Chứng minh các tam giác RIP và JQS cĩ cùng trọng tâm.. Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ cĩ chung trọng tâm.. Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ cĩ cùng trọng tâm.. a Chứng minh b
Trang 1GIẢI TỐN VÉCTƠ VÀ ỨNG DỤNG VÀO HÌNH HỌC
ThS Trần Mạnh Hân Bài 1.Cho tứ giác ABCD
a) Hãy xác định vị trí của điểm G sao cho: GA GB GC GD 0 uuur uuur uuur uuur r+ + + =
(G đgl trọng tâm của tứ giác ABCD).
b) Chứng minh rằng với điểm O tuỳ ý, ta cĩ:
OG 1 OA OB OC OD
4
uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 2.Cho ∆ABC Hãy xác định các điểm I, F, K, L thoả các đẳng thức sau:
a) IA IB IC BC uur+ −uur uuur=
b) FA FB FC AB AC uur uuur uuur uuur uuur+ + = + c) 3KA KB KC uuur uuur uuur r+ + =0
d) 3uuuur LA−2LB LC uur uuur r+ =0
Bài 3.Cho hình bình hành ABCD cĩ tâm O Hãy xác định các điểm I, F, K thoả các đẳng thức sau:
a) IA IB IC uur uur uur+ + =4ID uur
b) 2FA uur+2FB uuur=3FC FD uuur uuur− c) 4KA uuur+3KB uuur+2KC KD uuur uuur r+ =0
Bài 4.Cho ∆ABC Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB
a) Chứng minh:
AA BB CC1+ 1+ 1=0
uuur uuur uuuur r
b) Đặt
BB1=u CC, 1=v
uuur r uuuur r
Tính BC CA AB uuur uur uuur, ,
theo u và v r r
Bài 5.Cho ∆ABC cĩ trọng tâm G Gọi H là điểm đối xứng của G qua B
a) Chứng minh: HA uuur−5HB HC uuur uuur r+ =0
b) Đặt uuur AG a AH b= r,uuur= r
Tính uuur uuur AB AC,
theo a và b r r
Bài 6.Cho hình bình hành ABCD Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho:
BH 1BC BK, 1BD
uuur uuur uuur uuur
Chứng minh: A, K, H thẳng hàng
Bài 7.Cho ∆ABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi: IB uur=2IC uur
,
JC 1JA
2
= −
uur uur
, KA uuur= −KB uuur
a) Tính IJ IK theo AB và AC uur uur, uuur uuur
(HD:
IJ AB 4AC
3
uur uuur uuur
)
b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J là trọng tâm ∆AIB)
Bài 8.Cho tam giác ABC Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MB uuur=3uuur MC
, NA uuur=3CN uuur
, PA PB 0 uur uuur r+ =
Trang 2
a) Tính PM PN uuur uuur,
theo uuur uuur AB AC,
b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng
Bài 9.Cho hình bình hành ABCD Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao cho AD
=
1
2
AF, AB =
1 2
AE Chứng minh:
a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng
b) Các tứ giác BDCF, DBEC là hình bình hành
Bài 10. Cho ∆ABC Hai điểm I, J được xác định bởi: IA uur+3IC uur r=0
,
JA+2JB+3JC=0
uur uur uur r
Chứng minh 3 điểm I, J, B thẳng hàng
Bài 11. Cho ∆ABC Hai điểm M, N được xác định bởi: 3MA uuur+4MB uuur r=0
, uuur NB−3uuur r NC=0
Chứng minh 3 điểm M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm của ∆ABC
Bài 12. Cho ∆ABC Lấy các điểm M N, P: uuur MB−2MC NA uuur uuur= +2NC PA PB uuur uur uuur r= + =0
a) Tính PM PN theo AB và AC uuur uuur, uuur uuur
b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng
Bài 13. Cho ∆ABC Về phía ngồi tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh các tam giác RIP và JQS cĩ cùng trọng tâm
Bài 14. Cho tam giác ABC, A′ là điểm đối xứng của A qua B, B′ là điểm đối xứng của B qua C, C′ là điểm đối xứng của C qua A Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ cĩ chung trọng tâm
Bài 15. Cho ∆ABC Gọi A′, B′, C′ là các điểm định bởi: 2A B uuur′ +3uuur r A C′ =0
,
B C B A
2uuur′ +3uuur r′ =0
, 2C A uuur′ +3C B uuur r′ =0
Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ cĩ cùng trọng tâm
Bài 16. Trên các cạnh AB, BC, CA của ∆ABC lấy các điểm A′, B′, C′ sao cho:
AA BB CC
AB BC AC
′ = ′= ′
Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ cĩ chung trọng tâm
Bài 17. Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý Gọi A′, B′, C′ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB
a) Chứng minh ba đường thẳng AA′, BB′, CC′ đồng qui tại một điểm N
b) Chứng minh rằng khi M di động, đường thẳng MN luơn đi qua trọng tâm G của ∆ABC
Bài 18. Cho tam giác ABC Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho
BD DE EC= =
uuur uuur uuur
a) Chứng minh uuur uuur uuur uuur AB AC AD AE+ = +
b) Tính AS AB AD AC AE theo AI uur uuur uuur uuur uuur= + + + uur
Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng
Trang 3Bài 19. Cho tam giác ABC Các điểm M, N được xác định bởi các hệ thức
BM BC= −2AB
uuur uuur uuur
, CN x AC BC uuur= uuur uuur−
a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng.
b) Xác định x để đường thẳng MN đi trung điểm I của BC Tính
IM IN
Bài 20. Cho ba điểm cố định A, B, C và ba số thực a, b, c sao cho a b c 0+ + ≠
a) Chứng minh rằng cĩ một và chỉ một điểm G thoả mãn aGA bGB cGC 0 uuur+ uuur+ uuur r=
b) Gọi M, P là hai điểm di động sao cho MP aMA bMB cMC uuur= uuur+ uuur+ uuur
Chứng minh ba điểm G,
M, P thẳng hàng
Bài 21. Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn uuuur MN =2MA MB MC uuur uuur uuur− +
a) Tìm điểm I sao cho 2IA IB IC uur uur uur r− + =0
b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luơn đi qua một điểm cố định
c) Gọi P là trung điểm của BN Chứng minh đường thẳng MP luơn đi qua một điểm cố định
Bài 22. Cho ∆ABC
a) Xác định điểm I sao cho: 3IA uur−2IB IC uur uur r+ =0
b) Chứng minh rằng đường thẳng nối 2 điểm M, N xác định bởi hệ thức:
MN =2MA−2MB MC+
uuuur uuur uuur uuur
luơn đi qua một điểm cố định
c) Tìm tập hợp các điểm H sao cho: 3HA uuur−2HB HC uuur uuur+ = HA HB uuur uuur−
d) Tìm tập hợp các điểm K sao cho: 2 KA KB KC uuur uuur uuur+ + =3KB KC uuur uuur+
Bài 23. Cho ∆ABC
a) Xác định điểm I sao cho: IA uur+3IB uur−2IC uur r=0
b) Xác định điểm D sao cho: 3DB uuur−2DC uuur r=0
c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng
d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA uuur+3MB uuur−2MC uuur = 2MA MB MC uuur uuur uuur− −
Bài 24. Cho tam giác ABC, gọi I là điểm định bởi 3IA IBuur uur- +2ICuur = 0r
Xác định giao điểm của IA với BC; IB với CA; IC với AB
Trang 4Bài 25. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường trịn tâm O Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và D là điểm đối tâm của A
a) Chứng minh tứ giác HBDC là hình bình hành
b) Chứng minh HA HBuuur uuur+ +HCuuur =2HOuuur
và OA OB OCuuur uuur uuur+ + =OHuuur
c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh OHuuur =3OGuuur
Suy ra O, H, G thẳng hàng
Bài 26. Cho tam giác ABC cĩ ba trung tuyến AA’, BB’, CC’ gặp nhau tại G Từ điểm M bất kì vẽ vectơ MPuuur
sao cho: MPuuur =MA MBuuur+uuur+MCuuur
a) Cho biết cách vẽ điểm P khi đã biết điểm M
b) Chứng minh rằng nếu M ở tâm O của đường trịn ngoại tiếp tam giác, thì P ở tại trực tâm H của tam giác ABC Chứng minh OHuuur =OA OB OCuuur uuur uuur+ +
, AHuuur =2OAuuur'
và 3
OHuuur = OGuuur
c) Chứng minh rằng nếu P ở tại tâm O thì M ở tại trung điểm OH
Bài 27. Cho tam giác ABC Trên các cạnh AB và AC lấy hai điểm M và N sao cho
MA =pMB
, NA=qNC
Hai đường thẳng CM và BN cắt nhau tại I Chứng minh rằng
AIuur =pIBuur+qICuur
Bài 28. Cho tam giác ABC và I là tâm đường trịn nội tiếp tam giác đĩ Giả sử a b c, ,
là
độ dài các cạnh Chứng minh rằng: aIAuur+bIBuur+cICuur =0r
Bài 29. Cho tam giác ABC cĩ cạnh BC =a CA, =b AB, =c
Đường trịn nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh BC CA AB, ,
lần lượt tại D, E, F Chứng minh các đường thẳng AD,
BE, CF đồng quy tại J và thỏa mãn hệ thức:
1 J A 1 J B 1 J C 0
p a- +p b- +p c- =
Bài 30. Cho tam giác ABC và M, N, P lần lượt trên BC, CA, AB Giả sử AM, BN, CP đồng quy tại I Gọi
, , , , ,
IBC ICA IAB
lần lượt là diện tích và khoảng cách từ I đến các cạnh BC, CA, AB
a) Chứng minh rằng
0
S IAuur+S IBuur+S ICuur =r
và xIAuur+yIBuur+zICuur =0r
b) Gọi a b c, ,
là độ dài 3 cạnh, O là tâm và R là bán kính của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh:
4R - a OA.uuur+ 4R - b OB.uuur+ 4R - c OC.uuur =0r
(24/11/2013)