Bài tập liên quan đến giao điểm của hai đồ thị

N hó m P H Á T T R IỂ N Đ Ề M IN H H Ọ A 45 LIÊN QUAN ĐẾN GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 DẠNG 45 LIÊN QUAN ĐẾN GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ f(x) = m là phương tr[.]

f (x) = g(x) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thịy = f (x), y = g(x).

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị y = f (x), y = g(x)

11 (cos x) = − sin x 12 (cos u) = −u sin u

13 (sin x) = cos x 14 (sin u) = u · cos u

Trình bày theo hướng khác:

Phân tích hướng dẫn giảia) DẠNG TOÁN: Đây là dạng dùng bảng biến thiên của hàm số f (x) để tìm số nghiệm thuộcđoạn [a; b] của PT c.f (g(x)) + d = m

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Đặt t = sin x, t ∈ [−1; 1] thì phương trình 2f (sin x) + 3 = 0 (1) trở thành

+ Với t1 ∈ (−1; 0) ⇒ sin x = t1 ∈ (−1; 0) ⇒ phương trình có 4 nghiệm x ∈ [−π; 2π]

+ Với t2 ∈ (0; 1) ⇒ sin x = t2 ∈ (0; 1) ⇒ phương trình có 2 nghiệm x ∈ [−π; 2π]

Vậy số nghiệm thuộc đoạn [−π; 2π] của phương trình 2f (sin x) + 3 = 0 là 2 + 4 = 6

Chọn phương án B

3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

Câu 1 Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau

y +∞

3π 2

cos x = (2 − a 4 ) ∈ [−1; 1) cos x = (2 − a4) < −1Chỉ có phương trình cos x = (2 − a4) ∈ [−1; 1) có nghiệm

Xét đồ thị hàm số y = cos x trên [−π; 3π]

3π 2

− 1 < m < 1 ⇒ phương trình cos x = m có 4 nghiệm đơn phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−π; 3π]

⇔

ñsin x = a2∈ (−1; 0) (1) sin x = a2= −1 (2).

Xét đồ thị hàm số y = sin x trên [0; 3π]

ñsin x = 2 > 1 (1) sin x = m + 1 > 3 (2)Các phương trình (1) và (2) đều vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có không có nghiệm nào thuộc đoạn [0; 2π]

5

−2

2

2;

3π 2

o: f (0) = 0, f (2π) = 0

x

y

O

π 2

π

3π 2 2π 1

Đồng thời trong số chúng không có 2 nghiệm nào trùng nhau

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [0; 2π] \

nπ

2;

3π 2

o.Chọn phương án C

Câu 6 Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau:

Xét đồ thị hàm số y = cot x trên [0; 2π] \ {0; π; 2π}

3π 2

2π 1

Đồng thời trong số chúng không có 2 nghiệm nào trùng nhau

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [0; 2π] \ {0; π; 2π}

1 2 3

−1

Ta thấy

Phương trình (1) vô nghiệm

Phương trình (2) có 2 nghiệm

Phương trình (3) có 2 nghiệm không thuộc [−3; 3]

Đồng thời trong số chúng không có 2 nghiệm nào trùng nhau

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−3; 3]

2x − 1 = b2∈ (−∞; −2), b2> b1 (2) 2x − 1 = b 3 ∈ (−2; 3), b 3 > b 2 (3)

Phương trình (3) có 1 nghiệm thuộc (0; 3).

Đồng thời trong số chúng không có 2 nghiệm nào trùng nhau

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−3; 3]

1 2 3

−3

1

−1

+∞

1 2 3

−1

Suy ra phương trình x2− 2x = b 2, b ∈ (2; +∞) có hai nghiệm trái dấu

Trong đó nghiệm dương: x > 1 + √

5 thỏa mãn x ≥ 2.Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm

Chọn phương án A

Câu 11

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ Gọi S là

tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình f (sin x) =

3 sin x + mcó nghiệm thuộc khoảng (0; π) Tổng các phần tử củaS bằng

−1Lời giải

Dựa vào đồ thị hàm số ta có f (x) = x3− 3x + 1; f (x) = 3x2− 3

Đặt u = sin x, (−1 ≤ u ≤ 1)

u 0

1

0Suy ra x ∈ (0; π) ⇒ u ∈ (0; 1] ⇒ 0 < u ≤ 1

Vậy dựa vào bảng biến thiến ta có với mỗi u ∈ (0; 1) phương trình sin x = u có 2 nghiệm x ∈ (0; π)

Và u = 1 ⇒ sin x = u = 1 có một nghiệm x = π

2.Khi đó phương trình

f (sin x) = 3 sin x + m ⇔ f (u) = 3u + m ⇔ f (u) − 3u = m.

Dựa vào bảng biến thiên ta có với x ∈ (0; 1] thì phương trình f (x) − 3x = m có nghiệm khi

g(1) ≤ m < g(0) ⇔ −4 ≤ m < 1 ⇒ m ∈ {−4; −3; −2; −1; 0} Tổng các giá trị của S bằng 10

Chọn phương án B

Câu 12

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới Có bao nhiêu số

nguyên của tham số m để phương trình 1

3f

x

2 − 1+ x = m có nghiệmthuộc đoạn [−2; 2]

−2

−4

− 6 + 3 m

Với x ∈ [0; 2] ⇒ d : y = −6x − 6 + 3m thay đổi và đi qua từ điểm A(0; −4) tới điểm B(2; 6) và luôn cógiao điểm với y = f (x) Suy ra

g(0) = −6 · 0 − 6 + 3m = −4 ⇒ m = 2

3,g(2) = −6 · 2 − 6 + 3m = 6 ⇒ m = 8.

Vậy giá trị của m cần tìm để phương trình thỏa mãn yêu cầu bài toán có nghiệm 2

3 ≤ m ≤ 8.Suy ra có 8 giá trị của m là số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ta có

f0(x) = 2x x

2 − 9
(x − 4) + 2x x2− 1

3) = 3f ( √

3) − 6 = 0 h(0) = 3f (0) = 0

h(1) = 3f (1) < 0.

Từ đó ta có bảng biến thiên

h(1)

h( √ 3)Vậy g(x) ≤ m ⇔ g(x) ≤ h( √

3) = 3f ( √

3).Chọn phương án A



= Gx1+ x2

3 ;

x1+ x2+ 2m 3



= G3 − m

3 ;

3 − m + 2m 3



= G3 − m

3 ;

3 + m 3

.

Ta có G

3 − m

3 ;

3 + m 3



∈ (C) : x2+ y2− 3y = 4 nên

3 − m 3

2 +

3 + m 3

0 +∞

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình |f (1 − 3x) + 1| = 3 có 4 nghiệm

Chú ý: Ta có thể làm nhanh như sau

f (x) → f (1 − 3x) chỉ thay đổi tính đơn điệu và cực trị ngược lại: yCT = 5, yCD = −3

f (1 − 3x) → f (1 − 3x) + 1: Tịnh tiến lên trên 1 đơn vị nên yCT = 6, yCD = −2

f (1 − 3x) + 1 → |f (1 − 3x) + 1|: Lật dưới lên trên sẽ được như hình sau:

6

0 +∞

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như đường cong như hình dưới đây Tìm

tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình |f (x)| = m có 6

nghiệm phân biệt

Đồ thị hàm số y = |f (x)| có được bằng cách: giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = f (x) nằm trêntrục hoành, lấy đối xứng phần dưới trục hoành qua trục hoành

−134

−2

6

Đặt t = 2x3− 6x + 2, với x ∈ [−1; 2] thì t ∈ [−2; 6]

Dựa vào bảng biến thiên, ta có nhận xét với mỗi giá trịt0 ∈ (−2; 6]thì phương trìnht0 = 2x3−6x+2

có hai nghiệm phân biệt x ∈ [−1; 2] và tại t0 = −2 thì phương trình t0 = 2x3− 6x + 2có một nghiệmduy nhất

Với nhận xét trên và đồ thị hàm số trên đoạn [−2; 6] thì phương trình f 2x3− 6x + 2

= m có 6nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−1; 2] khi và chỉ khi phương trình f (t) = m có 3 nghiệm phân biệttrên nửa khoảng (−2; 6]

Cho hàm sốy = f (x)liên tục trên R và có đồ thị như hình bên Tìmm

để phương trình fÄex2ä= m2+ 5m có hai nghiệm thực phân biệt

Đặt t = ex2 ≥ e 0 = 1 Khi đó ứng với mỗi nghiệm t > 1, ta được hai nghiệm x

Từ đồ thị của hàm số y = f (x), ta thấy phương trình f (t) = m2+ 5m có đúng một nghiệm t > 1khi và chỉ khi

m2+ 5m > −4 ⇔

ñ

m < −4

m > −1.Chọn phương án D

Câu 21 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:

y +∞

−15

5 (2)

Số nghiệm x của phương trình (1) bằng số nghiệm t của phương trình (2)

Số nghiệm của phương trình (2) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f (t) và đường thẳng

y = −1

5

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = −1

5 và đồ thị hàm số y = f (t) có đúng 2 giaođiểm phân biệt nên phương trình (2) có 2 nghiệm t phân biệt

Vậy số nghiệm của phương trình 5f (1 − 2x) + 1 = 0 là 2

Chọn phương án D

Câu 22 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

2 nên số nghiệm t của phương trình |f (t)| = 10

3 bằng số nghiệm x của phương trình

0

+∞ +∞

3

+∞

trong đó x0 là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x) với trục hoành

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình |f (t)| = 10

3 có 4 nghiệm t phân biệt nên phương trình

3 |f (2x − 1)| − 10 = 0

có 4 nghiệm x phân biệt

Chọn phương án C

Câu 25

Cho hàm sốy = f (x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên Có bao

nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f (2| sin x|) = fm

−2716Lời giải

Ta có bảng biến thiên của hàm số y = g(x) = 2| sin x| trên đoạn [−π; 2π]

có đúng 12 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−π; 2π]khi và chỉ khiphương trình f (t) = f

m 2

2 6= 32

Đặt t = x2+ 1, điều kiện t ≥ 1, từ đó phương trình trở thành |f (t)| = m, t ≥ 1

Do t ≥ 1 nên ta xét bảng biến thiên của hàm y = f (t) trên [1; +∞) như sau

Xét hàm số y = f (x + 2017) − 2018 có đồ thị bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f (x) sang trái

2017 đơn vị, sau đó tịnh xuống dưới 2018 đơn vị Ta được bảng biến thiên của hàm số y = g(x) =

f (x + 2017) − 2018 như sau

g(x) +∞

−4036

0

−∞

Khi đó đồ thị hàm số y = |f (x + 2017) − 2018| gồm hai phần

Phần 1: Giữ nguyên toàn bộ phần đồ thị hàm số y = g(x) nằm phía trên trục hoành

Phần 2: Lấy đối xứng phần phía dưới trục hoành của đồ thị hàm số y = g(x) qua Ox

Vậy ta có bảng biến thiên của hàm số y = |g(x)| như sau

Å3x2+ 2x + 3 2x 2 + 2

ã

3 2 3

Đặt t = 3x

2 + 2x + 3

2x 2 + 2 ⇒ t = −4x

2 + 4 (2x 2 + 2)2; t = 0 ⇔

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy x ∈R⇔ t ∈ [1; 2]

Vậy phương trình

f

Å3x2+ 2x + 3 2x 2 + 2

ã = 1Đặtt = x2−2xta được|f (|t|)| = 1.Khi đó dựa vào đồ thị ta nhận thấy đồ thị hàm số y = |f (|t|)| cắt

đường thẳng y = 1 tại 5 điểm là t1 = a ∈ (−2; 1), t2 = −1, t3 = 0,

+∞

Chọn phương án B

Câu 31

Cho hàm sốy = f (x) liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ bên Tìm

tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f x2− 2x

i

i

Ta thấy hàm số u(x) = x2− 2x liên tục trên đoạn h−3

2;

7 2

i

và u0= 2x − 2; u0(x) = 0 ⇔ x = 1.Bảng biến thiên:

x −3

7 2

|u(x)|

21 4

0

1

0

21 4

Nhận xét:

với t = 0 hoặc 1 < t ≤ 21

4 thì phương trình t = x2− 2x có 2 nghiệm phân biệt;

với t = 1 thì phương trình t = x2− 2x có 3 nghiệm phân biệt;

i

trong các trườnghợp sau

4

.Khi đó phương trình f