Huy động kiến thức trong dạy học lượng giác

Huy động kiến thức trong dạy học lượng giác

MỤC LỤC

Trang

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 6

1.1 Hoạt động của giáo viên và các thành tố cơ sở 6của phương pháp dạy học

1.1.2 Các thành tố cơ sở của phương pháp dạy học 10

Chương 2 NHỮNG VẤN ĐỀ CẦN QUAN TÂM ĐỐI VỚI

VIỆC THIẾT KẾ VÀ TẬP LUYỆN CHO HỌC SINH HUY

ĐỘNG CÁC KIẾN THỨC TRUNG GIAN TRONG DẠY

HỌC GIẢI BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC

42

2.2 Quan tâm các thao tác trí tuệ khi giải toán 48

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 84

KẾT LUẬN 91

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1 Nghị quyết hội nghị lần thứ 2 Ban chấp hành Trung ương Đảng

Cộng sản Việt Nam (Khoá VIII, 1997) khẳng định: “ Phải đổi mớiphương pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rènluyện thành nếp tư duy sáng tạo cho người học ”

Luật Giáo dục nước Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam (năm1998) quy định: “ Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tínhtích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểmcủa từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹnăng vận dụng kiến thức vào thực tiễn ”

1.2 Nhận định về phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông

trong giai đoạn hiện nay, các nhà toán học Hoàng Tụy và Nguyễn CảnhToàn viết: “ Kiến thức, tư duy, tính cách con người chính là mục tiêucủa giáo dục Thế nhưng, hiện nay trong nhà trường tư duy và tính cách

bị chìm đi trong kiến thức ” “…Cách dạy học phổ biến hiện nay cònnặng về thầy giảng, trò nghe, ghi chép chẳng giúp ích gì mấy để pháttriển năng lực cá nhân mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệtmỏi ” (dẫn theo [32])

1.3 Các kiến thức Lượng giác được trình bày trong sách giáo khoa

Toán phổ thông tuy không nhiều lắm, nhưng có thể nói, nó đóng một vaitrò rất quan trọng trong các bài toán lượng giác Hầu hết các bài toánlượng giác khi giải cần phải biến đổi lượng giác Chẳng hạn, giải

phương trình lượng giác tức là biến đổi về dạng phương trình quenthuộc; khi chứng minh đẳng thức lượng giác phải sử dụng công thứcbiến đổi để biến đổi vế này thành vế kia hoặc biến đổi theo qua lượngtrung gian, ; chứng minh bất đẳng thức chính là sự kết hợp biến đổilượng giác và bất đẳng thức Nhiều bài toán tính đạo hàm, tích phâncũng cần phải biến đổi lượng giác mới tính được Hơn nữa, lượng giác

có thể là công cụ để giải các bài tập khác có trong chương trình Tuynhiên, hiện nay nói chung, học sinh còn chưa linh hoạt trong biến đổilượng giác, vì vậy kỹ năng Toán lượng giác còn chưa tốt

1.4 Nhà toán học G.Polya và nhiều công trình nghiên cứu đã khẳng

định sự cần thiết của hoạt động của người thầy: “ Nếu người thầy khêu

gợi được tính tò mò của học sinh bằng cách đưa ra cho học sinh những bài tập hợp trình độ, giúp họ giải các bài toán bằng cách đặt ra câu hỏi gợi ý, thì người thầy có thể mang lại cho họ các hứng thú của sự suy nghĩ độc lập và những phương tiện để đạt được kết quả” [25, tr 6] Tuynhiên, trong thực tế dạy học, thường chỉ nặng về các hoạt động của thầy

mà chưa chú trọng đúng mức đến các hoạt động của học sinh trong quátrình tìm tòi lời giải bài tập Toán

Các tác giả trong nước như: Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, đãbàn đến hoạt động điều khiển của thầy để giúp học sinh giải quyết cácvấn đề toán học Tuy nhiên, do tính khái quát trong cách trình bày, nêncác tài liệu chưa có dịp đi sâu xem xét hoạt động điều khiển của thầy thểhiện ở việc thiết kế và huy động các kiến thức trung gian nhằm giúp họcsinh giải quyết các vấn đề toán học

Đã có một số công trình nghiên cứu liên quan ít nhiều đến hoạt độngđiều khiển của thầy, chẳng hạn Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học của

Nguyễn Xuân Đức (2004), Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học của Phạm SỹNam (2001), nhưng chưa có công trình nào nghiên cứu cách thức thiết

kế và huy động các kiến thức trung gian làm phương tiện giúp học sinhgiải quyết

Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn Đề tài nghiên cứu của Luận

văn là: “Thiết kế và huy động các kiến thức trung gian trong dạy học giải bài tập Lượng giác”.

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:

3.1 Hoạt động điều khiển của giáo viên được hiểu tường minh như

thế nào?

3.2 Các thành tố cơ sở của phương pháp dạy học theo quan điểm

hoạt động được vận dụng trong thực tiễn như thế nào?

3.3 Kiến thức trung gian là gì?

3.4 Dự đoán là gì? Huy động là gì? Liên tưởng là gì? Vai trò của

chúng trong dạy học giải bài toán

3.5 Một số thao tác trí tuệ cần lưu ý.

3.6 Mối liên hệ giữa các bài toán.

4 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Trong dạy học Toán nói chung, dạy học giải bài tập Lượng giác nói

riêng, nếu quan tâm đúng mức đến việc thiết kế các kiến thức trung gian

và tập luyện cho học sinh biết huy động các kiến thức đó, thì sẽ nâng cao

được năng lực giải Toán cho học sinh

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

5.1 Nghiên cứu lý luận: Tìm tòi, nghiên cứu các tài liệu về các vấn

đề có liên quan đến đề tài luận văn

5.2 Quan sát điều tra: Thực trạng về thiết kế và huy động các kiến

thức trung gian trong dạy học giải bài tập Lượng giác

5.3 Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem

xét tính khả thi và hiệu quả của những vấn đề đã đề xuất

6 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Luận văn, ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, có 3chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Hoạt động của giáo viên và các thành tố cơ sở của phương phápdạy học

1.1.1 Hoạt động của giáo viên

1.1.2 Các thành tố cơ sở của phương pháp dạy học

1.2 Kiến thức trung gian

1.2.1 Bài toán

1.2.2 Chức năng của bài tập toán

1.2.3 Huy động và liên tưởng

1.3 Kết luận chương 1

Chương 2: Những vấn đề cần quan tâm đối với việc thiết kế và tập luyện cho học sinh huy động các kiến thức trung gian trong dạy học giải bài tập Lượng giác

2.1 Coi trọng vai trò của dự đoán

2.2 Quan tâm các thao tác trí tuệ khi giải toán.2.3 Chú ý phát triển bài toán.

2.4 Kết luận chương 2

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

3.1 Mục đích thực nghiệm

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Hoạt động của giáo viên và các thành tố cơ sở của phương pháp dạy học

1.1.1 Hoạt động của giáo viên

Ta biết rằng việc phát huy tính tích cực hoạt động của học sinh đãđược đặt ra trong ngành giáo dục từ những năm 1960, phương châm:

“Biến quá trình đào tạo thành quá trình tự đào tạo” đã được phát động.Trong công cuộc cải cách giáo dục lần thứ 2 (1980), việc phát huy tínhtích cực hoạt động của học sinh lại được nêu ra nhằm đào tạo nhữngngười lao động sáng tạo, làm chủ đất nước

Thế nhưng, cho đến nay sự chuyển biến về phương pháp dạy học ởtrường phổ thông vẫn chưa được cải thiện nhiều, phổ biến vẫn là cáchdạy “thông báo - đồng loạt” Cách dạy như vậy đã dẫn đến cách học phổbiến ở học sinh là thụ động tiếp thu, thiên về ghi nhớ, ít chịu suy nghĩ,

do đó khả năng tư duy và sáng tạo còn hạn chế Hiệu quả giáo dục do đócòn thấp, sản phẩm giáo dục do nhà trường đào tạo ra nói chung cònchưa đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hoá - hiện đạihoá đất nước

Hiện nay và trong tương lai, xã hội loài người đang và sẽ phát triển

tới mô hình “xã hội có sự thống trị của kiến thức” dưới sự tác động của

sự bùng nổ về khoa học và công nghệ cùng nhiều yếu tố khác Để có thểtồn tại và phát triển trong một xã hội như vậy, con người phải học tập

suốt đời, thời gian học ở nhà trường thì có hạn mà kiến thức cần có dù làtối thiểu, lại tăng lên không ngừng Do đó, việc hình thành và phát triểnthói quen, khả năng và phương pháp tự học, tự phát hiện, tự giải quyếtvấn đề, tự ứng dụng lại kiến thức và kỹ năng đã tích luỹ vào các tìnhhuống mới ở mỗi cá nhân có ý nghĩa đặc biệt quan trọng Thói quen, khảnăng, phương pháp nói trên phải được rèn luyện và hình thành ngay từtrên ghế nhà trường.

Trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết, bộ môn tâm lý học đã chỉ ra: Hoạtđộng là quy luật chung nhất của tâm lý học Nó là phương thức tồn tạicủa chủ thể Hoạt động sinh ra từ nhu cầu nhưng lại được điều chỉnh bởimục tiêu mà chủ thể nhận thức được, theo L.X.Vưgốtxky, hoạt động có

Như vậy, hoạt động là hệ toàn vẹn gồm hai thành phần cơ bản: chủthể và đối tượng, chúng có tác động lẫn nhau, thâm nhập vào nhau vàsinh thành ra nhau tạo ra sự phát triển của hoạt động Hoạt động học làyếu tố quan trọng và có tính chất quyết định Khác với quá trình nhậnthức trong nghiên cứu khoa học, quá trình nhận thức trong học tậpkhông nhằm phát hiện những điều loài người chưa biết mà là lĩnh hộimột phần tri thức mà loài người đã tích luỹ được Tuy nhiên, trong họctập học sinh cũng phải “khám phá” ra những hiểu biết mới đối với bảnthân Học sinh sẽ thông hiểu, ghi nhớ những gì đã nắm được qua hoạt

động chủ động, nỗ lực của chính mình Đó là chưa nói, lên tới một trình

độ nhất định, sự học tập tích cực sẽ mang tính nghiên cứu khoa học vàngười học cũng làm ra những tri thức mới cho khoa học Hoạt động làmắt xích, là điều kiện hình thành nên mối liên hệ hữu cơ giữa mục đích,nội dung và phương pháp dạy học

Trong công tác giáo dục theo hướng hoạt động hoá người học, giáoviên không còn đơn thuần đóng vai trò là người truyền đạt tri thức, giáoviên trở thành người thiết kế, tổ chức, hướng dẫn cho học sinh tiến hànhhoạt động, tự lực chiếm lĩnh nội dung hoạt động, chủ động đạt các mụctiêu kiến thức, kỹ năng, thái độ theo yêu cầu của chương trình Trên lớp,học sinh hoạt động là chính, giáo viên có vẻ nhàn nhã hơn, nhưng trước

đó, khi soạn giáo án, giáo viên đã phải đầu tư công sức, thời gian để cóthể thực hiện tốt mục đích giảng dạy với vai trò là người gợi mở, xúc tácđộng viên, cố vấn, kích thích học sinh tham gia hoạt động tư duy tíchcực

Theo Nguyễn Bá Kim: “Phương pháp học tập đổi mới coi học sinh

là trung tâm của quá trình dạy học; sự xác lập vị trí chủ thể của người học không hề làm suy giảm mà ngược lại còn nâng cao vai trò, trách nhiệm của người thầy vì người thầy đóng vai trò chủ đạo, hướng dẫn, điều khiển quá trình hoạt động của học sinh” [20, tr 131].

Mặt khác ta nhận thấy rằng, tuy vai trò của người thầy không giảmnhưng tính chất của vai trò này đã thay đổi: Thầy không phải là ngườiphát tin duy nhất, thầy không phải là người ra lệnh một cách khiêncưỡng, thầy không phải là người hoạt động chủ yếu Vai trò, trách nhiệmcủa thầy bây giờ là ở chổ khác, quan trọng hơn, nặng nề hơn, nhưng tếnhị hơn, cụ thể là:

* Thiết kế là lập kế hoạch, chuẩn bị quá trình dạy học về mặt mụctiêu, nội dung, phương pháp, phương tiện và hình thức tổ chức;

* Ủy thác là biến ý đồ dạy của thầy thành nhiệm vụ học tập tự giác,

tự nguyện của trò, là chuyển giao cho trò không phải những tri thức dướidạng có sẵn mà là những tình huống để trò hoạt động và thích nghi;

* Điều khiến, kể cả điều khiển về mặt tâm lí, bao gồm sự động viên,hướng dẫn trợ giúp và đánh giá;

* Thể chế hoá là xác nhận tính đúng đắn những tri thức mà học sinhmới phát hiện, đồng nhất hóa những kiến thức riêng lẻ mang màu sắc cáthể, phụ thuộc hoàn cảnh và thời gian của từng học sinh thành tri thứckhoa học của xã hội, tuân thủ chương trình về mức độ yêu cầu, cách thứcdiễn đạt và định vị tri thức mới trong hệ thống tri thức đã có, hướng dẫnvận dụng và ghi nhớ hoặc giải phóng khỏi trí nhớ nếu không cần thiết.Thầy và trò cùng hoạt động nhưng những hoạt động này có nhữngchức năng rất khác nhau Hoạt động của thầy là thiết kế, điều khiển.Hoạt động của trò là hoạt động học tập tự giác và tích cực Con ngườiphát triển trong hoạt động Học tập diễn ra trong hoạt động Do đó, sựthống nhất giữa hoạt động điều khiển của thầy và hoạt động của trò cóthể được thực hiện bằng cách quán triệt quan điểm hoạt động, thực hiệndạy học Toán trong hoạt động và bằng hoạt động Tinh thần cơ bản củacách làm này là thầy thiết kế và điều khiển sao cho trò thực hiện và tậpluyện những hoạt động tương thích với nội dung và mục đích dạy họctrong điều kiện chủ thể được gợi động cơ, có hướng đích, có ý thức vềphương pháp tiến hành và có trải nghiệm thành công Điều đó cũng cótác dụng thực hiện sự thống nhất giữa tính vững chắc của tri thức, kỹnăng, kỹ xảo với tính mềm dẻo của tư duy

Trên đây là một số vấn đề cần được coi trọng và thực hiện đúngmức, nhằm phát huy tính tích cực của người học, cải tiến dần dần đểnâng cao chất lượng giáo dục phổ thông trong nhà trường hiện nay.

1.1.2 Các thành tố cơ sở của phương pháp dạy học

a Tập luyện cho học sinh phát hiện các hoạt động và các hoạt động

thành phần tương thích với mục đích và nội dung dạy học

Một hoạt động gọi là tương thích với nội dung nếu nó góp phần đemlại hiệu quả giúp chủ thể chiếm lĩnh hoặc vận dụng nội dung chung đó.Tức là có sự biến đổi, phát hiện bên trong chủ thể, đó là những tri thứcđược kiến tạo, những kỹ năng được rèn luyện, là sự trưởng thành củachủ thể trong quá trình hoạt động

Việc phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung căn cứmột phần quan trọng vào sự hiểu biết vào những hoạt động nhằm lĩnhhội những nội dung khác nhau: khái niệm, định lý, hay là tri thứcphương pháp, về những con đường khác nhau để lĩnh hội từng nội dung

Ví dụ: Con đường quy nạp hay suy diễn để xây dựng khái niệm, con

đường thuần tuý suy diễn hay có pha suy đoán để học tập định lý

Trong việc phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung, tacần chú ý xem xét những dạng hoạt động khác nhau trên những bìnhdiện khác nhau, như:

- Hoạt động trí tuệ: Ta đã biết rằng cung α và −α là các cung đốinhau Vậy cosα và cos(−α), sinα và sin(−α ), tgα và tg(−α ), cotgα vàcotg(−α ) có đối nhau không? Nếu không thì mối quan hệ giữa chúngnhư thế nào? Vận dụng kiến thức về giá trị lượng giác của cung α đểtìm mối quan hệ đó?

- Hoạt động nhận dạng và thể hiện: So sánh cos45 0 và cos(− 45 0);cos33 0 và cos327o; tính tg(− 60 0)

- Hoạt động phức hợp: cosx = cosy và x = y có tương đương vớinhau không? vì sao?

Cho cosα = 1, tìmα .

- Hoạt động ngôn ngữ: Hai đẳng thức sau có tương đương với nhaukhông:

sinx = sin(-y) và sinx + siny = 0

b Truyền thụ tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp, như là

phương tiện và kết qủa của hoạt động

Phương pháp dạy học tích cực xem việc rèn luyện phương pháp họctập cho học sinh không chỉ là một biện pháp để nâng cao hiệu quả dạyhọc, mà còn là một mục tiêu dạy học Từ lâu, các nhà sư phạm đã đề caotầm quan trọng của việc rèn luyện tri thức phương pháp như Distecwerg

đã viết: “Người thầy giáo tồi truyền đạt chân lý, người thầy giáo giỏi dạy

cách tìm ra chân lý”.

Như vậy, nắm vững tri thức phương pháp là cách hữu hiệu để họcsinh rèn luyện năng lực học tập tốt, có khả năng phát hiện kịp thời vàgiải quyết hợp lý những vấn đề nảy sinh trong thực tiễn và khơi dậyđược tiềm năng vốn có trong mọi người

Tri thức vừa là điều kiện, vừa là kết quả hoạt động Vì vậy, tronghoạt động dạy học cần quan tâm cả những tri thức cần thiết lẫn tri thứcđạt được trong quá trình hoạt động, cần chú ý đến các dạng khác nhau củatri thức, đó là:

Tri thức sự vật: Tri thức chỉ rõ bản chất sự vật hiện tượng giúpngười ta phân biệt sự vật này và sự vật khác Tri thức sự vật trong mônToán thường là một khái niệm, một định lý, cũng có khi là một yếu tốlịch sử

Tri thức phương pháp: Tri thức giúp người ta chiếm lĩnh sự vật gọi

là tri thức phương pháp (các thao tác tư duy, đặc biệt hóa, khái quát hóa,tương tự, phương pháp tìm lời giải bài toán, cách phân tích tìm lời giảibài toán)

Tri thức chuẩn thường liên quan đến những chuẩn mực nhất địnhthường có tính chất quy ước, chẳng hạn trình bày giả thiết, kết luận củamột chứng minh như thế nào, sắp xếp các dòng biến đổi đồng nhất rasao

Tri thức giá trị có nội dung là những mệnh đề đánh giá, chẳng hạn:

“Toán học có vai trò quan trọng trong khoa học kỹ thuật cũng như trong

đời sống”, “Thực tiễn là nền tảng của nhận thức, là tiêu chuẩn của chân lý”, “Khái quát hóa là một thao tác trí tuệ cần thiết cho mọi người”.

Trong dạy học Toán, người thầy cần coi trọng đúng mức các dạngtri thức khác nhau, tạo cơ sở cho việc giáo dục toàn diện Đặc biệt trithức giá trị liên hệ mật thiết với việc giáo dục tư tưởng chính trị và thếgiới quan, tri thức phương pháp ảnh hưởng trực tiếp đến việc rèn luyện

kỹ năng, là cơ sở định hướng trực tiếp cho hoạt động

Có 3 cấp độ về truyền thụ tri thức phương pháp, đó là:

* Truyền thụ cho học sinh một cách tường minh các tri thức phươngpháp được quy định trong chương trình.

* Thông báo tri thức trong quá trình tiến hành một hoạt động

* Tập luyện cho học sinh các hoạt động tương thích với các tri thứcphương pháp Đặc biệt là các tri thức phương pháp không có trong nộidung sách giáo khoa (các phương pháp tìm lời giải)

Những nguyên tắc cơ bản chỉ đạo hoạt động dạy học:

* Bắt đầu từ một nội dung dạy học, ta cần phát hiện ra những hoạtđộng liên hệ với nó, rồi căn cứ vào mục đích dạy học mà lựa chọn để tậpluyện cho học sinh một số trong những hoạt động đã phát hiện được.Việc phân tích một hoạt động thành những hoạt động thành phần giúp ta

tổ chức cho học sinh tiến hành những hoạt động với mức độ vừa sức với

họ, và đây là tư tưởng chủ đạo để đi đến xu hướng cho học sinh thựchiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động thành phần tương thíchvới mục đích và nội dung dạy học

* Sau mỗi quá trình học tập, người học sinh không chỉ đơn thuầnthu được những tri thức khoa học mà còn phải nắm được phương pháp

dự đoán, phương pháp giải quyết, phương pháp nghiên cứu, Đó chính

là những tri thức phương pháp - vừa là kết quả, vừa là phương tiện củahoạt động tạo cho học sinh một tiềm lực quan trọng để hoạt động

* Hoạt động thúc đẩy sự phát triển là hoạt động mà chủ thể thựchiện một cách tích cực và tự giác Vì thế, cần gắn liền với gợi động cơ

để học sinh ý thức rõ ràng vì sao thực hiện hoạt động này hay hoạt độngkhác Chính vì vậy, xu hướng tạo động cơ được đưa vào quan điểm hoạtđộng trong phương pháp dạy học và trở thành một trong những xu

hướng hoạt động có ý nghĩa đặc biệt quan trọng để học sinh tiếp tục hoạtđộng.

* Trong hoạt động, kết quả rèn luyện ở một mức độ nào đó có thể làtiền đề để tập luyện và đạt kết quả cao hơn trong các hoạt động tiếp theo

Do đó, cần phân bậc hoạt động theo những mức độ khác nhau làm cơ sởcho việc chỉ đạo, điều khiển quá trình dạy học

Những tư tưởng chủ đạo này giúp giáo viên điều khiển quá trình họctập của học sinh Muốn điều khiển giáo viên phải đo những đại lượng ra,

so sánh với mẫu yêu cầu và khi cần thiết thì phải có sự điều chỉnh Trongdạy học, việc đo và so sánh này phải căn cứ vào những hoạt động củahọc sinh Việc điều chỉnh được thực hiện nhờ tri thức, trong đó có trithức phương pháp và được dựa vào sự phân bậc hoạt động

Những tư tưởng chủ đạo này phân ranh giới rõ ràng với quan điểmthực dụng phiến diện, chỉ quan tâm tới những hành động thụ động máymóc Khác với quan điểm đó, ở đây ta chú ý tới mục đích, động cơ, đếntri thức phương pháp, đến trải nghiệm thành công Nhờ đó đảm bảođược tính tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh, những yếu

tố không thể thiếu của sự phát triển nói chung và của hoạt động học tậpnói riêng

Những tư tưởng chủ đạo trên cũng thể hiện tính toàn diện của mụcđích dạy học Việc kiến tạo một tri thức, rèn luyện một kỹ năng, hình thànhmột thái độ cũng là nhằm giúp học sinh hoạt động trong học tập cũng nhưtrong đời sống Như vậy, những mục đích thành phần được thống nhấttrong hoạt động, điều này thể hiện mối liên hệ hữu cơ giữa chúng với nhau.Tri thức, kỹ năng, thái độ một mặt là điều kiện và mặt khác là đối tượngbiến đổi của hoạt động Hướng vào hoạt động theo các tư tưởng chủ đạo

trên không hề làm phiến diện mục đích dạy học mà trái lại, còn đảm bảotính toàn diện của mục đích đó.

Những tư tưởng chủ đạo trên hướng vào việc tập luyện cho học sinhnhững hoạt động và hoạt động thành phần, gợi động cơ hoạt động, xâydựng tri thức mà đặc biệt là tri thức phương pháp, phân bậc hoạt động nhưnhững thành tố cơ sở của phương pháp dạy học, đó là:

Mức độ hay yêu cầu của hoạt động có thể là dài lâu (một lớp, mộtchương, một bài), ở đây ta chỉ xét trong phạm vi ngắn là một tiết dạy.Việc phân bậc càng cụ thể, chi tiết, tránh được sự chung chung mơ hồ thìchất lượng của hoạt động càng cao Vì vậy, giáo viên phải nắm vững cáccăn cứ khi phân bậc hoạt động

- Sự phức tạp của đối tượng hoạt động, tức là nội dung kiến thứcToán học cần truyền thụ cho học sinh

Ví dụ:

* Sự phức tạp thể hiện ở một số yếu tố Toán học (biến số, thamsố, ) Với công thức sina + sinb, khi tập luyện cho học sinh công thứcnày có thể phân bậc dựa vào sự phức tạp của biểu thức biểu thị đối số

của sin Chẳng hạn: tính sin5x+27y + sin7 5

2

x+ y là hoạt động ở bậc cao

hơn so với tính sinx + siny

* Sự phức tạp thể hiện ở sự trừu tượng, khái quát của đối tượng

Chẳng hạn: khi học về công thức cos(π α+ ) = -cosα , ta có thể phân bậchoạt động căn cứ vào mức độ trừu tượng, khái quát tăng dần của đốitượng như sau:

Tính cos100 + cos1000

Tính cos100 + cos200 + cos300 + + cos1800

- Sự phức tạp thể hiện ở độ phức hợp nội dung

Ví dụ: Tính: A = cos200cos400cos800

B = sin60sin420sin660sin780 Ngoài ra việc phân bậc còn thể hiện ở việc rèn luyện các thao tác tưduy cơ bản từ thấp đến cao: Phân tích, so sánh, tổng quát, tuỳ theomức độ lĩnh hội của học sinh: Tìm hiểu, tái hiện, vận dụng, sáng

tạo, Ví dụ: Ta có thể phân bậc hoạt động chứng minh theo ba mức độ:

Hiểu được chứng minh, nhắc lại được chứng minh và độc lập chứngminh

Như vậy, sự phân bậc hoạt động có thể làm căn cứ vào một phươngdiện tách biệt Đương nhiên cũng có thể phối hợp đồng thời nhiềuphương diện khác nhau làm căn cứ, phù hợp yêu cầu bài dạy và trình độhọc sinh

d Gợi động cơ hoạt động trong dạy học Toán

d 1 Thế nào là gợi động cơ hoạt động?

+ Động cơ là gì?

Về phương diện Triết học và Tâm lý học, người ta quan niệm: Hoạtđộng là phương thức tồn tại của con người trong thế giới, là mối quan hệtác động qua lại giữa con người (chủ thể) và thế giới (khách thể) để tạo rasản phẩm cả về phía con người và thế giới Trong mối quan hệ đó, có haiquá trình diễn ra đồng thời và bổ sung, thống nhất với nhau là quá trình đốitượng hóa chủ thể và quá trình chủ thể hóa đối tượng Như vậy là tronghoạt động, con người vừa tạo ra sản phẩm về phía thế giới, vừa tạo ra sảnphẩm tâm lý về phía mình Hay nói khác đi, tâm lý, ý thức, nhân cách đượcbộc lộ và hình thành trong hoạt động.

Hoạt động bao giờ cũng là hoạt động “có đối tượng”, đối tượng làcái con người cần làm ra, cần chiếm lĩnh và đó chính là động cơ Vậy,hoạt động luôn luôn hướng vào động cơ (nằm trong đối tượng), đó làmục đích chung Động cơ luôn thúc đẩy con người hoạt động nhằm tácđộng vào khách thể để thay đổi nó biến thành sản phẩm hoặc tiếp nhận

nó chuyển vào đầu óc của mình, tạo nên một cấu tạo tâm lý mới, mộtnăng lực mới Có thể nói, không có hoạt động nào mà không có động cơ.Động cơ là sản phẩm vốn có của con người thể hiện qua sự khaokhát tìm hiểu tri thức khoa học, tìm hiểu thế giới xung quanh, động cơ

đó còn là vốn tri thức nhân loại, là vốn tri thức phương pháp mà ngườihọc sinh có thể nắm vững được để từ đó tạo cho mình một phương tiện

để tiến hành các hoạt động tư duy khác Ngoài ra, động cơ còn là nhữngcái từ bên ngoài mà thông qua hoạt động học tập mới chiếm lĩnh được

nó, có thể gọi đó là những động cơ xã hội như: Học sinh học tập tốt đểđạt điểm tốt, được bạn bè nể trọng, hay lên lớp trên học tốt là để vào đạihọc,.…

Có thể nói, tính tích cực của nhận thức được đặc trưng bởi khátvọng hiểu biết, sự cố gắng của trí tuệ và nghị lực cao trong quá trìnhchiếm lĩnh tri thức, có liên quan trước hết với động cơ học tập Động cơtạo ra hứng thú, hứng thú là tiền đề của tự giác Hứng thú và tự giác làhai yếu tố tâm lý tạo nên tính tích cực Tính tích cực sản sinh nếp tư duyđộc lập, suy nghĩ độc lập là mầm mống của sáng tạo Ngược lại, phongcách học tập tích cực, độc lập, sáng tạo sẽ phát triển tự giác, hứng thú,bồi dưỡng động cơ học tập.

Để nâng cao chất lượng giáo dục thì vấn đề quan trọng là phải pháthuy được tính tích cực, tự giác học tập của học sinh Để làm được điều đó,không những đòi hỏi học sinh phải có ý thức về những mục đích cần đạtđược, mà phải tạo ra động lực bên trong thúc đẩy bản thân họ hoạt động đểđạt được những mục đích đó Đó chính là mục tiêu của gợi động cơ

+ Vậy gợi động cơ là gì?

Quan điểm của việc đổi mới phương pháp dạy học trong Giáo dụcnước ta là sự chuyển hóa từ dạy học lấy giáo viên làm trung tâm sang dạyhọc lấy học sinh làm trung tâm Do đó, để nâng cao được hiệu quả giáodục thì một vấn đề đặt ra là phải phát huy được tính tích cực, tự giác, chủđộng, sáng tạo của học sinh Thực tế cho thấy rằng, dù người thầy giáo có

cố gắng đến đâu nhưng nếu người học sinh không tích cực chủ động cảibiến chính mình về kiến thức, kỹ năng, thái độ, hoàn thiện nhân cách thìhiệu quả giáo dục rất hạn chế Do đó, việc phát huy tối đa sức sáng tạo,khả năng tư duy, mong muốn chiếm lĩnh tri thức ở người học sinh là việc

mà người giáo viên bằng khả năng sư phạm của mình phải thực hiện chotốt Đó cũng chính là nội dung của dạy học bằng phương pháp gợi độngcơ

Vậy, gợi động cơ là tạo cho học sinh say mê, hứng thú, tích cực tìm

tòi, khám phá, tiến hành những hoạt động để đi đến mục đích ấy Nóicách khác, gợi động cơ là làm cho học sinh có ý thức về ý nghĩa củanhững hoạt động và của đối tượng hoạt động Gợi động cơ tạo ra ởngười học sinh một ham muốn để tìm ra con đường đi tới đích Từ đó,khêu gợi trí tò mò khoa học, sự hứng thú khám phá cái mới Gợi động cơnhằm làm cho những mục đích sư phạm biến thành mục đích cá nhân,chứ không phải chỉ là sự vào bài, đặt vấn đề một cách hình thức Do đó,người giáo viên cần chỉ cho học sinh mục đích phải đến và tạo cho họcsinh sự say mê hứng thú, tự thấy mình có nhu cầu phải “khám phá” vàgiải quyết một mâu thuẫn nào đó nảy sinh Đó chính là nội dung chínhcủa gợi động cơ

Việc gợi động cơ không phải chỉ là việc làm ngắn ngủi lúc bắt đầu

bài học mà phải thường xuyên suốt quá trình dạy học Vì vậy, có thể

phân biệt gợi động cơ mở đầu, gợi động cơ trung gian và gợi động cơ

kết thúc.

d 2 Các cách thường dùng để gợi động cơ

+ Gợi động cơ mở đầu

Ta thường vận dụng gợi động cơ mở đầu khi bắt đầu một nội dung

có thể là một phân môn, một chương, một bài hoặc một phần nào đó củabài Gợi động cơ mở đầu có thể xuất phát từ thực tế hoặc từ nội bộ Toánhọc

Khi gợi động cơ xuất phát từ thực tế, có thể nêu lên:

- Thực tế gần gũi xung quanh học sinh;

- Thực tế xã hội rộng rãi (kinh tế, kỹ thuật, quốc phòng,…);

- Thực tế ở những môn học và khoa học khác;

Ta thường gợi động cơ xuất phát từ thực tế khi bắt đầu một nội dunglớn, chẳng hạn một phân môn hoặc một chương Việc xuất phát từ thực

tế giúp học sinh tri giác vấn đề dễ dàng hơn, bởi vì đó là những sự vật

mà học sinh tiếp xúc hàng ngày, cái mà học sinh đã quen thuộc Đồngthời qua đó cho học sinh thấy được sự liên hệ giữa thực tế và lý thuyết ởtrường Từ đó, làm cho bài học trở nên hấp dẫn hơn, cuốn hút hơn vàđồng thời tạo cho học sinh ý thức vận dụng lý thuyết đã học để áp dụngvào cải tạo thực tiễn

Như vậy, việc xuất phát từ thực tế không những có tác dụng gợiđộng cơ, mà còn góp phần hình thành thế giới quan duy vật biện chứng.Nhờ đó, học sinh nhận rõ việc nhận thức và cải tạo thế giới đã đòi hỏiphải suy nghĩ và giải quyết những vấn đề toán học như thế nào, tức lànhận rõ Toán học bắt nguồn từ những nhu cầu của đời sống thực tế Vìvậy, cần khai thác triệt để mọi khả năng để gợi động cơ xuất phát từ thực

tế, đương nhiên phải chú ý các điều kiện sau:

- Vấn đề đặt ra phải đảm bảo tính chân thực, đương nhiên có thểđơn giản hóa vì lí do sư phạm trong trường hợp cần thiết

- Việc nêu vấn đề không đòi hỏi quá nhiều kiến thức phụ, vì nếungược lại, làm cho học sinh phát tán tư tưởng và khó mà lĩnh hội nộidung trọng tâm trọn vẹn

- Con đường từ lúc nêu cho tới khi giải quyết vấn đề càng ngắn càngtốt

Tuy nhiên, Toán học phản ánh thực tế một cách toàn bộ và nhiềutầng, do đó không phải bất cứ nội dung nào, hoạt động nào cũng có thểgợi động cơ xuất phát từ thực tế Vì vậy, cần tận dụng cả khả năng gợiđộng cơ xuất phát từ nội bộ Toán học

Gợi động cơ từ nội bộ Toán học là nêu một vấn đề toán học xuấtphát từ nhu cầu toán học, từ việc xây dựng khoa học toán học, từ nhữngphương thức tư duy và hoạt động toán học Gợi động cơ theo cách nàycũng là cần thiết, vì hai lẽ:

Thứ nhất, việc gợi động cơ từ thực tế không phải bao giờ cũngthực hiện được

Thứ hai, nhờ gợi động cơ từ nội bộ Toán học, học sinh hình dungđược đúng sự hình thành và phát triển của Toán học cùng với đặc điểmcủa nó và có thể dần dần tiến tới hoạt động toán học một cách độc lập

Ta thường vận dụng gợi động cơ từ nội bộ Toán học khi bắt đầu mộtbài mới hoặc từng phần theo các cách thông thường là:

- Đáp ứng nhu cầu xóa bỏ một sự hạn chế

Ví dụ: Mở rộng miền góc có số đo a0 với 00 ≤ a0 ≤ 3600 thành miềngóc a0 với a thuộc R

Tuy nhiên, nếu chỉ trình bày đơn giản như vậy thì việc xoá bỏ sựhạn chế trong trường hợp này dường như chỉ là do ý muốn chủ quan,người học không thấy được nhu cầu của việc này Điều này có thể làm

rõ nếu ta biết khai thác từ thực tế Trong thực tiễn còn có những góc lớnhơn 3600 Chẳng hạn, bán kính OM của bánh xe quay 2 vòng, ta nói nó

quay một góc 2.3600 = 7200 Mặt khác, bán kính OM có thể quay theohai chiều khác nhau Ta quy ước chiều quay ngược chiều kim đồng hồ làchiều dương, chiều quay cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm Như vậy,

ta đã mở rộng khái niệm góc bằng cách đưa vào khái niệm góc lượnggiác có số đo là một số thực bất kỳ

Lật ngược vấn đề: Gợi động cơ mở đầu bằng cách lật ngược vấn đềnhằm giúp học sinh phát hiện ra những mệnh đề, những bài toán mới,

hoặc cũng có thể là nhằm mục đích khắc sâu, hiểu rõ hơn về một số vấnđề.

Việc gợi động cơ theo hướng trên không chỉ cho hoạt động tìm kiếmkiến thức, mà còn thực hiện mục đích kép hướng tới phát triển năng lực

tư duy thuận nghịch cho học sinh

Ví dụ: Với bài toán “Cho tam giác ABC có a4 = b4 + c4 Chứngminh rằng 2sin2A = tgB.tgC” Một câu hỏi rất tự nhiên là điều ngược lại

có còn đúng nữa không ?

- Xét tương tự: Việc xét tương tự không những giúp học sinh tìmđược lời giải bài toán mà còn tìm được các bài toán mới, bài toán tổngquát

Ví dụ: Trong tam giác vuông ABC tại A, ta có: cos2B + cos2C = 1.Vậy vấn đề đặt ra trong tứ diện vuông ABCD tại D có đẳng thức tương

tự không?

- Khái quát hóa: Theo G.Polya: “Khái quát hóa là chuyển từ việc

nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn bao gồm cả tập hợp ban đầu” [25, tr 134] Như vậy, khái

quát hoá có thể chuyển từ hằng sang biến, từ tập hợp đối tượng này sangtập hợp đối tượng lớn hơn hoặc mở rộng số chiều trong không gian

Ví dụ: Từ 2sinx.cosx = sin2x, 22sinx.cosx.cos2x = sin22x ta kháiquát 2nsinx.cosx.cos2x … cos2n-1x = sin2nx

- Tìm sự liên hệ và phụ thuộc

Ví dụ: Ta có thể đặt vấn đề xem xét ảnh hưởng của a, b với sự tồn

tại nghiệm phương trình asinx + bcosx = c

Cách gợi động cơ xuất phát từ những phương thức tư duy và hoạtđộng phổ biến trong Toán học như xét tương tự, khái quát hoa, xét sự

liên hệ và phụ thuộc, sự quen thuộc với các phương thức này không chỉ

là kết quả mà còn là điều kiện của việc gợi động cơ theo cách đó Thậtvậy, việc xét tương tự, việc khái quát hóa, việc xét sự liên hệ và phụthuộc chỉ có tác dụng gợi động cơ khi người học sinh đã quen thuộc vớinhững cách xem xét này, đã trải nghiệm thành công nhiều lần làm việctheo cách đó

Ngoài ra, ta có thể gợi động cơ để hướng tới sự tiện lợi, hợp lý hóacông việc hoặc hướng tới sự hoàn chỉnh và hệ thống

+ Gợi động cơ trung gian

Gợi động cơ trung gian là gợi động cơ cho những bước trung gian

hoặc cho những hoạt động tiến hành trong những bước đó để đạt đượcmục tiêu

Khi giải quyết một bài toán, để đi đến đích cuối cùng nhiều khi họcsinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn, tự bản thân khó mà giải quyết được,nhưng nếu có sự gợi động cơ hợp lý của giáo viên thì các em có thể từngbước giải quyết được vấn đề đặt ra Và cũng thông qua hoạt động gợiđộng cơ mà dần dần hình thành cho các em cách nghĩ về phương thứcgiải quyết khi đứng trước một vấn đề Chính vì vậy, gợi động cơ trunggian có ý nghĩa to lớn tới sự phát triển năng lực độc lập giải quyết vấnđề

Để gợi động cơ trung gian, người ta thường dùng các cách sau:

- Hướng đích: Hướng đích cho học sinh là hướng học sinh vàonhững mục tiêu đặt ra, vào hiệu quả dự kiến của những hoạt động của họnhằm đạt được mục đích đó

Như vậy, hướng đích chỉ rõ cho học sinh thấy được mục tiêu phảiđến (có thể là cuối cùng hoặc từng bước), từ đó họ tự giác định hướngđược hoạt động của mình và nỗ lực cá nhân để đạt được.

Điểm xuất phát của hướng đích là việc đặt mục tiêu Để đặt mụctiêu một cách chính xác, cụ thể, giáo viên cần xuất phát từ chương trình

và văn bản giải thích chương trình, nghiên cứu sách giáo khoa và thamkhảo sách giáo viên Trong tiết học, người thầy giáo cần phát biểu nhữngmục tiêu và mức độ yêu cầu một cách dễ hiểu để học sinh nắm được

Ở đây, ta cần hiểu đặt mục tiêu không đồng nhất với hướng đích.Đặt mục tiêu thường là một pha ngắn ngủi lúc ban đầu một quá trình dạyhọc, còn hướng đích là một nguyên tắc chỉ đạo toàn bộ quá trình này.Hướng đích là làm sao cho đối với tất cả những gì học sinh nói và làm,

họ đều biết rằng những cái đó nhằm mục tiêu gì trong quá trình tìm hiểu

và mô tả con đường đi tới đích, họ luôn luôn biết hướng những quyếtđịnh và hoạt động của mình vào mục đích đã đặt ra Việc hướng đíchnhư vậy tạo động lực cho những quyết định và hoạt động đó

Ví dụ: Khi rút gọn biểu thức A = cosx.cos2x … cos2nx ta nhân vớisinx Nhờ hướng đích, người học sinh sẽ hiểu rằng việc nhân với sinxnhư trên là nhằm mục đích sử dụng được công thức 2sinxcosx = sin2x

- Quy lạ về quen: Trong quá trình giải bài tập toán không phải khinào ta cũng gặp những bài toán quen thuộc, mà nhiều khi cần phải phá

vỡ vỏ hình thức của bài toán để đưa về bài toán đã biết cách giải

Ví dụ: Sau khi đã giải được bài toán 1:

Chứng minh rằng: cosxcos2x.cos4x.cos8x = 8sinsin8x x với x ≠ kπ

Để giải bài toán: “Tính giá trị của biểu thức A =sin60sin420sin660sin780” Ta có thể chuyển về bài toán 1 bằng cách biến

đổi:

sin420 = cos480, sin660 = cos240, sin780 = cos120

Khi đó, ta có: A = sin 60cos120cos240cos480

Để vận dụng được bài toán 1, ta cần nhân hai vế với cos60, từ đó sẽtính được giá trị của A

Việc gợi động cơ bằng quy lạ về quen dần dần sẽ hình thành ở học

sinh kỹ năng phát hiện được sự ngụy trang của bài toán, phát triển tư duycho học sinh Đặc biệt, thông qua nhiều ví dụ học sinh sẽ thấy được cácbài toán cơ bản dùng để giải quyết các bài toán khác (bài toán gốc), thấyđược nguồn gốc của bài toán

- Xét tương tự (Xem gợi động cơ mở đầu)

- Xét sự biến thiên và phụ thuộc

Ví dụ: Giải phương trình 2x2 = cosx Ta thấy x = 0 thỏa mãnphương trình Vấn đề đặt ra là ngoài các giá trị đã cho, phương trình này

có các nghiệm khác nữa không? Muốn vậy, ta xét biểu thức cosx và 2x2,xem các giá trị của chúng phụ thuộc vào giá trị của x như thế nào Việcxem xét này được gợi động cơ nhờ kinh nghiệm của học sinh, và nó chothấy rằng việc xét những mối liên hệ và phụ thuộc nhiều khi dẫn đếnnhững hiểu biết mới, góp phần giải quyết nhiều vấn đề đặt ra

+ Gợi động cơ kết thúc

Nhiều khi, ngay từ đầu hoặc trong khi giải quyết vấn đề, ta chưa thểlàm rõ hoặc làm cho học sinh hoàn toàn rõ tại sao lại học nội dung này, tạisao phải thực hiện hoạt động kia Những câu hỏi này phải đợi mãi về saumới giải đáp hoặc giải đáp trọn vẹn Như vậy là ta đã gợi động cơ kết

thúc, nhấn mạnh hiệu quả của nội dung hoặc hoạt động đó đối với việcgiải quyết vấn đề đặt ra.

Ví dụ: Sau khi giải xong phương trình 2x2 = cosx, thầy giáo nhấnmạnh việc khảo sát hàm số, cách thức tư duy hàm đã giúp ta giải đượcphương trình trong trường hợp này

Gợi động cơ kết thúc cũng có tác dụng nâng cao tính tự giác tronghoạt động học tập như các cách gợi động cơ khác Mặc dầu nó không cótác dụng kích thích đối với nội dung đã qua hoặc hoạt động đã thực hiện,nhưng nó góp phần gợi động cơ thúc đẩy hoạt động học tập nói chung,

và nhiều khi việc gợi động cơ kết thúc ở trường hợp này lại là sự chuẩn

bị gợi động cơ mở đầu cho những trường hợp tương tự sau này Chẳng

hạn, ta đã giải được phương trình 2x2= cosx nhờ sử dụng tính đơn điệucủa hàm số Vậy với phương trình 2x + sinx + cosx - 1 = 0, ta có thể làmtương tự được không?

d 3 Mối liên hệ giữa gợi động cơ với các hoạt động khác trong dạy học

Như chúng ta đã biết bản thân hoạt động và hoạt động thành phầngợi động cơ, truyền thụ tri thức và tri thức phương pháp cùng với sựphân bậc hoạt động là những yếu tố phương pháp mà dựa vào chúng, ta

có thể tổ chức cho chủ thể học sinh tiến hành những hoạt động một cáchtích cực, tự giác có hiệu quả đảm bảo sự phát triển nói chung và kết qủahọc tập nói riêng Chúng được coi là thành tố cơ sở vì mọi phương phápdạy học đều hướng vào chúng

Ví dụ: Sử dụng phương tiện thuyết trình hay đàm thoại cũng là

nhằm thực hiện mục tiêu nào đó Chẳng hạn, truyền thụ tri thức nói riêng

là tri thức phương pháp

Dùng phương tiện trực quan dạy học là để đạt được ý đồ sư phạmnào đó Chẳng hạn, để gợi động cơ học tập cho một nội dung nhất định.Học sinh giải một bài toán một cách độc lập hay dưới sự gợi mở dẫndắt của thầy là để hoàn thành nhiệm vụ học tập, chẳng hạn là đề cập tậpluyện một hoạt động nào đó.

Điều đó nói lên rằng, những thành tố trên chiếm một vai trò quantrọng đối với phương pháp dạy học, nhưng mặt khác cũng nói lên sự hạnchế của chúng, chúng là những viên gạch chứ không phải là tòa nhà.Người thầy - người thợ hãy tạo ra những mạch hồ để gắn kết những viêngạch đó với nhau xây dựng nên tòa nhà phương pháp dạy học

Vì vậy, trong phương pháp dạy học, thầy là người quan tâm liên kếtcác hoạt động của trò, tổ chức đồng thời một cách thích hợp các hoạtđộng đó nhằm đạt các mục tiêu dạy học

Cơ sở để khẳng định điều đó là do các hoạt động này có mối quan

hệ chặt chẽ, hữu cơ với nhau Có khi hoạt động này là tạo tiền đề để thựchiện hoạt động kia và hoạt động kia lại được triển khai dựa trên nhữnghoạt động khác Riêng với gợi động cơ, nó là hoạt động thúc đẩy cáchoạt động khác phát triển, kích thích và góp phần thực hiện các hoạtđộng còn lại Với gợi động cơ, học sinh sẽ có ý thức rõ vì sao phải thực

hiện hoạt động này hay hoạt động khác Chẳng hạn, xuất phát từ một nội

dung Toán học, muốn phát hiện hoạt động tương thích hay thành phầnvới nội dung thì phải biết gợi động cơ để phát hiện

d 4 Mối liên hệ giữa gợi động cơ với tình huống gợi vấn đề trong dạy học.

Tình huống có vấn đề là một tình huống gợi cho học sinh những khókhăn về lí luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt

qua, nhưng không phải ngay tức khắc nhờ một quy tắc có tính chất thuậttoán mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biếnđổi đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có.

Xét về phương diện Giáo dục, dạy học giải quyết vấn đề phù hợpvới nguyên tắc tính tự giác và tích cực, vì nó khêu gợi hoạt động học tập

mà chủ thể được hướng đích, được gợi động cơ trong quá trình phát hiện

và giải quyết vấn đề Do đó, gợi động cơ là hoạt động hiệu quả, tốt nhất

để thực hiện một tình huống gợi vấn đề và một tình huống gợi vấn đềđược đưa ra phải là đã thể hiện gợi động cơ Gợi động cơ chỉ là một bộphận, một hoạt động nằm trong dạy học giải quyết vấn đề, nhưng nó làmột bộ phận quan trọng, giữ vai trò xuyên suốt, chủ đạo

Có thể nói rằng, muốn dạy học giải quyết vấn đề thành công thì phảibiết tổ chức gợi động cơ hoạt động Trong dạy học, giáo viên phải biếtcách gợi động cơ để phát hiện vấn đề và vấn đề đưa ra phải được hướngđích tốt Đặc biệt, khi bước vào giải quyết vấn đề ta cần phải linh hoạt tổchức gợi động cơ phù hợp với từng yêu cầu, từng bước vấn đề Có nhưvậy mới phát huy được mọi khả năng của học sinh, nâng cao tinh thần tựgiác trong học tập với sự chủ động, sáng tạo Mặt khác, tạo nên tâm lýphấn khởi, học sinh có động lực giải quyết vấn đề một cách hứng thú

1.2 Kiến thức trung gian

Kiến thức trung gian là kiến thức ta buộc phải lưu ý đến, hay ta bắtbuộc phải xem xét đến không phải vì bản thân kiến thức đó mà nó đượcvận dụng là phương tiện để giúp ta giải quyết một vấn đề toán học mới.Kiến thức trung gian là một phương tiện để đạt mục đích, nó mở đườngcho ta đi tới mục đích, vấn đề ta gặp ban đầu là mục đích, là điểm cuốicủa con đường Tìm ra con đường để đi đến giải quyết được một bài toán

bằng cách kiến thiết ra một kiến thức trung gian cho mục đích riêng vàsau đó giải quyết bài toán ấy chính là một trong những biểu hiện đặctrưng của hoạt động trí óc.

Kiến thức trung gian có thể là một khái niệm, một định lý, một bàitoán tuỳ vào bài toán ta đang giải quyết

1.2.1 Bài toán

Theo nhà toán học G.Polya: “Nếu khi có một ước muốn, mà trong

óc ta, không cần một chút cố gắng nào, lập tức nảy ra một phương tiện

rõ rành rành, mà dùng phương tiện đó chắc chắn có thể thực hiện được ước muốn, thì sẽ không nảy ra bài toán Nhưng nếu không có được một phương tiện như vậy, thì đó là một bài toán” [26, tr 168] Như vậy là,bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách ý thức phương tiệnthích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạtđược ngay Giải bài toán tức là tìm ra phương tiện đó

Một bài toán có thể là phức tạp hay đơn giản; trong trường hợp thứnhất, tìm ra lời giải là một việc khó, trong trường hợp thứ hai thì dễ.Luôn tiện, cũng nói thêm rằng, tính chất khó của lời giải ở chừng nào đó,nằm ngay trong bản thân khái niệm bài toán: Nếu không có khó khăn thìcũng không có bài toán

Về mức độ khó, dễ của bài toán, G.Polya cho rằng: “Không dễ dàng

xét đoán về mức độ khó của một bài toán, lại càng khó hơn nữa khi xác lập giá trị giáo dục của nó” [27, tr 132].

Theo G.Polya, thầy giáo nên nắm được cách phân loại mức độ khó,

dễ của một bài toán, vì đó là một điều có ích cho giảng dạy Ông đã ghinhận công lao của Frank Denk về sự phân loại này Trên cơ sở sự phânloại của Frank Denk, G.Polya có điều chỉnh chút ít và phân loại như sau:

Loại thứ nhất: các bài toán có thể giải được bằng cách vận dụng trựctiếp quy tắc mẫu hoặc tuân theo một cách máy móc các ví dụ mẫu Hơnnữa, quy tắc hoặc ví dụ mẫu có ngay trước mắt học sinh (vừa mới họcxong), thầy giáo thường cho những bài như thế vào cuối giờ học.

Loại toán thứ hai khó hơn, nó được giải tuy cũng vận dụng trực tiếpquy tắc đã được học trong lớp hoặc tuân thủ máy móc các ví dụ mẫu đãđược biết Tuy nhiên, học sinh chưa rõ ngay nên chọn quy tắc mẫu nàohoặc ví dụ mẫu nào, học sinh cần phải có sự chọn lọc sơ bộ trong mộtphạm vi nào đó

Loại thứ ba còn khó hơn nữa Để giải được chúng, học sinh cần phảikết hợp một số quy tắc hoặc ví dụ đã học Bài toán sẽ không quá khó nếumột tổ hợp nào đấy tương tự với nó (nhưng không phải chính nó) đãđược thảo luận ở lớp Nếu tổ hợp này hoàn toàn mới, hoặc cần phải phốihợp nhiều phần của giáo trình (có thể rất xa nhau), thì bài toán thường làrất khó [27, tr 133]

1.2.2 Chức năng của bài tập toán

Trong trường phổ thông có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếucủa hoạt động toán học đối với học sinh Các bài toán là một phương tiệnkhông thể thay thế được trong quá trình giúp học sinh nắm vững tri thức,phát triển tư duy, hình thành các kỹ năng, kỹ xảo, phát triển năng lực sángtạo, giải quyết các bài toán thực tế Hoạt động giải các bài tập toán là điềukiện để thực hiện tốt các mục tiêu dạy Toán ở trường phổ thông Vì vậy,việc tổ chức giải các bài tập toán có hiệu quả sẽ góp phần quan trọng đốivới chất lượng dạy học Toán

Trong thực tiễn dạy học, các bài tập toán được sử dụng với nhữngdụng ý khác nhau Tất nhiên, các bài tập toán thường không chỉ nhằm

vào một mục đích đơn nhất nào đó mà thường bao hàm nhiều dụng ýkhác nhau.

Mỗi bài tập toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quátrình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng nhữngchức năng khác nhau Những chức năng này đều hướng đến việc thựchiện các mục đích dạy học

Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán mang các chức năng sau:

Chức năng dạy học: Bài tập nhằm hình thành củng cố ôn tập hệthống các kiến thức lý thuyết, hoàn thiện các kiến thức cơ bản, nâng cao

lý thuyết trong chừng mực có thể, làm cho học sinh nhớ và khắc sâunhững lý thuyết đã học Qua bài tập toán, học sinh có thể phải đào sâumột khía cạnh nào đó của kiến thức hoặc phân tích, tổng hợp, huy độngnhiều kiến thức để giải Tất cả những thao tác tư duy đó sẽ góp phầncủng cố, khắc sâu và mở rộng kiến thức cho học sinh Đây là phươngtiện tốt để học sinh phát triển năng lực tư duy sáng tạo, xây dựng vàcủng cố những kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trìnhdạy học

Chức năng phát triển: Bài tập nhằm phát triển tư duy của học sinh,đặc biệt rèn luyện thao tác trí tuệ, hình thành và phát triển những phẩmchất của tư duy Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp nghiên cứu khoahọc, bởi vì thông qua việc giải bài tập sẽ rèn luyện cho học sinh thóiquen và khả năng độc lập phát hiện và giải quyết các vấn đề có liênquan Trong môi trường đó, tư duy lôgic, tư duy sáng tạo của các em sẽtừng bước được phát triển, năng lực các em được nâng cao

Bài tập toán cũng là phương tiện nghiên cứu tài liệu mới, nhằm đảmbảo cho học sinh lĩnh hội kiến thức một cách toàn diện, sâu sắc và vững

chắc hơn Là phương tiện trong việc phát triển năng lực tư duy của họcsinh, ta có thể sử dụng kiến thức trung gian để nâng cao chất lượng họctập của học sinh.

Chức năng giáo dục: Thông qua việc giải các bài tập, sẽ tạo môitrường để rèn luyện cho học sinh các phẩm chất trí tuệ như: tính sángtạo, tính độc lập, tính linh hoạt, tính mềm dẻo, tính phê phán, Việcgiải các bài tập sẽ giúp học sinh làm quen với nhiều tình huống mới lạ.Những tình huống đó cùng với phương pháp dạy học thích hợp của giáoviên sẽ giúp học sinh rèn luyện tính linh hoạt, tính mềm dẻo của tư duy -một yếu tố quan trọng của tư duy sáng tạo

Chức năng kiểm tra đánh giá: Bài tập toán học là một phươngtiện có hiệu quả để kiểm tra kiến thức, kiểm tra năng lực tư duy,sáng tạo của học sinh

Thông qua bài tập có thể kiểm tra được sự hiểu biết của học sinhphần lý thuyết cơ bản, lý thuyết mở rộng (hoặc kiến thức sâu hơn) Khảnăng vận dụng lý thuyết vào bài tập

Thông qua động thái của học sinh khi giải bài tập, bộc lộ được khảnăng về trí tuệ, tính nhanh, tính nhẩm, tính sáng tạo v.v Cũng thôngqua hoạt động này, phát hiện những khuyết điểm, những sai lầm vànguyên nhân dẫn đến sai lầm của học sinh để kịp thời uốn nắn Từ đó đánhgiá mức độ, kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán vàtrình độ phát triển của học sinh

Kiến thức trung gian mà chúng ta xây dựng cũng mang những chứcnăng trên, ngoài ra nó còn đóng vai trò là “cầu nối” giữa những kiến thức

mà học sinh được học với những bài toán nâng cao, bài toán khó Để có thểgiải được những bài toán, đòi hỏi học sinh phải có khả năng liên tưởng, huy

động kiến thức đã biết để vận dụng Việc vận dụng kiến thức trung gian đểgiải bài tập sẽ làm cho học sinh phát huy khả năng dự đoán các vấn đề đặcbiệt hóa, khái quát hóa, tương tự Trong quá trình đó sẽ rèn cho học sinh tinhthần hoài nghi khoa học, tính độc lập, tính phê phán của tư duy, góp phầnrèn luyện tính sáng tạo cho học sinh.

Tóm lại, nếu giáo viên có phương pháp huy động và thiết kế các kiến thức trung gian một cách thích hợp thì sẽ tạo được điều kiện thuận

lợi cho việc phát triển các phẩm chất trí tuệ ở học sinh - điều này có ýnghĩa to lớn đối với việc học tập, công tác và trong cuộc sống của các

em

1.2.3 Huy động và liên tưởng

Theo Từ điển tiếng Việt thì liên tưởng có nghĩa là: “Nhân sự vật,

hiện tượng nào đó mà nghĩ đến sự vật, hiện tượng khác có liên quan” [2,

tr 307]

a L.B.Itenxơn cho rằng: “Tư duy tốt tức là tư duy đúng đắn và có

hiệu quả, biết thực hiện những liên tưởng khái quát, những liên tưởng phù hợp với bài toán cần giải Vì vậy, để việc dạy tư duy có hiệu quả, không chỉ đòi hỏi phải tìm hiểu những thuộc tính hay những quan hệ chung xác định của các đối tượng, mà còn phải biết những thuộc tính này là bản chất đối với những bài toán nào” [23, tr 136].

K.K.Plantônôv xem tư duy như là một quá trình gồm nhiều giaiđoạn kế tiếp nhau, mà hai trong số các giai đoạn ấy là: xuất hiện các liêntưởng; sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết [11, tr 121]

Theo tác giả Vũ Dương Thụy: “Trong dạy học, cần chú ý rèn luyện

cho học sinh kỹ năng biến đổi xuôi chiều và ngược một cách song song

với nhau, nhằm giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận” [19, tr 174].

Từ đó, ta có thể thấy: vai trò của liên tưởng trong quá trình tư duy làrất quan trọng Lẽ đương nhiên, liên tưởng cũng có vai trò quan trọng tronghoạt động tư duy khi giải toán

b Đối với những đặc điểm trong hoạt động trí tuệ của người giải

toán chẳng được là bao Tính chất phức tạp của hoạt động này có lẽkhông thể đo được, nhưng một mặt hoàn toàn thấy rõ: người giải toáncàng tiến lên phía trước thì những hiểu biết về đối tượng nghiên cứucàng được tích luỹ nhiều

Đối với một bài toán, lúc đầu người giải nhìn bài toán biệt lập, hoặcchẳng có chi tiết nào, hoặc có ít chi tiết, có lẽ chỉ phân biệt được nhữngphần chính: ẩn số, các dữ kiện và điều kiện, hoặc điều kiện cần và kếtluận Về cuối quá trình, bài toán hiện ra trước người giải hoàn toàn khác:phức tạp, mang thêm những chi tiết và bộ phận phụ, giữa chúng và bàitoán có những liên hệ ban đầu người giải không hề nghi vấn Cái nhìn vềbài toán ban đầu bị tước mất các chi tiết, xuất hiện những đường nét phụ,được đưa thêm vào những ẩn số phụ Các tri thức tích luỹ từ trước đượcvận dụng, chủ yếu là các định lý có liên hệ với bài toán Ngay lúc mớibắt tay vào nghiên cứu bài toán, người giải không thể nào thấy được đấychính là những định lý có triển vọng có ích cho mình

Theo G.Polya: “Tất cả những tư liệu, yếu tố phụ, các định lý, v.v

sử dụng trong quá trình giải bài toán được lấy từ đâu? Người giải đã tích luỹ được những kiến thức ấy trong trí nhớ, giờ đây rút ra và vận dụng một cách thích hợp để giải bài toán Chúng ta gọi việc nhớ lại có

chọn lọc các tri thức như vậy là sự huy động, việc làm cho chúng thích ứng với bài toán đang giải là sự tổ chức” [26, tr 310].

Quá trình giải một bài toán giống như quá trình xây một ngôi nhà.Đầu tiên, phải thu thập những vật liệu cần thiết, sau đó phải kết cấunhững vật liệu rời rạc thành một cái toàn thể theo một mẫu thiết kế đãđược hình dung trước

Thực ra, trước khi xây nhà ta đã hình dung được cần đến những vậtliệu nào, có chăng, nếu thiếu vật liệu gì thì sau đó cũng có thể dễ dàng

bổ sung cho đủ Nhưng, trước khi giải bài toán, thường là chưa khẳngđịnh được chắc chắn rằng dùng những kiến thức (định nghĩa, định lý,mệnh đề, quy tắc, ) nào, trừ khi đó là bài toán đã có thuật giải hoặc làbài toán khá dễ Không hiếm khi, sau khi giải xong bài toán, người giải

tự hỏi mình: Thế mà ngay từ đầu tại sao mình lại không nghĩ đến định lýnày nhỉ? (mặc dầu có thể trước đó phải mò mẫm, suy nghĩ rất lâu mớibiết cách sử dụng định lý này)

Trước khi bắt tay vào giải một bài toán cụ thể, người giải đã tích luỹđược rất nhiều kiến thức, nhưng lúc này nên dùng kiến thức nào đây thìbài toán thường không nói rõ Có đôi lúc bài toán kèm theo những chỉdẫn gợi ý, rằng: Hãy dùng định lý này, hãy áp dụng mệnh đề kia, nhưngchưa hẳn lúc đó bài toán đã hoàn toàn dễ đối với mọi học sinh, bởi vì,không chắc chắn rằng họ đã có thể nhớ ngay được định lý, hoặc sẵn sàngngay đối với việc áp dụng mệnh đề mà bài toán kia chỉ dẫn

Mặt khác, một bài toán có chỉ dẫn thì chưa hẳn đã dễ hơn một bàitoán khác không có chỉ dẫn Bài toán tuy có chỉ dẫn nhưng có thể đangcòn nhiều khâu học sinh phải tự thực hiện, còn bài toán không được chỉ

dẫn có thể lại được hành động một cách tự động hoá theo một thuật giảichẳng hạn.

Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó, lẽ đương nhiênkhông cần huy động đến mọi kiến thức mà người giải đã thu thập,tích luỹ được từ trước Cần huy động đến những kiến thức nào, cầnxem xét đến những mối liên hệ nào, điều đó còn phụ thuộc vào khảnăng chọn lọc của người giải toán

c Năng lực liên tưởng, huy động kiến thức mỗi người một khác.

Đứng trước một bài toán cụ thể, có người liên tưởng được nhiều định lý,mệnh đề, bài toán phụ mà những cái này có hy vọng giúp cho việc giảibài toán Có người chỉ liên tưởng được đến một số ít định lý, mệnh đề, bàitoán phụ, mà thôi Sức liên tưởng và huy động phụ thuộc vào khả năngtích luỹ kiến thức và phụ thuộc vào sự nhạy cảm trong khâu phát hiện vấnđề

Năng lực liên tưởng và huy động kiến thức không phải là điều bấtbiến, một bài toán cụ thể nếu đặt vào thời điểm này có thể học sinhkhông giải được, hoặc giải được nhưng bởi một cách rất máy móc và dàidòng, nhưng khi đặt vào thời điểm khác (có thể không xa lắm), nếu cónăng lực liên tưởng và huy động tốt, học sinh có thể giải được bài toánbằng một cách rất hay, rất độc đáo, thậm chí còn hình thành được mộtcách giải khái quát cho một lớp các bài toán J.A.Kômenxki đã từng nói:

“Dạy học là một quá trình từ từ và liên tục, những điều có hôm nay phải

củng cố cái hôm qua và mở ra con đường cho ngày mai” [36, tr 127].

Ví dụ: Các số a, b, c, d liên hệ bởi các hệ thức:

21

a c= −d ; b d= 1−c2

Chứng minh rằng: a + ≤b 1.

Đây là một bài toán về chứng minh bất đẳng thức, để chứng minhbất đẳng thức đó, ta phải chứng minh bất đẳng thức

c −d + d −c ≤ Điều này không dễ chút nào.

Như vậy, khi học sinh chưa có thêm kiến thức nào khác ngoài cáckiến thức cơ bản về bất đẳng thức (định nghĩa, tính chất, một số bất đẳngthức thông dụng) thì dạy học sinh giải bài toán này là điều rất khó khăn.Nếu học sinh đã học về các phép biến đổi lượng giác, trước hết thầygiáo có thể gợi ý điều kiện để căn có nghĩa là gì? (c ≤ 1; d ≤ 1) Có thểnêu cho học sinh câu hỏi c ≤ 1, d ≤ 1 gợi cho em liên tưởng cái gì?Một cái gì đó rất quen thuộc ở phần hàm số lượng giác

Hãy để ý biểu diễn a b, theo c d, ?

Chúng ta mong đợi học sinh trả lời rằng:

2

2

11

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Tùy hoàn cảnh cụ thể, thầy giáo có thể sử dụng hình thức thuyếttrình phát hiện và giải quyết vấn đề hoặc phối hợp giữa thuyết trình vớivấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề để dẫn dắt học sinh giải bài toán

Rõ ràng, không có năng lực liên tưởng và huy động kiến thức thìnăng lực giải toán sẽ bị hạn chế, cái nhìn về bài toán thường là cục bộ, rờirạc Tuy nhiên, đứng trước một bài toán cụ thể, không nhất thiết tất cảnhững sự liên tưởng và huy động đều có ích cho việc giải bài toán này.Cần chọn lọc thông qua các phép thử - sai để tiến tới một sự liên tưởng,huy động phù hợp nhất Điều này hoàn toàn phù hợp với quan điểm củaK.K.Plantônôv, vì Ông cho rằng, sau giai đoạn xuất hiện liên tưởng sẽ làgiai đoạn sàng lọc liên tưởng.

Chẳng hạn, xét bài toán 1: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có

một góc vuông thì cos2A + cos2B + cos2C = -1

Ta nhận thấy rằng, bài toán có đề cập đến mối quan hệ giữa các góccủa một tam giác, ta hãy huy động những định lý, tính chất đã biết vềquan hệ giữa các góc của một tam giác:

Với tam giác ABC vuông tại A, ta có:

cos2B + cos2C = 0

Để chọn lọc những kiến thức thích hợp, trước hết ta hãy loại (5) và(6) vì chúng đề cập đến “tg” và “cotg” chứ không phải hàm số “cosin”như điều phải chứng minh.

Hãy quan sát (3) và (4), trong đó có chứa cosB và cosC Để xuấthiện cos2B, cos2C, ta lại phải sử dụng công thức nhân đôi Khi đó:

b c a

Qua đây ta thấy rằng, cách sử dụng (1) cho ta được cách giải đúng

và ngắn hơn cả trong các cách ta khai thác

Bài toán 2: Chứng minh rằng, tam giác ABC là cân nếu điều kiện

sau đây thoả mãn: