UBND HUYỆN ĐÔNG SƠN TRƯỜNG THCS NGUYỄN CHÍCH (Đề thi gồm 05 câu, có 01 trang) KHẢO SÁT NĂNG LỰC HỌC SINH LỚP 9 NĂM HỌC 2023 – 2024 Môn TOÁN Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câ[.]
Trang 1UBND HUYỆN ĐÔNG SƠN
TRƯỜNG THCS NGUYỄN CHÍCH
(Đề thi gồm 05 câu, có 01 trang)
KHẢO SÁT NĂNG LỰC HỌC SINH LỚP 9
NĂM HỌC 2023 – 2024
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: x2 - 2023x + 2022 = 0
2 Giải hệ phương trình:
Câu 2 (2,0 điểm) Cho biểu thức: với x ≥ 0, x ≠ 16
1 Rút gọn biểu thức B
2 Tìm các giá trị của x để giá trị của biểu thức B là một số nguyên
Câu 3 (2,0 điểm)
1 Tìm các giá trị của m để đồ thị của hai hàm số y = (m + 4)x + 11 (d)
và y = x + m2 + 2 (d’) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung
2 Cho phương trình: 4x2 + 2(m - 1)x - m = 0 (với m là tham số) Tìm m để
phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn:
Câu 4 (3,0 điểm) Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB,
AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M, vẽ MI AB,
MK AC (I AB, K AC)
a) Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn
b) Vẽ MP BC (P BC) Chứng minh:
c) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất
Câu 5 (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
-HẾT -Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên học sinh:……… Số báo danh:………
HƯỚNG DẪN CHẤM
Trang 2ĐỀ THI KHẢO SÁT NĂNG LỰC HS LỚP 9- LẦN 1 NĂM HỌC 2023 – 2024
Môn thi: TOÁN
1
1.
Giải phương trình: x 2 - 2023x + 2022 = 0
Vì a + b + c = 1 + (-2023) + 2022 = 0
nên phương trình có hai nghiệm là x 1 = 1 và x 2 = 2022
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; 2022}
0,5 0,5
2.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất:
0,75 0,25
2
1
Với x ≥ 0, x ≠ 16, thì:
B
V y ậ với x ≥ 0, x ≠ 16
0,25
0,5
0,5 0,25
2
Dễ thấy B ≥ 0 (vì
Suy ra: 0 ≤ B < 3 Þ B Î {0; 1; 2} (vì B Î Z).
- Với B = 0 Þ x = 0;
- Với B = 1 Þ
- Với B = 2 Þ
Vậy để B Î Z thì x Î {0; 4}.
0,25
0,25
3
1
Để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung thì
Vậy với m = 3 đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung
0,75 0,25
2 ’ = (m - 1) 2 + 4m = (m + 1) 2
Þ 0 với mọi m, nên phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 với mọi m 0,25
Trang 3Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
x 1 + x 2 = và x 1 x 2 =
Ta có =>
<=> Không có giá trị của m thỏa mãn đề bài
0,25 0,25
0,25
4
H
O P
K I
M
C B
A
a Ta có: (gt), suy ra tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM. 1.0 b
Tứ giác CPMK có (gt) Do đó CPMK là tứ giác nội tiếp
Vì KC là tiếp tuyến của (O) nên ta có: (cùng chắn ) (2). 0.25
c
Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI là tứ giác nội tiếp
Suy ra: (4) Từ (3) và (4) suy ra
Tương tự ta chứng minh được
0.25
Suy ra: MPK ∆MIP MI.MK = MP 2
MI.MK.MP = MP 3
0.25
Do đó MI.MK.MP lớn nhất khi và chỉ khi MP lớn nhất (4)
- Gọi H là hình chiếu của O trên BC, suy ra OH là hằng số (do BC cố
định)
Lại có: MP + OH OM = R MP R – OH Do đó MP lớn nhất bằng R – OH khi và chỉ khi
O, H, M thẳng hàng hay M nằm chính giữa cung nhỏ BC (5)
0.25
Từ (4) và (5) suy ra max (MI.MK.MP) = ( R – OH )3 M nằm
Trang 4biểu thức:
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có:
Tương tự: và
Lại có:
Tương tự:
Suy ra:
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z =1
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là Đạt được khi x = y = z =1
0,25
0,25
0,25
0,25
Chú ý:
-Thí sinh giải theo cách khác, nếu đúng vẫn cho đủ điểm số theo phân phối điểm của hướng dẫn chấm này.
- Bài hình nếu không vẽ hình hoặc vẽ sai cơ bản thì không chấm điểm