de thi hoc sinh gioi mon toan lop 10 tinh hai duong co loi giai

S GIÁO D C VÀ ÀO T O

H I D NG KÌ THI CH N H C SINH GI I T NH

L P 10 THPT N M H C 2012 – 2013

MÔN THI: TOÁN

Th i gian làm bài: 180 phút

( thi g m 01 trang)

Câu 1 (2,5 đi m)

a) Cho hàm s y  x2  3 x  2 và hàm s y    x m Tìm m đ đ th các hàm s

đó c t nhau t i hai đi m phân bi t A, B đ ng th i kho ng cách t trung đi m I c a đo n

2

0



 x x x

Câu 2 (2,5 đi m)

đ ng phân giác trong c a góc A có ph ng trình 2x  y 1 0; Kho ng cách t C đ n

 g p 3 l n kho ng cách t B đ n  Tìm t a đ c a A và C bi t C n m trên tr c tung

5

 

Câu 3 (2,5 đi m)

a) Cho tam giác ABC G i D, E l n l t là các đi m th a mãn: BD 2BC;

3



1

4

( b MB2 2 c MC2 2 2a MA2 2) đ t giá tr l n nh t

Câu 4 (2,5 đi m)

1  6 x  2 2 x   1 2 5 x  4 x

b) Cho x, y, z là các s th c d ng th a mãn x    y z xyz Ch ng minh r ng:

2

xyz

………H t………

H và tên thí sinh:………S báo danh:………

Ch ký c a giám th 1:……….Ch ký c a giám th 2:………

THI CHÍNH TH C

ÁP ÁN VÀ H NG D N CH M MÔN TOÁN

KÌ THI CH N H C SINH GI I T NH

L P 10 THPT N M H C 2012 – 2013

1 a

Cho hàm s y  x2  3 x  2và hàm s y    x m Tìm m đ đ th các

hàm s đó c t nhau t i hai đi m phân bi t A, B đ ng th i trung đi m c a đo n

th ng AB cách đ u các tr c t a đ 1,25 Yêu c u bài toán PT sau có hai nghi m phân bi t

2

3 2

x x x m hay 2

   

x x m (*)có   ' 0 m>1 0,25

G i x ; xA Blà 2 nghi m c a (*), I là trung đi m AB ta có A B

I

2



  ;

I I

y     x m m 1

0,25 Yêu c u bài toán  yI  xI

m 1 1

    m 2; m0

0,25 0,25

b Gi i b t ph ng trình:

2

0

2 4

4 3



TX :

2

4 3 0

2







x x

(1)

2



 x x x

N u 1   x 2thì  x2 4x  3 0 2x4, b t ph ng trình nghi m đúng

v i m i x: 1   x 2

0,25

N u

2

 



   

   



x x

b t pt đã cho 2

     

0,25

 x  x   x x 2

 x  x 

K t h p nghi m, tr ng h p này ta có: 2 5 x 3

5

  

T p nghi m c a bpt đã cho: (1;2) (2 5;3)

5

2 a

Trong m t ph ng t a đ Oxy cho tam giác ABC có B (1;2) ng th ng là

đ ng phân giác trong c a góc A có ph ng trình 2x  y 1 0; kho ng cách

t C đ n  g p 3 l n kho ng cách t B đ n  Tìm t a đ c a A và C bi t C

n m trên tr c tung

1,25

y 10; y 8



    

V h tr c t a đ , đi m B, chú ý C khác phía B đ i v i  suy ra C(0;-8)

0,25

G i B’(a;b) là đi m đ i x ng v i B qua  thì B’n m trên AC

Do BB'u (1; 2) nên ta có: a2b 3 0;

Trung đi m I c a BB’ ph i thu c  nên có: 2a  b 2 0

T đó ta có: a= -7/5; b=4/5

0,25

Theo đ nh lý Ta - Let suy ra CA 3CB'

2



A(x; y); CA x; y 8 ; CB' ;

5 5

0,25

T đó suy ra A( 21 26; )

10 5



b

Xét các tam giác vuông ABC vuông A, g i  là góc gi a hai đ ng trung

tuy n BM và CN c a tam giác Ch ng minh r ng sin 3

5

G i a, b và c t ng ng là đ dài các c nh đ i di n các góc A, B và C

c a tam giác Có 2 2 c2

4

  2

2 2 b

4

G i G là tr ng tâm tam giác ABC, ta có cos BGC BG2 CG2 BC2

2BG.CG



=

2 2

2 2 2 2

2(b c ) (4c b )(4b c )

 

2 2 2 2

2(b c ) cos

(4c b )(4b c )



 

0,25

Có

2 2

(4c b )(4b c ) ;" " 4c b 4b c

2



Do đó cos 22(b22 c )22 2 2(b22 c ).222 4

5(b c ) 5 (4c b )(4b c )



Hay sin 1 cos2 3

5

     D u b ng có khi tam giác vuông cân đ nh A 0,25

3 a

Cho tam giác ABC G i D, E l n l t là các BD 2BC; AE 1AC

v trí c a đi m K trên AD sao cho 3 đi m B, K, E th ng hàng 1,25

G B

M N

Vì AE 1AC BE 1BC 3BA(1)

Gi s AKx.ADBKx.BD (1 x)BA 

0,25

Mà BD 2BC

3

 nên AK x.AD BK 2xBD (1 x)BA

3

0,25

Vì B, K, E th ng hàng(B E ) nên có m sao cho BK mBE

Do đó có: mBC 3mBA 2xBC (1 x)BA

       

0,25

0,25

Do BC; BA không cùng ph ng nên

0 &1 x 0

4  3    4  T đó suy ra x 1; m 8

 

V y AK 1AD

3



0,25

3 b

Cho tam giác ABC vuông A; BC = a; CA = b; AB = c

Xác đ nh đi m I th a mãn h th c: 2 2 2

2a IA b IB c IC 0

    ; Tìm đi m M: bi u

th c 2a MA2 2b MB2 2c MC2 2 đ t giá tr l n nh t.

1,25

K đ ng cao AH, ta có

b a.CH;c a.BH nên

b BHc CH Do đó:

b BH c CH  0

0,25

Suy ra b IB c IC2  2 b IH c IH2  2 a IH2

0,25

K t h p gi thi t suy ra 2 2

2a IAa IH hay 2.IAIH

Do đó đi m I th a mãn gt là I th a mãn A là trung đi m IH 0,25

V i x, y, z tùy ý th a mãn: x.IA y.IB z.IC 0   (*) bình ph ng vô h ng 2 v

(*), chú ý r ng 2 2 2

2IA.IBIA IB AB ta có:

(x.IA y.IB z.IC )(x  y z) xyc xzb yza

T đó có 2 2 2 2 2 2 2 2

( 2a IA b IB c IC )3b c

0,25

xMA x(IA IM) x(IM IA 2IA.IM)

T ng t cho yMB2

; zMC2r i c ng các đ ng th c đó l i ta có

A

K A

E

4 a Gi i ph ng trình:   2  2 

1 6x2 2x  1 2 5x 4x

K: x 1 ; x 1

(*)

(3x 1) (2x 1) 2(3x 1) 2x 1 1 (3x 1) (2x 1) (10x 8x)

2 2

0,25

2

2

2x 1 2x 2(a) 2x 1 4x(b)

   





  

Gi i(a) và đ i chi u K có 1 nghi m x 4 6

2

 

Gi i (b) vô nghi m K t lu n (*) có 1 nghi m x 4 6

2

 

b

Cho x, y, z là các s th c d ng th a mãn x  y z xyz Ch ng minh r ng:

2

1 1x   y 1 1z 

xyz

1,25

Gi thi t suy ra: 1 1 1 1

xy yzzx  Ta Có:

2 2

 

         

 

 

;" " y z

       

Vi t hai B T t ng t r i c ng l i ta đ c:

2

1 1x   y 1 1z 

3 ;" " x y z

     

0,25

Ta s CM:3 1 1 1 xyz

   

3 xy yz zx xyz x y z

       i u này luông đúng

D u b ng có khi và ch khi x=y=z 0,25

V y (I) đ c CM, d u b ng có khi và ch khi x=y=z= 3 0,25

L u ý: H c sinh làm theo cách khác đúng v n cho đi m t i đa