Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Chuyên đề HÌNH THANG CÂN, ĐỐI XỨNG TRỤC I Kiến thức cần nhớ 1 Định nghĩa hình thang cân Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau (h 14) 2 Tí[.]
Trang 12 Tính chất của hình thang cân
Trong hình thang cân :
- Hai cạnh bên bằng nhau ;
- Hai đường chéo bằng nhau
3 Dấu hiệu nhận biết hình thang cân
- Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân
- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân
4 Hai điểm đối xứng qua một đưòng thẳng
Hai điểm A và A' gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng AA' (h.15)
Quy ước : Nếu B d thì điểm đối xứng với B qua d chính là B.
5 Hai hình đối xứng qua một đường thẳng
*Hai hình F và F' gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng qua
d với một điểm thuộc hình kia và ngược lại
- Hai đoạn thẳng AB và A'B' đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu A đối xứng với A'; B đối
xứng với B' qua d (h.16a)
- Hai tam giác ABC và A'B'C' đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu A đối xứng với A'; B đối xứng với B'; C đối xứng với C' qua đường thẳng d (h.16b)
Trang 2Hình 16
Định lí : Nếu hai đoạn thẳng (hai góc, hai tam giác) đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì chúng
bằng nhau
6 Hình có trục đối xứng
Đường thẳng d là trục đối xứng của hình F nếu điểm đối xứng qua d của mỗi điểm thuộc hình F cũng
thuộc hình F
Đặc biệt : Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của một hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân (h.17)
7 Bổ sung
- Hai đường thẳng a và a' đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu hai điểm của đường thẳng này đối
xứng với hai điểm của đường thẳng kia qua đường thẳng d
- Một hình có thể không có, có một, có nhiều hoặc vô số trục đối xứng
- Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng (B nằm giữa A và C) và A', B', C' lần lượt là
ba điểm đối xứng của chúng qua đường thẳng d thì ba điểm A', B', C' thẳng
hàng (B' nằm giữa A' và C) (h.18)
II Một số ví dụ
Trang 3a) Theo tính chất đối xứng trục, ta có :
b) Theo tính chất đối xứng trục, ta có :
trí trong cùng phía nên BE // CF hay BCFE là hình thang
c) Theo tính chất đối xứng :
Ví dụ 2 Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác Điểm M nằm trong tam giác Các điểm N, X, Y
theo thứ tự là các điểm đối xứng của M qua AD, AB, AC Chứng minh rằng AN là đường trung trực của đoạn XY
Giải
Trường hợp 1 Xét (h.20)
Trang 4Đặt ; Ta có :
Mặt khác : AX = AY = AN (2)
Từ (1) và (2) suy ra AN là đường trung trực của đoạn XY
Trường hợp 2 Xét Tương tự trường hợp 1.
Nhận xét: Dựa vào bài trên, có thể chứng minh được bài sau :
Cho tam giác ABC Điểm M nằm trong tam giác Điểm Y đối xứng với M qua AC ; điểm X đối xứng với
M qua AB Điểm N nằm trong tam giác sao cho AN là đường trung trực của đoạn X,Y Chứng minh
Ví dụ 3: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD ) Kẻ các đường cao AE, BF của hình thang
Chứng minh rằng DE = CF
Hướng dẫn:
Ta có ABCD là hình thang cân nên AD = BC
+ Xét tam giác vuông ADE có
AD2 = AE2 + DE2 ⇒ DE2 = AD2 - AE2 ⇔ DE = √( AD2 - AE2 ) ( 1 )
+ Xét tam giác vuông BCF có:
BC2 = BF2 + CF2 ⇒ CF2 = BC2 - BF2 ⇔ CF = √( BC2 - BF2 ) ( 2 )
Xét tứ giác ABFE có AB// EF nên là hình thang Lại có hai cạnh bên AE// BF (cùng vuông góc CD ) nên
Trang 5a) Vì Δ ABC cân tại A có AH là đường cao theo giả thiết nên AH cũng là đường phân giác của góc A.
Theo giả thiết ta có AD = AE nên Δ ADE cân tại A nên AH là đường trung trực của DE
⇒ D đối xứng với E qua AH
b) Vì Δ ABC cân tại A có AH là đường cao theo giả thiết nên AH cũng là trung trực của BC
⇒ B đối xứng với C qua AH, E đối xứng với D qua AH
Mặt khác, ta có A đối xứng với A qua AH theo quy ước
⇒ Δ ADC đối xứng với Δ AEB qua AH
III Bài tập tự luyện
1 Bạn Việt nói "trong các đỉnh của hai tam giác đối xứng trục luôn có bốn đỉnh tạo thành các đỉnh của
một hình thang cân" Bạn Nam nói "chưa chắc !"
Ai đúng, ai sai, tại sao ?
2 Cho tam giác ABC nhọn Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tia Ax và Ay sao
cho Trên tia Ax và Ay lấy hai điểm M và N thoả mãn AM = AN và
Trong tam giác dựng PBC sao cho Chứng minh rằng P luôn nằm trên một đường thẳng cố định
3 Cho tam giác ABC vuông tại A, lấy điểm M bất kì thuộc cạnh BC Gọi E là điểm đối xứng của M qua
AB, F là điểm đối xứng của N qua AC
a) Chứng minh rằng A là trung điểm của EF
b) Xác định vị trí của M để EF có độ dài ngắn nhất
4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên AB, AC lấy M và N sao cho AM + AN = AB Chứng minh
rằng trung điểm của AB, AC, MN thẳng hàng
5 Trên tia phân giác ngoài của góc tại đỉnh c tam giác ABC, ta lấy điểm M (M khác C) Chứng minh
rằng AC + CB < AM + MB
6 Cho điểm A nằm trong góc xOy Dựng ABC có điểm B Ox, C Oy sao cho ABC có chu vi nhỏ nhất.
Trang 67 Cho tứ giác ABCD có góc ngoài của tứ giác tại đỉnh C bằng góc ACB Chứng minh rằng : AB + DB >
AC + DC
8 Cho ABC nhọn có AH là đường cao Gọi M, N là điểm đối xứng của H qua AB và AC Gọi I,
K là giao điểm của MN với AB, AC
a) Tính
b) Chứng minh CI AB ; BK AC
9 Chứng minh rằng, trong tam giác ABC, đường cao không lớn hơn trong đó BC = a, p là nửa chu vi tam giác.
10 Cho ABC, các điểm E, F thuộc đường phân giác AD sao cho Vẽ điểm I đối xứng với E qua AB, điểm H đối xứng với E qua AC, điểm K đối xứng với F qua BC Chứng minh :
a) FH = FI, FI = KE
b)
Trang 7về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
I Luyện Thi Online
dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
-Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao và HSG
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III Kênh học tập miễn phí
-HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
H c m i lúc, m i n i, m i thi t bi – Ti t ki m ọ ọ ọ ơ ọ ế ế ệ
90%
HOC247 NET c ng đ ng h c t p mi n phí ộ ồ ọ ậ ễ HOC247 TV kênh Video bài gi ng mi n phí ả ễ