Chuyên đề 28 cực trị của hàm số liên quan tham số hướng dẫn giải

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPTKIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1 Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x x 0 Bước 1... Do x  là nghiệm bội 2 của phương trình 1 f x  nên phương trình nếu 0có nghiệm t

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1) Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x x 0

Bước 1 Tính y x' 0 , ''y x 0

Bước 2 Giải phương trình y x' 0  0 m?

Bước 3 Thế m vào y x'' 0 nếu giá trị

0 0

'' 0'' 0

ï - >

ïïî+ Hàm số không có cực trị khi y¢=0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

Bảng biến thiên của g x 

CHUYÊN ĐỀ 28: TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ – SỐ CỰC TRỊ THỎA MÃN

ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Vậy có 15 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu đề bài.

Câu 1: Cho hàm số bậc ba yf x  có đồ thị như hình vẽ

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số yf f x   m có

1

x x

Vậy có 1giá trị nguyên m thỏa mãn đề bài

Câu 3: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên  Đồ thị của hàm số

yf  x như hình vẽ bên dưới

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m 0;10 để hàm số y2f 4x2 1 m

2

3

t t

2 2

2

2

040

m x

yêu cầu bài toán

Câu 4: Cho hàm số f x có đạo hàm   f x( ) ( x1)2x2 4x

.Có bao nhiêu giá trị

nguyên dương của tham số m để hàm số g x( )f 2x212x m 

có đúng 5

2 2

33

cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt có hoành độ khác 3

Nhận xét: đường thẳng y 4 m luôn nằm trên đường thẳng ym

Suy ra 18 m  m18

Vậy có 17 giá trị m nguyên dương.

Câu 5: Cho hàm số yf x  có đạo hàm      2 

f x  x x 

,   x Có bao nhiêugiá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g x  f x 33x 2m1

có ítnhất 3 điểm cực trị?

Xét hàm số h x x33x, vì h x  3x2 3 0,   nên x h x  đồng biến trên

 Ta có bảng biến thiên của hàm số    

bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x f x 33x 2m m 2

có không quá 6 điểm cực trị?

nên có 5 giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 7: Cho hàm số    2 2 

f x  x x  x

với mọi x  R Có bao nhiêu giá trị

nguyên dương của m để hàm số yf x 2 10x m 9

 , x  là nghiệm kép nên khi qua giá trị 2 x  thì 2 f x 

không bị đổi dấu

2 2

00

5 0

5 0

h p

m m

Vậy có 16 giá trị nguyên dương m thỏa mãn.

Câu 8: Cho hàm số f x  có đạo hàm f x  x x2 1 x22mx5

Có tất cả baonhiêu giá trị nguyên của m để hàm số có đúng một điểm cực trị?

Lời giải Chọn C

Hàm số f x 

có đúng một điểm cực trị khi và chỉ khi tam thức

g x x  mx vô nghiệm hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó một

nghiệm là x  , hoặc 1 g x  có nghiệm kép x  Tức là1

g

g

g g

m

m b

mãn yêu cầu bài toán là S   2, 1, 0, 1, 2, 3 

m m

m m

Do m nguyên âm nên m   4; 3; 2; 1   

Câu 12: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm f x'( )x x2 1 x2 2mx5

với mọi x   Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  10 để hàm số g x  f x 

hai nghiệm dương phân biệt

có 5điểm cực trị là

 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3

m        

Số giá trị nguyên của tham số m  10 để hàm số g x  f x 

có 5điểm cực trị là 7

có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số

Hàm số yf x( ) có 2 điểm cực trị dương khi và chỉ khi phương trình  * có

hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm dương khác 1 luôn có 2

nghiệm trái dấu)

Câu 14: Cho hàm số f2 3 x 9 1  x29x2 4

Có bao nhiêu giá trị nguyên

dương của tham số m để hàm số g x  f 2x212x m 

có đúng 5 điểm cựctrị?

Do x  là nghiệm bội 2 của phương trình 1 f x  nên phương trình nếu 0

có nghiệm thì nghiệm của nó đều là nghiệm bội chẵn

Xét hàm số h x 2x212x có bảng biến thiên như sau:

Để hàm số g x  f 2x212x m 

có đúng 5 điểm cực trị thì phương trình và phương trình mỗi phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác 3 Khi đó

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số yf f x  m có 6

điểm cực trị?

Lời giải

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 16: Cho hàm số yf 3 5 x xác định và liên tục trên , có đồ thị như hình

Các nghiệm x 3 m 7,x 3 m8 là các nghiệm bội lẻ nên hàm số

Câu 17: Cho hàm số yf x  liên tục trên  Đồ thị của hàm số yf 5 2 x có

đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m thoả mãn m  và hàm số

Ta thấy khi x2 4x m 0 với mọi x   thì hàm số y chỉ có duy nhất 1 cực

trị Do đó để hàm số đã cho có 3 cực trị thì x2 4x m 0 phải có hai nghiệm phân biệt x , 1 x hay 2 m  4

Kết hợp điều kiện ta được m   5

+ Mà m   2019;2019 và m  Z nên m   2018; 2017; ; 7; 6     Suy ra số giá

0

+ Trường hợp 1: Nếu x2 2mx 3 0 với mọi x   hay  3m 3 thì hàm số

Ta thấy phương trình  x2 mx m 2 4 0 luôn có hai nghiệm x x 1, 2

Do đó để hàm số đã cho có 3 cực trị thì điểm cực đại x CD 2m của hàm số

+ Mà m nguyên dương nên m 1 Suy ra số giá trị m thỏa mãn là 1.

Câu 21: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số:

x x

Lời giải Chọn C

Ta có y x2 2mxm2 4

; y 2x 2m.Hàm số 1 3 2  2 

Quan sát bảng biến thiên ta thấy m 1 thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 24: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x 3 3x2mx đạt cực1

tiểu tại x  2

A m  0 B m  4 C 0  m 4 D 0m 4

Lời giải Chọn A

m y

Lời giải Chọn C

2 2 0'' 1 0

m m

m y

1 0

m m

1 0

m m

Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x  với 1 m  2

Câu 31: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số

TH2: m 5 Khi đó yx210x21 y2x10 y 3 4 0 nên x 3 làđiểm cực đại

Vậy m 5 thỏa mãn yêu cầu đề bài

Câu 32: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 2  2 

13

y x  mx  m  m x

đạtgiá trị cực đại tại x  1

+ Với m  thì 3 y 1   suy ra hàm đạt cực đại tại 4 0 x  1

Vậy m  là giá trị cần tìm.3

Câu 33: Cho hàm số f x  x32 2 m1x2 m2 8x Tìm tất cả các giá trị của2

tham số m để hàm số đạt giá trị cực đại tại điểm x  1

Vậy m  thỏa mãn đề bài.9

Câu 34: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

Để hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình 2x2 m có hai

nghiệm phân biệt khác 0 , hay m 0 m 0

Câu 36: Tìm m để hàm số y mx 42m1x22 có 2 cực tiểu và một cực đại

1

x y

nghiệm phân biệt và m 0

Khi đó phương trình mx2  m1 có hai nghiệm phân biệt khác 0 và m  0

0

10

m

m m

4

m a

1

x y

nghiệm phân biệt và m 0

Khi đó phương trình mx2  m1 có hai nghiệm phân biệt khác 0 và m  0

10

m

m m

Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m để hàm số có ba điểm cực trị.

Câu 40: Tìm tất cả các giá trị của tham số m đề hàm số y x 3 3x22mx m có

điểm cực đại và điểm cực tiểu

A

32

m 

32

m 

32

m 

32

y x  x mx

có cực đại vàcực tiểu?

Hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y 0 có

hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi   0 1 m 0 m1

x mx

A mÎ  B m< 0 C Không tồn tại m D m> 0

Lời giải Chọn D

ê =

+ Trường hợp m> ta có bảng biến thiên:0

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x= 0

+ Trường hợp m< ta có bảng biến thiên:0

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x= 0

Như vậy, để hàm số đạt cực đại tại x= thì 0 m> 0

Câu 43: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng 2019; 2019 để hàm số

Dựa, vào bảng xét dấu ta thấy x  là điểm cực đại Suy ra 0 m   2

Vậy, tập hợp tất cả các giá trị của tham số mthỏa mãn đề bài là m   mà2

m thuộc khoảng 2019;2019

Suy ra, số giá trị nguyên của m là 2016

Câu 44: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

Xét hàm số g x  8x4 5m 3x 4m2 9

có g x  32x35m 3

Ta thấy g x   có một nghiệm nên 0 g x  có tối đa hai nghiệm  0

+) TH1: Nếu g x  có nghiệm 0  0 x   m hoặc 3 m 3

Với m  thì 3 x  là nghiệm bội 0 4 của g x Khi đó 0  x  là nghiệm bội 7 của y và y đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x  nên 0 x  là điểm0cực tiểu của hàm số Vậy m  thỏa ycbt.3

Vậy cả hai trường hợp ta được 6 giá trị nguyên của m thỏa ycbt.

Câu 45: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

Để hàm số đạt cực tiểu tại x  thì qua giá trị 0 x  dấu của 0 y' phải chuyển

từ âm sang dương do đó g 0   0 4m 4

Kết hợp hai trường hợp ta được 4 m 4

Do m m  3; 2; 1;0;1; 2;3;4  

Vậy có 8 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.

Câu 46: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

12 ( 5) 7 ( 2 25) 6 1

y x  m x  m  x  đạt cực đại tại x  ?0

Lời giải Chọn B

Ta có y' 12 x117(m 5)x66(m2 25)x5

TH1: m 5 y' 12 x11 Khi đó y' 0  x0 là nghiệm bội lẻ, đồng thời dấu

của y’ đổi từ âm sang dương, nên x  là điểm cực tiểu của hàm số,do đó 0

không thỏa mãn, m  loại.5

TH2: m 5 y'x6(12x5 70) 0  x là nghiệm bội chẵn, do đó 0 y’ không

đổi dấu khi đi qua x  , 0 m  loại.5

TH3:

5 ' 12 7( 5) 6( 25) ( )

m  y x  x  m x m   x g x

Với g x( ) 12 x67(m 5)x6(m2 25), ta thấy x  không là nghiệm của 0 g x  

Để hàm số đạt cực đại tại x  thì y’ phải đổi dấu từ dương sang âm khi đi 0

qua x  , xảy ra khi và chỉ khi 0

Câu49 Cho hàm số y x 64m x 516 m x2 4  Gọi S là tập hợp các gia trị m 2

nguyên dương để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x  Tổng các phần tử của0

S bằng

Lời giải Chọn C

x y

Trường hợp 1: 16 m2 0 0m4:  *

có hai nghiệm âm phân biệt

1, 2 1 2

x x x x , ta có bảng xét dấu y như sau:

Lúc này x  là điểm cực tiểu.0

Trường hợp 2: 16 m2  0 m4:  *

có hai nghiệm trái dấu x x x1, 2 1 0 x2,

ta có bảng xét dấu y như sau:

Từ đây suy ra x  là điểm cực đại.0

Trường hợp 3:  * có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm âm, lúc này x  0

là nghiệm bội 4 của đạo hàm nên không phải là điểm cực trị

Vậy có ba giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1, 2, 3 Tổng các phần tử của S bằng 6.

Câu 47: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số

TH1: Nếu m 1 y4x2 Suy ra hàm số không có cực đại.1

TH2: Nếu m  1

Để hàm số không có cực đại thì 2m 3  0 m Suy ra 13 m 3

Vậy 1m 3

Câu 49: Để đồ thị hàm số y x4 m 3x2m1 có điểm cực đại mà không có

điểm cực tiểu thì tất cả các giá trị thực của tham số m là

A m  3 B m  3 C m 3. D m  3

Lời giải Chọn A

Vì hàm số đã cho là hàm trùng phương với a   nên hàm số có điểm cực1 0

đại mà không có điểm cực tiểu  y ' 0 có đúng 1 nghiệm bằng 0

3

02

 phương trình   có 2 nghiệm phân biệt x 0  m0

Câu 51: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

Trường hợp 1: m0  y1 nên hàm số không có cực trị

Vì m0  0m2019.

Do m nên có 2019 giá trị nguyên của tham số m thỏa đề.

Câu 52: Cho hàm số f x  có đạo hàm f x x x2 1 x22mx5

Có tất cả baonhiêu giá trị nguyên của m để hàm số có đúng một điểm cực trị?

Lời giải Chọn C

Hàm số f x  có đúng một điểm cực trị khi và chỉ khi tam thức

00

g

g

g g

m

m b

mãn yêu cầu bài toán là S   2, 1, 0, 1, 2, 3 

Câu 53: Tập hợp các giá trị củam để hàm số 1 3 2  2 1

3

y x  mx  m x

có hai cựctrị là:

A   ; 1  2; B   ; 1  2; C 1; 2 D 1; 2

Lời giải Chọn B

Ta có y x2 2mx m  Để hàm số có hai cực trị thì 2 y  có hai nghiệm 0

phân biệt nên

Ta có y 4mx32m1x2 2x mx 2m1

;

 

2 2

x  .

11

0

02

m m

m m

Giải nhanh: Với a khác 0 thì hàm số đã cho có 1 cực trị

Câu 55: Cho hàm số y mx 4m2 6x2 Có bao nhiêu số nguyên 4 m để hàm số

có ba điểm cực trị trong đó có đúng hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại ?

Lời giải Chọn C

Tập xác định D 

Ta có y 4mx32m2 6x

.Hàm số đã cho có ba điểm cực trị trong đó có đúng hai điểm cực tiểu và

một điểm cực đại khi và chỉ khi  2 

Do đó có hai giá trị nguyên của tham số m

2 4

Để hàm số f x  có đúng một điểm cực trị  Phương trình  * vô nghiệm,

có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm là 4

Trường hợp 1 Phương trình  * vô nghiệm

Câu 57: Với giá trị nào của tham số m để đồ thị hàm số y x 3 3x2m có hai

điểm cực trị A, B thỏa mãn OA OB ( O là gốc tọa độ)?

A

32

m 

12

m 

52

m 

Lời giải Chọn D

A 1 B 0 C 3 D 2

Lời giải Chọn A

2 1313

m m

m 

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 59: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành khi vàchỉ khi phương trìnhmx3 (2m1)x22mx m 1 0 có 3 nghiệm phân biệt

Ta có

2( 1) ( 1) 1 0

 x mx  m x m   Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi pt mx2 (m1)x m  1 0 có

2 nghiệm phân biệt khác 1

2

0( 1) 1 0( 1) 4 ( 1) 0

m

Do m m1

Câu 60: Cho hàm số y x 3 m6 x22m9x 2. Tìm m để đồ thị hàm số có hai

điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành

A

2.6

m m

m m m

m m m

Yêu cầu bài toán  đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

' 10 0

8 0

m m

Câu 62: Cho hàm số yx3 2m1x2m1x m  1 Có bao nhiêu giá trị của số

tự nhiên m 20 để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trụchoành?

Lời giải

+ Ta có: yx 1 x2 2mx 1 m

.+ Hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi và chỉ khi đồ

thị y cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. yx 1 x2  2mx 1 m 0

23

m

m m

+ Do m N m , 20 nên 1m20 Vậy có 19 số tự nhiên thỏa mãn bài toán

Câu 63: Cho hàm số y= -x3 3mx2+4m2- 2 có đồ thị ( )C và điểm C( )1;4 Tính tổng

các giá trị nguyên dương của m để ( )C có hai điểm cực trị A B, sao cho tam

giác ABC có diện tích bằng 4.

Lời giải Chọn C

ê =ë

Do m nguyên dương nên ta được m=1,m=2, tổng thu được là 3

Câu 64: Cho hàm số y2x3 3m1x26mx m 3 Tìm m để đồ thị hàm số có hai

điểm cực trị A B, sao cho độ dài AB  2

Câu 66: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số