Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai DẠNG TOÁN LẬP SỐ TỰ NHIÊN VÀ QUY TẮC ĐẾM 1 Kiến thức về bài toán thành lập số tự nhiên Có mười chữ số là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Khi viết một số tự nhiên t[.]
Trang 1DẠNG TOÁN LẬP SỐ TỰ NHIÊN VÀ QUY TẮC ĐẾM
1 Kiến thức về bài toán thành lập số tự nhiên
Có mười chữ số là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Khi viết một số tự nhiên ta sử dụng mười chữ số trên Chữ số đầu tiên kể từ bên trái của một số tự nhiên có hai chữ số trở lên phải khác 0
Phân tích cấu tạo của một số tự nhiên:
ababcabcd=a×10+b.=a×100+b×10+c=ab×10+c=a×1000+b×100+c×10+d=abc×10+d=ab×100+cdab=a×10 +b.abc=a×100+b×10+c=ab×10+cabcd=a×1000+b×100+c×10+d=abc×10+d=ab×100+cd
Quy tắc so sánh hai số tự nhiên:
Trong 2 số tự nhiên, số nào có nhiều chữ số hơn thì số đó lớn hơn
Nếu 2 số có cùng số lượng chữ số thì số nào có chữ số đầu tiên kể từ trái sang phải lớn hơn sẽ lớn hơn
Nếu chữ sốđầu tiên giống nhau thì ta xét tiếp đến chữ số thứ 2, thứ 3…
Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, 2, 4, 6, 8 là các số chẵn Ngược lại, số chẵn có tận cùng bằng 0, 2, 4,
6, 8
Các số tự nhiên có tận cùng bằng 1, 3, 5, 7, 9 là các số lẻ Số lẻ có tận cùng bằng 1, 3, 5, 7, 9
Hai số tự nhiên liên tiếp hơn (kém) nhau 1 đơn vị Hai số hơn (kém) nhau 1 đơn vị là hai số tự nhiên liên tiếp
Hai số chẵn liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị Hai số chẵn hơn (kém) nhau 2 đơn 2 số chẵn liên tiếp
Hai số lẻ liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị Hai số lẻ hơn (kém) nhau 2 đơn vị là 2 số lẻ liên tiếp
Số chia hết cho 2 là các số chẵn (hay có tận cùng bằng 0, 2, 4, 6, 8)
Số chia hết cho 3 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 3
Số chia hết cho 9 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 9
Số chia hết cho 5 là những số có tận cùng bằng 0, 5
Khi lập số bé nhất thì chọn các chữ số bé nhất có thể Khi lập số lớn nhất thì chọn các chữ số lớn nhất có thể
2 Ví dụ lập số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu cho trước
Ví dụ 1. Lập số tự nhiên bé nhất có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số sau: 0, 2, 3, 6, 8.
Hướng dẫn. Vì đề bài yêu cầu số đó có 4 chữ số khác nhau, nên các chữ số không được lặp lại, tức là
chữ số nào đã dùng rồi thì không được sử dụng lại
Chọn chữ số đầu tiên (từ trái qua): Số 0 không thể đứng đầu nên loại, trong các số còn lại, số 2 là số bé
nhất nên ta chọn số 2 là chữ số đầu tiên
Chọn chữ số thứ 2: Trong các số còn lại là: 0, 3, 6, 8 thì 0 là số bé nhất nên ta chọn 0 là chữ số thứ 2
Chọn chữ số thứ 3: Trong 3 chữ số còn lại: 3, 6, 8 thì 3 là số bé nhất nên ta chọn 3 là chữ số thứ 3
Chọn chữ số thứ 4: Trong 2 chữ số còn lại: 6, 8 thì 6 bé hơn nên ta chọn 6 là chữ số thứ 4
Qua 4 bước chọn trên, như vậy, chúng ta đã lập được số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số: 0,
2, 3, 6, 8 là 2036
Ví dụ 2. Từ các chữ số 0, 2, 3, 6, 8, lập số tự nhiên lớn nhất có 5 chữ số khác nhau.
Hướng dẫn.
Chọn chữ số đầu tiên: Trong các chữ số, số 8 là lớn nhất nên ta chọn 8 là chữ số đầu tiên
Chọn chữ số thứ 2: Trong 4 chữ số còn lại là: 0, 2, 3, 6 thì 6 là lớn nhất nên ta chọn 6 là chữ số thứ 2
Trang 2Chọn chữ số thứ 3: Trong 3 chữ số còn lại: 0, 2, 3 thì 3 lớn nhất nên ta chọn 3 là chữ số thứ 3.
Chọn chữ số thứ 4: Trong 2 chữ số còn lại: 0, 2 thì 2 lớn hơn nên ta chọn 2 là chữ số thứ 4
Cuối cùng, còn chữ số 0 là chữ số thứ 5
Vậy, số tự nhiên 86320 là số thỏa mãn yêu cầu đề bài
Ví dụ 3. Tìm số tự nhiên lớn nhất có 5 chữ số.
Trong bài tập này, người ra đề không giới hạn số cần tìm phải được lập từ những chữ số nào Do đó, ta
hiểu rằng, có thể sử dụng tất cả các chữ số từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Mặt khác, đề bài không yêu cầu các chữ số phải khác nhau, nên ta có thể chọn 5 lần chữ số 9 (là chữ số
lớn nhất)
Vậy số lớn nhất có 5 chữ số là 99999
Ví dụ 4. Tìm số tự nhiên lớn nhất có 5 chữ số khác nhau.
Tương tự ví dụ 3, nhưng ở bài này, các chữ số phải khác nhau nên ta phải loại các chữ số đã sử dụng đi
Làm theo cách ở trên, ta tìm được số lớn nhất có 5 chữ số khác nhau là: 98765
Trên đây là 1 số ví dụ minh họa cho cách tìm xác định số lớn nhất hoặc nhỏ nhất theo yêu cầu đề bài
Ví dụ 5. Cho 3 chữ số 5, 6, 8 Hãy lập tất cả các số có hai chữ số khác nhau từ 3 chữ số trên Có tất cả
bao nhiêu số như vậy?
Phân tích: Bài toán này đề toán cho ít chữ số, các số được lập thỏa mãn các điều kiện: có 2 chữ số; được
lập từ các chữ số đã cho; trong mỗi số các chữ số phải khác nhau Với các điều kiện trên ta có thể ghép 2 chữ số khác nhau lại tạo thành các số rồi đếm
Giải: Lần lượt đặt các chữ số 5, 6, 8 vào hàng chục ta được các số sau:
56,58,65,68,85,8656,58,65,68,85,86
Có tất cả 6 số như vậy
Nhận xét: Nếu như đề toán cho nhiều chữ số và các số được lập có nhiều chữ số hơn thì ta chọn cách giải
như bài toán 1 là mất thời gian, thậm chí liệt kê ra không hết Vậy ta nên chọn cách giải nào cho có hiệu quả? Ta tìm hiểu tiếp bài toán 2 sau đây:
Ví dụ 6. Cho 3 chữ số 2, 4, 6.
Hãy lập các số có 3 chữ số từ những chữ số trên
Hãy lập các số có 3 chữ số khác nhau từ những số trên
Phân tích:
Các số được lập phải thỏa mãn các điều kiện: Có 3 chữ số; được lập từ các chữ số đã cho; trong mỗi số
các chữ số có thể lặp lại
Các số được lập phải thỏa mãn các điều kiện: Có 3 chữ số; được lập từ các chữ số đã cho; trong mỗi số
các chữ số không lặp lại
Nhận xét: Với những bài toán không yêu cầu lập số cụ thể mà chỉ yêu cầu tìm ra số lượng các số thì ta có
nên lập sơ đồ cây hay không? Liệu có cách giải nào khác hay hơn? Ta thấy nếu các chữ số đã cho khác
$0$ thì:
Nếu trong mỗi số được lập các chữ số không phải khác nhau ta có cách tính số lượng số cần lập được tính như sau:
Có $n$ chữ số sẽ có $n$ cách chọn hàng cao nhất
Với mỗi cách chọn hàng cao nhất có $n$ cách chọn hàng cao thứ nhì
Với mỗi cách chọn hàng cao thứ nhì thì có $n$ cách chọn hàng cao thứ ba
Tương tự ta có $n$ cách chọn cho hàng tiếp theo
Trang 3Số lượng số cần lập bằng tích của các cách chọn ở từng bước trên.
Nếu trong mỗi số được lập các chữ số phải khác nhau (các chữ số không lặp lại) ta có cách tính số lượng
số cần lập được tính như sau:
Có $n$ chữ số sẽ có $n$ cách chọn hàng cao nhất
Với mỗi cách chọn hàng cao nhất có $n – 1$ cách chọn hàng cao thứ nhì
Với mỗi cách chọn hàng cao thứ nhì thì có $n – 2$ cách chọn hàng cao thứ ba
Cứ tiếp tục như thế cho đến khi lập được số thỏa mãn yêu cầu
Số lượng số cần lập bằng tích của các cách chọn
Ví dụ 7. Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 em viết được bao nhiêu số:
Có 3 chữ số
Có 3 chữ số, các chữ số phải khác nhau
Hướng dẫn.
Có 5 cách chọn chữ số hàng trăm (là một trong năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5) Với mỗi cách chọn chữ số hàng trăm thì có 5 cách chọn chữ số hàng chục Với mỗi cách chọn chữ số hàng chục thì có 5 cách chọn chữ số hàng đơn vị
Vậy số lượng số có 3 chữ số thỏa mãn bài toán là:
5×5×5=125.5×5×5=125
Với năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 ta có 5 cách chọn chữ số hàng trăm Với mỗi cách chọn chữ số ở hàng trăm
thì chỉ có 4 cách chọn chữ số ở hàng chục (là một trong bốn chữ số còn lại) Với mỗi cách chọn chữ số ở hàng chục thì chỉ còn 3 cách chọn chữ số ở hàng đơn vị
Vậy số lượng số có 3 chữ số thỏa mãn bài toán là:
5×4×3=60.5×4×3=60
Ví dụ 8. Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4 em viết được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau?
Giải: Ta có 4 cách chọn chữ số ở hàng trăm là một trong bốn chữ số khác 0 là $ 1, 2, 3, 4$ Sau khi đã
chọn chữ số ở hàng trăm ta có 4 cách chọn chữ số ở hàng chục là một trong bốn chữ số còn lại sau khi đã chọn chữ số ở hàng trăm, hàng chục rồi thì chỉ còn 3 cách chọn chữ số ở hàng đơn vị
Vậy số lượng số có 3 chữ số thỏa mãn bài toán là:
4×4×3=48.4×4×3=48
Ví dụ 9. Có bao nhiêu số gồm ba chữ số có chứa chữ số 5?
Phân tích: Bài toán này không cho trước các chữ số để lập số, không yêu cầu lập số cụ thể mà chỉ yêu
cầu tìm số lượng số Ta có thể giải bài toán trên bằng cách:
Tìm số lượng số có 3 chữ số (các số từ 100 đến 999)
Tìm số lượng số có 3 chữ số không chứa chữ số 5 (được lập từ 9 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 và trong
mỗi số các chữ số có thể lặp lại)
Số lượng số cần tìm chính là hiệu của hai kết quả trên
Hướng dẫn. Số lượng các số có ba chữ số là:
999–100+1=900.999–100+1=900
Ta đi tìm số lượng các số có 3 chữ số không chứa chữ số 5:
Có 8 cách chọn chữ số hàng trăm (chọn một trong các chữ số khác 0 và khác 5)
Với mỗi cách chọn chữ số ở hàng trăm ta có 9 cách chọn chữ số ở hàng chục (chọn một trong các chữ số khác 5)
Trang 4Với mỗi cách chọn chữ số ở hàng chục ta có 9 cách chọn chữ số ở hàng đơn vị (chọn một trong các chữ
số khác 5)
Suy ra số lượng các số có ba chữ số không chứa chữ số 5 là:
8×9×9=6488×9×9=648
Vậy số các số gồm ba chữ số có chứa chữ số 5 là:
900–648=252.900–648=252
Ví dụ 10.
Có bao nhiêu số có 4 chữ sốvà chia hết cho 9
Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số chia hết cho 9
Phân tích: Bài toán không cho trước các chữ số để lập số; các số được lập phải chia hết cho 9 nên ta dựa
vào dấu hiệu chia hết cho 9 để tìm số lượng các số thỏa mãn bài toán
Giải:
Số nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là 1008, số lớn nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là 9999 Các số có
4 chữ số chia hết cho 9 lập thành dãy số sau:
1008,1017,1026,…99991008,1017,1026,…9999
Trong dãy trên, cứ hai số liên tiếp thuộc dãy số trên cách nhau 9 đơn vị Vậy số lượng các số có 4 chữ số chia hết cho 9 là:
(9999–1008):9+1=1000.(9999–1008):9+1=1000
Số chẵn nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là 1008, số chẵn lớn nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là 9990 Các số chẵn có 4 chữ số chia hết cho 9 lập thành dãy số sau:
1008,1026,1044,…,99901008,1026,1044,…,9990
Hai số liên tiếp thuộc dãy số trên cách nhau 18 đơn vị Vậy số lượng các số chẵn có 4 chữ số chia hết cho
9 là:
(9990–1008):18+1=500.(9990–1008):18+1=500
Cũng có thể giải câu b dựa vào nhận xét: “Số các số chẵn gồm 4 chữ số chia hết cho 9 đúng bằng số các
số lẻ gồm 4 chữ số chia hết cho 9”. Vậy các số chẵn gồm 4 chữ số chia hết cho 9 là:
1000:2=500.1000:2=500
3 Bài tập lập số tự nhiên và quy tắc đếm
Bài 1. Cho 4 chữ số $0, 3, 8$ và $9$.
Viết được tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ 4 chữ số đã cho
Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho
Tìm số lẻ lớn nhất, số chẵn nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho
Bài 2. Cho 5 chữ số $1; 4; 6; 8; 9$.
Có thể viết được bao nhiêu số có 4 chữ số từ 5 chữ số đã cho
Có thể viết được bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số mà chữ số hàng trăm là 4
Có thể viết được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau
Bài 3. Cho 4 chữ số 3, 5, 6, 8 Hãy lập tất cả các số có 4 chữ số mà ở mỗi số có đủ 4 chữ số đã cho Tính
tổng các số đó
Bài 4. Cho 4 chữ số 0, 2, 5, 7 Hãy lập tất cả các số có 4 chữ số mà ở mỗi số có đủ 4 chữ số đã cho Tính
tổng các số đó
Trang 5Bài 5.
Có bao nhiêu số có 4 chữ số mà tổng các chữ số là 3?
Có bao nhiêu số có 2 chữ số mà hiệu các chữ số là 2?
Bài 6. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số mà mỗi số không có chữ số 1.
Bài 7. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau mà mỗi số không có chữ số 6.
Bài 8. Có bao nhiêu số có 5 chữ số mà trong đó có ít nhất 1 chữ số 9.
Bài 9. Cho các chữ số x ; 2 ; 5; 8 Từ 4 chữ số đã cho ta lập được tất cả 12 số có 4 chữ số mà mỗi số có
đủ cả 4 chữ số ấy Biết tổng các số lập được bằng 66660 Tìm x?
Bài 10. Cho 4 chữ số a,b,c,d thỏa mãn a+b+c+d = 7 Tính tổng tất cả cac số có 4 chữ số lập được, biết
mỗi số có mặt đủ 4 chữ số đã cho
Bài 11. Cho 5 chữ số 0; 2; 4; 6; 9 Hỏi lập được tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và mỗi số đều
chia hết cho 3
Bài 12. Từ 5 chữ số 0; 2; 3; 7; 5 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và đều chia hết cho 5?
Bài 13. Từ 6 chữ số 0; 1; 2; 4; 7; 9 lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau và mỗi số đều chia
hết cho 3?
Bài 14. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số, chia hết cho 3 và tận cùng bằng 5.
Bài 15. Tìm số lượng các số tự nhiên có 4 chữ số mà:
Số tạo bởi 2 chữ số đầu ( theo thứ tự ấy ) lớn hơn số tạo bởi 2 chữ số cuối ( theo thứ tự ấy )
Số tạo bởi 2 chữ số đầu ( theo thứ tự ấy ) cộng với số tạo bởi 2 chữ số cuối ( theo thứ tự ấy ) nhỏ hơn 100
Bài 16. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số, chia hết cho 5, có đúng 1 chữ số 5?
Bài 17. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số, biết cộng nó với số viết theo thứ tự ngược lại ta được một
số chia hết cho 5?
Bài 18. Từ 5 chữ số 0; 3; 5; 7; 8 lập được tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 15?
Bài 19. Có bao nhiêu số có 5 chữ số chia hết cho 3 và có ít nhất 1 chữ số 6?
Bài 20. Tính tổng các số tự nhiên có 4 chữ số được lập bởi các chữ số 2; 3; 0; 7 trong đó:
a) Các chữ số có thể giống nhau
b) Các chữ số đều khác nhau
Bài 21. Trong hội nghị cháu ngoan Bác Hồ có 30 bạn tham dự Vui mừng, phấn khởi nên cứ 2 bạn bắt tay
nhau làm quen 1 lần Hỏi có tất cả bao nhiêu cái bắt tay?
Bài 22. Trong một buổi lễ có 13 cặp vợ chồng tham gia Mỗi người đàn ông bắt tay tất cả các người khác.
Các phụ nữ không ai bắt tay nhau Hỏi có tất cả bao nhiêu cái bắt tay
Trang 6Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
I Luyện Thi Online
-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
-Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao và HSG
-Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG
-Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III Kênh học tập miễn phí
-HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
V ng vàng n n t ng, Khai sáng t ữ ề ả ươ ng lai
H c m i lúc, m i n i, m i thi t bi – Ti t ki m ọ ọ ọ ơ ọ ế ế ệ
90%
HOC247 NET c ng đ ng h c t p mi n phí ộ ồ ọ ậ ễ HOC247 TV kênh Video bài gi ng mi n phí ả ễ