M ON)

: Cho I va J la cdc ideal cua một vành giao hoán A có đơn vị Chứng

pHÚC

2008 DOT 2

ĐỘC LẬP - TỰ DO - HẠNH

Môn thi: DAI SỐ

Thời gian làm bài: 180 phút (không

Người thì không sử dụng tài liệu

kó thời gian phát de)

Cau I @ điểm):Cho R - không gian vecto P.[x]

gồm tắL ca cdc da thức có bậc không vượt quả n (n>0) và một ánh xa D: P, [x] P,[x] cho tuong ứng mỗi

phần tử / cua Pa(x} với đạo hàm /ˆ cua

nó Chứng mình rằng:

(i) D la mot anh xa tuyến tinh Hay um gì

Gi) P[x]e ROFL]

đi)Với mỗi ae R„ thì {(x—aŸ Lá =0

4 trp rieng va vecto riêng của D

| anh là một cơ Sơ Cua PAx}

Câu li (2 điểm): Cho W là một không gian vecto có chiều dương

trên trường các số thue R

Chứng mình rang:

Q) W co vO han co SƠ:

(1) Nếu W co chiêu vỏ h Câu }H (2 điểm): Cho I và J laca

(i) Cho biết khi nào tị /#3J =0):

(1) Chứng mình rằng vành các da thức A{x] vỏi biền

tết khi nào W co vỏ hạn khong gian con

Hay cho b ang cầu với chính W

an thì WW cỏ vỏ han không gian Vectd con đã

¿ 1deal của mot mien nguyen A

Thai gian làm bài 180 phúi (khôn£ ké thoi gian phat de)

Người thì không sử dụng tài liệu

biện luận hạng của A theo tham hae

„ hãy tìm trị riêng và VectØ riêng của k

hãy tìm ma trận trực giao T sao cho

Cho R là trường các số thực cÒn

'Q-Không gian vectơ vô hạn

S các số thực vot sao cho

n Z khi va chi khi a la

tmiền nguyên khi và chỉ -

a và b là các phân tư

UYỂN SINH CAO HOC NAM 2007

TRUONG ĐẠI HỌC sự PHAM HÀ NÓ!

Cau 2.Cho K là một trường, CMIR:

Ì) Mỗi idenn của vành các đa thúc Kx] déu lá idean chính

2) Nếu p(x) là đa thức bất khả quy trong Kx} «hi tới ân chính sinh bởi

p(x)

âu 3 Cho E, và F là hai K-, không gian véctơ hữu lì

xa tuyén tinh CMR:

) Néu f 1a toan anh thì

'7ø là anh xa dong nhat ctia F 7

‘du chimg 6 rang duh xa g nói tro ác duy nhất

Kix) đều ià iđêan chính

a qui trên K thì iđẻan chính ] sinh bởi p(x) Ja

'trường, hơn nữa Z chứa trường con đẳng cấu

vectơ hữu hạn chiếu ƒ : Ê ~* # là một ánh

mốt ảnh xa tuyến tính @:F¬ È saocho

) là không duy nhất.

IMẺ tài uỷ LÊN! 3H SAU ĐẠI HỌC 2003

ĐẠT LỌC 5U PHẠAM HÀ HỘI

Min thi: Dad sé

- kỷ hiểu I$ là truồng sỏ thực F là tập hợp các ánh xa tử R vào R_CMIR:

tt Ê cùng hai phép toán cộng và nhân xác đình như sau lầ một vành

giao hoấu cố đơu vị: Vƒ,g 6 Ƒ,Vx € #

#)(x)= /(z) g(x)

Ƒ cỏ phải ia mot ke NgUyÊU hay không?

Ob Voi mpi ee hop f= {fe F/ f(x) =0} là một idean tối đại

: của vành E

ee Net da thite WPAN) ck | 4 le Z3] ựC )) là iđean sinh bởi 7 (+)

CÌMR vành thương & = Z,[a }/(/(x)) là mốt trưởng Xác định tắt cả

“các phần tử của trưa vỡ, K vả tìm các nghiệm của trong Í£

than chiều, B t+# tàu giảng cầu ®&te+

tà tự đồng cầu đồng niệt nên V cò

%e V pần: các ` —¬

rnp FB tiệt tỉ: we cầu

» f(A) A,r Aer oa,

1 teh ie vánh git hein cd don vj we 21, kỷ hiểu KP A

“Hr&nập X xúc dịnh hit phép loan cộng va nan nb st sau

ee oe ce (a, ) ‘ (c, a) es (« toh đ) |

(a, gis ‘t) r (ac 4 obd,ad abe)

ah po hodn 2 don Vi ae

1 vanh con của X ding ciu vet A va nếu thục hiện phép

thì các phần tử của A được viết ae ag đưới dạng:

rường, px) là đa thức bat khả quy Địt Iz(n(x)) là