Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Chuyên đề HÌNH THOI VÀ HÌNH VUÔNG I Kiến thức cần nhớ 1 Định nghĩa Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau (h 36) Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và c[.]
Trang 1Chuyên đề HÌNH THOI VÀ HÌNH VUÔNG
I Kiến thức cần nhớ
1 Định nghĩa
Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau (h.36)
Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau (h.37)
Từ đó suy ra :
Hình thoi cũng là một hình bình hành
Hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi
2 Tính chất
a) Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành, ngoài ra còn có :
Hai đường chéo vuông góc với nhau
Hai đường chéo là đường phân giác các góc của hình thoi
b) Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi
3 Dấu hiệu nhận biết
a) Nhận biết hình thoi
Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi
Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi
Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi
Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi
Trang 2Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
4 Bổ sung
a) Trong hình thoi:
Hai đường chéo là hai trục đối xứng
Giao điểm hai đường chéo là tâm đối xứng
b) Đường chéo của hình vuông cạnh a là
II Một số ví dụ
Ví dụ 1 Cho hình thoi ABCD có
Trên các cạnh AB, BC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho BM + BN bằng độ dài cạnh của hình thoi
Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định
Giải
Từ đề bài suy ra ABD và CBD đều ;
AD = BD, AM = BN,
Suy ra MAD = NBD (c.g.c) => DM = DN và
Vậy MDN có MD = ND, nên MDN đều
Suy ra đuờng trung trực của đoạivthẳng MN luôn đi qua điểm D cố định
Ví dụ 2 Trên các cạnh BC, CD của hình vuông ABCD với AB = 1, ta lấy các điểm M, N tương ứng sao
cho chu vi tam giác MCN bằng 2
a) Chứng minh
b) Gọi P và Q là giao điểm của đường chéo BD với các đoạn thẳng AM và AN Chứng minh rằng các
đoạn thẳng BP, PQ, QD lập thành ba cạnh của một tam giác vuông
Giải
Trang 3a) Trên cạnh DC kéo dài về phía D lấy điểm K sao cho DK = BM
Ta có :
MN + MC + CN = MB + MC + CN + DN (= 2)
MN = BM + DN
hay MN = DK + DN = KN (1)
Mặt khác ADK = ABM (c.g.c)
=> AM = AK (2)
Từ (1) và (2) suy ra KAN = MAN (c.c.c)
b) AKN = AMN => AKN = AMN = AMB; ANK = ANM Kẻ AH MN
Dễ có AHM = ABM => HM = BM, AH = AB
Suy ra AM là trung trực của đoạn HB từ đó PH = PB, APH = APB => =
Chứng minh tương tự : QH = QD, Vậy
Suy ra hay các đoạn thẳng BP, PQ, QD lập thành ba cạnh của một
tam giác vuông
Nhận xét
Ta có thể giải được câu sau : Chứng minh rằng khi M thay đổi thì MN luôn cách điểm A một khoảng
cách không đổi
Ta cũng có thể thay giả thiết "chu vi tam giác MCN bằng 2" bằng " " và kết luận câu a là :
Chứng minh chu vi tam giác MCN bằng 2
Ví dụ 3 Cho hình vuông ABCD Lấy điểm M thuộc cạnh BC, tia AM cắt đường thẳng CD tại N Qua A
vẽ đường thẳng d vuông góc với AM cắt đường thẳng CB, CD lần lượt tại p và Q
a) Chứng minh rằng các tam giác AMQ, ANP vuông cân
b) Gọi giao điểm của QM và NP là R Gọi I; K là trung điểm của đoạn thẳng MQ, PN Hoi tứ giác AIRK
là hình gì ?
c) Chứng minh 4 điểm K, B, I, D thẳng hàng
Giải
Trang 4a) ADQ = ABM => AQ = AM => AMQ vuông
ABP = ADN => AN = AP => ANP vuông cân
b) AMQ vuông cân, IM = IQ => AI là đường trung tuyến
=> AI là đường cao => AI RQ hay (1)
- Tương tự ta có AKR = 90° (2)
- PQN có NA, PC là các đường cao nên M là trực tâm, suy ra QR NP hay (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra AKRI là hình chữ nhật
a) Ta có AK = CK (= PN); AI = CI (= QM); AD = CD; AB = CB
=> K ; B ; I; D cùng thuộc đường trung trực của AC Vậy K, B, I, D thẳng hàng.
III Bài tập tự luyện
1 Cho tam giác ABC có AB < AC Trên cặnh AC của tam giác lấy điểm D sao cho CD = AB Gọi Q là
trung điểm của AC, N là trung điểm của BD Vẽ đường phân giác AK của góc BAC Chứng minh AK
NQ
2 Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O Chứng minh rằng nếu các tam giác AOB, BOC,
COD và DOA có chu vi bằng nhau thì tứ giác ABCD là hình thoi
3 Cho tam giác đều ABC có AD là đường cao, H là trực tâm Từ một điểm M bất kì trên cạnh BC kẻ
ME, MP theo thứ tự vuông góc với AB, AC Gọi I là trung điểm của AM Chứng minh rằng :
a) DEIP là hình thoi;
b) Ba đường thẳng MH, ID, EP đồng quy
Trang 5AP = AB, và CQ = CD Gọi I là giao điểm của PQ và AD, K là giao điểm của DP và BI Chứng minh rằng :
a) BID vuông ;
b) BK = IK
6 Cho hình thoi ABCD có AC cắt BD tại O Gọi E là điểm đối xứng của A qua B Gọi I, F là giao điểm
của ED với AC và BC, gọi G và H thứ tự là giao điểm của OE và BC, OF và CE Chứng minh rằng : A,
G, H thẳng hàng
7 Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AE cắt đường
thẳng CD tại F Gọi I là trung điểm của EF Gọi M là giao điểm AI và CD Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N Chứng minh rằng :
a) Tứ giác MENF là hình thoi
b) Chu vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC
8 Cho hình vuông ABCD Điểm E nằm trong hình vuông sao cho tam giác ABE đều Gọi F là giao điểm
của AE và BD O là giao điểm của DE và FC Chứng minh OC = OF
9 Mọi điểm trên mặt phẳng được đánh dấu bởi một trong hai dấu ( + ) hoặc (-) Chứng minh rằng luôn
chỉ ra được 3 điểm trên mặt phẳng làm thành một tam giác vuông cân mà ba đỉnh của nó được đánh cùng dấu
10 Cho hình vuông ABCD và điểm M nằm trong hình vuông Tìm tất cả các vị trí của điểm M sao cho
Trang 6
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
I Luyện Thi Online
-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
-Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao và HSG
-Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG
-Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III Kênh học tập miễn phí
-HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
V ng vàng n n t ng, Khai sáng t ữ ề ả ươ ng lai
H c m i lúc, m i n i, m i thi t bi – Ti t ki m ọ ọ ọ ơ ọ ế ế ệ
90%
HOC247 NET c ng đ ng h c t p mi n phí ộ ồ ọ ậ ễ HOC247 TV kênh Video bài gi ng mi n phí ả ễ