Toán học được sử dụng trên khắp thế giới như một công cụ thiết yếu trong nhiều lĩnh vực, bao gồm khoa học, kỹ thuật, y học, và tài chính. Toán học ứng dụng, một nhánh toán học liên quan đến việc ứng dụng kiến thức toán học vào những lĩnh vực khác, thúc đẩy và sử dụng những phát minh toán học mới, từ đó đã dẫn đến việc phát triển nên những ngành toán hoàn toàn mới, chẳng hạn như thống kê và lý thuyết trò chơi. Các nhà toán học cũng dành thời gian cho toán học thuần túy, hay toán học vị toán học. Không có biên giới rõ ràng giữa toán học thuần túy và toán học ứng dụng, và những ứng dụng thực tiễn thường được khám phá từ những gì ban đầu được xem là toán học thuần túy
Trang 1ON THỊ ĐẠI HỌC HINH HỌC GIAI TỊCH NAM 2012
A.Lí Thuyết :
— Công thức tính góc giữa hai đường thắng cosy = al — trong dé Uy Uy lan lượt là hai VTCP của hai đường thăng
— Công thức tính góc giữa đường thắng và mặt phẳng sin W = ai bi P | trong đó
nu lần lượt là hai VTPT và VTCP của mặt phẳng và đường thắng
— Công thức tính góc giữa hai đường thắng cosø= peal =] mone do N,N, lan
lượt là hai VTPT của hai mặt thăng
— Công thức tính khoảng cách giữa hai điêm 4(x,;y¿;Z¿);B(xp;p;Zg)
AB=,|(x, "Xa ý + (y, “Ya ý + (z; “Za y
— Khoang cach tir diém Mo(Xo;yozo) dén mat phang (a) cé phuong trinh
Ax+by+Cz+D=0 là: d(M,,@))—|Ê 9ˆ 83,*€s, +D|
— Khoảng cách từ điểm M; đến đường thắng A đi qua Mụ và có vectơ chỉ
[MoM =|
cl
phương u la: d(M,,A=
— Khoang cach gitta hai duong thang A va A’, trong đó A đi qua điểm Mp, cé vecto chi phuong u và đường thắng A'° đi qua điểm M;, có vectơ chỉ phương ư'
[ae] MM,
[uu
— Công thức tính diện tích hình bình hành : S, „=
la: d(A,A)=
aD]
— Công thức tính diện tích tam giác : S woos | | AB,AC | |
— Công thức tính thể tích hình hộp : Visco ane =| [ AB,AD |.AA' |
— Công thức tính thể tích tứ diện : Vasco | | AB,AC |.AD |
Chú ý :
Các công thức tính góc nêu trên có điều kiện : 0< ø,# <5
Trang 2GV: Ngô Quang Nghiệp B13
B.VI DỤ :
Ví dụ 1: Cho đường thẳng (4): T = T =1 và hai điểm A(0;0;3), B(0;3;3)
Tìm tọa độ điểm M e (2) sao cho:
l) MA+ MB nhỏ nhất
2) MA? + 2MB? nhỏ nhất
3) [MA _ 3MB nhỏ nhất
4) |M4— MB| lớn nhất
Hướng dân:
x=t 1) Chuyén p/trinh cia (d) sang dang tham s6 (d):4 y=
Z=t
Goi toa d6 cla M e(d) c6 dang M(¢;t;t), te0
Ta c6 P=_MA+MB =,(0-1)' +(0-1)' +(3-1)° + (0-2) + (3-1) +(3-0)"
P=V30? —6t +9 +3? —12t +18 =M|ýẺ ~2:+3 tí? =4r+6)
P=3| j1 +2 tjứ~2) +2)
Trong mặt phắng Oxy xét các điểm N(t;0) € Ox; H(1,V2);K (2;V2)
Goi H (b2 là điểm đối xứng của điểm H (x2 qua trục Ox
e Ta có P=xJ3(NH + NK)=Al3(NH' + NK)>+xJ3HK
Dâu “=” xảy ra © H',N,K thang hang © N=H'K NOx
Đường thắng /K có vecto chỉ phương WK = (2⁄2 nên có vecto pháp tuyén n= (2V2 ;-1) va di qua H '(1;-V2 nên có phương trình tông quát
20/2 (x-1)-1(y +V2)=0< 2V2x- y-3V2 =0
Tọa độ giao điêm N của đường thắng #X và trục Óx là nghiệm của hệ
3
p8 vien Vậy x-š)
2
Vay min P = V3H'K = V3 P +(2v2) = 33
Dat duoc khi N(:0)=N[ i0 Jeo r=3
Suy ra M4+MB nho nhat bang 3V3 khi u(3: 3 |
"2
Trang 3Cách 2:
e Làm như cách 1, đến đoạn p=x3| 1Ÿ +2 +4J—2} +2),
Xét hàm sé f(t)=(t-1) +2 +/(t-2)' +2
Ta có ƒ'()= —L _
\Œ-I +2 f(t-2)? +2
e Xét ham s6 g(u) = PB :
Ta có g'(%)= WW +2—ứ = } IL 4 > 0 nên hàm số ø đồng
Nu?+2,) „ˆ+2 (¿2 +2}
biến trên [1
+ Do dé từ (9) ta có g(t-1)=g[-(t-2)] 1-1-4142 1=5
Bang bién thién cua ham so /:
Tir bang bién thién suy ra min f (t)=f B =3
9
Vay min (MA + MB) =3V3 đạt được tại " tức là a
Cach 3:
Bước 2 : Tinh AH va BH’
Bước 3 : Tìm M thỏa mãn MH = By A ' =>ycbt
M
# H' B’
Trang 4GV: Ngô Quang Nghiệp B13
2) Làm tương tự câu l1), ta tính được
Q = MA? +2.MB? = 32 -6:+9+23 —12/+18) =9/2—30/ +45
Biểu thức này là tam thức bậc hai với hệ số a=9 >0 nên đạt giá trị nhỏ nhất
khi =—— =` Tức là u{ 55:3) 2.9 3 222
Nhán xét: néu không nhớ tính chat vé d6 thi bac hai thi co thé khảo sát hàm sô
f (t) =907 -30t+45 dé tim giá trị hỏ nhất
3) Theo câu 1), gọi M(;z;?)
Ta cé MA =(-t;-t;3-t), MB =(-t;3-1;3-1)
Suy ra MA-2MB =(-t-2(-t);-t-2(3-1);3-t-2(3-2)) = (tt -6;t-3)
=> |Ma—2MB| = 0? + (¢—6)' +(¢-3)° =3/?—18/+45
= |MA—2MB] = )3(t-3)" +18 > Vi8 =3V2
Dau “=” xay ra > t-3=01=3 hay M(3;3;3)
Vay min|MA -2MB =3/2 dat dugc tai M (3;3;3)
Nhân xét: nêu không phân tích được [MA - 2MB| = \J3(—3)” +18 thì có thể
khảo sát hàm số ƒ(7) = 3/7 —18: +45 để tìm giá trị nhỏ nhất
4) Tương tự câu 1), ta tính được |Ä⁄4— MB| = N3(ve ~2/+3—|# -Ar+6]
| MA — MB| “Nal (ea +2—(1-2)° +2]
Trong mặt phẳng Oxy xét các diém N(t;0) € Ox; H(1,V2);K (22)
Khi đó |M4- MB|= v3|NH - NK|
Nhận thấy 7, K nằm cùng phía so với trục Óx
Suy ra |M4— MB|= \3|NH - NK|<v3HK
Bai toan nay v6 nghiém vi KH || Ox
Cách 2: Khảo sát hàm sé nhu cach 2 6 cau 1 > Ham số không có GTLN
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P):x+ y+z—4=0 Tìm điểm M e(P) sao cho:
1) MA+ MB nhỏ nhất, biết 4(1;0;0), B(1;2;0)
2) |M4— MB| lớn nhất, biết 4(1;2;1), 8(0:1;2)
3) MA? +3MB” nhỏ nhất, biết 4(1;2;1), B(0;1;2)
4) MA? +3MB” +2MC? nhỏ nhất, biết 4(1;2;1), 8(0;1;2), C(0;0;3)
Trang 55) |MA+3MB+4MC| nhỏ nhất, biết 4(I,2;1), B(0;1;2), C(0;0;3)
Hướng dân : 1) Cách øiải
e Xét vị trí tương đôi của 4, B so với (P)
Đặt ƒ(x:y;:z)=x+y+z-4
Thay tọa độ của 4, 8 vào và tính ƒ(x¿;y¿;Z¿).ƒ(Xp:yp:Zg )
- Nếu ƒ(x¿:y¿:z4).ƒ(xs:yg:z,)<0 thì A, B ở hai phần không gian khác nhau ngăn cách bởi (P)
- Nêu ƒ(x¿;y„;Z4)./(xp:yg;z;) >0 thì 4, 8 ở cùng phía so với (P)
e Nếu 4, Ö ở khác phía so với (P) thì với M e(P) tùy ý ta có
MA + MB > AB Suy ra min(MA + MB) = AB đạt được khi M = 4B ¬(P)
- Viết p/trình đường thăng 4B
- Tìm giao điêm Ä⁄ của 48 ¬(P) (Giải hệ p/trình của 4 và (P))
e Nêu 44, ở trong cùng phía so với (P), ta lây điêm 4 đôi xứng với 4 qua (P)
Khi đó MA = MA => MA + MB = MA + MB> 4B
= min(M4+ MB) = 4'B đạt được khi M = 4B ¬(P)
®& lính tọa độ 4:
- Viết phương trình đường thắng (Z) qua 4 và (đ) 1 (P)
- Giải hệ {(4):(P)} tìm được tọa độ của # =(đ)=¬(P) là hình chiếu vuông góc của 44 trên (P)
- H là trung điêm của 44 Biết tọa độ của 4,H suy ra tọa độ của A’
® Viết p/trình đường thắng 48
& Giải hệ | 4'B;(P)} tìm được tọa độ của M = 48 ¬(P)
,
Z
7
7A
2) Làm ngược lai cua hai trường hợp trên câu 1
e Nếu 4, Ö ở trong cùng phía so với (P) thì |M4— MB|< AB
e Nếu 4, Ö ở trong cùng phía so với (P), ta lẫy điểm 4' đối xứng với 4 qua (P)
Khi dé MA’ = M4 => |MA-— MB| =|MA' - MB|< A'B
Cách làm mỗi trường hợp như câu I
3) Xét điểm I thy ý, ta có M4” = MÔ =(MĨ + 1Ä) = MỈ + TẢ” + 2Mi-TẢ
Trang 6GV: Ngô Quang Nghiệp B13
—2 — —\2 - —2 —2 — —
MB? = MB = (Mi + 18) = MIˆ +IB +2MI.IB
Suy ra MA? +2MB? = MỸ” + TẢ” +2MÏ.TÂ+ 2(mĩ +B + 2 Mi 18)
=> MA? +2MB? =3MIˆ + LÁ +21B +2MI (T4 + 218)
=> MA? + 2MB? =3MI? + LA2 + 21B? + 2MI (14 + 218)
Gia sử 14+21B =Ũ © A= -21B, ta có tọa độ của 7 là:
_*a+2xsg _l+Z.0 1
[y= Yate _2+2.1 4 Hay |: 4, 3]
_Z4†+2Zp (142.2 5
_ 1+2 3 3
Vậy, với l[: as |, ta có 14+ 218 =0 nên M4? +2MB? = 3MI? + IA? + 21B}
Do 7 có định nên 742,787 không đổi Vậy M⁄4? +2MB” nhỏ nhất © M!? nhỏ nhất
<> MI nho nhat <= Ä⁄ là hình chiêu của 7 trên (P)
e Đường thắng (2) qua 7 Ko) và vuông góc với (P) nhận vecto pháp tuyến
=(1:1;:1) của (P) làm vecto chỉ phương nên có p/trình
x=J4+t
y=
z= 3⁄4 +
- Tọa độ giao điểm H của (4) (P) là: H(rg ty )
- H là hình chiếu của 7 trên (P)
e Vậy 1 là hình chiếu của 7 trên (P) nén M =H
5 14 17
Kết luận: MA? +2MB? nhỏ nhất khi M l: a2)
4) Lam tuong ty cau 3)
5) Can rit gon tong M4+3MB+4MC thanh mét vecto MH
Khi dé |M4+3™MB +4MC|=|MH|= MH nhé nhat <= M 1a hinh chiéu cia H trén
(P)
Làm như câu 3)
Bang cách phân tích M4+3MB+4MC = Mĩ +1Ä+3( Mĩ + 1B)+4(Mi + 1C}
=§MI + IA+ 31B + 41C
Trang 7Đến đây chỉ việc tìm tọa độ điểm 7 sao cho 14+ 37B +41C = 0 rồi làm tiếp theo
hướng dân trên
Chú ý: 14+ 3I8 + 41C =Ư Ọ =- (O4+3O8 + 40C)
1
X, = (4+ 3%5 + 4x0)
Suy ra toa do cua J la<y, =sÚ/ +3y, +4yc)
Z¡ = sứ, +3Zp +4z.)
mat phang (@) chira d sao cho khoảng cách từ A(2;5;3) tới (ø Vi du 3:(DH — 42008) Cho mặt phẳng 4: x 2-2 2 Lap phyong trinh ) là lớn nhất
Hướng dẫn :
1) Phương trình mat phang (a) chứa d cĩ VTPT: n(A;B;C), A? + B27 +C? #0 c6 dang :
A(x —-1)+ By + C(z-2)=0
Ta cĩ : đc ()©„zm„ =0 B=-2A-2C
=> d(A,(a)) = (4,2) 542 +8AB +5C? =9,,— 4+" _ 5A’ +8AB+5C*
— THỊ: Nếu C=0
9 d(A,(a)) =—= (A,(@)) 5
- THI: Nếu C z0 ,Đặt 1-2
d(A,(a)) =9 5 48/45 =9V f(t)
> pp- 41: f(D) =0: fF) =2
va 5 POV tH 415 /CY=O/O=5
lim f(t) =—
t—>too
Xét ham sé f(t) =
Lập bảng biến thiên => Ä⁄axƒŒ) = = tait =1 Vay Maxd(A,(a)) = 3V2 khi 4 an
So sanh TH1 va TH2 : ycbt <=>A= C và B=—4C => Phương trình mặt phẳng cần tìm là : x - 4y + z— 3 =0
Nhận xéi :
— Cĩ thế mở rộng ra các bài tốn như sau :
+) Lập phương trình mặt phẳng (ø ) chứa d sao cho khoảng cách từ A tới (ø)
là nhỏ nhất hoặc khoảng cách đĩ là hằng số
— Cĩ thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này
Trang 8GV: Ngô Quang Nghiệp B13
Ví dụ 4: Cho đường thăng đ: xh „+2 ~~ va d': x+2 -7-1_Z,
(Q): x + 2y +2z—3 =0 Lap phuong trinh mat phang (P) chirad sao cho
1) Góc giữa hai mặt phẳng (Q) nhỏ nhất
2) Góc giữa mặt phẳng (P) và đường thăng đ° lớn nhất
Hướng dẫn :
1) Phương trình mặt phẳng (ø ) chứa d có VTPT: ø(4;8;C),A?+ B?+C2 +0 có đạng :
A(x—]1)+ B(y+2)+ Cz =0
Ta có : đC(#) ©1„;„w„ =0<>C= 4A+2B
Gọi góc giữa hai mặt phẳng là ø,(0<@< 2)
— THI: Nếu B =0
cOS(Ø) = ° (1)
— TH2: NéuB 40 Dit 1-4
_ | (+2)
cos(p) = ot +445
Xét hàm sô ƒ(?)=—>————
I) 2ƒ? +4t+5
=> Maxf(t) == tại t =1 hay BD Vay Max cosp =" (2)
(0)
So sanh TH1 va TH2 => @,,, © cosp = 80 với ¬
=> Phương trình mặt phắng cần tìm là : x + 2y + 5z +3 =0
2) Phương trình mặt phẳng (ø ) chứa d có VTPT: zÝŸ4;8;C),A?+ B?+C? z0 có đạng :
A(x—1)+ B(y+2)+Cz =0
Ta có : đC(#) ©1„;w„ =0<>C= 4A+2B
Gọi góc giữa mặt phăng (P) và đường thắng đ' là : ¥,(0< ¥ < 2)
32|2A42+44B+5B” 3242+4AB+5B°
— THI: Nếu B =0
sin(W) = >2 (1)
Trang 9
- TH2: Nếu B z0 ,Đặt =
2 sin(¥) = 1 L@13—
3 \ 22° +4t4+5
(4¢+3)°
Xét hàm số ƒ()=————
I) 2/2 +4t+5
=> Maxf(t) -2 tai t =-7 hay a =-7, Vay Maxsiny 58
5/3 _, A
So sanh TH1 va TH2 =>W,ax„ © sinW = > VỚI 2 —7
=> Phương trình mặt phẳng cần tìm là : 7x - y + 5z - 9=0
Nhận xéi :
— Có thế mở rộng ra các bài toán như sau :
+) Lập phương trình mặt phăng (z) chứa d sao cho góc giữa hai mặt phẳng hoặc góc giữa đường thăng và mặt phẳng thỏa mãn một điều kiện nào đây
— Có thê sử đụng hình học thuần túy để làm bài này
Ví dụ 5: Cho mặt phẳng (P):x+3y—z—1=0 Và các điểm 4(1;0;0); 8(0;—2;3) Lập phương trình đường thăng d năm trong (P) di qua A va cách B một khoảng lớn nhât , nhỏ nhât
Hướng dẫn :
Gọi VTCP của đường thắng d là: u(a;b;c),a? +b? +c? #0
dc (P) ©u„,np=0€©c=a+2b
AB(-1;2;-3) ; | ug, AB | = (-2a —7b;2a—2b;2a+ b)
[#248 | - = +24ab + 54p”
ug 24? + 4ab + 5b?
— THI: Nếu b =0
d(B,d)=~6
— TH2: Néub #0 ,Dat t=>
=> J/6 <d(B,d)< 14
So sinh TH1 va TH2 => V6 <d(B,d)< v14
+) Min(d(B,d)) = 16 <>b=0 chọn a =l => c=1
x=l+í
=> Phương trình đường thắng cần tìm là : 4 y=0
Z=t
+) Max(d(B,d)) =V14 @ a=-b chọn b= -l =>a =l ,e =-l
Trang 10GV: Ngô Quang Nghiệp B13
—l-t
Xx
=> Phương trình đường thắng cần tìm là : 4 y =
Z=t
Nhận xéi :
— Có thế mở rộng ra các bài toán như sau :
+) Lập phương trình đường thắng d nằm trong (P) đi qua A và cách B một khoảng thỏa mãn một điều kiện nào đây
— Có thê sử dụng hình học thuần túy để làm bài này
Ví dụ 6: Lập phương trình đường thắng d đi qua A (1:-1;2),song song với mặt
phẳng (@):2x—-y—z+3= 0,đồng thời d tạo với đường thăng d = = — = 5
một góc lớn nhất , nhỏ nhất
Hướng dẫn :
Gọi VTCP của đường thắng d là: z(ø;ð;c),a?+b°+c?2z0
d/|(P) <> ugng =0<>c=2a-b 3 1w (—2;2)
Gọi góc giữa hai mặt phẳng là ø,(0 < ø< 2)
=> cos(0) = Sa~4” = |_Ga- ay
3V5a?—4ab+2b? 3 V5a°—4ab+ 2b
— TH1: Néub =0
cOS(0) = 2x5
a
— TH2: Nếu b #0 Dat r=
cos(Ø)=—„|—>———=-—-j/ƒ(Œ) ;Xéthàm sô ƒŒ)=_—>————
SE)
=> Ú< coS(Ø) < “9
SE]
So sánh THỊ và TH2 =>0 < cos(ø) < >
+) Min(cos(~)) =0 => Pm =90° & h ==
=> Phương trình đường thăng cân tìm là : = _z1l1_Z-2
+) Max(cos(0)) = sạ => Onin 2 == -
=> Phương trình đường thắng cần tìm 1a: = = =# = = —=
Nhận xéi :
— Có thê mở rộng ra các bài toán như sau :
Trang 11+) Lập phương trình đường thăng d di qua A ,song song voi mat phang
(@).,đồng thời d tạo với đường thăng Z một góc thỏa mãn một điều kiện nào
đây — Có thê sử dụng hình học thuân túy đê làm bài này ae
Ví dụ 7: Lập phương trình đường thắng d đi qua 4(0;-1;2) và cắt đường thắng
ả.x11_ y_2z7-2
1) Khoảng cách từ Z(2;1;1) là lớn nhât, nhỏ nhât
2) Khoảng cách giữ d va A: = T= ⁄
sao cho
Hướng dẫn :
1) dnd'=M => M(-1+2t;t;2-1),teR
=> VTCP của đ : „ = 4M(2—1;f+1;—?)
4B(2;2;—U ; | 4B;w¿ |=(1—1;l;4~22)
=> d(B,d) = z8 | _ 127 —18:+18 _ tr ua 6” — 2ƒ +2
2 Xét hàm số f(t) = 1 te => Maxf(t) = ƒ(0) = 18; Minf() = ƒ(2) = +
=> là < đ(B,d) <x1§
+) Min(d(B,d)) = jt c©¡/=2
(x = 3¢
=> Phương trình đường thắng cần tìm là : 4 y=—1+3/
\Z=2—2í
+) Max(d(B,d)) =V18 = 1=0
[x =—-t
=> Phuong trinh duong thang can tim la: 4 y =-1+z
z=2-t
2) đmđ'= M => M(_—1+ 2f;t;2 — £),t e R
=> VTCP của đ : „ = 4M(2—1;f+1;—?)
Từ phương trình A => HA = (2;-2;1) va N =(5;0;0)eA
AN(531;-2) ; | aig |= (¢- 14-162)
[sss2]2M|—, [ øxø
=> d(A,d) = [nw] 132 10.2 > f(t)
Xét hàm số ƒ(/) = => Maxf(t)= f(—) =—