Chuyên đề 08 tích phân đơn giản sử dụng tích chất để tính tích phân đề hs

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPTKIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1... Mệnh đề nào sau đây đúng?. Mệnh đề nào dưới đây đúngA. Mệnh đề nào dưới đây đúng?. Mệnh đề nào sau đây đúngA. Khi đó tich phân I đư

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Định nghĩa: Cho hàm số yf x  liên tục trên K ; , a b là hai phần tử bất kì thuộc K , F x  là một nguyên hàm của f x  trên K Hiệu số F b  F a  gọi

là tích phân của của f x  từ a đến b và được kí hiệu:

b

b a a

f x dx F x F b  F a



2 Các tính chất của tích phân:



a

a

f x dx 





f x dx f x dx



k f x dx k f x dx



f x g x dx f x dx g x dx



f x dx f x dx f x dx

 Nếu f x g x   x a b;  thì

f x dx g x dx

3 Phương pháp đổi biến số loại 1 để tính tích phân

Yêu cầu : Tính tích phân 1  2 

d

b

a

I f x f x x

Phương pháp:

+ Biến đổi về dạng    d

b a

I f u x u x x   + Đặt t u x   dt u x x  d

+ Đổi cận: x a  t u a   t x b1;   t u b   t2

+ Khi đó:

 

2

1 d

t

t

I f t t

là tính phân đơn giản hơn

Một số dấu hiệu cơ bản và cách chọn t u x  

Hàm số chứa căn f x u x , ( ) t là căn: t u x( )

Hàm số có dạng  f x( )n lũy thừa t là biểu thức trong lũy thừa, tf x( ) Hàm số lượng giác có góc xấu t là góc xấu

Hàm số log u mà u xấu t u

CHUYÊN ĐỀ 08: SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN – TÍCH PHÂN CÁC

HÀM SỐ ĐƠN GIẢN

Hàm số

sin cos ( )

sin cos

f x





t   

1 ( )

f x

x a x b



Tổng quát đặt t  x a  x b

+ Với x a 0  x b  , đặt0

t x a  x b + Với x a 0  x b  , đặt0

t  x a   x b (cos ).sin

R x xdx Đặt tcosx

(sin ).cos

R x xdx Đặt tsinx

2

1 (tan )

cos

x

Đặt ttanx

2

1 (cot )

sin

x

Đặt tcotx Hàm có e a x, x Đặt t e t a x,  x

Hàm số vừa có ln x vừa có

1

x Đặt tlnx

4 Phương pháp đổi biến số loại 2 để tính tích phân

Yêu cầu: Tính tích phân  d

b a

I f x x

Phương pháp: Đặt x t  dx t td

+ Đổi cận: x a  t t x b1;   t t 2

+ Khi đó:

2

1

d

t

t

I f  t  t t

Một số cách đổi biển cần nhớ:

2

2 2

a  bx c bx c a t t    

  +

2 2

a  bx c bx c a t t   

a

t

 

+ Nhớ:

2 2

b

a

a x

 

5 Phương pháp từng phần để tính tích phân

Công thức từng phần:

   d        d

b a

u x v x x u x v x   v x u x x

Viết gọn:

 

b a

u vuv  v u

Áp dụng: Tính tích phân  

d

b

a

If x x

Phương pháp:

+ Bước 1: Biến đổi 1  2 

b

a

If x f x x

+ Bước 2: Đặt

 

 

 

 

1 1

u f x x

u f x

dv f x x v f x x



 



+ Bước 3: Khi đó  

d

b b a a

I uv  v u

● Dạng 1 I P x sinax b x d , trong đó P x  là đa thức

Với dạng này, ta đặt

 

 

1

u P x x

u P x

a













● Dạng 2 I P x cosax b x d , trong đó P x là đa thức  

Với dạng này, ta đặt

 

 

1

u P x x

u P x

a













ax b

I P x e  x

 , trong đó P x  là đa thức

Với dạng này, ta đặt

1

u P x x

u P x

a











 









● Dạng 4 I P x lng x x d , trong đó P x là đa thức. 

Với dạng này, ta đặt

 

 

ln

v P x x









● Dạng 5

sin

d cos

x x

x



.

Với dạng này, ta đặt

sin cos

d xd

x u

x

v e x







4

1

2

f x dx







và  

4

1

3

g x dx







thì    

4

1

f x g x dx





bằng

Lời giải

Ta có        

2 3 5

f x g x dx f x dx g x dx

  2

0

f x x 



thì

  2

0

1

2 d





bằng

Lời giải

5

2

f x x 



và  

5

2

g x x 



thì    

5

2

d

f x g x x



bằng?

5

2

f x x 



thì  

5

2

3f x xd



bằng

3

1

f x x 



thì  

3

1



bằng

3

2

x 4

f x d 



và  

3

2

x 1

g x d 



Khi đó:    

3

2

x

f x g x d



bằng:

3

2

3

f x dx 



và  

3

2

1

g x dx 



Khi đó    

3

2

f x g x dx



bằng

2

1

f x x 



và  

2

1

g x x 



Khi đó    

2

1

d

f x g x x



bằng?

  1

0

3

f x dx 



và

  1

0

4

g x dx 



Khi đó

    1

0

f x g x dx



bằng

1

0 f x x ( )d 2

 và 01g x x ( )d 4, khi đó 01 f x( )g x( ) d x bằng

  1

0

f x x 



và

  1

0

g x x 



, khi đó

    1

0

d

f x g x x



bằng

2

1

( )d 5

f x x 



và

3

2

( )d 2

f x x 



thì

3

1

( )d

f x x



bằng

A 3 B 7 C 10 D 7

2 3 1

x dx

 bằng

A

15

17

7

15

4

3

1

2f x 1 dx 5



thì  

3

1

f x dx



bằng

3

3 2

  1

0

f x x 



thì

  1

0

2f x xd



bằng

3

1

f x x 



Giá trị của  

3

1

2f x xd



bằng

3

2.

trên  Giá trị của  

2

1

2 f x dx



bằng

13

7

3

5

1

f x x 



Giá trị của  

5

1

3f x xd



bằng

4

là một nguyên hàm của hàm số f x  trên  Giá trị của  

2

1

2 f x( ) dx



bằng

A

23

15

4

2

1

2

f x dx 



Giá trị của  

3

1

3 f x dx



bằng

2

3

1

(1 f( ) dx ) x



bằng

  1

0

2x x=2



Khi đó

  1

0

x

f x d



bằng :

Câu 21: Biết

  1

0

f x x dx



Khi đó

  1

0

d

f x x



bằng

Câu 22: Biết 01 f x 2 dx x 4 Khi đó 01 f x x d bằng

2

2

f x x







,  

4

2

f t t







Tính  

4

2

d

f y y



A I  5 B I  3 C I  3 D I  5

1

0

( )

f x



dx1;

3

0

( )

f x



dx 5 Tính

3

1

( )

f x

 dx

liên tục trên R và có

( )d 9; ( )d 4

f x x f x x

Tính

4

0

( )d

I f x x

A I  5 B I 36 C

9 4

I 

D I  13

liên tục trên  và

 

4

0

d 10

f x x 



,

 

4

3

f x x 



Tích phân

 

3

0

d

f x x



bằng

8

1

f x x 



,  

12

4

f x x 



,  

8

4

f x x 



12

1

d

I f x x

liên tục trên 0;10

thỏa mãn

 

10

0

7

f x dx 



,  

6

2

3

f x dx 



Tính

Pf x dxf x dx

A P  10 B P  4 C P  7 D P  6

thoả:

3

1

f x  g x x



3

1

2f x  g x dx6



Tính    

3

1

d

f x g x x



Câu 30: Cho hàm số f x 

liên tục trên đoạn 0;10 và  

10

0

7

f x dx 



;  

6

2

3

f x dx 



Tính

Pf x dxf x dx

3

1

f x  g x



đồng

thời    

3

1

2f x  g x dx=6



Tính    

3

1

dx

f x g x



3

1

f x  g x x



và

    3

1

2f x  g x dx6



Tính    

3

1

d

I  f x g x  x

  5

0

f x x 



Tích phân

 

5

2 0

4f x 3x dx



bằng

2

1

4f x 2x dx 1



Khi đó  

2

1

f x dx



bằng:

  1

0

1

f x dx 



tích phân

 

1

2 0

2f x  3x dx



bằng

3 2 1

d

x x

 bằng

A

28

26

2

2

1

1

dx x

 bằng

1 ln

1

5.

6

0

sin dx x





bằng

A

1

3 1 2



1

3.

Câu 39: Tích phân

2

1

d

x

e x

 bằng

A

3 2

e e



9

2.

1 2021 0

d



bằng

1

3

0

cos dx x





bằng

A

3 2



3

1

1 2



1

3 2 0

d

x x x



bằng

7

1

2 d

x  x x



bằng

7 6



5

1 2 2

3x 4x 1 dx





bằng

2

1

2 dx x

 bằng

3

1

3.

0

1



1 2

I 

2

0

sin xdx





bằng



Câu 48:

2

1 2 3

dx

x 



bằng

A

1

ln 35

7 ln

ln

7 2ln 5

Câu 49:

2

1 3 2

dx

x 



bằng

1

ln 2

2

ln 2

3

1

2

ln ,

x

dx a b c x



 



với a b c, , ,c9. Tính tổng S a b c   .

A S  7 B S  5 C S  8 D S  6

Câu 51:

1

3 1

0

d

x

e  x



bằng

4 1

4 1

6

0

( ) 12

f x dx 



Tính

2

0

(3 )

I f x dx

Biết f  0 4

và f x  2sin2x3

, x R  , khi đó

  4

0

d

f x x





bằng

A

2 2 8

2 8 8 8

2 8 2 8

2

8

4

0

( )

f x dx





bằng?

A

2 8 8 8

2 8 2 8

2 6 8 8

2 2 8

1 2 0

1

d ln 2 ln 3



, với ,a b là các số hữu tỷ Khi đó a b bằng

2 2 0

1

ln 5 ln 3

x

ò

, với a b, Î ¤ Tính T =a2+b2 bằng

3

2

d

ln 2 ln 3 ln 5

x



với a b c, , là các số hữu tỉ Giá trị của a b 2 c3

bằng

Câu 58: Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên  đồng thời thỏa mãn f  0 f  1  Tính tích phân5

   

1

0

d

f x

I f x e x

21

5

ln 3 ln 5 ln 7 4

dx



, với a b c, , là các số hữu tỉ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A a b 2c B a b 2c C a b c  D a b c

55

16

d

ln 2 ln 5 ln11 9

x



, với a b c, , là các số hữu tỉ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A a b 3c B a b 3c C a b c D a b c 

ln

2

1 ln

dx a b



với a b, là các số hữu tỷ Tính S a b 

A S  1 B

1 2

S 

3 4

S 

2 3

S 

2

3

sin

d ln 5 ln 2 cos 2

x

x









với a b  , Mệnh đề nào dưới đây đúng?

e

1

3ln 1

d

x

x





Nếu đặt tlnx thì

A

1

0

3 1 d

et

t

I   t

e

1

3 1 d

t

t





e

1

3 1 d

I  t t

D

1

0

3 1 d

I  t t

biết  

1 0 2



f

và f x  xe x2 với mọi  x Khi đó  

1

0

xf x dx

bằng

A

1 4



e

1 4



e

1 2



e

1 2



e

e

2 1

1xlnx x ad  e bec



với a, b , c là các số hữu tỷ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A a b c  B a b c C a b c  D a b c

1

e

x x x ae be c



với a b c, , là các số hữu tỉ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A a b c  B a b c  C a b c D a b c

Câu 67: Biết  

1

2 0

c



Tính P13a10b84c

1

0

2 +1 e d = + ex x x a b



, tích a.b bằng

3

2

4x2 ln dx x a b  ln 2cln 3



Giá trị của a b c  bằng

1

0

(x 2)e d x x a be



, với a b;   Tổng a b bằng

2

1

x

I xe dx



I e . C I e D I 3e2  2e.

2 2 1

ln

với a là số thực, b và c là các số nguyên dương, đồng thời

b

c là phân số tối giản Tính giá trị của biểu thức P2a3b c

2025

1 e  dx

I =ò x được tính bằng phương pháp đồi biến t= x Khi đó tich phân I

được viết dươi dạng nào sau đây

A

2025 1

I = ò tedt. B 145

1 2

t

I = ò edx. C I =2ò145tedt t . D 12025

t

I =ò t edt× .

e

1

1 ln

d

x

x





Đổi biến t 1 ln  x ta được kết quả nào sau đây?

A

2 2 1

I  t t

2

1

I  t t

2 2 1 d

I t t

2 2 1

I  t t

cos 0

sin xd





Nếu đặt tcosx thì ta có

A

1

1 dt

t



 

dt

t

I e





dt

t





1

1 tdt



2

0

d

x

x









Khi đặt t 4x ta được?1

A

2 2

0

1 d 4

t

I   t

3 2

1

1 d 4

t

I   t

3 2 1

1 d

I t  t

D

3 2

1

1 d 4

t

I   t

d 2022

x

x



 Khi đặt t lnx ta được?1

A

2 d 4044

t

1011

t

I  t. C

2 d 1011

t

I  t. D

2 d 2022

t

I  t.

 

1

d 2

f x

f x











Khi đặt t f x 2

ta được?

A I 2t21 d t. B

d 2

t

I   t. C I  t21 d t. D I 2t21 d t.

 

2021

12 0

I   x x

Đặt u x 1 ta được

A

2021 12 0 d

I  u u

2022 12 1 d

I  u u

 

2022

12 1

1 d

I   u u

D

 

2021

12 0

1 d

I   u u

6

3

x

x







, đặt t x3. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A

3 2

2

3

d

t

t





B

3 2

2

3 2 d

t

t





C

6 2

1

3 2 d

t

t





D

6 2

1

3

d

t

t





1

5 2 0

I x  x dx

Nếu dặt t 1 x2 thì I bằng

0

1

I t  t dt

0

I t  t dt

1

I t  t dt

0

I t  t dt

2 2 1

I x x  x

bằng cách đặt u x 21, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A

3

0

I   u u

B

2

1

d

I  u u

C

3

0

d

I  u u

D

2

1

1 d 2

I   u u

2

0

2 cos sin dx x x







Nếu đặt t   2 cos x thì kết quả nào sau đây đúng?

A

3

2

d

I  t t

2

3

I   t t

2

0

d





2

3

d

I  t t

2 7 0

cos sin d





bằng cách đặt t  cos x Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A

1 7 0

d

I t t

1 7 0

d

I t t

2 7 0

d

I t t





2 7 0

d





Câu 85: Tính tích phân

3

1

1 2 0

3ex d



bằng cách đổi biến đặt x3 1 u thì I bằng

A

2

1

e du u



1

0

e du u



1

0

3 e du u

2

1

3 e du u

A

1011 2022 0

1

d 2

I   t t. B 2021 20221

1

d

2 t t. C I 2021 20221 t dt



 . D I 01011 2022t dt.

1 7

5 2 0

d 1

x

x







, đặt t 1 x2 Tìm mệnh đề đúng

A

 3 2

4 1

1 1

d 2

t

t



B

2 5 1

1 1

d 2

t

t



 3 3

4 1

1 d

t

t





 3 3

4 1

1 3

d 2

t

t



( )

2 1 khi 2

y f x





 

2

2

1

1

x f x

x



4

2 0

I   x x

Đặt x4sint, với

;

2 2

t   

  Mệnh đề nào sau đây đúng?

A

2 2 0



B

2

0



  

.C

2

0

8 1 2t d



  

D

2

2







  

1

2

0 4

dx I

x







đặt x2sin t Mệnh đề nào sau đây đúng?

A

6

0

I dt





B

6

0

I tdt





C

6

0

1

t





D

3

0

I dt





1

2 0

1 x dx



bằng

A

2 2 0

cos tdt





2

0

sin tdt





1 2 0

cos tdt



2 2 0

cos tdt





liên tục trên  và thỏa mãn f x 33x1  x 3

.Tính f x dx 

5

1



4

57

A

ln dx x x x ln  1dx

ln dx x x x ln  1dx

C

2 1

ln dx x x x ln  1dx

2 1

ln dx x x x ln  1dx

2

0 cos d





Nếu đặt ux và dv cos dx x thì ta có

A

2 2 0 0

.sin | cos d





2 2 0 0

.sin | sin d





C

2 2 0 0

.sin | sin d





2 2 0 0

.sin | sinxd





9

4

x

I xe dx



Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A

9 9 4 4

2

x

x



9 9 4 4

1

2

x

x





C

9 9

4 4

I x x e x x e x

9 9 4 4

x

x

e x



A



B



C



D



A

2 0

.sin d cos | cos d



2 0

.sin d cos | cos d



C

2 0

.sin d cos | cos d



2 0

.sin d cos | cos d



có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1

thỏa mãn f  1  và0

 

1

2018

0

2

x f x dx 



Giá trị của

 

1 2019 0

x f x dx



bằng

A 4038 B

2

2 2019



1

0

I x f x x 

và

 0  1 7

f f  Giá trị của tích phân  

1

0

d

f x x



bằng

3

0

xf x x 



và f  3 6

Tính

  1

0

3 d

I f x x

A

8 3

I 

B

8 3

I 

10 3

I 

liên tục và thỏa mãn f  0  và 2    

2

0

2x 4 f x x d 0



Tính

1

0

2 d

I f x x

A I  2 B I  4 C I  0 D I  2

3

0

d = 2

xf x x



và f  3 2

Tính

  3

0

d

I f x x

A I 4. B I 3. C I 4. D I  6

liên tục và có đạo hàm trên 0;1

Biết

1

0

x f x x 



và

 0  1 7

Giá trị của

 

1

0

d

f x x



bằng

1

0

3x1 f x x d 2019, 4f 1  f 0 2020



Tính

1 3

0

3 d

f x x



A

1

1

liên tục trên  và thỏa mãn f  2 16 và

1

0

f x x 



Tính tích phân

 

2

0

d

I xf x x

A I 30 B I 28 C I 36 D I  16

Câu 106:Cho hàm số yf x  có đạo hàm f ' x  liên tục trên  và thoả mãn

1

0

3x1 f ' x dx2022



và 4f  1  f  0 2028

Giá trị của

1 4

0

4

I f x dx

là

A

1

1

2022

  1

0

1 d 3

f t t 



Tính

2

0







A

2 3

I 

1 3

I 

4 3

I 

2 3

I 

0;

3



  Biết f x .cosx f x  .sinx1,

0;

3

x  

   

  và f  0  Tính 1  

3

0

f x dx





A

3 1 2



3 1 2



3 1 4



2



liên tục trên  và có đạo hàm thỏa f  1  vàe

   

f x f x     Giá trị của x x f  2

bằng

A

2

1 1

e



1 1

e



(1)

f .

A f(1) e B f(1) 2e C f(1) e 1  D f(1) e 1  .

Tính giá trị

của  

2

1

f x dx



biết

 

2

0

8 3

f x dx 



A

7 3



7 6



7

7

3

Câu 112:Cho hàm số f x  có đạo hàm trên  và thỏa mãn f x 33x x22,  x

Tính

 

4

2

0

'

x f x dx



A

27

219

357

27

8 .

Câu 113:Cho hàm số f x 

liên tục trên  và có f  2  ; 2 f  0  Tính 1

0

2

x

f x f x

e



 



  C I  1 2e2 D I 1 2e2

, khẳng định nào sau đây đúng?

Biết f  0 1

và

  2  2x2 4x

f x f  x e 

với mọi x 0; 2 Tính tích phân

 

3 2 2

0

3

f x







A

14 3

I 

32 5

I 

16 5

I 

16 3

I 

trục hoành có diện tích 1

8 3

S 

và phần nằm dưới trục hoành có

diện tích 2

5 12

S 

Tính

0

1

(3 1)d



A

3 4

I 

37 36

I 

C

5 3

I 

27 4

I 

1, 2

S S thỏa mãn S12S2  Tính tích phân 3

4

0

( )

f x dx



bằng

3

3 2



9

2.

cong giới hạn bởi các đường yf x y ; 0;x1;x9

bằng 12 Tính  

3 2 1

I x f x dx

y

x

S1

S2

-2

2

1

A I  6 B I  24 C I 122. D.

2 3

I  .