Bài Tập Hình 8 Bài Hình Chóp Đều-Hình Chóp Cụt Đều Có Lời Giải

3 HÌNH CHÓP ĐỀU HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU I KIẾN THỨC CƠ BẢN Hình chóp có Đáy là một đa giác, các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh Đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt p[.]

3 HÌNH CHÓP Đ U HÌNH CHÓP C T Đ U Ề Ụ Ề

I KI N TH C C B N Ế Ứ Ơ Ả

 Hình chóp có:

- Đáy là m t đa giác, các m t bên là nh ng tam giác có chungộ ặ ữ

m t đ nh.ộ ỉ

- Đ ng th ng đi qua đ nh và vuông góc v i m t ph ng đáyườ ẳ ỉ ớ ặ ẳ

g i là đ ng cao.ọ ườ

- Trong hình trên: hình chóp có đ nh là S, đáy là t giácỉ ứ

, ta g i đó là hình chóp t giác.ọ ứ

 Hình chóp đ u ề

Hình chóp trên có đáy là hình vuông ,

các m t bên ặ , , và là nh ng tamữ

giác cân b ng nhau Ta g i ằ ọ là hình chóp tứ

giác đ uề

Hình chóp đ u là hình chóp có đáy là m t đa giác đ u,ề ộ ề

các m t bên là nh ng tam giác cân b ng nhau có chungặ ữ ằ

đ nhỉ

- Chân đ ng cao c a hình chóp đ u trùng v i tâm c a đ ng tròn đi qua các đ nh c a ườ ủ ề ớ ủ ườ ỉ ủ

m t đáyặ

- Đ ng cao v t đ nh c a m i m t bên c a hình chóp đ u đườ ẽ ừ ỉ ủ ỗ ặ ủ ề ượ ọc g i là trung đo n ạ c a ủ hình chóp đó

 Hình chóp c t đ u ụ ề

Hình chóp c t đ u là ph n hình chóp đ u n m gi a m t ph ngụ ề ầ ề ằ ữ ặ ẳ

đáy c a hình chóp và m t ph ng song song v i đáy và c t hìnhủ ặ ẳ ớ ắ

chóp

– M i m t bên c a hình chóp c t đ u là m t hình thang cânỗ ặ ủ ụ ề ộ

 Di n tích ệ xung quanh c a hình chóp đ u ủ ề

- Di n tích xung quanh c a hình chóp đ u b ng n a tích c a chu việ ủ ề ằ ữ ủ

đáy v i trung đo n ớ ạ (p là n a chu vi đáy; d là trung đo n c a hình chóp)ữ ạ ủ

– Di n tích toàn ph n c a hình chóp b ng t ng c a di n tích xung quanh và di n tích ệ ầ ủ ằ ổ ủ ệ ệ đáy (S: di n tích đáy)ệ

 Th tích c a hình chóp đ u ể ủ ề

– Th tích c a hình chóp b ng m t ph n ba c a di n tích đáy nhân v i chi u caoể ủ ằ ộ ầ ủ ệ ớ ề

(S: di n tích đáy, h: chi u cao)ệ ề

III BÀI T P Ậ

Bài 1: Cho hình chóp tam giác đ u ề G i H là trung đi m CD Ch ng minh: ọ ể ứ a) vuông góc v i m t ph ng ớ ặ ẳ

b)

a) Hình chóp là hình chóp tam giác đ u nênề

tam giác CBD là tam giác đ u các tam ACB, ACD,ề

ADB là các tam giác cân t i A H là trung đi m CDạ ể

suy ra

V y CD vuông góc v i hai đ ng th ng c t nhauậ ớ ườ ẳ ắ

thu c m t ph ng ộ ặ ẳ nên

b) G i E là trung đi m BD ta có ọ ể

V y BD vuông góc v i hai đ ng th ng c t nhau thu c m t ph ng ậ ớ ườ ẳ ắ ộ ặ ẳ nên

suy ra CD vuông góc v i m i đ ng th ng thu c ớ ọ ườ ẳ ộ

Hay

Bài

2 : Cho hình chóp t giác đ u ứ ề G i O là giao đi m c a AC và BD Ch ng ọ ể ủ ứ minh

a) SO vuông góc v i ớ

b) vuông góc v i ớ

HD:a) Hình chóp t giác đ u ứ ề nên có là hình vuông, các c nh bên b ng ạ ằ nhau

Ta có là tam giác cân t i A có ạ nên SO là đ ng cao c a tam giác hayườ ủ

T ng t , ta có ươ ự

SO vuông góc v i hai đ ng th ng c t nhau thu cớ ườ ẳ ắ ộ

nên

b) Ta có ;

Mà nên

Bài

3 : Cho hình chóp t giác đ u ứ ề có , Tính đ dài trung ộ

đo n và chi u cao c a hình chóp đ u này.ạ ề ủ ề

HD: Hình chóp t giác đ u ứ ề có ,

, nên là hình vuông và các c nh bên b ngạ ằ

nhau

Trong tam giác vuông vuông t i O, theo Pytago ta có ạ

V y chi u cao hình chóp là ậ ề

G i H là trung đi m AB, ta có SH là trung đo n c a hình chópọ ể ạ ủ

Trong tam giác vuông t i H, theo Pytago ta có ạ

V y đ dài trung đo n là ậ ộ ạ

Bài

4 : Cho hình chóp tam giác đ u ề có , c nh bên ạ Tính chi u cao c a hình chóp.ề ủ

Hình chóp tam giác đ u ề nên là tam giác đ u.ề

G i H là trung đi m AB, O là trong tâm tam giác ABCọ ể

Ta có CH là đ ng cao tam giác ABCườ

Trong tam giác CHB vuông t i H ta có ạ

;

Trong tam giác vuông vuông t i O ta cóạ

V y chi u cao c a hình chóp là ậ ề ủ

Bài

5 : M t hình chóp c t đ u có đáy l n b ng ộ ụ ề ớ ằ , đáy bé b ng ằ và c nh bên b ngạ ằ

13cm Tính đ dài trung đo n và chi u cao c a hình chóp c t đó.ộ ạ ề ủ ụ

HD: Hình chóp c t đ u ta th y m t bên là hìnhụ ề ấ ặ

thang cân V đ ng cao ẽ ườ và

, ta có

V y đ dài trung đo n là 2 cmậ ộ ạ

Khai tri n hình chóp c t đ u ta th y ể ụ ề ấ

Trong hình thang vuông v đ ng caoẽ ườ

ta có

;

V y đ ng cao hình chóp c t đ u là ậ ườ ụ ề

Bài

6 : Cho hình chóp t giác đ u có đ dài c nh đáy b ng 8cm và đ dài c nh bên b ng ứ ề ộ ạ ằ ộ ạ ằ 5cm Tính di n tích toàn ph n c a hình chóp.ệ ầ ủ

HD: Trong tam giác vuông SHB, theo pytago ta có

Di n tích đáy là ệ

Di n tích xung quanh hình chóp làệ

Di n tích toàn ph n hình chópệ ầ

Bài

7 : Tính di n tích toàn ph n c a hình chóp t giác đ uệ ầ ủ ứ ề

bi t ế

HD: Hình chóp t giác đ u ứ ề có đáy là hình vuông nên , ta có Trong tam giác vuông , theo pytago ta có

Trong tam giác vuông t i O, theo Pytago ta cóạ

Di n tích đáy là ệ

Di n tích xung quanh hình chóp là ệ

Di n tích toàn ph n hình chóp ệ ầ

Bài

8 : Tính di n tích toàn ph n c a hình chóp tam giác đ u bi t c nh đáy b ng 10cm, ệ ầ ủ ề ế ạ ằ

c nh bên b ng 13cm.ạ ằ

Bài gi i ả

Tam giác BCA cân t i S có ạ t i I, theo Pytago ta cóạ

Tam giác ABC là tam giác đ u có c nh là ề ạ nên chi u cao tam giác đ u là ề ề

là hình chóp đ u nên chân đ ng cao H trùng v i giao đi m ba đ ng trung ề ườ ớ ể ườ tuy n c a tam giác, ta có ế ủ và

Trong tam giác vuông t i H, theo đ nh lí Pytago ta có ạ ị

Di n tích đáy là ệ

V y di n tích toàn ph n c a hình chóp làậ ệ ầ ủ

Bài

9 : Tính th tích hình chóp t giác đ u bi t đ dàiể ứ ề ế ộ

c nh đáy b ng 6cm và đ dài c nh bên b ng ạ ằ ộ ạ ằ

Áp d ng đ nh lí pytago trong tam giác vuông EFC ta cóụ ị

Di n tích t giác đáy ệ ứ

Th tích hình chópể :

Bài

10 : Tính th tích hình chóp tam giác đ u bi t chi u cao b ng ể ề ế ề ằ và c nh bên b ngạ ằ 4cm

là hình chóp đ u nên chân đ ng cao H trùng v i giao đi m ba đ ng trung ề ườ ớ ể ườ tuy n c a tam giác, ta có ế ủ và

Trong tam giác SHC vuông t i H, theo đ nh lí pytago ta có ạ ị

Suy ra

Tam giác ABC là tam giác đ u, gi s có c nh là a nên chi uề ả ử ạ ề

cao tam giác đ u là ề mà CI là chi u cao tam giác ABCề

nên c nh tam giác đ u là ạ ề hay

Di n tích đáy là ệ

Th tích hình chóp là ể

Bài

11 : Tính th tích hình chóp t giác đ u bi t đ dài c nh đáy b ng 4cm và đ dài c nhể ứ ề ế ộ ạ ằ ộ ạ bên b ng ằ 24cm

Bài gi i ả

là hình chóp t giác đ u có đáy ứ ề là hình vuông, có c nh ạ

Ta có

Suy ra

Áp d ng đ nh lí pytago trong tam giác vuông ụ ị ta có

Chi u cao hình chóp là 4cmề

Di n tích t giác đáy ệ ứ

Th tích hình chópể

Bài

12 : Tính th tích hình chóp tam giác đ u bi t đ dài c nh bên b ng ể ề ế ộ ạ ằ và c nh ạ bên đáy 3cm

G i H là tr ng tâm tam giác ọ ọ , HC c t AB t i D, ta có ắ ạ

Tam giác vuông t i D, theo đ nh lí Pytago, ta cóạ ị

và

Tam giác SHC vuông t i H, ta cóạ

Th tích c a hình chóp đ u làể ủ ề

Bài

13 : Tính th tích hình chóp t giác đ u có trung đo n b ng 5cm và di n tích xung ể ứ ề ạ ằ ệ quanh b ng ằ

HD: Di n tích xung quanh hình chóp t giác đ u có c nh đáy là a cm, trung đo n là 5cm:ệ ứ ề ạ ạ

Hay

Ta có

Ta có (vì là đ ng trung bình c a tam giác ABC,ườ ủ

tam giác có c nh ạ )

Áp d ng đ nh lí pytago trong tam giác vuông ụ ị ta có

Th tích hình chópể

Bài

14 : M t hình chóp c t đ u ộ ụ ề có các c nh đáy b ng a và 2a, đ ng ạ ằ ườ cao c a m t bên b ng a.ủ ặ ằ

a) Tính di n tích xung quanhệ

b) Tính c nh bên, đ ng cao c a hình chóp c t đ u.ạ ườ ủ ụ ề

Bài gi i ả

a) Di n tích xung quanh c a hình chóp c t ệ ủ ụ

đ uề

b) Khai tri n hình chóp c t đ u ta th y m t ể ụ ề ấ ặ

bên là hình thang cân ABA’B’ V đ ng cao ẽ ườ

A’H và B’K , ta có

Trong hình thang vuông OBB’O’ v đ ng ẽ ườ

cao ta có

V y đ ng cao hình chóp c t đ u làậ ườ ụ ề

Bài

15 : Cho hình chóp tam giác đ u ề G i M, N, P l n l t là trung đi m các c nhọ ầ ượ ể ạ

SA, SB, SC Ch ng minh ứ là hình chóp c t tam giác đ u.ụ ề

Ta có ; nên

M t khác, ặ là hình chóp tam giác đ u nên ề

Suy ra , do đó là hình thang cân

T ng t ươ ự ; là các hình thang cân

V y ậ là hình chóp c t tam giác đ u.ụ ề

Bài

15 : Cho hình chóp t giác đ u có di n tích xung quanh b ng ứ ề ệ ằ di n tích toàn ph n ệ ầ

Ch ng minh r ng các m t bên c a hình chóp là các tam giác vuông cân.ứ ằ ặ ủ

Hình chóp t giác đ u ứ ề có đáy là hình vuông, các c nh bên là các tam giác cân t i ạ ạ

S (1)

G i a là đ dài c nh đáy, d là trung đo n c a hình chóp ọ ộ ạ ạ ủ

M t khác ặ

G i G là trung đi m AB suy ra ọ ể

Ta có SG là trung đo n hình chóp ạ

V y trong tam giác ậ có và nên là tam giác vuông cân

t i G ạ (2)

T ng t , ta có ươ ự (3)

T (2), (3) suy ra ừ (4)

T (1), (4) suy ra ừ vuông cân t i Sạ

T ng t ta ch ng minh đ c các c nh bên c a hình chóp là tam giác vuông cân.ươ ự ứ ượ ạ ủ

T LUY N Ự Ệ

Bài 1: Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp tứ giác

đều (nếu làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai )

a) Biết AB = 6cm , SI = 5cm

b) Biết SH = 4cm , SB = 5cm

A B

D

C S

c) Biết AB = 5cm , SB = 5cm.

Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp và

lần lượt là trung điểm của các cạnh

b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp

1) Nếu biết ,

2) Nếu biết các mặt bên là các tam giác đều, ,

3) Nếu biết và

a) Tính trung đoạn, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp

b) Gọi là trung điểm của SH Cắt hình chóp bởi 1 mặt phẳng đi qua và song song với mặt phẳng đáy ta được hình chóp cụt đều Tính diện tích xung quanh và thể tich của hình chóp cụt (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

III BÀI T P T LU N Ậ Ự Ậ

Bài 3:

Bài 4:

Bài 5:

Bài 8:

IV BÀI T P TR C NGHI M Ậ Ắ Ệ