Đề Học Sinh Giỏi Toán Thpt Cấp Tỉnh Năm 2022 – 2023 Sở Gd&Đt Thanh Hóa.pdf

Untitled 1 SỞ GD&ĐT THANH HÓA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2022 – 2023 MÔN THI TOÁN THPT Thời gian 180 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1 Cho hàm số ( )y f x= có đạo hàm liên tục tr[.]

SỞ GD&ĐT THANH HÓA

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2022 – 2023 MÔN THI: TOÁN - THPT

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ

Câu 2: Cho mặt cầu ( )S có tâm O và A là một điểm nằm trên ( )S Gọi I , K là hai điểm trên đoạn

OA sao cho OI IK KA= = Các mặt phẳng ( )P , ( )Q lần lượt đi qua I , K, cùng vuông góc

với OA và cắt mặt cầu ( )S theo các đường tròn có bán kính lần lượt là r và 1 r2 Tính tỷ số 2

r

1

104

r

1

3 104

r

1

106

x Khẳng định nào dưới đây là sai?

A Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞ −; 1) B Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 2022)

C Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;1) D Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 2022)

Câu 5: Cho cấp số cộng hình chóp ( )u n thỏa mãn u1=3 và tổng hai số hạng đầu bằng 9 Số hạng u 3

bằng

Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a 3 Hình chiếu vuông

góc của S lên mặt phẳng đáy là điểm I thuộc đoạn thẳng AB sao cho BI =2AI Góc giữa mặt bên (SCD) với mặt phẳng đáy là 0

60 (tham khảo hình vẽ) Tính khoảng cách giữa hai

y

x O

Câu 10: Có bao nhiêu đường thẳng cắt đồ thị hàm số 4

3

x y x

=+ tại hai điểm phân biệt mà cả hai điểm đó đều có tọa độ nguyên?( điểm M x y( ; ) có tọa độ nguyên nghĩa là ,x y∈ )

Câu 13: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8 ta lập các số tự nhiên có 7 chữ số đôi một khác nhau Chọn ngẫu

nhiên một số vừa lập, tính xác suất để chọn được một số có đúng 3 chữ số lẻ và các chữ số lẻ đứng kề nhau

Câu 15: Tính số cách sắp xếp 4nam sinh và 6nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ sao cho

tất cả nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau

Câu 21: Cho hình đa diện đều loại { }3;5 có cạnh bằng 4a Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình

đa diện đó Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 25: Cho hàm sốy= f x( )biết hàm số y= f′( )x có đồ thị như hình vẽ Hàm số

g x = f x− −x + x+ có bao nhiêu điểm cực đại?

Câu 26: Cho hai hàm số bậc ba y= f x( ) và y g x= ( )có đồ thị như hình vẽ ( đồ thị hàm số y= f x( )

là đường nét liền ; đồ thị hàm số y g x= ( ) là đường nét đứt ) Biết rằng hai đồ thị hàm số

Câu 28: Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm Ovà tâm O', bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a

Trên đường tròn đáy có tâm O lấy hai điểm ,A D sao cho AD a= 15; gọi C là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng chứa đường tròn tâm ( )O' ; trên đường tròn tâm ( )O' lấy điểm

B (AB CD, chéo nhau) Đặt α là góc giữa AB với đáy Tính tanα khi thể tích khối tứ diện

Câu 29: Cho hình chóp S ABC nội tiếp trong mặt cầu đường kính SA , tam giác ABC là tam giác vuông

tại A, AC a= Góc giữa hai mặt phẳng (SAB và ) (ABC ) bằng 30° , gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (SAB và ) (SAC , ) sin 3

Câu 30: Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh bên bằng a 2, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a Gọi

M là điểm thay đổi trên mặt phẳng (SCD ) sao cho tổng 2 2 2 2 2

Câu 33: Cho hàm số bậc bốn y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn m∈[0; 25]sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số g x( ) || 2 ( )= f x m+ +4 |−f x( ) 3|− trên đoạn [ 2; 2]− không bé hơn 1 ?

A 21. B 24. C 25. D 19

Câu 34: Cho hình vuông kích cỡ 4 x 4 như hình vẽ Sắp xếp ngẫu nhiên các số tự nhiên từ 1 đến 16 vào 16

ô vuông Tính xác suất để có tổng bốn số ở các ô trong cùng một hàng hay cùng một cột đều là một số lẻ

Câu 39: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3 , trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD )

tại A ta lấy điểm S di động không trùng với A Hình chiếu vuông góc của A lên SB , SD lần

lượt là H, K Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ACHK

Câu 40: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 3a , tam giác SAB đều, góc giữa hai mặt

phẳng (SCD và ) (ABCD ) bằng 60° Gọi M là trung điểm của cạnh AB Tính khoảng cách

giữa hai đường thẳng SM và AC , biết rằng hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng

(ABCD ) nằm trong hình vuông ABCD

A.8 B.4. C 5. D.6

Câu 42: Cho hàm số bậc ba f x ( ) và hàm số ( ) ( 2 ) ( )

, ,

g x = f mx +nx p+ m n p∈ có đồ thị như hình vẽ (đường nét liền là đồ thị hàm số f x( ), nét đứt là đồ thị hàm số g x ), đường thẳng ( ) 1

2

x= − là trục đối xứng của đồ thị hàm số g x Tính ( ) g( )4

và ( )C2 Gọi Slà tập hợp các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−2021; 2022] để ( )C1

và ( )C2 cắt nhau tại 2 điểm phân biệt Tính tổng các phần tử của tập hợp S

A 2045187 B 2045162 C 2045208 D 2045117

Câu 44: Cho hàm số ( ) log3 3 3x 1x

f x = x+ − Tính tổng bình phương các giá trị của tham số m để phương

Câu 46: Cho hàm số f x( )=x ax bx c a b c3+ 2 + + ( , , ∈,c<0) có đồ thị ( )C Gọi A là giao điểm của

( )C và trục tung, biết ( )C có đúng hai điểm chung với trục hoành là M ,N đồng thời tiếp tuyến của ( )C tại M đi qua A và tam giác AMN có diện tích bằng 16 Tính f ( )1

Câu 48: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có AB=3,AD=5,AA′=4 Một đường thẳng d đi qua

D′ và tâm I của mặt bên BCC B′ ′ Hai điểm M N, thay đổi lần lượt thuộc về các mặt phẳng (BCC B′ ′ và ) (ABCD ) sao cho trung điểm K của MN thuộc đường thẳng d (tham khảo hình vẽ) Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN là

13

Câu 49: Xét các số nguyên dương a b, sao cho phương trình aln2x b x+ ln + =5 0 có hai nghiệm phân

biệt x1, x 2 và phương trình 5log2 x b+ logx a+ = có hai nghiệm phân biệt 0 x3, x 4 thỏa mãn

vuông góc với mặt phẳng đáy, hai mặt phẳng (SAB) và(SCD) vuông góc với nhau Gọi M , N,

P , Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của O lên các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SDC)và

(SDA) Thể tích của khối chóp O MNPQ bằng

BẢNG ĐÁP ÁN

11.A 12.A 13.D 14.B 15.D 16.D 17.C 18.B 19.D 20.C 21.D 22.C 23.B 24.D 25.B 26.A 27.C 28.C 29.D 30.B 31.B 32.D 33.B 34.C 35.B 36.B 37.B 38.B 39.D 40.A

41.C 42.B 43.B 44.C 45.B 46.A 47.A 48.D 49.A 50.C

Câu 1: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ

Câu 2: Cho mặt cầu ( )S có tâm O và A là một điểm nằm trên ( )S Gọi I , K là hai điểm trên đoạn OA

sao cho OI IK KA= = Các mặt phẳng ( )P , ( )Q lần lượt đi qua I , K, cùng vuông góc với

OA và cắt mặt cầu ( )S theo các đường tròn có bán kính lần lượt là r và 1 r2 Tính tỷ số 2

r

1

104

r

1

3 104

r

1

106

r

Lời giải Chọn B

 Gọi R là bán kính mặt cầu ( )S

Trên đường tròn tâm I và tâm K lần lượt lấy điểm C và D bất kì Khi đó: KOD∆ vuông tại

K và ∆IOC vuông tại I

483

R r

x Khẳng định nào dưới đây là sai?

A Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞ −; 1) B Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 2022)

C Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;1) D Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 2022)

Lời giải Chọn C



C

D

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 1) và (− +∞1; ) nên nó cũng đồng biến trên các khoảng (1; 2022) và(−1;2022 )

Câu 5: Cho cấp số cộng hình chóp ( )u n thỏa mãn u1= 3 và tổng hai số hạng đầu bằng 9 Số hạng u 3 bằng

Lời giải Chọn C

Ta có u3 = +u1 2d = +u1 2(u2−u1)= +u1 2(9−u1)−u1

u = − u =

Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a 3 Hình chiếu vuông góc

của S lên mặt phẳng đáy là điểm I thuộc đoạn thẳng AB sao cho BI =2AI Góc giữa mặt bên (SCD) với mặt phẳng đáy là 0

60 (tham khảo hình vẽ) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC

K

Giả sử hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ cạnh bằng x

Yêu cầu bài toán 0

4

m m

m∈ − − nên có 101 97 198+ = giá trị nguyên của m thoả mãn

Câu 9: Cắt mặt trụ tròn xoay bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của mặt trụ đó ta xác được thiết diện

là

Lời giải Chọn B

Câu 10: Có bao nhiêu đường thẳng cắt đồ thị hàm số 4

3

x y x

=+ tại hai điểm phân biệt mà cả hai điểm đó đều có tọa độ nguyên?( điểm M x y( ; ) có tọa độ nguyên nghĩa là ,x y∈ )

Lời giải Chọn C

4

x y

Ta có

Trên đồ thị hàm số y a= x, xét tại điểm có hoành độ x= ta có tung độ 1 y a= 1=a, vì hàm số

x

y a= đồng biến nên a > 1

Trên đồ thị hàm số y=logb x, xét điểm có tung độ y=1 thi hoành độ là 1

x=b =b, vì hàm số logb

2

x x x x

x x

⇔ 

=

 ⇔ ∈ −∞x ( ; 0]∪{ }2

Đối chiếu điều kiện x> − 79 ta có

Vậy có 80 số nguyên thỏa mãn

Câu 13: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8 ta lập các số tự nhiên có 7 chữ số đôi một khác nhau Chọn ngẫu

nhiên một số vừa lập, tính xác suất để chọn được một số có đúng 3 chữ số lẻ và các chữ số lẻ đứng kề nhau

Số phần tử không gian mẫu 7

4

C Xem 3 chữ số lẻ là một khối, kết hợp với 4 chữ số còn lại là xem như 5 chữ số, đồng thời hoán vị

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn là: 3 4

4 .5!.3!4

Xác suất là 43 44

7 8

Câu 15: Tính số cách sắp xếp 4nam sinh và 6nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ sao cho

tất cả nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau

A 6! 4!× B 7! 4!× C 10! D 6! 5!×

Lời giải Chọn D

Coi 6nữ sinh là 1sinh, ta sẽ xếp 5 học sinh ( gộp 4nam sinh và 1nữ sinh vừa coi) có: 5! ( cách)

Mỗi cách xếp trên có số cách xếp 6nữ sinh là: 6!( cách)

Vậy số cách xếp thỏa mán đề bài là: 6! 5!×

Câu 16: Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

Lời giải Chọn D

Hình chóp tứ giác đều có 4mặt phẳng đối xứng là: (SAC) (, SBD) (, SIK) (, SMN ).

Câu 17: Tìm tập giá trị của hàm số y= 3 sinx−cosx−2?

A − 3−3; 3 1−  B −2; 3 C [−4; 0] D [−2; 0]

Lời giải Chọn C

Ta có y= 3 sinx−cosx− ⇔2 3 sinx−cosx= +2 y

Phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi

( )2 ( ) (2 )2

3 + −1 ≥ 2+y ⇔ + ≥ +3 1 4 4y+y ⇔ y +4y≤ ⇔ − ≤ ≤0 4 y 0 Vậy tập giá trị là T = −[ 4; 0]

Câu 18: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ]2; 4 và thỏa mãn f ( )2 =2, f ( )4 =2022 Tính

2 2

Chọn D

Ký hiệu 55

dx I

2

1 3

Hình đa diện đều loại { }3;5 là hình hai mươi mặt đều, các mặt là các tam giác đều cạnh 4 a

S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện

Ta có lim( n bn2− + + −7 a n) =lim n bn2− + −7 (n a− )

2

7lim

Gọi H là hình chiếu của B′ trên (ABC)

Trong tam giác BB H′ có sinB BH B H B H BB.sinB BH

Góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là góc  60SAO= °

Ta có: l SA= =2a ⇒ cos60 2

2

a

r OA SA= = ° = =a Diện tích xung quanh hình nón là: S xq =πrl=π .2a a=2πa2

Câu 25: Cho hàm sốy= f x( )biết hàm số y= f′( )x có đồ thị như hình vẽ Hàm số

g x = f x− −x + x+ có bao nhiêu điểm cực đại?

A 3 B 2 C 5 D 4

Lời giải Chọn B

là đường nét liền ; đồ thị hàm số y g x= ( ) là đường nét đứt ) Biết rằng hai đồ thị hàm số ( 3 2)

y= f − + và x y=3g ax b( + có chung khoảng đồng biến Giá trị của biểu thức ) a+2b là:

Lời giải Chọn A

b x

x a

− −

 <

+ > −

Câu 27: Cho hàm số f x( )=ax bx c3+ − ln(x+ 1+x2) với a b c, , là các số thực dương, biết

(1) 3, (5) 2

f = − f = Xét hàm số g x( ) 3 (3 2 ) 2 (3= f − x + f x− −2) m , gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m sao cho max ( ) 10[ ]1;1 g x

Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là m = − 5, m = − 8

Câu 28: Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm Ovà tâm O', bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a

Trên đường tròn đáy có tâm O lấy hai điểm ,A D sao cho AD a= 15; gọi C là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng chứa đường tròn tâm ( )O' ; trên đường tròn tâm ( )O' lấy điểm

B (AB CD, chéo nhau) Đặt α là góc giữa AB với đáy Tính tanα khi thể tích khối tứ diện

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng chứa đường tròn tâm O

Gọi Klà hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng chứa đường tròn tâm ′O

Khi thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất thì khoảng cách từ H đến ADlớn nhất nên

H nằm chính giữa cung lớn chứa dây AD

Áp dụng định lí sin cho tam giác ADHta có:

Câu 29: Cho hình chóp S ABC nội tiếp trong mặt cầu đường kính SA , tam giác ABC là tam giác vuông

tại A, AC a= Góc giữa hai mặt phẳng (SAB và ) (ABC ) bằng 30° , gọi ϕ là góc giữa hai mặt

phẳng (SAB và ) (SAC , ) sin 3

Gọi I , J,H lần lượt là trung điểm SA, BC, AB

(SAB ; ABC ) ( HI HJ; ) IHJ 30

Gọi K là hình chiếu của J trên IH ⇒JK ⊥(SAB), d J SAB( ;( ) )=JK

Gọi M là hình chiếu của C trên (SAB), kẻ CN ⊥SA tại N

Câu 30: Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh bên bằng a 2, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a Gọi

M là điểm thay đổi trên mặt phẳng (SCD ) sao cho tổng 2 2 2 2 2

2

nhỏ nhất Gọi V 1 là thể tích của khối chóp S ABCD và V 2 là thể tích của khối chóp M ACD Tỉ

Lời giải Chọn B

Giả thiết ⇔(y+2 log) 2(y+2 2 1)( x+ )= −8 2( x−2)(y+2)

Câu 32: Cho hàm số f x( )=x3+ +x 2 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

− −

+ = số nguyên m thỏa mãn bài toán

Câu 33: Cho hàm số bậc bốn y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn m∈[0; 25]sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số g x( ) || 2 ( )= f x m+ +4 |−f x( ) 3|− trên đoạn [ 2; 2]− không bé hơn 1 ?

Câu 34: Cho hình vuông kích cỡ 4 x 4 như hình vẽ Sắp xếp ngẫu nhiên các số tự nhiên từ 1 đến 16 vào 16

ô vuông Tính xác suất để có tổng bốn số ở các ô trong cùng một hàng hay cùng một cột đều là một số lẻ

a b c

Xét hàm số g x( ) 3 (= f x− −3 3x m+ ) (+ x3+3x m− )2(−2x3−6x+2m−6 ) Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−2022; 2022] để hàm số ( )g x nghịch biến trên khoảng ( 2;2)− là

Bài làm

Đặt

3 3

Vậy có 4017 giá trị nguyên thỏa mãn là {−2022; 2021; ; 13;16;17; ;2022 − − }

Câu 37: Số nghiệm của phương trình ( 2 )( 1 ) 2 2023

Ta thấy hàm số y=2022x+2022 lên tục trên  nên từ BBT suy ra đồ thị hàm số

− − tại 2 điểm phân biệt

Câu 38: Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

Do đó phương trình có nghiệm duy nhất ⇔x0 = − − ⇔x0 2 x0 = −1

Thay x0 = −1 vào ( )* ta được:

Câu 39: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3 , trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD )

tại A ta lấy điểm S di động không trùng với A Hình chiếu vuông góc của A lên SB , SD lần

lượt là H, K Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ACHK

Ta dễ dàng chứng minh được SC⊥(AHK), HK// BD , AH = AK;

6

x HI

x

+

Gọi N là hình chiếu của K tới AD, gọi M là hình chiếu của I tới AC, ta dễ dàng có

2 2

3 3

3 3

IAC

IM AC x S

3 3

Câu 40: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 3a , tam giác SAB đều, góc giữa hai mặt

phẳng (SCD và ) (ABCD ) bằng 60° Gọi M là trung điểm của cạnh AB Tính khoảng cách

giữa hai đường thẳng SM và AC , biết rằng hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng

(ABCD ) nằm trong hình vuông ABCD

Lấy M ′ là trung điểm của BC, dễ thấy AC MM ′// ⇒AC//(SMM ′) và BO⊥MM ′; Gọi { }O′ =BO∩MM′; kẻ OK ⊥S O′ ′⇒OK ⊥(SMM ′)

12

+) Phương trình f x( )=0 1

2

x x x

2

x= − là trục đối xứng của đồ thị hàm số g x Tính ( ) g( )4

( ) ( ) ( ) ( )

và ( )C2 Gọi Slà tập hợp các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−2021; 2022] để ( )C1

và ( )C2 cắt nhau tại 2 điểm phân biệt Tính tổng các phần tử của tập hợp S

Câu 44: Cho hàm số ( ) log3 3 3x 1x

f x = x+ − Tính tổng bình phương các giá trị của tham số m để phương

Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình ( )1 có 3 nghiệm phân biệt Dựa vào đồ thị các hàm số 2

Vậy tổng bình phương các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng 29

Câu 45: Cho hàm số y= f x( )có đạo hàm liên tục trên , f ( )0 = −1 Biết ( ) 1( ) 2