Giáo án bồi dưỡng tuyển hsg toán 12

v 2 2 Hình học phẳng: - Các Bài về hình học phẳng, các phép dời hình trong mặt phẳng - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng: Vec tơ và các phép toán vec tơ, đường thẳng, đường tròn, các đư

7 26-28 Hình học giải tích trong không gian

8 29-30 Ôn tập tổng hợp: Luyện giải đề

- GTLN và GTNN của hàm số trên một khoảng, một đoạn

II

1

Phương trình:

- Giải và biện luận phương trình: đại số, mũ và lô ga rít

- Giải các PT lượng giác

- Các Bài liên quan: Tìm ĐK để PT có nghiệm, vô nghiệm, có nghiệm duy nhất,v v

- Giải và biện luận bất PT

2 Hệ bất phương trình:- Giải và biện luận

- Các Bài liên quan

2

IV

1

Tổ hợp và xác suất

- Giải các Bài về hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp và các quy tắc đếm

- Giải các Bài về nhị thức Niu- tơn: khai triển, tìm hệ số, số hạng, số mũ lũy thừa, v v

2

2

Hình học phẳng:

- Các Bài về hình học phẳng, các phép dời hình trong mặt phẳng

- Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng: Vec tơ và các phép toán vec tơ, đường thẳng, đường tròn, các đường cô nic,

- Các Bài liên quan

Phương pháp tọa độ trong không gian:

- Vec tơ và các phép toán vec tơ

Cung cấp các dạng toán và bài tập cụ thể liên quan đến đồ thị hàm số

NỘI DUNG:

x -1

y

1/2

2

-1O I

Bài khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: Yêu cầu học sinh tự ôn tập

Các bài tập liên quan đến đồ thị hàm số

BÀI 1 Cho hàm số

2x 1y

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)

2 Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d : y  x m  cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác PAB đều

  ,cắt trục Oy tại (0;-1)

Đồ thị nhận giao điểm I(-1; 2)

của hai tiệm cận làm tâm đối xứng

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C) là:

Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình   1

có hai nghiệm phân biệt khác  1







1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m = 1.

2. Chứng minh rằng m , đồ thị hàm số luôn cắt đường thẳng :0 d y3x 3m tại 2 điểm phân biệt,

A B Xác định m để đường thẳng d cắt các trục Ox Oy lần lượt tại ,, C D sao cho SOAB 2SOCD

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

Với m =1 hàm số trở thành 3 2  

1 1

x y x

Chứng minh rằng m , đồ thị hàm số luôn cắt đường thẳng :0 d y 3x 3m tại 2

điểm phân biệt ,A B Xác định m để đường thẳng d cắt các trục Ox Oy lần lượt tại,

,

C D sao cho diện tích OAB bằng 2 lần diện tích OCD

Phương trình hoành độ giao điểm của dvà đồ thị:

Ta có A x 1;3x1 3m B x , 2;3x2 3m

với x x1, 2 là 2 nghiệm của (*)

Kẻ đường cao OH của OAB ta có 0;  3





 có đồ thị (H)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.

2.Tìm tọa độ điểm M trên đồ thị (H) sao cho khoảng cách từ I1;2

đến tiếp tuyến của đồ thị (H) tại điểm M

* Đồ thị

t

 

 nờn  2

31;

a) Tỡm điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cỏch từ M đến điểm uốn bằng 2 2

b) Tỡm m để đường thẳng d y mx:   2 3m cắt (C) tại ba điểm phõn biệt sao cho một trong ba điểm đú là

trung điểm của đoạn thẳng tạo bởi hai điểm cũn lại

 a14 2a122 0 : phương trỡnh vụ nghiệm

 a12 4 0  a3 hoặc a 1.Suy raM3; 2hoặc M   1; 2

Phương trỡnh hoành độ giao điểm : x3 3x2 2 mx 2 3m x 3 x2 m 0

d cắt (C) tại 3 điểm phõn biệt thỡ m0,m9.Khi đú nghiệm là: x3;x m

Để thừa món điều kiện Bài thỡ 2 m  3 m m1

Đỏp số : m 1

BÀI 5 Cho hàm số y=x3−3 x2+2 có đồ thị (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2 Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình:

x3−3 x2+2=m3−3 m2+2

3 Với mỗi điểm M thuộc (C) kẻ đợc bao nhiêu tiếp tuyến với (C)?

Giải

1 Tập xác định: R

2 Sự biến thiên

y , =3x 2 −6x; y ,, =6x−6 y , =0⇔ ¿ [ x=0 [ x=2 [ ¿ y ,, =0⇔x=1 ¿¿ Bảng biến thiên

x −∞ 0 1 2

+∞

y , + 0 - 0 +

y,, - 0 +

y 2 U(1;0) +∞ −∞ - 2

3 Đồ thị : y 2

−1 2

1+ √ 3 O 1 1+ √ 3 3 x

−2

2 f (m)=m3−3 m2+2 Số nghiệm của pt x3−3 x2+2=m3−3 m2+ 2 là số giao điểm của y = f (m)=m3−3 m2+2 và đths (C) ta cú -1 < m < 0; 0 < m <2; 2 < m < 3 thì -2 < f (m) <2 m = -1 hoặc m = 2 thì f (m) = -2 m = 3 hoặc m = 0 thì f (m) = 2 m < -1 thì f (m) < -2 m > 3 thì f (m) > 2 Vậy *

[ m>3

[ m<−1 [ phơng trình có 1 nghiệm

* m= ¿ { −1; 0; 2; 3 } phơng trình có 2 nghiệm

* −1<m<0 ; 0<m<3 phơng trình có 3 nghiệm

3 M thuộc đồ thị (C) suy ra M ( a ;a3−3a2+2) .đờng thẳng (d) tiếp xúc với (C) tại T(x

0;y0) thì (d) có phơng trình:

1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số đó cho

2 Chứng minh rằng d cắt (C) tại hai điểm A, B phõn biệt với mọi số thực m Gọi k1, k2 lần lượt là hệ

số gúc của tiếp tuyến của (C) tại A và B Tỡm m để P = (k1)2013+(k2)2013 đạt giỏ trị nhỏ nhất.

* Tập xỏc định: D= R ¿ {−2 ¿ }

* Sự biến thiờn:

y '= 1(x + 2)2 >0 ∀ x ∈ D

= +∞

,

lim y x→−2−

của tiếp tuyến của (C) tại A và B Tỡm m để P = (k1)2013+(k2)2013 đạt giỏ trị nhỏ nhất.

Xột phương trỡnh hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và d:

+ +

2 x +3

Xét phương trình (*), ta có: Δ>0,∀ m∈R và x = -2 không là nghiệm của (*) nên d luôn cắt đồ thị (C) tại hai

điểm phân biệt A, B với mọi m

Hệ số góc của tiếp tuyến tại A, tại B lần lượt là

k1= 1

(x1+1)2, k2=

1(x2+1)2 , trong đó x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình (*), ta thấy

k1 k2= 1

(x1+2)2(x2+2)2=

1(x1x2+2 x1+2 x2+4)2=4 (k

Xét phương trình (*), ta có: Δ>0,∀ m∈R và x = -2 không là nghiệm của (*) nên

d luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m

Hệ số góc của tiếp tuyến tại A, tại B lần lượt là

k1= 1

(x1+1)2, k2=

1(x2+1)2 , trong đó x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình (*), ta thấy

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) y=−3 x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho trọng tâm

Δ OAB thuộc đường thẳng : x-2y-2=0 ( Với O là gốc tọa độ )

Giải Tìm giá trị của m

PT hoành độ giao điểm: 2 x +1 x−1 =−3 x+m⟹{3 x2 x ≠ 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 2

b) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn

4

x y

m  

   

 

BÀI 10.

1 Cho hàm số y x 3 (m1)x2 x 2m  , với m là tham số thực, có đồ thị là (C1 1) Tìm m để đường

thẳng d y x m:   1 cắt đồ thị (C1) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với (C1) tại A, B, C bằng 12.

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là:

2

(*)1

Theo định lí Viet ta có: x1x2 m x x, 1 2 m, thay vào (3) ta được m22m 8 0

Giải ra ta được m  (loại) hoặc 4 m  (thỏa mãn) Vậy 2 m  là giá trị cần tìm.2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b= √ 2 hoặc a=b=− √ 2 ( Loại)

Vậy AB nhỏ nhất với A(−1+ √ 2;1+ √ 2),B(−1− √ 2;1− √ 2)

Câu I (4.0 điểm) Cho hàm số y= x +1

x−2 ( C )

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tìm M∈(C ) để tổng các khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ nhỏ nhất.







2)Tìm hai điểm M,N thuộc đồ thị (C) của hàm số:

1

x y x





 sao cho tiếp tuyến của (C) tại

M và N song song với nhau và độ dài đoạn MN = 2 10.

Giải 2 Hàm số được viết lại:

32

    là cặp điểm trên đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với điều kiện: m n m , 1,n1

3'

BÀI 12 Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ thị là (Cm); (m là tham số)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3

2 Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng d: y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau

2 Gọi M (x0; 9x0 – 4) là điểm trên đường thẳng y = 9x – 4.

 Đường thẳng đi qua M có phương trình dạng:

Để có 3 tiếp tuyến qua M thì hệ trên cần có 3 nghiệm

 phương trình sau cần có 3 nghiệm phân biệt:

(x – 1)[2x2 + (5 – 3x0)x + 5 – 9x0] = 0

Từ đó ta có điều kiện của x0 là:

0 0 0

đồng biến trên khoảng (1; +).

b) y x 3 3(2m1)x2(12m5)x đồng biến trên khoảng (2; +).2

c)

2

1

x bx c y

21

ax x b y

a) y x3mx2 4 có hai điểm cực trị là A, B và

2

2 900729

m

AB 

.b) y x 4 mx24x m có 3 điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm

c)

x mx m y

a) y2x3mx2 12x13 có hai điểm cực trị cách đều trục tung

b) y x 3 3mx24m3 có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất.c) y x 3 3mx24m3 có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng (d):

a) y2x33(m 1)x26(m 2)x cĩ đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường 1thẳng y = –4x + 1.

b) y2x33(m 1)x26 (1 2 )m  m x cĩ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm trên đường thẳng

x y

x y x

11

x x y

x y

y



  c) y2sin2x cosx1d) ycos2x 2sinx1 e) ysin3xcos3x f)

2

11

x y

x x





 g) y4 x2 2x 5 x2 2x3 h) y x24x x2 4x3

Bài 3.Giả sử D( ; ; )/x y z x0,y0,z0,x y z   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:1

x y

x y

Bài 2.Tìm m để đồ thị của các hàm số sau cĩ tiệm cận xiên:

x

 



Bài 4.Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau tạo với các trục toạ độ một tam giác cĩ diện tích S

x

 



 ; S = 4Bài 5.Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên đồ thị của các hàm số đến hai tiệm cận bằng một hằng số:

a) y x 33x2mx2 ;m y x cắt nhau tại ba điểm phân biệt 2

b) y mx 33mx2 (1 2 ) m x 1 cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt

c) y(x1)(x2 mx m 2 3) cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt

d) y x 32x2 2x2m1; y2x2 x cắt nhau tại ba điểm phân biệt.2

e) y x 32x2 m x2 3 ;m y2x2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt.1

Bài 3.Tìm m để đồ thị các hàm số:

a) y x 4 2x21; y m cắt nhau tại bốn điểm phân biệt

b) y x 4 m m( 1)x2m3 cắt trục hồnh tại bốn điểm phân biệt

c) y x 4 (2m 3)x2m2 3m cắt trục hồnh tại bốn điểm phân biệt.

a) y x 3 3mx26mx 8 cắt trục hồnh tại ba điểm cĩ hồnh độ lập thành một cấp số cộng

b) y x 3 3x2 9x1; y4x m cắt nhau tại ba điểm A, B, C với B là trung điểm của đoạn AC.c) y x 4 (2m4)x2m2 cắt trục hồnh tại bốn điểm cĩ hồnh độ lập thành một cấp số cộng d) y x 3 (m1)x2 (m1)x2m cắt trục hồnh tại ba điểm cĩ hồnh độ lập thành một cấp số 1nhân

e) y3x3(2m2)x29mx192 cắt trục hồnh tại ba điểm cĩ hồnh độ lập thành một cấp số nhân

DẠNG 6 BÀI TẬP VỀ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM BẰNG ĐỒ THỊ

Bài 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuơng gĩc với đường thẳng x 3y0.

c) Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình:

2

3x  (m2)x m  2 0Bài 7.Cho hàm số

1( )

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuơng gĩc với đường thẳng x 2y 0

c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

2

2x  (m1)x m  1 0Bài 8.Cho hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1)

c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

2

(1 m x)  (1 m x)  1 0Bài 9.Tìm m để các phương trình sau chỉ cĩ 1 nghiệm:

a) 2x3 3(m1)x26mx 2 0 b) x3 3x23(1 m x)  1 3m 0

- Phương trình lượng giác: Dạng cơ bản, dạng thường gặp và kỹ thuật biến đổi

- Phương trình, hệ phương trình đại số cơ bản – Phương pháp giải

- Các kỹ năng giải phương trình, hệ phương trình đại số cơ bản và nâng cao

NỘI DUNG:

Nhắc lại hệ thống các công thức lượng giác cơ bản: Giáo viên cùng với học sinh xây dựng lại

hệ thống công thức lượng giác (Đã học ở lớp10 và 11)

Cùng với học sinh, giáo viên nhắc lại công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản, Dạng và phương pháp giải các phương trình lượng giác thường gặp

Ôn lại các dạng PT, HPT đại số đã học ở lớp 10 và 11

Ôn lại PT, HPT, BPT mũ và logarit

1 Điều kiện:

52

x 2  2x 3 2 x 1 1 x 1 2  x 3

(4)Đặt 2x 3 a; x 1 b a b( , 0) Khi đó (4) trở thành

5

x x

+) Điều kiện đủ: Khi m=-2 ta được hệ 4 2

1; 22

GIẢI

BÀI 6 Giải phương trình

(cos 1).(sin 2 sin cos 2)

k

k Z k

* Ta có: (1) (cosx1).(sin 2x sinx cosx 2) sin x sin 2 (2)x

* Khi đó: (2) (cosx1).(sin 2x sinx cosx1) (cos x1) sin x sin 2 ).x

 (cosx1).(sin 2x sinx cosx1) (sin 2 x sinx cosx1) 0

 (cosx2).(sin 2x sinx cosx1) 0

sin 2x sinx cosx 1 0

Giải phương trình √ 3cos x+sin x−2cos2 x=0 ⇔ √

BÀI 8 a) Giải phương trình

sin 3 cos3 4 cos 2 3

12sin 1

2

x   x

Phương trình  2cos 2x1 sin  xcosx 2 0

 sinxcosx 2 0 : phương trình vô nghiệm

với điều kiện x 2

Nếu x 2thì :24 0  ( Vô lý); Nếu x  2 thì (2)

BÀI 9 1) Giải phương trình:

cos cos3 1 2 sin 2

1 PT  2 cos2x cosx 1 sin 2x cos2x  

 cos2x(2 cosx 1) 1 2sin x cosx  

 (cos x sin x)(2cosx 1) (cosx sin x)2  2    2

và

12

Nhận thấy x =2 là nghiệm của (3) Do đó x = 2 là nghiệm duy nhất

Vậy hệ có nghiệm (x ;y)=(2 ;0)

BÀI 10 1 Giải phương trình: cosx+ 3(sin2x +sinx)-4cos2x.cosx-2cos22x+2 0 

1 Giải phương trình: cosx + 3(sin2x +sinx) - 4cos2x.cosx - 2cos x + 2 02 

 cosx + 2cos2x + 3 sinx(2cosx + 1) – 4cos2x.cosx – 2(2cos2 x – 1 ) = 0

 cosx(2cosx + 1)+ 3 sinx(2cosx + 1)–2.cos2x(2cosx + 1) = 0

 (2cosx + 1)(cosx + 3 sinx –2.cos2x) = 0

Nếu: *) 2cosx + 1 = 0 

2

2 , 3

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm 1 2; 2

và 1 2; 2BÀI 12. 1 Giải phương trình

Với x=1 thử lại không thoã mãn (3) ( loại)

Với x=4 thử lại không thoã mãn (3) ⇒ y2=5⇒ y=± √ 5 kết hợp ⇒ y= √ 5

BÀI 13 1 Giải phương trình

62cos 3 sin 3 x cos3

6

x

x x

Thử lại thấy ( ; ) (1;2) x y  thỏa mãn hệ (I) Vậy hệ đã cho có nghiệm là ( ; ) (1;2) x y 

BÀI 14 a) Giải phương trình sau: √ 3cos x+sin x−2cos2 x=0

KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:

BÀI 15 1/ Giải hệ phương trình:

2

11

3log ( 2 6) 2 log ( 2) 1 (2)

y x x e

t x

Vậy hệ ban đầu có 2 nghiệm: x y ;  3; 3 , 7;7   

2/ Giải phương trình: tanx 3cotx4 sin x 3 cosx

Bài 1.Cho phương trình

sin3 cos3 3 cos2sin

Bài 5.Tìm m để phương trình : (m + 2)sinx + mcosx = 2 cĩ nghiệm

Bài 6.Tìm m để phương trình : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vơ nghiệm

Bài 7.Giải các phương trình sau:

1) sin3x + 2sin2x.cos2x – 3cos3x = 0 2)

3 sin cos sin

2

x x x 

Bài 8.Tìm m để phương trình : (m + 1)sin2x – sin2x + 2cos2x = 1 cĩ nghiệm.

Bài 9.Tìm m để phương trình : (3m – 2)sin2x – (5m – 2)sin2x + 3(2m + 1)cos2x = 0 vơ nghiệm Bài 10 Giải các phương trình:

1) sin 2x 4 cos x sinx 4 2) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0

3) 1 2 1 sin   x cosx sin2x 4) cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0

6) sinx cosx2  2 1 (sin  x cos )x  2 0

Bài 11 Giải các phương trình:

1) sin3x + cos3x = 1 +  2 2 sinx.cosx 2) 2sin2x – 3 6 sinxcosx  8 0

Bài 12 Giải các phương trình sau:

1) sin3x + cos3x + 1 sin2 sin

a) 16m x2.81x5.36x cĩ 2 nghiệm dương phân biệt.

b) 16x m.8x(2m1).4x m.2x cĩ 3 nghiệm phân biệt

c) 4x2 2x22  cĩ 3 nghiệm phân biệt.6 m

d)

9x  4.3x  8 m cĩ 3 nghiệm phân biệt

Bài 4.Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):

cĩ 2 nghiệm phân biệt.

b) log23x (m2).log3x3m  cĩ 2 nghiệm x1 0 1, x2 thoả x1.x2 = 27

c) 2 log (24 x2 x2m 4m2) log ( 2 x2mx 2m2) cĩ 2 nghiệm x

1, x2 thoả x12x22 1.d) log23x log32x 1 2m1 0

cĩ ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;3 3

e) 4 log 2 x2log2x m 0

cĩ nghiệm thuộc khoảng (0; 1)

Bài 7.Giải các hệ phương trình sau:

273log ( )

2 log 2 log 5 0

32

x y

log log log 2

log log log 2

22log 12 log log

3

13

2 2

2

y x y

x

y x y

u v

u v

y x x x

x y xy

Giả sử hệ phương trình đã cho có nghiệm x, y

Khi đó phương trình (3) có nghiệm

Khi đó ta có x2y2 2 xy 16.

Đặt t x y 2  0 t 2

Từ pt (1) ta có t t 2 2 32  t2 t 34 0 điều này vô lí

Vậy TH1 hệ phương trình vô nghiệm

Từ đó suy ra: t = 2 x y 2, thay vào hpt ta có xy=1 x y 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là

11

x y

Nhân (3) với lượng liên hợp: 5 y 3 y 2 (4)