Chuyên đề 36 tổng hợp pp toạ độ trong không gian (mặt phẳng) vd vdc hướng dẫn giải

Do mặt phẳng đi qua và vuông góc với nên nhận véc tơ làm một véc tơ pháp tuyến nên phương trình của sẽ Câu 4: Trong không gian với hệ toạ độ , cho đường thẳng và mặt phẳng.. Câu 7: Tr

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt phẳng , đường thẳng

và đường thẳng Biết là hình chiếucủa lên mặt phẳng và là một điểm nằm trên Vectơ nàodưới đây là vectơ pháp tuyến của

Lời giải

Xét hệ phương trình

Vậy

Ta có: là hình chiếu của lên

là vectơ chỉ phương của

Ta có là vectơ chỉ phương của

là vectơ pháp tuyến của

Câu 2: Trong không gian , cho hai đường thẳng và đường

thẳng : Biết rằng tồn tại một mặt phẳng có phươngtrình chứa đồng thời cả hai đường thẳng và Giá trịcủa biểu thức bằng:

Lời giải

CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG

Phương trình tham số của hai đường thẳng là: và

Dễ dàng nhận thấy, hai đường thẳng và không song song và không trùng nhau Để tồn tại một mặt phẳng chứa đồng thời cả hai đường thẳng thì hai đường thẳng này phải cắt nhau tại một điểm, khi đó hệ phương trình giao điểm phải có nghiệm duy nhất

tuyến Phương trình mặt phẳng khi đó là:

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm , và mặt

phẳng Một mặt phẳng đi qua hai điểm , vàvuông góc với có dạng: Khẳng định nào sau đây làđúng?

Lời giải

Véc tơ pháp tuyến của là:

Do mặt phẳng đi qua và vuông góc với nên nhận véc tơ

làm một véc tơ pháp tuyến nên phương trình của sẽ

Câu 4: Trong không gian với hệ toạ độ , cho đường thẳng

và mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng đối xứngvới qua

Ta có và dễ thấy không thuộc , do đó

Lại có mặt phẳng đối xứng với qua nên do đó có

một VTPT là

Chọn khi đó mặt phẳng qua và nhận làm VTPT có phương trình là

Suy ra , gọi là điểm đối xứng của qua , khi đó ta có

là trung điểm của suy ra , do nên

Mặt phẳng đi qua và nhận làm VTPT có phương trình là

Câu 5: Trong không gian với hệ toạ độ , cho đường thẳng

và mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng đối xứng với qua

Ta có và dễ thấy không thuộc , do đó

Lại có mặt phẳng đối xứng với qua nên do đó có

Câu 6: Trong không gian với hệ toạ độ , cho đường thẳng và mặt

phẳng Viết phương trình mặt phẳng đối xứng với qua

Lời giải

nhận làm VTCP Mặt phẳng nhận làm VTPT

Ta có do đó không song song với

Mặt phẳng đối xứng với qua nên

Chọn , gọi là hình chiếu của trên và là điểm đội

xứng với qua Ta có nên suy ra

Suy ra , ta có là trung điểm của suy ra

Mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng đi qua ba điểm

Do đó ta chọn làm VTPT của Khi đó có phương trình là

Câu 7: Trong không gian với hệ toạ độ , cho mặt cầu là mặt cầu có bán

kính nhỏ nhất trong các mặt cầu có phương trình:

và hai đường thẳng , Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu , biết tiếp diện

đó song song với cả hai đường thẳng và

Điều kiện để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu:

Đường thẳng véctơ chỉ phương và qua

Đường thẳng véctơ chỉ phương và qua

Mặt phẳng cần tìm song song với hai đường thẳng và nên có vectơ pháp tuyến là

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng

và Có bao nhiêu mặt phẳng song song

giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng

Lời giải

+ Đường thẳng và lần lượt có một véctơ chỉ phương là

.+ Gọi mặt phẳng song song với cả và , do đó nhận véctơ

là một véctơ pháp tuyến

Vậy không có mặt phẳng nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 9: Trong không gian , cho hai đường thẳng ,

Có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả và tiếp xúc vớimặt cầu

Lời giải

Nhận thấy là hai đường thẳng chéo nhau, lần lượt có VTCP là

.Gọi là mặt phẳng song song với cả , khi đó VTPT của là

.Khi đó phương trình mp có dạng:

Mặt cầu có tâm

Mp tiếp xúc với mặt cầu khi

.Với , mp : khi đó mp song song với nhưng chứa: không thỏa mãn

Với , mp : khi đó mp song song với : thỏamãn

Vậy có 1 mp thỏa mãn

Câu 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt phẳng

, đường thẳng và điểm Tọa độ điểmthuộc sao cho song song với là Khi đó bằng

Lời giải

Gọi là đường tròn giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng có tâm

và bán kính

Mặt cầu có tâm và bán kính

Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai mặt phẳng

Viết phương trình mặt phẳng vuônggóc với cả và sao cho khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng

Lời giải

Hai mặt phẳng có vectơpháp tuyến lần lượt là:

Vì mặt phẳng vuông góc với cả hai mặt phẳng và nên mặt

phẳng có một vectơ pháp tuyến là

Hay mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là Suy ra phương

trình mặt phẳng có dạng:

Mặt khác, ta có:

Vậy có hai mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán là:

Câu 13: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng song song và cách mặt

phẳng ` một khoảng bằng 1 và không qua gốc tọa độ

Mặt phẳng cách mặt phẳng ` một khoảng bằng 1

Vì không qua gốc tọa độ O nên

Câu 14: Trong không gian , cho hai điểm và Gọi là

mặt cầu có phương trình: Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu và cách đều hai điểm và là đường tròn có bán kínhbằng

Lời giải

Vì điểm cách đều hai điểm và nên thuộc mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của đoạn

Gọi là trung điểm thì

Mặt phẳng trung trực của đoạn đi qua và có vectơ pháp tuyến

Nên bán kính đường tròn giao tuyến bằng

Câu 15: Trong không gian , cho điểm và hai mặt phẳng

và Có bao nhiêu mặt cầu đi qua

và tiếp xúc với hai mặt phẳng , ?

Lời giải

Gọi là tâm của mặt cầu

Ta có tiếp xúc với và nên

.Suy ra, thuộc mặt phẳng :

Vậy có duy nhất một mặt cầu thỏa mãn

Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng

Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ , xét ba điểm

thỏa mãn Biết rằng mặt cầu

cắt mặt phẳng theo giao tuyến làđường tròn có bán kính là 4 Giá trị của biểu thức là

Lời giải

Theo phương trình đoạn chắn ta có phương trình mặt phẳng là:

.Với giả thiết Ta thấy mặt phẳng luôn đi qua điểm

Ta gọi K là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng

và ta thấy và nên ta có trùng với điểm

Câu 18: Trong không gian , cho mặt cầu và

đường thẳng Phương trình mặt phẳng đi qua điểm

song song với đường thẳng và tiếp xúc với mặt cầu là

, thay vào , ta được:

Mặt cầu có tâm Mặt cầu có tâm

Ta có ,mà mặt phẳng có vec tơ pháp tuyến

Do nên song song hoặc nằm trong

Bán kính đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu là

Phương trình mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến là :3x+4y+30=0

Mặt phẳng cắt 2 mặt cầu , theo giao tuyến là hai đường tròn không

có tiếp tuyến chung,trong đó đường tròn nhỏ ở trong đường tròn lớn khi

Do m nguyên nên m là:-2;-1;4;5;6;7.Vậy có 6 giá trị m

Câu 20: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt cầu

và điểm Mặt phẳng đi qua vàcắt theo đường tròn có chu vi nhỏ nhất Gọi là điểmthuộc đường tròn sao cho Tính

Lời giải

Nhận thấy rằng, mặt cầu có tâm , bán kính và điểm làđiểm nằm trong mặt cầu này.

Gọi là bán kính hình tròn và là hình chiếu của lên Dễ thấyrằng là tâm đường tròn Khi đó, ta có

Vậy để có chu vi nhỏ nhất thì nhỏ nhất khi đó trùng với

Khi đó mặt phẳng đi qua và nhậnvectơ làmvectơpháp tuyến Phương trình mặt phẳng có dạng

Điểm vừa thuộc mặt cầu vừa thuộc mặt phẳng và thỏa

nên tọa độ của thỏa hệ phương trình

Lấy phương trình đầu trừ hai lần phương trình thứ ba ta được

Câu 21: Trong không gian cho mặt cầu Gọi

là mặt phẳng đi qua điểm và cắt theo giaotuyến là đường tròn sao cho khối nón có đỉnh là tâm , là hình tròn

có thể tích lớn nhất Biết mặt phẳng có phương trình dạng

, khi đó bằng

Lời giải

Từ BBT suy ra thể tích khối nón lớn nhất khi

Theo giả thiết mặt phẳng đi qua hai điểm

Mà

Câu 22: Trong không gian cho hai điểm và mặt phẳng

có phương trình Biết mặt phẳng đi qua hai điểm A, B

đồng thời tạo với mặt phẳng một góc nhỏ nhất cỏ phương trình là

với Khi đó, giá trị bằng

Lời giải

• Ta có: là 1 VTCP của

là 1 VTPT của

đường thẳng AB cắt mặt phẳng tại điểm

• Gọi và lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên

Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ , gọi là đường thẳng đi qua điểm

, song song với mặt phẳng và có tổng khoảngcách từ các điểm tới đường thẳng đó đạt giá trị nhỏnhất Gọi là một véctơ chỉ phương của Tính

Lời giải

Vì đường thẳng đi qua và song song với nênđường thẳng nằm trong mp đi qua và song song với

.Mặt phẳng có phương trình là Gọi lần lượt là hìnhchiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng Suy ra các đường thẳng

Câu 24: Trong không gian cho ba điểm , , và mặt

hệ thức đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó giá trị của biểu thức

đạt GTNN đạt GTNN là hình chiếu của lên

Câu 25: Trong không gian , cho ba điểm

Điểm thuộc mặt phẳng sao cho đạt giá trịnhỏ nhất Khi đó bằng

Câu 26: Trong không gian , cho các điểm và Gọi là

mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu

điểm thuộc sao cho Giá trị nhỏ nhất của là

Lời giải

Các điểm trên đường tròn giao tuyến có tọa độ là nghiệm của hệ

Lấy trừ , ta được hay đường tròn giao tuyến nằm trên mặt

phẳng tức là

Dễ thấy , nằm khác phía đối với , hình chiếu của trên là , hình chiếu của trên là

Gọi là mp qua song song với mp Suy ra thuộc đường tròn nằm trong mp có tâm bán kính

Do nên chọn

Khi đó vì nên

Câu 27: Trong không gian , gọi là mặt phẳng đi qua hai

điểm , và không đi qua điểm Biết rằng khoảngcách từ đến mặt phẳng đạt giá trị lớn nhất Tổng

Câu 28: Trong không gian , biết rằng mặt phẳng với

Câu 29: Trong không gian tọa độ , gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm

, và tạo với trục một góc bằng Biết phương trìnhmặt phẳng có dạng Tính giá trị biểu thức

Gọi lần lượt là hình chiếu của trên và

Có nên hay

Suy ra góc giữa trục và mặt phẳng là

Thay vào ta được

+ Với , do đó phương trình mặt phẳng là

Câu 30: Trong không gian , cho mặt cầu và

hai điểm và Với là điểm thuộc mặt cầu sao cho

đạt giá trị lớn nhất, khi đó tiếp diện của mặt cầu tại điểm cóphương trình là

Suy ra lớn nhất khi và đạt giá trị lớn nhất

Vì , suy ra khi thuộc đường thẳng

Tọa độ giao điểm của đường thẳng với mặt cầu là

Suy ra

, , Vậy điểm cần tìm là

; phương trình tiếp diện tại :

Câu 31: Trong không gian , cho mặt cầu cắt

mặt phẳng theo giao tuyến là đường tròn Điểm thuộc sao cho khoảng cách từ đến nhỏ nhất có tung độbằng

Tọa độ điểm là nghiệm của hệ:

Thay vào ta được phương trình:

nhỏ nhất nên ta chọn Vậy tung độ điểm cần tìm bằng

Câu 32: Trong không gian với hệ trục , cho mặt cầu

di động trên , các điểm phân biệt di động trên sao cho

là các tiếp tuyến của Mặt phẳng đi qua điểm cố địnhnào dưới đây?

Vậy mặt phẳng đi qua điểm cố định

Câu 33: Trong không gian cho mặt cầu có tâm , bán kính bằng

Giả sử , , ,

Với là đường tròn, là đường tròn

Xét tam giác vuông tại M, , Gọi H là hình chiếu vuônggóc của O lên

Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ , cho với

dương Biết di động trên các tia sao cho Biết rằng khi thay đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện

thuộc mặt phẳng cố định Khoảng cách từ tới mặtphẳng bằng

Lời giải

đi qua điểm và có VTPT

.Gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn

.Gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn

đi qua điểm và có VTPT

.Gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Câu 35: Trong không gian , cho đường thẳng và mặt

phẳng Gọi là giao điểm của và Biết ,khoảng cách từ điểm thuộc đến bằng

Biết rằng khi thay đổi, tồn tại hai mặtcầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng và cùng đi qua Tìm tổng bánkính của hai mặt cầu đó.

Tóm lại: Khi thay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng

và cùng đi qua và có tổng bán kính là: suy ra

Câu 37: Trong không gian , cho điểm , mặt phẳng

phẳng đi qua , vuông góc với mặt phẳng đồng thời cắt mặt cầu

theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất Mặt phẳng điqua điểm nào sau đây?

Lời giải

đi qua điểm nên phương trình của là

mặt phẳng Có bao nhiêu điểm trên vơi có các tọa

độ nguyên sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của qua và vuông gócvới nhau

Nếu thì không có tiếp tuyến của qua

Nếu thì tập hợp các tiếp tuyến của qua là một mặt phẳng nên

có vô số cặp tiếp tuyến của qua

Nếu thì tập hợp các tiếp tuyến của qua là một mặt nón tròn xoay đỉnh ngoại tếp , mỗi đường sinh là một tiếp tuyến Để tồn tại cặp đường sinh vuông góc với nhau thì góc ở đỉnh của mặt nón phải lớn hơnhoặc bằng suy ra

Kết luận: Yêu cầu của bài toán

Vậy có 7 điểm thỏa mãn bài toán

Câu 39: Trong không gian , cho mặt cầu Có

bao nhiêu điểm thuộc mặt cầu sao cho tiếp diện của tại cắtcác trục lần lượt tại các điểm , mà là các sốnguyên dương và ?

Lời giải