Bt on a1 gui lop

BÀI TẬP ÔN TẬP MÔN TOÁN CAO CẤP A1 CHƯƠNG 1 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Câu 1 Tìm L = 1xxx2 1xxxxlim 23 23 x    a) L = 1 b) L = 1/2 c) L = 0 d) L =  Câu 2 Tìm L = xsin x2cos1lim 20x   a)[.]

BÀI TẬP ÔN TẬP MÔN: TOÁN CAO CẤP A1

CHƯƠNG 1 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Câu 1: Tìm L =

1xxx

1xxxx

x2cos1

0 x



 a) L = 2 b) L = 1/2 c) L = 1 d) L = 1/4

2 0

xsinxsinxlim

2

1xx

1xlim3 2

1 cos ln(1 tan 2 ) 2 arcsinlim

arcsin( tan 3 ) 2 arcsinlim

a) L = 0 b) L = 6 c) L = 8 d) L = 22/3

Câu 13: Dùng khái niệm VCB để tìm giới hạn L =

3 0

arcsin( tan 3 ) 2 arcsinlim

xarcsin3xsinx

2 0

1xsin21)xln(coslim

a) y =

xcos

xsinexe

xsinee

x)1xln(

c) y = x(x +1)x -1 d) Một kết quả khác

Câu 19: Cho hàm số y = ln(4x - 5) Khẳng định nào sau đây đúng?

a)

2n ( n ) n 1

n ( n ) n 1

Câu 21: Tìm vi phân cấp 1 của hàm số y = (3x)x

x1xarccos

x1xarccos

3ln3

x1xarccos

3ln3

Câu 23: Tìm vi phân dy = d(x/cosx)

a) dy = (cosx – xsinx) / cos2x b) dy = (cosx + xsinx) / cos2x

c) dy = (cosx + xsinx) dx / cos2x d) dy = (cosx - xsinx) dx / cos2x

Câu 24: Tìm vi phân cấp một của hàm số y = ln(2.arccotx)

tan2

(

x

dx3

2

 b) dy = 9 ln x

dx3

2

 c) dy = –x(9 ln x)

dx3

(

)1x(

)1x(4

(

)1x(

(

)x1

)x1(2

(

)x1

x2

+

!3

)2lnx

+ 0(x3) b) 2x= 1 – xln2 +

!2

2ln

x2

+

!3

2ln

x3

+ 0(x3)

c) 2x= 1 + xln2 +

!2

2ln

x2

+

!3

2ln

x3

+ 0(x3) d) 2x = 1 + xln2 +

!2

)2lnx

+

!3

)2lnx

+0(x3)

Câu 31: Viết triển khai Maclaurin của hàm số y = cos(sinx) đến số hạng x4

a) cos(sinx) = x –

!2

x2

+

!4

1

x4+ 0(x4) b) cos(sinx) = 1 –

!2

x2

+

!4

5

x4+ 0(x4)

c) cos(sinx) = x –

!2

x2

–

!4

1

x4+ 0(x4) d) cos(sinx) = x –

!2

x2

–

!4

1

 đến số hạng x3a)

1

 = 1 + x + x2– 61x3+ 0(x3)c)

1

 = 1 + x + x2– 65x3+ 0(x3)

Câu 35: Viết triển khai Maclaurin của hàm số y = 1

1 tan x đến số hạng x3a) 1

1 tan x = 1 – x + 21x2+ x3+ 0(x3) b) 1

1 tan x = 1 – x – 21x2+ x3+ 0(x3)c) 1

CHƯƠNG 2 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Câu 1 : Tính tích phân I = 41x2

dx

a) I = 2ln

x1

x1



+ C b) I = 4ln

x1

x1



+ C

c) I = 2ln

x1

x1



+ C d) I = 4ln

x1

x1



+ C

Câu 2: Tính tích phân I = x2 dxx2

a) I = ln

2x

1x





+ C b) I = ln

1x

2x



+ Cc) I = lnx23x2 + C d) Một kết quả khác

2

3ln

Câu 7: Tính tích phân I = 4xsin2xdx

a) I = 2xcos2x – 2sin2x + C b) I = –2xcos2x + sin2x + C

c) I = 2xcos2x – sin2x + C d) I = 2xcos2x + 2sin2x + C

Câu 9: Tính tích phân I = 3sin2x.cosx.dx

a) I = sin3x + C b) I = –sin3x + C c) I = 3sin3x + C d) I = – sin3x + C

Câu 10: Tính tích phân I = 3sin3dx

a) I = 3cosx + cos3x + C b) I = –3cosx + cos3x + C

c) I = 3cosx – cos3x + C d)I = –3cosx – cos3x + C

Câu 11: Tính tích phân I =  dx

xcos

xsin

3

a) I = –tan2x + C b) I =

xcos2

1

2

+ C c) I = tan2x + C d) I =

xcos2

a) S = ln4 – 1/2 b) S = ln4 + 1/2 c) S = (ln2 + 1)/2 d) Các kết quả trên đều sai

Câu 14: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = 3x2+ x và x – y + 3 = 0a) S = –3 b) S = 3 c) S = – 4 d) S = 4

Câu 15: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay

;0x

0y

;e

;1x

0y

;xlnya) V = b) V = 2 c) V = e d) V =e2

1

dx x



 

 Khẳng định nào sau đây đúng?

a) I = 0 b) I = c) I phân kỳ d) Các khẳng định trên đều sai

1

4(x 3)

x1

xdxa) I =/4 b) I =/2 c) I = –/4 d) I = –/2

Câu 20: Tính tích phân suy rộng : I = exlnx

dxa) I = –1 b) I = e c) I = 1 d) I = +

Câu 21: Tính tích phân suy rộng : I = 0(x3)2

3dxa) I = 1 b) I = 2 c) I = 3 d) I = +

Câu 22: Tính tích phân suy rộng : I = 1x5

dxa) I = 0 b) I = 1 c) I = 2 d) I = 1/4

Câu 23: Tính tích phân suy rộng : I =  

0 xe dxa) I = 0 b) I = 1 c) I = 2 d) I = 3

Câu 24: Tính tích phân suy rộng : I =  

0

x exdxa) I = –1 b) I = 1 c) I = –2 d) I = 2

Câu 26: Tích phân suy rộng: 01 x(x1)(2x)

Câu 28: Tích phân suy rộng : 3

2

e

ln xdxx

5xx

dx hội tụ khi và chỉ khi :a) > 1 b) > 3 c) tùy ý d) Không có giá trị nào

Câu 32: Cho tích phân I =

2

3 2 1

5x x 2

dx2x 5x 7x 1

Chương 3 LÝ THUYẾT CHUỖI





 Mệnh đề nào sau đây đúng?

a) Nếu chuỗi trên hội tụ thìu  n 0

b) Nếu u  thì chuỗi trên hội tụ n 0

c) Nếu chuỗi trên phân kỳ thì u  n 0

d) Nếu u  thì chuỗi trên phân kỳ n 0

Mệnh đề nào sau đây đúng?

a) Chuỗi trên hội tụ khi chỉ khi > 1 b) Chuỗi trên hội tụ khi chỉ khi > 2.c) Chuỗi trên hội tụ khi chỉ khi < 1 d) Chuỗi trên luôn luôn phân kỳ

Câu 7: Cho chuỗi 

n)1n(

1nn

( là một tham số ) hội tụ khi và chỉ khi:

1

( là một tham số) Mệnh đề nào sau đây đúng?

a) Chuỗi trên hội tụ khi chỉ khi > 1 b) Chuỗi trên hội tụ khi chỉ khi > 2.c) Chuỗi trên hội tụ khi chỉ khi < 1 d) Chuỗi trên luôn luôn phân kỳ

Câu 9: Cho chuỗi 

2n)2n(

1n2n

( là một tham số) phân kỳ khi chỉ khi:

phân kỳ

Câu 12: Bằng cách so sánh với chuỗi 

 1 

1kết luận nào sau đây đúng?

1nn

1nn10

Mệnh đề nào sau đây đúng?

a) Chuỗi trên hội tụ khi và chỉ khi –1 < < 1 b) Chuỗi trên phân kỳ khi và chỉ khi –1    1.c) Chuỗi trên luôn luôn phân kỳ d) Chuỗi trên luôn luôn hội tụ

 (A là một tham số) Mệnh đề nào sau đây đúng?

a) Nếu -3 < A < 3 thì chuỗi trên hội tụ

b) Nếu -4 < A < 4 thì chuỗi trên hội tụ

c) Nếu -2 < A < 2 thì chuỗi trên phân kỳ

d) Các mệnh đề trên đều sai

Câu 17: Cho chuỗi

2

3 1

 (A là tham số dương) Mệnh đề nào sau đây đúng?

a) Chuỗi trên hội tụ khi và chỉ khi -1< A < 1

b) Nếu -1< A < 1 thì chuỗi trên phân kỳ

c) Chuỗi trên hội tụ khi và chỉ khi A  0

d ) Chuỗi trên hội tụ với mọi AR

Câu 18: Cho chuỗi 2

b) Chuỗi trên phân kỳ khi và chỉ khi- 1< A < 1

c) Chuỗi trên hội tụ với mọi AR

d ) Chuỗi trên phân kỳ với mọi AR

Câu 19: Cho chuỗi

 ( là tham số) Mệnh đề nào sau đây đúng?

a) Chuỗi trên hội tụ khi và chỉ khi  1

b) Chuỗi trên hội tụ khi và chỉ khi   1

c) Chuỗi trên hội tụ khi và chỉ khi   3

d) Chuỗi trên luôn luôn hội tụ

Câu 20 Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

1 2

n n n

x n

n n n n

x n

R 

Câu 22 Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa 2

13

n n n

x n

n n n n

x n

Câu 24 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

1

( 1) ( 1)3

n n

x n

a)D  ( 4, 2) b) D  [ 4, 2) c) D  ( 4, 2]d) D  [ 4, 2].

CHƯƠNG 4 PHÉP TINH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

Câu 1: Tím vi phân cấp một của hàm 2

4 y

zx a) dz2xdx4y dy b) dz2xdx4yln4dy

dx dy dz

2 x y

dx dy dz

1 x y

dy dx

1 x y

dy dx dz

1 x y

dx dy

1 x y

dy dx dz

c) 2 2 2 dy2.

y

x dxdy

Câu 7: Tìm vi phân cấp hai d2z của hàm hai biến zx2xsin2 y

a) d2z2cos2ydxdy2x.sin2ydy2

b) d2z2dx22sin2ydxdy2x.sin2ydy2

c) d2z2dx2 2sin2 ydx2 2x.cos2ydy2

d) d2z2dx2 2sin2y.dxdy2x.cos2y.dy2

Câu 8: Tìm vi phân cấp hai d2z của hàm hai biến zx2 xcos2 y

a) d2z2cos2xdxdy2x.sin2y.dy2

b) d2z2dx22sin2ydxdy2x.sin2ydy2

c) d2z2dx2 2sin2ydxdy2x.cos2ydy2

d) d2z2dx2 2sin2ydxdy2x.cos2ydy2

Câu 9: Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biến zx2y3

Khẳng định nào sau đây đúng?

a) Nếu 0 và A > 0 thì f đạt cực đại tại M

b) Nếu 0 và A < 0 thì f đạt cực đại tại M

c) Nếu 0 và A > 0 thì f đạt cực tiểu tại M

d) Nếu 0 và A < 0 thì f đạt cực tiểu tại M

Câu 11: Cho hàm zx2 2xy2 Khẳng định nào sau đây đúng?

a) z đạt cực đại tai M(1, 0)

b) z đạt cực tiểu tại M(1, 0)

c) z có một cực đại và một cực tiểu

d) z không có cực trị

Câu 12: Cho hàm zx4 8x2 y2 5 Khẳng định nào sau đây đúng?

a) z đạt cực đại tại I(0, 0)

c) z luôn có các đạo hàm riêng trên 2.

d) z có điểm dừng nhưng không có cực trị

Câu 30: Cho hàm z2x2 4xsin yy/2, với x,   y  Khẳng định nào sau đâyđúng?

a) z đạt cực đại tại M1, 3

b) z đạt cực tiểu tại M1, 3

c) z đạt cực tiểu tại M1, 3

d) z có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu

Câu 31: Tìm cực trị của hàm zln(x2 2y) với điều kiện x  y 2 0 Khẳng định nào sauđây đúng ?

b) z có hai điểm dừng là A(0, -3) và D(3, 0)

c) z đạt cực đại tại A(0, -3) và B(2, -1)

d) z đạt cực tiểu tại A(0, -3) và đạt cực đại tại B(2, -1)

CHƯƠNG 5 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

Câu 1: Xác định cận của tích phân: 

D

dxdy y x f

I ( , ) trong đó D là miền giới hạn bởi cácđường: yxx2,y2x

dy y x f dx I

2 0

2 2

),(

dy y x f dx I

2 1

0 2

),(

Câu 2: Xác định cận của tích phân: 

D

dxdy y x f

I ( , ) trong đó D là miền giới hạn bởi cácđường: y3x,yx2

a)  

2

3

),(

x

dy y x f

dx

x

dy y x f dx I

3 9

2

),(

c)  

y

dx y x f

y

dx y x f dy I

3 3

0

),(

Câu 3: Xác định cận của tích phân: 

D

dxdy y x f

I ( , ) trong đó D là miền giới hạn bởi cácđường: y2x2 x,yx22x4

x x

dy y x f dx

4

1

),

2 1

4

2

2

),(

x x

x x

dy y x f dx I

dy y x f dx

1

4

),

1

2

2

),(

x x

x x

dy y x f dx I

Câu 4: Xác định cận của tích phân: 

D

dxdy y x f

I ( , ) trong đó D là miền giới hạn bởi cácđường: y2 x,yx

a)  

x

x

dy y x f

x

x

dy y x f dx I

2 2

0

),(

c)  

x

x

dy y x f

y

y

dx y x f dy

I ( , ) trong đó D là miền giới hạn bởi cácđường: yx2,yx3

a)  

3

2

),(1

0

x

x

dy y x f

0

x

x

dy y x f dx I

1

x

x

dy y x f

1

x

x

dy y x f dx I

Câu 6: Xác định cận của tích phân: 

D

dxdy y x f

I ( , ) trong đó D là miền giới hạn bởi cácđường: D:yx2,y4x2

x

x

dy y x f dx

2

),(

x

x

dy y x f dx I

x

dy y x f

dx



 2dx4 f(x,y)dy I

Câu 7: Đổi thứ tự tính tích phân

dy

1 4

4

2 2

1



 

 dx x f x y dy I

dy

4

1 3

dy

1

4 3

3

0 1

0 



 dx x f x y dy I

1 1

0 1

1 1

dx y x f dy I

4

2 2 16

8 8

4 4



x x

x

dy y x f dx dy

y x f dx

I

4 16

4 1

y x f

dx

I

2 2

2 /

2 4

2 1

r f d I

R

)sin,cos(

0 2

r f d I

a

)sin,cos(

cos 0

2 / 2 /

r f d I

b

)sin,cos(

sin 0 0

2 /

2 /

)(3

y y x

dx e dy I

0 1 0

2

a) I  e2  e

b) I  e2  e 2

I 3 trong đó D là hình chữ nhật 0  x 1;0  y  2a) I = 0 b) I = 2 c) I = 4 d) I = 8

D

dxdy y

/0

I ( 2 2) trong đó D là hình trònx2  y2 1.a) I  /2 b) I 2 /3 c) d)

dxdy I

2

2 trong đó D là hình trònx2  y2  9.a) I 3 b) I  6 c) I 9 d) I 18

Câu 34: Tính diện tích S của miền giới hạn bởi các đường: y  3x2  x 1; 7x  y 1 0

B Tích phân đường loại hai

Câu 35: Cho điểm A(0, 1) và B(1, 1), tính tích phân đường

x = 2 đi từ điểm A(2, 1) đến B(2, 0)

AB

)1()12

 lấy theo đường y   đi từ điểm A đến B.x 1





I I   /8

a) I = 0 b) I = 1 c) I = 2 d) I = 3

OA

)3(

)1

)()

2

)()

nào sau đây đúng?

a)   

D

dxdy y x

D xydxdy

) 2 , 1 (

xdy ydx I

a) I = 2 b) I = 4

c) I = 6 d) I = 8

Câu 44: Tính tích phân đường   

) 4 , 3 (

) 1 , 0 (

ydy xdx I

a) I = 12 b) I = -12

c) I = -8 d) I = 8

) 3 , 2 (

) 1 , 0 (

)()(y x dx x y dy I

a) I = -3 b) I = 3

c) I = -4 d) I = 4

CHƯƠNG 6 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Câu 1: Phương trình vi phân nào sau đây được đưa về dạng phương trình tách biến ?

a) (x )1 yC b) (x )1 yC c) C1(x1)C2y0 d) x 2y2 C

)1(

cos

x

dy y dx

a) sinx cosyC b) sinx cosyC

c) C1sinxC2cosy0 d) C1cosxC2siny0

Câu 7: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 1 1 2 0

y y

dx

dy

b)

y x

y x dx

y x

x y y x dx

b) Đặt ux2, (1) trở thành



 

d) Đặt yux, (1) trở thành

3

2

1

u u

Câu 14: Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân toàn phần?

a) ( siny xcos )y dx(cosxxsin )y dy0

b) ( siny xcos )y dx(cosxxsin )y dy 0

c) ( siny xcos )y dx(cosxxsin )y dy 0

d) ( siny xcos )y dx(cosxxsin )y dy 0

Câu 15: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân ydxxdy0

Câu 18: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân ycos2x y 0

a) yCetan x b) yCe tan x c) y C e tan x d) ye Ctanx

Câu 19: Phương trình y ycosx có nghiệm tổng quát là:0

a) y x( cos ) sin x  x y2/ 2C b) yCln(1 sin ) x

d) Các cách đổi biến trên đều không thích hợp

Câu 26: Chọn cách đổi biến đúng, thích hợp để giải phương trình vi phân y'xy2(x23)y3

Câu 27: Xét phương trình vi phân (2x3x y dx) 2 y x dy3 3 0 (1)

Khẳng định nào sau đây đúng?

a) (1) là phương trình vi phân đẳng cấp.

b) (1) là phương trình vi phân đưa được về dạng tách biến

c) (1) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

d) (1) là phương trình vi phân Bernoulli

Câu 28: Xét phương trình vi phân (y22xy dx) (x25xy dy) 0 (1).Khẳng định nào sau đây đúng?

a) (1) là phương trình vi phân đẳng cấp

b) (1) là phương trình vi phân tách biến

c) (1) là phương trình vi phân Bernoulli

d) (1) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

Câu 28: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y'' 2 ' 5 y  y0

a) ye C x( 1cos 3x C 2sin 3 )x b) ye3x(C1cosx C 2sin )x

c) yex(C1cos 3x C 2sin 3 )x d) yex(C1cos 3x C 2sin 3 )x

Câu 34: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y6y8y1

Câu 35: Tìm nghiệm riêng của phương trình ứng với điều kiện đầu

a) '' 2 ' 3y  y  y thỏa y(0)=0 y’(0)=4.0 (ĐS ye 3x ex)

b) y'' 5 ' 4 y  y thỏa y(0)=5 , y’(0)=80 (ĐS y4e x e4x)

c) '' 3 ' 2y  y  y thỏa y(0)=1 , y’(0)=-10 (ds yex)

d) y'' 4 y thỏa y(0)=0 , y’(0)= 20 (ds y=sin2x)

e) y'' 2 y thỏa y(0)=1 , y’(0)= 00 (ds y=1 )