Chuyên đề 35 tổng hợp pp toạ độ trong không gian (mặt cầu) vd vdc hướng dẫn giải

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là .Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho mặt cầu và điểm.. Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt cầu đạt giá trị nhỏ nhất khi

Trang 1

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

Câu 49_TK2023 Trong không gian cho Xét các điểm

thay đổi sao cho tam giác không có góc tù và có diện tích bằng Giátrị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng thuộc khoảng nào dưới đây?

Lời giải Chọn B

Ta có:

Suy ra: di động trên mặt trụ, bán kính bằng trục là

Xét điểm như hình vẽ,

Vì nên giới hạn của là hai mặt trụ với trục và

CHUYÊN ĐỀ 44: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT CẦU

Trang 2

Vì hình chiếu của cách gần hơn nên

Câu 1: Trong không gian , cho hai điểm và Xét hai điểm

và thay đổi thuộc mặt phẳng sao cho Giá trị lớn nhất của

A N

H K

Gọi là điểm đối xứng với qua mặt phẳng , suy ra

và ở cùng phía so với mặt phẳng Lấy điểm sao cho ( là hình bình hành), khi đó

Vậy giá trị lớn nhất của bằng

Trang 3

Câu 2: Trong không gian , cho mặt cầu Lấy

điểm trong không gian sao cho từ kẻ được ba tiếp tuyến , ,

đến mặt cầu thỏa mãn , , ( , , là cáctiếp điểm) Khi đó đoạn thẳng có độ nhỏ nhất bằng

Lời giải

Vì , , là tiếp tuyến nên ta đặt

có , nên là tam giác đều, suy ra

Áp dụng định lí Py-ta-go cho ta có

Áp dụng định lí hàm số cos cho :

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của

Vì nên là trục đường tròn ngoại tiếp của

Câu 3: Trong không gian với hệ trục , cho mặt cầu và hai

điểm Gọi là điểm thuộc mặt cầu Tính giá trị nhỏ

Trang 4

với

.Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 5 khi

Câu 4: Trong không gian tọa độ , cho 2 điểm , thay đổi trên mặt cầu

Ví dụ 1. thỏa mãn Giá trị lớn nhất của biểu thức là

Trang 5

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là

Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho mặt cầu

và điểm Một đường thẳng thay đổiqua và cắt tại hai điểm Khi biểu thức đạt giá trịnhỏ nhất thì đoạn thẳng có giá trị bằng

Vây khi và chỉ khi là đường kính mặt cầu

Cách 2: Gọi là hình chiếu của lên và đặt

Trang 6

Tính được

So sánh cả hai trường hợp thì ta có khi đó

Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt cầu

đạt giá trị nhỏ nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất

có tâm và bán kính Suy ra

Mà là điểm thay đổi trên nên đạt giá trị nhỏ nhất khi

Trang 7

Ta có là trung điểm của

thay đổi thuộc mặt phẳng sao cho Giá trị nhỏ nhất của bằng

Lời giải

(Oxz)

K B

H A

A'

M N

Ta có , lần lượt là hình chiếu vuông góc của và

xuống mặt phẳng Nhận xét: , nằm về cùng một phía với mặt phẳng

Gọi đối xứng với qua , suy ra là trung điểm đoạn nên

Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng

Câu 8: Trong không gian , cho ba điểm , và Gọi là

mặt phẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng Khi

đạt giá trị lớn nhất, giao tuyến của và đi quađiểm nào trong các điểm sau đây?

Trang 8

A B C D

Lời giải

Gọi là hình chiếu của lên , suy ra

suy ra, chứa Gọi

Gọi là trung điểm của , suy ra

TH1: cùng phía với

là hình chiếu của lên

Gọi là trung điểm của

Suy ra,

Ta có, là trung điểm của suy ra và

TH2: khác phía với

Trang 9

Gọi là điểm đối xứng với qua Khi đó:

Thì

Vì là điểm đối xứng với qua , suy ra: là trung điểm của

là trung điểm của

Ta thấy, TH1 có lớn hơn ta chọn trường hợp 1

Đường thẳng

và thay đổi thuộc mặt phẳng sao cho Tìm giá trị nhỏ

Lời giải

Trang 10

Dựng véc tơ , khi đó , qua đồng thời song songvới mặt phẳng Suy ra

Vì suy ra thuộc đường tròn tâm , bán kính nằmtrong

Gọi đối xứng với qua , ta có Ta có

.Gọi là hình chiếu vuông góc của lên Suy ra Mặt khác

Câu 10: Cho Mặt cầu có bán kính và tiếp xúc với

đồng thời cả ba mặt phẳng Khối cầu chứa đoạn thẳng Tính tổng các giá trị nguyên mà có thể nhận được?

Lời giải

Vì mặt cầu có bán kính và tiếp xúc với đồng thời cả ba mặt phẳng

nên tọa độ tâm và

Để khối cầu chứa đoạn thẳng thì ta cần có:

Vì nên Tức là , suy ra tổng các giá trị nguyên mà

có thể nhận được bằng

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ , cho và mặt

phẳng Mặt cầu đi qua hai điểm và tiếp xúc với

Trang 11

tại điểm Biết luôn thuộc một đường tròn cố định Tìm bán kính của đường tròn

Lời giải

Ta có và mp có vec tơ pháp tuyến Do đó

vuông góc với

có tâm và đi qua hai điểm nên ta có

.Suy ra

Mặt cầu tiếp xúc với nên ta có

Vậy luôn thuộc một đường tròn cố định cóbán kính

Câu 12: Trong không gian , cho mặt cầu Có

bao nhiêu điểm thuộc mà tiếp diện của tại cắt các trục

tương ứng tại các điểm sao cho là các số nguyên

Trang 12

Suy ra nên hay

Câu 13: Trong không gian , cho 3 điểm , , Gọi ,

lần lượt là trực tâm, trọng tâm tam giác Viết phương trình mặt cầutâm và đi qua

Câu 14: Trong không gian cho là điểm

khác sao cho đôi một vuông gó C là tâm mặtcầu ngoại tứ diện Tính

Trang 13

Lời giải

Vì là tứ diện đều, nên tâm của mặt cầu nội tiếp tứ diện trùng với

trọng tâm của tứ diện ta có

là trọng tâm tam giác ,

Khi đó tâm

Câu 16: Trong không gian hệ tọa độ , cho hai điểm Biết

tập hợp các điểm thỏa mãn là một mặt cầu Bán kính mặtcầu đó bằng

Trang 14

Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu có phương trình

và hai điểm ; Tìm giá trị nhỏnhất của biểu thức , với là điểm bất kì thuộc mặt cầu

Lời giải

Mặt cầu có tâm , bán kính

; ; Suy ra hai điểm nằm ngoài mặt cầu

Lấy điểm sao cho Suy ra: và nằm trong mặt cầu

Ta có đồng dạng với do có góc chung và

và mặt cầu

Trang 15

Vậy

Điểm di động trên mặt phẳng Khi biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng bằng

Khi đó: đồng biến trên khoảng

Suy ra đạt giá trị nhỏ nhất khi nhỏ nhất, và nhỏ nhất khi là

hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng Suy ra

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm Mặt phẳng

thay đổi đi qua lần lượt cắt các tia tại khác Giá trịnhỏ nhất của thể tích khối tứ diện bằng

Trang 16

Câu 20: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt cầu

đạt giá trị nhỏ nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất

có tâm và bán kính Suy ra

Mà là điểm thay đổi trên nên đạt giá trị nhỏ nhất khi

Ta có là trung điểm của

Câu 21: Trong không gian , cho điểm Đường thẳng qua tạo

với trục một góc , cắt mặt phẳng tại điểm Khi nhỏnhất, tìm tung độ điểm

Lời giải

Trang 17

Gọi là là đường thẳng qua và song song với , khi đó

Do đó là đường sinh của mặt nón đỉnh , trục , góc

Câu 22: Trong mặt phẳng cho các điểm , , và

mặt cầu có phương trình Gọi là điểmtrên mặt cầu sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất

Trang 18

Câu 23: Trong không gian , cho điểm và điểm di động trên mặt

phẳng ( khác ) Gọi là hình chiếu vuông góc của lên và

là trung điểm của Biết rằng luôn tiếp xúc với một mặt cầu cốđịnh, điểm nào sau đây thuộc mặt cầu đó?

Do

luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm , đường kính

.Suy ra phương trình mặt cầu Do đó, điểm

Câu 24: Trong không gian , cho mặt cầu và điểm

Điểm thay đổi nằm trên mặt cầu, tìm giá trị nhỏ nhất

Lời giải

Trang 19

Nhận xét: Điểm nằm ngoài mặt cầu Mặt cầu có tâm

Câu 25: Vì nằm trong và nằm ngoài nên dấu xảy ra khi

.Trong không gian , cho mặt cầu

điểm thay đổi trên mặt cầu Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

bằng

Lời giải

Mặt cầu có tâm và bán kính

Gọi là giao điểm của mặt cầu và đoạn Lấy điểm trên sao

Trang 20

Câu 26: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho

với sao cho Tính khi thể tíchkhối chóp đạt giá trị lớn nhất

Lời giải

Từ

Ta có

là điểm thuộc mặt cầu Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 21

Lời giải

Gọi là điểm cần tìm

.Suy ra:

với

.Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 5 khi

Câu 28: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho mặt cầu

và điểm Một đường thẳng thay đổiqua và cắt tại hai điểm Khi biểu thức đạt giá trịnhỏ nhất thì đoạn thẳng có giá trị bằng

Trang 22

Vây khi và chỉ khi là đường kính mặt cầu

Cách 2: Gọi là hình chiếu của lên và đặt

So sánh cả hai trường hợp thì ta có khi đó

và điểm di động thuộc

cả hai mặt cầu Gọi là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Tínhgiá trị của biểu thức

Trang 23

Lời giải

Mặt cầu có tâm , bán kính ; mặt cầu có tâm , bánkính

Ta có hai mặt cầu cắt nhau theo một đường tròn,

kí hiệu là đường tròn có tâm , bán kính

Phương trình mặt phẳng chứa đường tròn là:

Bán kính đường tròn bằng

Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng

Ta có là hình chiếu của trên mặt phẳng

Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến ,

Suy ra nằm ngoài đường tròn

Khi đó giá trị lớn nhất của bằng

đó do đó đạt giá trị lón nhất khi và chỉ khi

Trang 24

bằng xảy ra khi và chỉ khi cùng hướng,khi

Do đó

thay đổi thuộc mặt phẳng sao cho Giá trị nhỏ nhất của bằng

Lời giải

(Oxz)

K B

H A

A'

M N

Ta có , lần lượt là hình chiếu vuông góc của và

xuống mặt phẳng Nhận xét: , nằm về cùng một phía với mặt phẳng

Gọi đối xứng với qua , suy ra là trung điểm đoạn nên

Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng

và thay đổi thuộc mặt phẳng sao cho Tìm giá trị nhỏ

Trang 26

Mặt cầu có tâm Mặt cầu có tâm

Đường thẳng di động nhưng luôn tiếp xúc với tại và đồng thời cắt

tại hai điểm

Khi đó, lớn nhất lớn nhất thẳng hàng và nằm giữa

Do đó, Diện tích lớn nhất của tam giác là

Câu 34: Trong không gian , cho mặt cầu và hai

điểm Điểm bất kỳ thuộc mặt cầu Biết đạtgiá trị nhỏ nhất tại Giá trị của biểu thức bằng

Trang 27

điểm của đường thẳng với mặt cầu và nằm giữa và

+) Đường thẳng đi qua điểm và nhận vectơ làm vectơchỉ phương

nên có phương trình tham số là Tọa độ giao điểm của đườngthẳng với mặt cầu thỏa mãn hệ

bài toán Vậy

Trang 28

Câu 35: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu và điểm

Từ điểm vẽ ba tiếp tuyến đến mặt cầu Gọi T làđiểm thay đổi trên mặt phẳng sao cho từ kẻ được hai tiếp tuyếnvuông góc với nhau đến mặt cầu Khoảng cách từ đến giao điểm của

đường thẳng với mặt phẳng có giá trị nhỏ nhất bằng

Lời giải

Mặt cầu có tâm và bán kính Gọi là giao điểm của

và mặt phẳng Dễ thấy mặt phẳng đi qua H và vuông góc

Trang 29

Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ từ điểm ta kẻ các tiếp

tuyến đến mặt cầu có tâm , bán kính Gọi là mộttrong các tiếp điểm ứng với các tiếp tuyến trên Tìm giá trị lớn nhất của biểuthức:

Trang 30

Suy ra

Phương trình mặt phẳng qua và vuông góc là:

suy ra suy ra

Áp dụng Bu – nhi – a – cop – ski ta có:

Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ , cho , Điểm di

động trên trục Gọi là trực tâm tam giác Khi đó luôn thuộcmột mặt cầu cố định Tính bán kính của mặt cầu đó

Lời giải

Gọi là trung điểm đoạn , ta có

Trang 31

Ta có nên tam giác cân tại nên Gọi là trực tâm tam giác với là hình chiếu vuông góc của trên.

Câu 38: Trong không gian , cho hai điểm và Có bao

nhiêu điểm với là các số nguyên sao cho có mặt cầu tâm điqua và tiếp xúc với mặt phẳng ?

Lời giải

.Gọi là trung điểm của Mặt phẳng trung trực của là

là số nguyên lẻ

Gọi là tiếp điểm của mặt cầu và

Xét trong mặt phẳng , phương trình của :

Trang 32

Câu 39: Trong không gian , cho mặt cầu và

đường thẳng Có bao nhiêu điểm thuộc trục hoành, vớihoành độ là số nguyên, mà từ kẻ được đến hai tiếp tuyến cùngvuông góc với ?

Lời giải Chọn B

Nhận xét: Hai tiếp tuyến cùng vuông góc với nên nó nằm trong một mặt phẳng qua và vuông góc với đường thẳng

Vì vậy để tồn tại hai tiếp tuyến thõa mãn bài toán thì mặt phẳng phải cắt mặt cầu một đường tròn có bán kính lớn hơn nên khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến mặt phẳng nhỏ hơn bán kính của mặt cầu

Vậy có giá trị nguyên thõa mãn hay có điểm thõa mãn bài toán

Câu 40: Trong không gian , cho mặt cầu và điểm

Ba điểm , , phân biệt cùng thuộc mặt cầu

Tiêu đề	Chuyên đề 35 tổng hợp pp toạ độ trong không gian (mặt cầu) vd vdc hướng dẫn giải
Trường học	Trường Trung Học Phổ Thông
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	tài liệu ôn thi
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	64
Dung lượng	4,58 MB