Ví duï Cho moät heä phöông trình nhö sau Ví duï Ma Traän Heä Soá Zeidel Aùp Duïng Trong Phöông Phaùp Gauss Zeidel Cho moät heä phöông trình phi tuyeán nhö sau ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢[.]
Trang 1Ví dụ : Ma Trận Hệ Số Zeidel Aùp Dụng Trong Phương Pháp Gauss-Zeidel
Cho một hệ phương trình phi tuyến như sau :
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛− 0894 − 0367
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛− 0121− 0087
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛− 0214 + 0198
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛13257 + 00777
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
×
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
8
− 5 2 + 2
− 2 + 1
− 4 +
2
−
2 + 2
− 7
− 4 3 + 1
− 2 +
1
−
2 + 1
− 3 + 1
− 8
− 4 3 +
2
−
4 + 2
− 2 + 1
− 3 + 2
− 9
−
5
4 3 2 1
4 3 2 1
U
, j ,
U
, j ,
U
, j ,
U
, j ,
U U U U
) j ( ) j ( ) j ( ) j
(
) j ( ) j ( ) j ( ) j
(
) j ( ) j ( ) j ( ) j
(
) j ( ) j ( ) j ( ) j
(
) ) ) )
&
&
&
&
;
Cho biết là nghiệm chính xác (điện áp nút cân bằng), và cho biết các nghiệm xấp xỉ
) j (
U&1 = 1+ 0
) j ( U U
U&(2o ) = &(3o ) = &(4o ) = 1+ 0 Hãy áp dụng phương pháp Gauss-Zeidel giải nghiệm với sai số ε ≤ 0,00001 đối với hệ phương trình phi tuyến này
Giải :
Vì đã biết U&1 =(1+j0) cho nên biến đổi hệ phương trình về dạng sau :
) j (
) j (
) j (
U
, j ,
U
, j ,
U
, j ,
U U U )
j ( ) j ( ) j
(
) j ( ) j ( ) j
(
) j ( ) j ( ) j
(
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
4
− 2
2
− 1
3
− 2 +
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
×
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
8
− 5 2 + 2
− 2 +
1
−
2 + 2
− 7
− 4 3 +
1
−
2 + 1
− 3 + 1
− 8
−
4
4 3 2
4 3 2
) )
)
&
&
&
và đưa hệ phi tuyến về dạng ma trận để áp dụng phép lặp Gauss :
] ' b [ U
b ]
U ].[
B [ ]
U
i
i )
k ( )
k
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
= 1 +
với :
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
8
− 5
2 + 2
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
8
− 5
2 + 1
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
7
− 4
2 + 2
−
− 0
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
7
− 4
3 + 1
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
8
− 4
2 + 1
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
8
− 4
3 + 1
−
− 0
=
j
j j
j
j
j j
j
j
j j
j ]
B
Trang 2
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
8
− 5
367 0
− 894 0
−
1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
7
− 4
087 0
− 121 0
−
1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
8
− 4
198 0 + 214 0
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
4 3 2
) k (
) k (
) k (
) k
(
i
i
U
j
, j ,
U
j
, j ,
U
j
, j ,
U
b
) )
)
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
8
− 5
4
− 2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
7
− 4
2
− 1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ 8
− 4
3
− 2
=
j j j j j j '
Khi tính lặp liên tiếp k=(0,1,2, ,25) lần thì đạt đến nghiệm là :
[ ] ; với sai số ε<0,00001
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
1510 0
− 9447 0
1014 0
− 964 0
0808 0
− 9351 0
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
= 4 3 2
) , j ,
(
) , j ,
(
) , j ,
( U
U
U
Un
&
&
&
Để tăng tốc độ hội tụ thì áp dụng phép lặp Gauss-Zeidel nhờ chuyển đổi các ma trận hệ số, và dẫn đến hệ phương trình phi tuyến dạng ma trận như sau :
] ' z [
U ˆ
z ]
U ].[
Z [ ]
U [
) k ( i
) ( )
k ( )
k (
2
2 1
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
=
với :
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0450305 0
+ 1810286 0
02433014 0
− 1227743 0
0
0730773 0
+ 4346158 0
0461538 0
− 1307691 0
0
=
1
) ,
j ,
( ,
j ,
, j ,
, j ,
j , ,
j , ]
Z
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−0026435205 − 01097039408
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛− 0010692296− 0020461521
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−00305− 00115
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
4 3
2 2
) k (
) k (
) k (
) k ( i )
U
, j ,
U
, j ,
U
, j ,
U z
) )
) )
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
020700334 0
− 6961968305 0
02692345 0
− 43461515 0
05 0 + 4 0
=
2
) ,
j ,
(
) ,
j ,
(
) , j , ( '
Khi tính lặp liên tiếp k=(1,2, ,16) lần thì đạt đến nghiệm [U n ] như trên với cùng một độ chính xác ε<0,00001 và cùng chung khởi đầu là U&(2o ) = U&(3o ) = U&(4o ) = (1+ j0) Như vậy số lần tính lặp giảm từ 25 lần xuống còn 16 lần.