Các dạng toán về hình học giải tích trong không gian ôn thi đại học 2013

Lập phương trình mặt phẳng  P trong các trường hợp sau: a... Lập phương trình mặt phẳng P sử dụng công thức về khoảng cách... Viết phương trình d đi qua gốc tọa độ và vuông góc với mặ

CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM CỦA HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

TRONG KHÔNG GIAN

Ví dụ: Lập phương trình mặt phẳng  P đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng

Bài tập: Lập phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau

1) Đi qua điểm A1; 2;1  và có cặp vectơ chỉ phương u 1; 0;1 , v2;1; 0

Bước 1: Viết phương trình  P qua 3 điểm A a ;0; 0 , B0; ; 0 ,b  C0; 0;c với a abc  có 0

Bài 1 Cho hai điểm M   4; 9;12,A2; 0; 0

a Lập phương trình  P qua M , A và cắt Oy, Oz lần lượt tại B, C sao cho OBOC1

Đáp số:  P : 3x2y3z 6 0

b Lập phương trình  P qua M và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại N, P, Q sao cho

OQONOP và: 4 1 1

OQ OPON Đáp số:  P : 2x2y z 140

Bài 2 Lập phương trình mặt phẳng  P trong các trường hợp sau:

a Đi qua M2; 1; 4  cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại P; Q; R sao cho: OR2OP2OQ. Đáp

n n



 

  với  là góc giữa hai mặt phẳng (P ) và (Q)

Ví dụ: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M0; 0;1 , N3; 0;0 và tạo với mặt phẳng Oxy một

Bài tập: Lập phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau:

a) Qua A0; 0;1 , B0;3;0 tạo với mặt phẳng Oxy một góc 30

Đáp số:  2xy3z 3 0

b) Chứa trục Oz tạo với mặt phẳng  Q : 2xy 5z  một góc 7 0 60

Đáp số: 3xy0;x3y0

Bài toán 4 Lập phương trình mặt phẳng (P) sử dụng công thức về khoảng cách

Phương pháp: Bước 1: Định dạng mặt phẳng  P theo giả thiết bài toán ( Tìm mối liên hệ giữa

A, B, C, D) Bước 2: Sử dụng công thức tính khoảng cách từ M x y z 0; 0; 0 đến mặt phẳng

D D

Ví dụ 2: Cho 4 điểm A1; 2;1 , B2;1;3 , C2; 1;1 ,  D0;3;1 Lập phương trình mặt phẳng

Với 3A2C thì B  , chọn 0 A2C3,D 5   P : 2x3z  5 0

Vậy:  P : 4x2y7z15 và 0  P : 2x3z  5 0

Bài tập: Bài 1 Cho 4 điểm A1; 2; 1 ,   B3; 2; 3 ,   C4; 4; 2 ,  D3; 2; 4  Lập phương

trình mặt phẳng (P) qua C, D sao cho dA P,  2dB P;  Đáp số: 2xy8z280 ;

Phần II: Các phương pháp lập phương trình đường thẳng

Ví dụ: Cho tam giác ABC có A1; 2;1 ;  B4; 0; 2 ; C2; 1; 4   Viết phương trình d đi qua gốc

tọa độ và vuông góc với mặt phẳng ABC 

1) Viết phương trình d qua A và vuông góc với  P

2) Tìm tọa độ H là giao điểm của d và  P Tính khoảng cách từ H đến  P

Ta có : u11; 1; 2 ;  u2 2;1;1

; Chọn u  u1u2   3;3;3

là VTCP của đường thẳng d Mặt khác d đi qua A1;1;3 nên d có phương trình là : 1 1 3

 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc vớ i d 1

 Tìm giao điểm B của d với (P) 2

 Phương trình d là phương trình qua 2 điểm A và B

Ví dụ: Viết phương trình d qua A1;1;1, vuông góc với 1: 1 1

 và cắt đường thẳng 2:

Phương pháp:

 Gọi Md N1; d2

 Vì A, M, N thẳng hàng nên AM k AN

từ đó suy ra toan độ M, N

 Phương trình d qua 2 điểm A,M hoặc A, N

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d qua A1;1;1, cắt cả hai đường d d có phương trình 1; 2

 Phương trình d qua hai điểm A và M

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d qua A   4; 2; 4 , cắt và vuông góc với đường thẳng

Gọi M thuộc  M 3 2 ;1t   t; 1 4t AM 1 2 ;3 t   t; 5 4 ;t u  2; 1; 4 

Ta có : MA   AM u  0   t 1 AM 3; 2; 1 

Đường thẳng d qua A   4; 2; 4, có VTCP u  3; 2; 1 

 Phương trình d là phương trình AB

Ví dụ: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d d biết: 1; 2

 Xác định Ad1 P B; d2 P

 Phương trinh AB chính là phương trình d

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng  P : 2x    và cắt cả y z 4 0

Bài toán 9: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d là hình chiếu vuông

góc của  lên mặt phẳng (P) (d không vuông góc với  P )

 Viết phương trình mặt phẳng  Q chứa  và vuông góc với  P

 Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng  Q và  P

Ví dụ: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của : 2 1 2

d là giao tuyến của    P ; Q : 5 8 5 0

2) Ta có :

2 2

os

c C

Bài toán 11: Viết phương trình đường thẳng sử dụng công thức về khoảng cách

Phương pháp: Đường thẳng qua điểm M, và có VTCP là u

Giải

Bài 1: Cho điểm A3; 0;1 , B1; 1;3  và mặt phẳng  P :x2y2z  Viết phương trình 5 0

đường thẳng d qua A song song với (P) sao cho khoảng cách từ B đến d ngắn nhất

giữa hai đường d và  bằng 2 21

Phần III: Các phương pháp lập phương trình mặt cầu

Bài toán 1: Viết phương trình mặt cầu dùng phương trình tổng quát

Phương pháp:

Phương trình mặt cầu có dạng tổng quát là   2 2 2

S x y z  ax by czd với

a b c d Tâm của mặt cầu là I a b c và bán kính mặt cầu là  ; ;  R a2b2c2d

Ví dụ : Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

1) Đi qua 3 điểm A0;1; 0 , B1; 0;0 , C0; 0;1 và có tâm thuộc mặt phẳng

a b  c  d  Vậy   2 2 2

S x y z  y z

Bài tập: Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

1) Đi qua 3 điểm A3;6;1 , B2; 2; 3 ,  C6; 2;0 và có tâm thuộc mặt phẳng

Mặt cầu có tâm I a b c , bán kính R có phương trình là  ; ;     2  2  2 2

      2 Giải hệ phương trình    1 ; 2 ta được a10;R2 50 Vậy mặt cầu cần tìm có phương

Cho mặt cầu  S tâm I và có bán kính R Mặt phẳng (P), khoảng cách từ I đến (P) là d I P ,  

Nếu d I P ,  R thì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu  S theo giao tuyến là một đường tròn tâm H,

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu có tâm I1; 2;3 , cắt mặt phẳng  P :x2y2z12 0

theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r  3

Bài tập: Viết phương trình mặt cầu có tâm I1; 2;0, cắt mặt phẳng  P :x2y2z  2 0

theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r 2 2

 mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S theo một đường tròn

Gọi H và r là tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến Ta có 2 2   

 Gọi I   (theo tham số)

 Vì  S tiếp xúc với hai mặt phẳng  P và  Q nên d I P ,  d I Q ,  

Ví dụ: Viết phương trình mặt cầu  S có tâm thuộc đường thẳng : 2 1 8

 Mặt phẳng  P tiếp xúc với mặt cầu  S d I P ,  R.

 Mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S tâm I , bán kính R theo một đường tròn tâm H, bán

2613

d d

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng  P song song với mặt phẳng  Q : x2y3z 4 0 và

cắt mặt cầu   S : x12y12z22 6 theo một đường tròn có chu vi là 2

Bài toán 9: Bài tập tổng hợp

Bài 1: Cho mặt cầu ( ) :S x2y2z22x4y8z16 , và đường thẳng có phương trình 0

A        Viết phương trình mặt cầu tâm A,cắt  tại hai

điểm B C, sao cho BC  8 2 2  2

Đ S x  y  z 

Bài 5: Cho ( ) :P x3y 6z210 và mặt cầu ( )S có bán kính bằng 5,tâm thuộc Ox và tiếp

xúc với mặt phẳng Oyz.Tính bán kính tọa độ tâm của đường tròn ( )C là giao của mặt cầu ( )S

với mặt phẳng ( )P ĐS :H6;3; 6 , r  3

Bài 6: Cho ba điểm A(1; 0;0), (3;1; 2), ( 1; 2;1)B C  và đường thẳng : 2 1

Bài 10: Cho mặt phẳng ( ) : 2P xy2z 3 0, mặt cầu ( ) :S x2y2z22x4y8z 4 0

Viết phương trình mặt cầu  S' đối xứng với mặt cầu  S qua mặt phẳng

S : ( ) : ( 3) 25

Đ S x y z 

Phần IV: Các bài toán phối hợp giữa điểm, đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu

Bài toán 1: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng , từ

đó suy ra M’ đối xứng với M qua 

 Bước 2: H là trung điểm của MM’ nên ta có:

'

'

'

222

   Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của M trên

, từ đó suy ra M’ đối xứng với M qua 

Giải

Ta có

1 2:

Bài toán 2: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng , từ

đó suy ra M’ đối xứng với M qua 

Phương pháp:

 Bước 1: Viết phương trình MH qua M và vuông góc với  P , từ đó suy ra tọa độ

điểm H MH P

 Bước 2: H là trung điểm của MM’ nên ta có:

'

'

'

222

Ví dụ: Cho M1; 2; 1  và  P :x    Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của M y z 3 0

trên  P , từ đó suy ra M’ đối xứng với M qua  P

13

1 Cho M3;3;3 và mặt phẳng  P : 2xy3z  Tìm điểm H là hình chiếu vuông 4 0

góc của M trên  P , từ đó suy ra M’ đối xứng với M qua  P Đáp số: H1; 2;0,

' 1;1; 3

2 Cho mặt phẳng  P :xy   và hai điểm z 1 0 A1; 2;3, B2; 0; 4

a) Tìm A’ đối xứng với A qua  P Đáp số: ' 11; 8; 5

Bài toán 3: Tìm điểm thuộc đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp: Biểu diễn điểm đó theo tham số, sau đó dùng công thức về độ dài đoạn

thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt, khoảng cách từ một điểm đến một đường

từ đó suy ra điểm cần tìm

Ví dụ 1: TSĐH khối B_ 2010 ( Ban nâng cao) Cho đường thẳng : 1

   Tìm tọa độ M thuộc trục Ox sao cho d M ,  OM

2 TSĐH khối B_2009 ( Ban cơ bản) Cho điểm A1; 0; 0, B0; ; 0b , C0;0;c với b, c 

dương, và mặt phẳng ( ) :P y  z 1 0 Tìm tọa độ B và C biết ABC   P và

Bài toán 4: Tìm điểm thuộc mặt phẳng thỏa mãn điều kiện cho trước

độ và cao độ của điểm đó Kết hợp với điểm đó thuộc mặt phẳng cho trước ta suy ra điểm

cần tìm

Ví dụ 1: Cho hai điểm A(0;3; 1) ; B2; 0; 1 và mặt phẳng  ( ) : 3P x8y7z 1 0 Tìm điểm

C thuộc mặt phẳng  P sao cho tam giác ABC đều

2 TSĐH khối B_2008 Cho ba điểm A(0;1; 2); B2; 2;1  ; C  2; 0;1và mặt phẳng

( ) : 2P x2y  z 3 0 Tìm điểm M thuộc mặt phẳng  P sao cho MAMAMC

Bài toán 5: Một số bài toán cực trị

5.1: Cho hai điểm A và B không thuộc mặt phẳng (P) Tìm M thuộc (P) sao cho MA+MB

nhỏ nhất

Phương pháp: Nếu A và B khác phía so với (P) thì M  AB P

Nếu A và B cùng phía so với (P) thì ta lấy A đối xứng với A qua (P) ( Xem 1

bài toán 2) Khi đó M A B1  P

Ví dụ : Cho hai điểm A ( 7; 4; 4); B  6; 2;3 và mặt phẳng ( ) : 3P xy2z190 Tìm M

thuộc  P sao cho MA MB nhỏ nhất

Giải

Ta có: 3.7 4 2.4 19 3.    6 2 2.3 19 980 nên A và B cùng phía so với  P

Gọi A là điểm đối xứng của A qua 1  P

Đường thẳng AA qua Avà vuông góc với 1  P , suy ra AA qua 1 A  7; 4; 4 và có vtcp

7 33; 1; 2 AA : 4

Giải

Gọi A , 1 B là hình chiếu vuông góc của A và B lên d Theo bài toán 1 ta tìm được 1 A10; 0; 0;

2 Cho hai điểm A ( 1;3; 2) ; B  3;7; 18  và mặt phẳng ( ) : 2P xy  z 1 0 Tìm M

thuộc  P sao cho MA MB nhỏ nhất