BÁO CÁO ĐỒ ÁN II Đề tài: Điều khiển tối ưu chuyển động của tên lửa

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC BÁO CÁO ĐỒ ÁN II Đề tài Điều khiển tối ưu chuyển động của tên lửa Giảng viên Hướng dẫn TS Đỗ Đức Thuận Sinh viên thực hiện Tạ Gia Khiêm – 20185371.BÁO CÁO ĐỒ ÁN IIĐề tài: Điều khiển tối ưu chuyển động của tên lửa

BÁO CÁO ĐỒ ÁN II

Đề tài: Điều khiển tối ưu chuyển động của tên lửa

Giảng viên Hướng dẫn: TS.Đỗ Đức Thuận

Sinh viên thực hiện: Tạ Gia Khiêm – 20185371

Hà Nội, Tháng 7/2022

NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN

1 Mục đích của đồ án:

2 Kết quả đạt được:

3 Ý thức làm việc của sinh viên:

Hà Nội, ngày 09 tháng 04 năm 2022

Giảng viên hướng dẫn

Em xin chân thành cảm ơn!

Mục lục

2 Mô hình hóa bài toán và vấn đề tối ưu thời gian 5

3.1 Nghiệm giải tích 11

3.2 Giải số học bằng phương pháp bắn 15

3.3 Giải bằng phương pháp rời rạc hóa Cauchy 16

3.4 Giải bằng phương pháp rời rạc hóa Euler 18

1 Giới thiệu

Điều khiển tối ưu là một lĩnh vực rất quan trọng trong toán ứng dụng Thậtvậy, nhiều bài toán thực tế có thể được mô hình hóa như một bài toán điềukhiển tối ưu Lý thuyết điều khiển tối ưu đã được ứng dụng thành công ởrất nhiều lĩnh vực, ví dụ như cơ khí, kỹ thuật điện, hóa học, sinh học, hàngkhông và vũ trụ, người máy, nông nghiệp, v.v.[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]Cách tiếp cận truyền thống để giải bài toán điều khiển tối ưu là Nguyên

lý cực đại Pontryagin Nguyên lý này được đưa ra bởi L.S.Pontryagin vàonăm 1956[12], tổng quát hóa hệ phương trình Euler-Lagrange của phép giảitích các biến và đưa ra một số điều kiện tối ưu cần thiết Lý thuyết điềukhiển cũng đã được áp dụng trong các ngành toán học khác nhau: điều khiểntối ưu các phương trình vi phân riêng, lý thuyết điều khiển ngẫu nhiên, lýthuyết trò chơi, v.v Bài toán điều khiển ngẫu nhiên có thể được giải bằngNguyên lý cực đại Pontryagin, tuy nhiên khi bài toán quá khó, chúng ta phải

sử dụng phương pháp số học để tìm một giải pháp gần đúng

Tồn tại các phương pháp số học chung để giải các bài toán điều khiển tốiưu[13]: các phương pháp trực tiếp dựa trên các phép giải tích các biến vàcác phương pháp trực tiếp dựa trên phương pháp rời rạc hóa và tối ưu hóa.Phương pháp bắn gián tiếp[14] được biết đến với tính hiệu quả và chính xác;

và nó đã được ứng dụng thành công để giải các bài toán thực tế[4, 6] Tuynhiên, khi gặp bài toán khó, các phương pháp rời rạc hóa trực tiếp có thểđược sử dụng để tìm một lời giải xấp xỉ Trong [15], công thức Cauchy để giải

hệ phương trình vi phân tuyến tính được sử dụng để biến đổi bài toán điềukhiển tối ưu tuyến tính thành một bài toán tương đương, sau đó kỹ thuậtrời rạc hóa được thực hiện để có một bài toán lập trình tuyến tính có thểgiải được bằng cách sử dụng phương pháp tương ứng Gần đây trong [16],công thức Cauchy đã được sử dụng với phương pháp rời rạc hóa để chuyểnbài toán điều khiển tối ưu tuyến tính truyền thống thành một bài toán tối

ưu hóa tuyến tính mà có thể giải được bằng thuật toán hướng kết hợp đượctrình bày trong [17] Trong [18], phương pháp rời rạc hóa Euler được áp dụnglần đầu cho bài toán điều khiển tối ưu tuyến tính ban đầu, thì bài toán tối

ưu hóa thu được có thể giải bằng hàm ’fmicon’ trong Matlab Trong [19],công thức Euler được sử dụng cho sự rời rạc hóa của một bài toán điều khiểntối ưu tương ứng với một mô hình tiếp thị lan truyền và bài toán tối ưu hóathu được sẽ được giải bằng các cách khác nhau

Trong đồ án này, tôi sẽ trình bày một mô hình điều khiển tối ưu tuyếntính với thời gian kết thúc không bị giới hạn đối với tối đa hóa vận tốc củachuyển động của một tên lửa với một quỹ đạo đường thẳng từ vị trí ban đầuđến vị trí kết thúc Để tìm ra được mô hình thích hợp, tôi đã áp dụng cả

phương pháp giải tích và phương pháp số học Phương pháp giải tích là tínhtoán sử dụng Nguyên lý cực đại Pontryagin trong khi giải pháp gần đúngcủa bài toán được tìm bằng cách sử dụng phương pháp bắn cũng như haiphương pháp rời rạc hóa: phương pháp sử dụng công thức Cauchy và phươngpháp sử dụng công thức Euler Các bài toán lập trình tuyến tính thu được sẽđược giải một cách hiệu quả bởi phương pháp nội suy được thực hiện trongMatlab.

Đồ án này được viết dựa trên [20] Trong phần 2, tôi xây dựng mô hìnhđiều khiển tối ưu toán học tương ứng với bài toán tối đa hóa vận tốc của tênlửa chuyển động thẳng.Sau đó, tôi điều chỉnh giá trị của thời điểm kết thúcbằng cách giải một bài toán khác được gọi là bài toán điều khiển tối ưu tốithiểu hóa thời gian Trong phần 3, tôi giải bài toán tối đa hóa vận tốc củatên lửa với bốn phương pháp: phương pháp giải tích, phương pháp bắn vàhai phương pháp rời rạc hóa: kĩ thuật sử dụng công thức Cauchy và kĩ thuật

d2h

dt2(t) = Tp(t)

m − g, t ∈ [0, T ],trong đó h(t) và Tp(t) lần lượt là quảng đường đi được và lực đẩy của tênlửa tại thời điểm t ∈ [0, T ], g là gia tốc trọng trường Đặt w(t) = Tp(t)

m vàdh

trong đó α > 0 là nghịch đảo của thời gian phản ứng của tên lửa đối với tácđộng từ phi công Để điều khiển chuyển động của tên lửa, phi công tác dụngmột lực u(t), t ∈ [0, T ] Phương trình vi phân thường (2) trở thành:

w′(t) = α[w(t) − u(t)], t ∈ [0, T ] (3)

Do đó mục tiêu là để vận tốc của tên lửa chuyển động từ điểm ban đầu là

h(0) = h0, đến độ cao h1 cho trước là cực đại Điều này dẫn chúng ta đếnviệc giải bài toán điều khiển tối ưu sau:

trong bài toán (4), bằng cách giải bài toán tối thiểu thời gian sau:

|u(t)| ≤ 1, h(T ) = h1, t ∈ [0, T ]

(6)

Để giải bài toán (6), chúng ta sử dụng Nguyên lý cực đại Pontryagin Kí hiệu

p(t) = (ph(t), pv(t), pw(t)) là véc tơ phụ liên quan đến bài toán (6), toán tửHamilton của chúng được cho như sau:

H(t, x(t), p(t), p0, u(t)) =ph(t)v(t) + pv(t)[w(t) − g]

+ αpw(t)[w(t) − u(t)] + p0 (7)

Để cực đại hóa toán tử Hamilton, ta đặt p0 = −1

Véc tơ phụ là nghiệm của bài toán tương ứng với hệ phương trình Lagrange sau:

Do thời gian cuối cùng T là tự do, theo điều kiện của tính ngang, ta thuđược:

−1≤u(t)≤1[−pw(t)u(t)]

Do đó, điều khiển hóa tối đa Hamilton là:

u∗(t) = −sign(pw(t)) (15)Theo (14) và (15), ta sẽ có u∗(t) = −1

Nếu chúng ta cố định thời gian phản hồi của động cơ là 0.7 s, ta tìmđược α = 1.42 và ta sẽ dùng dữ liệu sau để giải bài toán của chúng ta:

h0 = 0 m, h1 = 600 m và g = 9.80665 m.s−2 Do đó, mục tiêu là xác địnhthời gian tối thiểu, tối ưu của bài toán (6) Sử dụng phương pháp bắn, tathu được kết quả được trình bày trong hình 1

Phương pháp bắn dựa trên Nguyên lý cực đại Pontryagin Nó bao gồmviệc tìm ra điểm 0 của hàm bắn với bài toán tối thiểu hóa thời gian Đây làmột phương pháp nhanh, độ chính xác cao, không yêu cầu giả định về cấutrúc điều khiển Phương pháp bắn bao gồm ba bước chính:

• Bước 1: Hình thành một bài toán giá trị biên bằng cách sử dụng phươngtrình mô hình và phương trình véc tơ phụ cũng như các điều kiện ngang

• Bước 2: Xác định hàm bắn

• Bước 3: Giải một hệ phương trình phi tuyến

Từ đồ thị ở hình (1), ta thấy rằng Tmin = 3, 43 s Biết giá trị thời gian tốithiểu này, thời gian kết thúc của ta luôn nên chọn lớn hơn một chút so với

Tmin Do đó, ta chọn T = 3, 5 s

Hình 1: Kết quả của bài toán tối ưu thời gian

3 Giải bài toán vận tốc tối đa của tên lửa

Trong phần này, coi như thời gian cuối cùng, thời gian T đã tìm được ở phầntrước, T = 3, 5 s Đầu tiên chúng ta giải bài toán (4) bằng giải tích; sau

đó chúng ta giải lại bài toán bằng phương pháp số học với ba phương pháp:phương pháp bắn, phương pháp rời rạc hóa Cauchy và phương pháp rời rạchóa Euler

Để giải bài toán (4), đầu tiên ta áp dụng Nguyên lý cực đại Pontryagin.Hàm Hamilton của bài toán (4) với t ∈ [0, T ] có dạng:

H(t, x(t), p(t), u(t)) =ph(t)v(t) + pv(t)[w(t) − g]

+ αpw(t)[w(t) − u(t)] (16)Các véc tơ phụ là nghiệm của hệ phương trình sau:

Hàm điều khiển để tối đa hóa hàm Hamilton là:

u∗(t) = −sign(pw(t)) (20)Véc tơ x(T ) cần thỏa mãn điều kiện sau:

3.1 Nghiệm giải tích

Do hàm điều khiển tối ưu bằng đối dấu của véc tơ phụ pw(t), nên thời giantrễ là nghiệm của phương trình pw(t) = 0 Do A là ma trận bậc 3 và mọi giátrị riêng là số thực, bài toán có ít nhất một thời gian trễ tc < T

Để chọn được phương án tối ưu, hãy xem xét các phương án có thể xảy rasau:

• Phương án 1: u(t) = 1, ∀t ∈ [0, T ];

• Phương án 2: u(t) = −1, ∀t ∈ [0, T ];

• Phương án 3: u(t) = 1 với t ∈ [0, tc],u(t) = −1 với t ∈ [tc, T ];

• Phương án 4: u(t) = −1 với t ∈ [0, tc],u(t) = 1 với t ∈ [tc, T ]



11.42e

2t

2 − 11.42t −

11.422

Sử dụng điều kiện ban đầu, ta được:



11.42e

2t

2 − 11.42t −

11.422



11.42e

2t

2 − 11.42t −

11.422

11.42e

2t

2 − 11.42t −

11.422

Ta có thể thấy giá trị mục tiêu của bài toán ở Phương án 3 cao hơn ở Phương

án 4 Kết quả lý thuyết được biểu thị trong hai hình (2) và (3)

Do đó ta đã có thể xác định được quỹ đạo tối ưu để vận tốc v(T ) đạt tối

đa và thỏa mãn điều kiện biên h(T ) = 600 m là:

Hình 2: t 7→ u(t) và t 7→ pw(t)

Hình 3: Tối ưu quỹ đạo t 7→ h(t), t 7→ v(t) và t 7→ w(t)

Hình 4: Kết quả của phương pháp bắn

Khi đó bài toán (37) tương đương với bài toán sau:

(39)

Ta xác định nghiệm của hệ phi tuyến G(p(0), p(T ) = 0 bằng phương phápNewton Bằng việc sử dụng phương pháp này với Matlab, ta tính được kếtquả được trình bày như hình (4)

Các kết quả này cho thấy thời gian truyền tín hiệu làtc = 0.557, vận tốc tối

đa là v∗(T ) = 940.8949 m.s−1 Thời gian thực hiện của phương pháp bắn là

t = 1.9781 s Chúng ta có thể nhận xét rằng phương pháp bắn giải ra kếtquả giống với nghiệm giải tích với thời gian ngắn Điều này chứng tỏ phươngpháp bắn nhanh và cho kết quả chính xác đối với vấn đề được nghiên cứu

3.3 Giải bằng phương pháp rời rạc hóa Cauchy

Đối với một khoảng thời gian con tùy chỉnh N được chọn trước, bước tùychỉnh là θ = T

N.

Nghiệm của hệ động lực học của bài toán (4) được cho bởi:

x(t) = F (t)x0 +

Z t 0

F (t)(F (s))−1[Bu(s) + r(s)]ds, t ∈ [0, T ], (40)Trong đó F(t) là độ phân giải, là nghiệm của hệ sau:

ψ(t)dt +

Z T 0

tôi đã giải bài toán tuyến tính này với các giá trị khác nhau của N với phươngpháp nội suy trong Matlab Thời gian thực hiện của thuật toán rời rạc hóaCauchy T1, số lần lặp N it và thời gian thực hiện T2 của giải nội suy, tổngthời gian thực hiện T = T1 + T2, cũng như tốc độ tối đa tại thời điểm cuốicùng v() cho các giá trị khác nhau của N, được trình bày trong Bảng (1).Chúng ta có nhận xét rằng phương pháp rời rạc hóa Cauchy đã tính toán

Bảng 1: Kết quả mô phỏng cho phương pháp rời rạc hóa Cauchy

giải tích ra được kết quả tối ưu với 2 chữ số thập phân chính xác trong 21,36giây và với 4 chữ số thập phân chính xác trong 506,38 giây Điều này chothấy phương pháp này có thể cho kết quả chính xác nhưng mất nhiều thờigian

3.4 Giải bằng phương pháp rời rạc hóa Euler

Đối với một khoảng thời gian con tùy chỉnh N được chọn trước, bước tùychỉnh là θ = T

N và các thời điểm sau:

tôi cũng giải bài toán lập trình (43) với Matlab nội suy Kết quả thu được(thời gian thực hiện của phương pháp nội suy T, số lần lặp N và tốc độ tối

đa v(T )) được trình bày trong Bảng (2)

Bảng 2: Kết quả mô phỏng cho phương pháp rời rạc hóa Euler

Từ Bảng (2), chúng ta có thể nhận xét rằng phương pháp rời rạc hóa Eulerrất nhanh, tuy nhiên ngay cả với bước rời rạc hóa lớn, nó vẫn không thể đạtđược độ chính xác mong muốn

Tài liệu

[1] J Awerjcewicz, Modeling, Simulation and Control of Nonlinear neering Dynamical Systems, State-of-the-Art, Presperctives and Appli-cations, Heidelberg, Germany: Springer, 2008

Engi-[2] L.D Duncan, Basic considerations in the development of an unguidedrocket trajectory simulation model, Technical report N0 5076, Atmo-spheric Sciences Laboratory, United States Army Electronics Command,1966

[3] K Louadj, P Spiteri, F Demim, M Aidene, A Nemra, and F Messine,Application Optimal Control for a Problem Aircraft Flight, SIAM Journal

on Imaging Sciences, vol 11, no 1, pp 156–164, 2018

[4] N Moussouni, and M Aidene, An Algorithm for Optimization of CerealOutput, Acta Applicandae Mathematicae, vol 11, no 9, pp 113–127,2011

[5] N Moussouni, and M Aidene, Optimization of cereal output in ence of locusts, An International Journal of Optimization and Control:Theories Applications, vol 6, no 1, pp 1–10, 2016.

pres-[6] E Trelat, ´ Optimal control: theory and applications, Paris: Vuibert,Concrete mathematics collection, 2005 (in french)

[7] S Rosa, and D.F.M Torres, Parameter Estimation, Sensitivity Analysisand Optimal Control of a Periodic Epidemic Model with Application toHRSV in Florida, Statistics, Optimization Information Computing, vol

6, no 1, pp 139–149, 2018

[8] J Zhu, and R Zeng, A mathematical formulation for optimal control ofair pollution, Science in China, vol 46, no 10, pp 994–1002, 2003.[9] P Howlett, The Optimal Control of a Train, Annals of Operations Re-search, vol 98, pp 65–87, 2000

[10] R Denysiuk, H.S Rodrigues, M.T.T Monteiro, L Costa, I toSanto and D.F.M Torres, Multiobjective approach to optimal controlfor a dengue transmission model, Statistics, Optimization InformationComputing, vol 3, no 3, pp 206–220, 2015

Espiri-[11] R Vinter, Optimal control Foundations and Applications, Boston, MA:Birkhauser Boston, Inc, 2000

[12] L.S Pontryagin, V.G Boltyanskii, R.V Gamkrelidze, and E.F.Mishchenko, The mathematical theory of optimal processes, New York:Intersciences Publisher, 1962

[13] R.R Garrett, Numerical Methodes For Solving Optimal Control lems, Master Thesis, University of Tennessee, Knoxville, 2015

Prob-[14] H.B Keller, Numerical Solution of Two Point Boundary Value Problems,SIAM, 1976

[15] R Gabasov, F.M Kirillova, and S.V Prischepova, Optimal feedback trol, London, Springer-Verlag, 1995

con-[16] M.A Zaitri, M.O Bibi, and M Bentobache, A hybrid direction rithme for solving optimal control problems, Cogent Mathematics Statis-tics, vol 6, pp 1–12, 2019

algo-[17] M.O Bibi, and M Bentobache, A hybrid direction algorithm for solvinglinear programs, International Journal of Computer Mathematics, vol

92, no 1, pp 201–216, 2015

[18] O Oukacha, Direct method for the optimization of optimal control lems, PhD Dissertation, University of Tizi-Ouzou, Algeria, 2016 (infrench).

prob-[19] J.N.C Gonc¸alves, H.S Rodrigues, and M.T.T Monteiro, On the namics of a viral marketing model with optimal control using indirectand direct methods, Statistics, Optimization Information Computing,vol 6, pp 633–644, 2018

dy-[20] Mohamed Aliane 1, , Nacima Moussouni , Mohand Bentobache, mal control of a rectilinear motion of a rocket, Statics, Otimization andinformation computing, vol 8, pp 281–295, 2020