Chuyên đề 21 ung dung tích phân hướng dẫn giải

Thể tích vật thể Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S x là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với

Trang 1

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

I DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1 Định lý 1: Cho hàm số yf x( )liên tục, không âm trêna b;  Khi đó diện tích S của hình

thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số yf x( ), trục hoành và 2 đường thẳng xa x b,  là:

( )

b

a

Sf x dx

2 Bài toán liên quan

Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yf x( ) liên tục trên đoạn a b; 

,

trục hoành và hai đường thẳng x a , x b được xác định:



b a

S f x dx( )

Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yf x( ), y g x ( ) liên tục trên

đoạn a b; 

và hai đường thẳng x a , x b được xác định:

b a

S f x( ) g x dx( )

Chú ý:

- Nếu trên đoạn [a b]; , hàm số f x( ) không đổi dấu thì:  

f x dx( ) f x dx( )

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

Bài toán 3: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x g y ( ), x h y ( ) và hai đường

thẳng y c , y d được xác định:  

d c

S g y( ) h y dy( )

CHUYÊN ĐỀ 21: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH

VẬT THỂ ĐƠN GIẢN

 













 



( ) ( )

y f x

y 0 H

x a

x b

a c 1 c2

 ( )

y f x y



b

a

S f x dx( )













 



( ) : ( ) ( ) : ( ) ( )

C y f x

C y f x H

x a

x b

1

( )C

2

( )C

b a

S f x1( ) f x dx2( )

a c 1 y

Trang 2

Bài toán 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị (C1) : ( )f x1 ,(C2) : f x2( )là:

1 ( ) ( )

n

x

Sf x  g x dx

Trong đó:x x1, ntương ứng là nghiệm nhỏ nhất của phương trình ( ) ( )

f x g x

II THỂ TÍCH CỦA KHỐI TRÒN XOAY

1 Thể tích vật thể

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b;

S x( ) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x,

 

a x b

( ) Giả sử S x( ) là hàm số liên tục trên đoạn [a b]; .

2 Thể tích khối tròn xoay

Bài toán 1: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường



y f x( ), trục hoành và hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox:



x g y( ), trục hoành và hai đường thẳng y c , y d quanh trục Oy:



y f x( ),y g x ( ) và hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox:

b a

V f x2( ) g x dx2( )

Câu 29:_TK2023 Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới

hạn bởi hai đường yx22xvà y 0quanh trục Ox bằng



b a

S x dx

x

( )V

S(x)

x

( ) :













 



C y f x

Ox y 0

x a

x b

 ( )2

b x a

V f x dx

a

 ( )

y f x y

c

y

O

d

x

( ) :













 



C x g y

Oy x 0

y c

y d

 ( )2

d y c

V g y dy

Trang 3

A

16 15

V  

B

16 9

V   

C

16 9

V  

D

16 15

V   

Lời giải Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm của đường yx22x và đường y 0 là

2 0

2

x





    



2 16

0

V  x  x x x  x  x x  x    

Câu 1: Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng

1 2x 2x 4 dx

   

1 2x 2x 4 dx

  

1 2x 2x 4 dx

   

1 2x 2x 4 dx

  

Lời giải Chọn A

Dựa và hình vẽ ta có diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên là:

1 x 2 x 2x 2 dx 1 2x 2x 4 d x

Câu 2: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y2x2, y  , 1 x 0 và x  được1

tính bởi công thức nào sau đây?

1 2

0

S  x  x

1 2

0

S  x  x

C 1 2 2

0

S  x  x

D 1 2 

0

S  x  x

Diện tích hình phẳng cần tìm là  

S x  x x  x

do 2x   2 1 0  x 0;1

Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y x 2 4 và y2x 4 bằng

Trang 4

A 36 B

4

4 3



Lời giải Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là:

2

x





Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho là:

2 4

0

x

S  x   x x x  x x x x xx   

Câu 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y x 2 và 1 y x 1

A 6



13

13 6



1

6

Phương trình hoành độ giao điểm hai đường là:

1

x





Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường là

1 2 0

1 d 6

x  x x



Câu 5: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y x 2 3 và y x  3 bằng

A

125

6



1

125



Ta có Phương trình hoành độ giao điểm:

1







x

Diện tích hình phẳng:    

1

6

Câu 6: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y x 2 2 và y3x 2 bằng

A

9

9 2



125

125 6



.

Xét phương trình hoành độ giao điểm, ta có:

2- 2 3= - 2

0

3

é = ê Þ

ê = ë

x x

Như vậy, diện tích hình phẳng được gới hạn bằng ( ) ( )

3 2

0

2

=

Trang 5

Câu 7: Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  , 2x y 0, x  , 0 x  Mệnh2

đề nào dưới đây đúng?

A

2

0

2 dx

S  x

B

2

0

2 dx

S  x

C

2 2 0

2 dx

S  x

D

2 2 0

2 dx

S  x

2 dx 2 dx

S  x x

Câu 8: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  , ex y 0, x  , 0 x  Mệnh đề2

nào dưới đây đúng?

A

2

0

e dx

S  x

B

2

0

e dx

S  x

C

2

0

e dx

S  x

D

2 2

0

e dx

S  x

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đườngy  , ex y 0, x  , 0 x  là: 2

2

0

d

x

Se x

Câu 9: Cho hàm số yf x  liên tục trên  Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

yf x y x và x  5

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A

( )d ( )d

S f x x f x x



( )d ( )d

S f x x f x x



C

( )d ( )d

S f x x f x x



( )d ( )d

S f x x f x x



Lời giải Chọn C

Câu 10: Cho hàm số f x 

liên tục trên  Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

yf x y x x Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Trang 6

A    

dx + dx



.

dx+ dx



.

Nhìn hình ta thấy hàm số f x  liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn 1;1 nên



; hàm số f x 

liên tục và nhận giá trị âm trên đoạn 1;2

nên

f x  f x



Câu 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 3 x và đồ thị hàm số y x x  2.

A

37

9

81

Phương trình hoành độ giao điểm

0

2

x







 

 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 3 x và đồ thị hàm số y x x  2 là:



                  

Câu 12: GọiSlà diện tích hình phẳng  H

giới hạn bởi các đường yf x 

, trục hoành và hai đường

Trang 7

thẳng x  , 1 x  Đặt 2  

0

1

d

a f x x





,

 

2

0

d

bf x x

, mệnh đề nào sau đây đúng?

A S b a  B S b a  C S  b a D S  b a

Ta có:

f x x f x x a b



Câu 13: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới

đây?

2

1

2x 2 dx





B  

2

1

2x 2 dx





2 2 1

2x 2x 4 dx





2 2 1

2x 2x 4 dx



 



Trang 8

Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là:

liên tục trên  Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

yf x y x và x  Mệnh đề nào dưới đây đúng?4



Ta có: hàm số f(x) 0   x  1;1 ; (x) 0 f   x 1; 4

, nên:

Chọn đáp án

B.

liên tục trên . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi cá đường

 ,



y f x y0, x2

và x3 Mệnh đề nào dưới đây đúng?



S f x x f x x



S f x x f x x

Trang 9

Ta có

Do f x  0

với   x  2;1

và f x  0

với  x 1;3



S f x x f x x

Câu 16: Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới

hạn bởi đồ thị hàm số yf x , trục Ox và hai đường thẳng x a x b a b ,    , xung quanh

trục Ox

A

 

b a

V f x dx

B

 

2

b a

V f x dx

C

 

2

b a

V f x dx

D

 

b a

V f x dx

Lời giải

Chọn B

Câu 17: Cho hàm số yf x 

liên tục trên đoạn a b; 

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

số yf x 

, trục hoành và hai đường thẳng x a x b a b ,    

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức:

A

 

2

b

a

V  f x dx

B

 

2

b

a

V f x dx

C

 

2

b

a

V  f x dx

D

 

2 2

b

a

V  f x dx

Câu 18: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường y e3x, y  , 0 x 0 và x 1 Thể tích của

khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng:

A

1 3 0

e dx x



1 6 0

e dx x



1 6 0

e dx x



1 3 0

e dx x



Ta có thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng:

 

2

e x dx e dx x

 

Câu 19: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường y e y  4x,  0, x  0 và x  Thể tích của khối1

tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng

A

1 4 0

d

x



1 8 0

d

x



1 4 0

d

x



1 8 0

d

x



Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox là:

Trang 10

 

2

V e xe x

Câu 20: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường y e y  2x,  0, x  0 và x  Thể tích khối tròn1

xoay tạo thành kho quay D quanh Ox bằng

A

1 4

0e xdx

  . B 01 2e x xd . C  01 2e xdx. D 01 4e x xd .

Thể tích khối tròn xoay tạo thành kho quay D quanh Ox là 1 2 2 1 4

V   e x e x.

Câu 21: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường y e y  x,  0, x  0 và x  Thể tích của khối1

tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng

A

1 2 0

x

e dx



1

0

x

e dx



C

1

0

x

e dx



1 2 0

x

e dx



Câu 22: Cho hình phẳng  H

giới hạn bởi các đường y x  2 3, y 0, x  , 0 x  Gọi V là thể2 tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H

xung quanh trục Ox Mệnh đề nào dưới

đây đúng?

2 2 0

3

V x  dx

2 2 0

3

V x  dx

2

2 2 0

3

V x  dx

2

2 2 0

3

V x  dx

Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H

xung quanh trục Ox là:

2

2 2 0

3

V x  dx

Câu 23: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y e x, trục hoành và các đường thẳng 0x ,

1

x Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

A

 



2

1 2

e V

B





2

1 2

e V

C





2

3

e V

D

 



2

1 2

e V

2

1 e

e d

x

Trang 11

Câu 24: Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y= x2 + , trục hoành và các đường thẳng1

x= x= Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao

nhiêu?

4 3

C V 2 D

4 3

V 

Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức:

1

4

x

V  x  x x  x x  

Câu 25: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y 2 cos , x trục hoành và các đường thẳng



 0, 

2

Khối tròn xoay tạo thành khi D quay quanh trục hoành có thể tích V bằng bao

nhiêu?



2 0 0

Câu 26: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  2 sin  x, trục hoành và các đường thẳng

0

x  , x   Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quay quanh trục hoành có thể tích V bằng

bao nhiêu?

A V 2   1

B V 2 C V 2  1

D V  2 2

Lời giải

Chọn A

2 sin d 2 sin d

0

Câu 27: Cho hình phẳng  H

giới hạn bởi các đường thẳng y x  2  2, y  0, x  1, x  2 Gọi V là

thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H

xung quanh trục Ox Mệnh đề nào

dưới đây đúng?

2 2 1

2 d

V x  x

2

2 2 1

2 d

V x  x

2

2 2 1

2 d

V x  x

2 2 1

2 d

V x  x

Trang 12

Ta có:  

2

2 2 1

2 d

V x  x

Câu 28: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  và 1 x  , biết rằng khi cắt3

vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (1  ) thì được thiếtx 3

diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và 3x 2 2.

A

124 3

V 

B V  (32 2 15)   C V   32 2 15 D V 1243

Diện tích thiết diện là: S x( ) 3 3 x x2 2

 Thể tích vật thể là:

3

2

1

124

3 3 2

3

V x x  dx

Câu 29: Biết F x  và G x  là hai nguyên hàm của hàm số f x  trên ¡ và

3

0

f x dx F  G a

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y F x y G x x   x Khi S  thì a bằng15

Do F x 

và G x 

là hai nguyên hàm của hàm số f x 

trên  nên

G x F x C x    , với C là hằng số.

Mặt khác

3

0

d

f x x F  F



Lại có

3

0

d

f x x F  G a



suy ra G 0 F 0  a

Do đó a C  G x  F x a x,  

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y F x y G x x  ,   , 0,x3

S G x  F x x a x  a a

Câu 30: Biết F x 

và G x 

trên ¡ và

5

0

f x x F  G a

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y F x y G x x   và x 5 Khi S 20 thì a bằng

Trang 13

Vì F x 

và G x 

trên  nên

5

0

f x x F  F G  G F  G a



 

Do đó F x  G x  a F x  G x a

S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y F x y G x x  ,   ,  và 0 x 5 nên

5 0

S F x  G x x  a xa xa x ax  a a 0

Mà S 20 nên 5a20 a4.

Câu 31: Biết F x  và G x  là hai nguyên hàm của hàm số f x  trên ¡ và

4

0

f x x F  G a a



 

F x là nguyên hàm của f x  trên  nên      

4

0

f x x F  F



Mà

4

0

f x x F  G a a



nên

Lại có G x  cũng là nguyên hàm của f x  trên  nên G x  F x a x  

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y F x y G x x  ,   , 0 và x 4 là

S F x  G x xa x a  a

Câu 32: Biết F x 

và G x 

trên ¡ và

2

0

f x x F  G a

Trang 14

Do F x 

và G x 

trên  nên F x  G x  với C C

là hằng số

Ta có

S F x  G x xC xC  x C   C   *

Ta lại có: F 0  G 0  C F 0 G 0 C

Theo đề bài:

2

0

f x x F  F F  G C F  G  C F  G a



Suy ra: aC mà a 0 nên C 0 2

Từ  1

và  2

suy ra: C 3 aC3 Vậy: a 3

Câu 33: Cho đường thẳng

3 2

và parabol

2

y x   a Gọi S S1 , 2 lần lượt là diện tích hai hình

phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên Khi S1  S2thì a thuộc khoảng nào dưới đây?

A

2 0;

5

1 9

;

2 16

2 9

;

5 20

9 1

;

20 2

Giải toán:

Phương trình hoành độ giao điểm:

2

Để phương trình có 2 nghiệm dương thì

0 0

9 0

16

a a

a









Gọi hai nghiệm đó là 0 x  1 x2 thì 2

4

a

Trang 15

Để S1  S2 khi và chỉ khi

2

2 0

3

0 2

x



Ta có:

0

x



3

2

3 9 16

0

a

Giải nhanh bằng máy tính cho kết quả x 0, 421875 thuộc khoảng

2 9

;

5 20

Câu 34: Cho đường thẳng

3 4

và parabol

2

1 2

, (a là tham số thực dương) Gọi S1

, S2

lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên Khi S S1 2 thì a thuộc

khoảng nào dưới đây?

A

7 1

;

32 4

1 9

;

4 32

3 7

;

16 32

3 0;

16

 

Ta có phương trình hoành độ giao điểm

2

0

2x  4x a   2x2 3x4a 0

Theo đề bài phương trình có hai nghiệm 0 x 1x2 thỏa mãn

 

1 2

3

* 2

x x

x x a







1 2 0

S  S 

1

0

x

2

0

x

2

3 2

0

x

0

6x 8x ax

2

2 3 2

a

   ***

3

*

2

  

, thay vào  

2

2 2

3 3

**

x x

     

2

2 2

0

8

x

(***) 27

128

a

   

Vậy

3 7

;

16 32

a   

Tiêu đề	Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể đơn giản
Tác giả	Sưu Tầm Và Biên Soạn
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Tài liệu ôn thi

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	1,26 MB